資源簡介

重難點5-2 數列前n項和的求法
數列求和是高考數學的必考內容，一般利用等差數列的通項來構建考查裂項求和，構建等差等比數列考查錯位相減法求和，解答題中等差數列、等比數列通項的考查往往是第1問，數列求和則是第2問.近幾年在數列求和中加大了思維能力的考查，減少了對程序化計算（錯位相減、裂項相消）的考查，主要基于新的情景，要求考生通過歸納或挖掘數列各項間關系發現規律再進行求和.
【題型1 公式法求數列前n項和】
滿分技巧（1）等差數列的前n項和，推導方法：倒序相加法． （2）等比數列的前n項和，推導方法：乘公比，錯位相減法． （3）一些常見的數列的前n項和： ①； ②； ③； ④
【例1】（2023·廣東珠海·統考模擬預測）
1．已知為等比數列，且，若.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和.
【變式1-1】（2023·寧夏銀川·高三校聯考階段練習）
2．設正項等比數列且的等差中項為.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，數列的前n項為，數列滿足，為數列的前項和，求.
【變式1-2】（2023·山西·校考模擬預測）
3．已知等差數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設數列的前項和為，且，若，求的最小值.
【變式1-3】（2023·四川德陽·統考一模）
4．已知首項為的等比數列的前項和為，且成等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的最大項.
【變式1-4】（2023·山西臨汾·校考模擬預測）
5．在數列中，，且．
(1)求的通項公式；
(2)設為的前n項和，求使得成立的最小正整數n的值．
【題型2 分組法求數列前n項和】
滿分技巧（1）適用范圍：某些數列的求和是將數列轉化為若干個可求和的新數列的和或差，從而求得原數列的和，注意在含有字母的數列中對字母的討論． （2）常見類型： ①若an＝bn±cn，且{bn}，{cn}為等差或等比數列； ②通項公式為an＝的數列，其中數列{bn}，{cn}是等比數列或等差數列.
【例2】（2023·山西忻州·高三校聯考階段練習）
6．已知數列的前n項和為，，（）.
(1)求的通項公式；
(2)設數列，滿足，，求數列的前n項和.
【變式2-1】（2023·江蘇無錫·高三校聯考階段練習）
7．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【變式2-2】（2023·江西貴溪·高三貴溪市實驗中學校聯考階段練習）
8．已知數列的前項和為，，等比數列的公比為，．
(1)求數列的通項公式；
(2)令，求數列的前10項和．
【變式2-3】（2023·廣東廣州·統考模擬預測）
9．設數列的前n項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，求數列的前2n項和.
【變式2-4】（2023·山東濰坊·統考模擬預測）
10．已知數列的前項和為，且滿足，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列滿足，求數列的前項和．
【題型3 并項法求數列前n項和】
滿分技巧一個數列的前n項和中，可兩兩結合求解，則稱之為并項求和． 形如an＝（－1）nf（n）類型，可采用兩項合并求解． 例如，．
【例3】（2023·陜西西安·高三校考階段練習）
11．若數列的通項公式是，則該數列的前100項之和為 .
【變式3-1】（2023·河北邯鄲·統考模擬預測）
12．已知數列的前項和為，且滿足．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列，求數列的前項和．
【變式3-2】（2023·廣東廣州·高三統考階段練習）
13．記為等差數列的前n項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)記，求數列的前23項的和.
【變式3-3】（2023·湖南邵陽·高三校聯考階段練習）
14．已知數列的前n項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【變式3-4】（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習）
15．已知數列滿足，，且．
(1)求證：數列為等比數列；
(2)若，求數列的前n項的和．
【題型4 逆序相加法求數列前n項和】
滿分技巧如果一個數列{an}的前n項中首末兩端等“距離”的兩項的和相等或等于同一個常數，那么求這個數列的前n項和即可用倒序相加法，如等差數列的前n項和公式即是用此法推導的．
【例4】（2023·重慶·高三重慶一中校考階段練習）
16．已知為正項等比數列，且，若函數，則（ ）
A．2023 B．2024 C． D．1012
【變式4-1】（2023·山東濰坊·高三安丘市第一中學校考階段練習）
17．已知函數，數列為等比數列，，且，利用課本中推導等差數列前項和的公式的方法，則（ ）
A． B．2017 C．4034 D．8068
【變式4-2】（2023·全國·本溪高中校聯考模擬預測）
18．“數學王子”高斯是近代數學奠基者之一，他的數學研究幾乎遍及所有領域，在數論 代數學 非歐幾何 復變函數和微分幾何等方面都作出了開創性的貢獻.我們高中階段也學習過很多高斯的數學理論，比如高斯函數 倒序相加法 最小二乘法等等.已知某數列的通項，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·高三專題練習）
19．已知數列的前n項和為，且，設函數，則 ．
【變式4-4】（2023·云南·高三云南師大附中校考階段練習）
20．已知數列滿足：（），數列滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)求.
【題型5 錯位相減法求數列前n項和】
滿分技巧1、解題步驟 2、注意解題“3關鍵” ①要善于識別題目類型，特別是等比數列公比為負數的情形． ②在寫出“Sn”與“qSn”的表達式時應特別注意將兩式“錯項對齊”以便下一步準確寫出“Sn－qSn”的表達式． ③在應用錯位相減法求和時，若等比數列的公比為參數，應分公比q＝1和q≠1兩種情況求解． 3、等差乘等比數列求和，令，可以用錯位相減法． ① ② ①②得：． 整理得：．
【例5】（2023·江蘇鹽城·高三鹽城中學校聯考階段練習）
21．已知數列滿足，，且數列是等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求數列的前項和.
【變式5-1】（2023·青海·校聯考模擬預測）
22．已知數列滿足.
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前項和.
【變式5-2】（2023·山東泰安·高三統考期中）
23．已知數列的前n項和為，且，.
(1)求；
(2)記，求數列的前n項和.
【變式5-3】（2023·海南·校聯考模擬預測）
24．已知數列的前項和為，且.
(1)求；
(2)若，求數列的前項和.
【變式5-4】（2023·江蘇南京·高三期末）
25．已知數列滿足，且對任意都有.
(1)設，證明：是等差數列；
(2)設，求數列的前項和.
【題型6 裂項相消法求數列前n項和】
滿分技巧1、用裂項法求和的裂項原則及規律 （1）裂項原則：一般是前邊裂幾項，后邊就裂幾項，直到發現被消去項的規律為止． （2）消項規律：消項后前邊剩幾項，后邊就剩幾項，前邊剩第幾項，后邊就剩倒數第幾項． 【注意】利用裂項相消法求和時，既要注意檢驗通項公式裂項前后是否等價，又要注意求和時，正負項相消消去了哪些項，保留了哪些項，切不可漏寫未被消去的項． 2、裂項相消法中常見的裂項技巧 （1） （2） （3） （4） （5） （6） （7）
【例6】（2023·四川南充·統考一模）
26．已知數列是首項為2的等比數列，公比，且是和的等差中項．
(1)求的通項公式；
(2)設數列滿足，求的前2023項和．
【變式6-1】（2023·江蘇鎮江·高三校考階段練習）
27．已知數列的前n項和為，是n、的等差中項，．
(1)證明：是等比數列；
(2)設，數列的前n項和，證明：．
【變式6-2】（2023·福建莆田·高三莆田第四中學校考階段練習）
28．已知數列前項和為，且滿足.
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求證：.
【變式6-3】（2023·廣東珠海·高三珠海市第一中學校考期末）
29．已知正項數列的前項和為，，且當時．
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，數列的前項和為，試比較與的大小，并加以證明.
【變式6-4】（2023·河北保定·高三校聯考階段練習）
30．設為數列的前項和，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，證明：．
【題型7 含絕對值數列的前n項和】
【例7】（2023·湖北武漢·統考模擬預測）
31．已知是數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前項和．
【變式7-1】（2023·遼寧丹東·高三校聯考階段練習）
32．已知等差數列的公差為整數，，設其前n項和為，且是公差為的等差數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和.
【變式7-2】（2023·重慶·高三重慶市第七中學校校考階段練習）
33．已知是正項等比數列.，且，
(1)求的通項公式；
(2)當為遞增數列，設，求數列的前項和.
【變式7-3】（2023·陜西西安·高三統考階段練習）
34．已知數列的前n項和為，且．
(1)求的通項公式；
(2)記，求數列的前n項和．
【變式7-4】（2023·全國·模擬預測）
35．在數列中，，．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
【題型8 數列求和與不等式綜合】
滿分技巧常見的角度主要包括兩個方面： 一、不等式恒成立小件下，求參數的取值范圍； 二、不等式的證明，常見方法有不比較法、構造輔助函數法、放縮法、數學歸納法等.
【例8】（2023·河南·信陽高中校聯考模擬預測）
36．已知為數列的前項和，且為正項等比數列，，.
(1)求證：數列是等差數列；
(2)求數列的通項公式；
(3)設，且數列的前項和為，若恒成立，求實數的取值范圍.
【變式8-1】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學校聯考模擬預測）
37．已知數列前項和為，且對任意的正整數與的等差中項為.
(1)求數列的通項公式；
(2)證明：.
【變式8-2】（2023·安徽·高三校聯考階段練習）
38．已知數列滿足，且，數列滿足，且（表示不超過的最達整數），．
(1)求；
(2)令，記數列的前項和為，求證：．
【變式8-3】（2023·河北石家莊·高三校聯考期末）
39．已知數列滿足．
(1)若為等差數列，求的通項公式；
(2)記的前項和為，不等式對恒成立，求的取值范圍．
【變式8-4】（2023·山東青島·高二山東省青島第五十八中學校考期末）
40．已知函數滿足，若數列滿足：.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列滿足，（），數列的前n項和為，若對一切恒成立，求實數的取值范圍.
（建議用時：60分鐘）
（2023·全國·高三專題練習）
41．已知數列的通項公式為，為數列的前n項和，（ ）
A．1009 B．1010 C．1011 D．1012
（2023·湖南長沙·高三周南中學校考開學考試）
42．已知函數，在正項等比數列中，，則（ ）
A．1011 B．1012 C．2023 D．2024
（2023·天津·高三南開中學校考階段練習）
43．在公差大于0的等差數列中，，且，，成等比數列，則數列的前21項和為（ ）
A．12 B．21 C．11 D．31
（2023·天津·高三統考期中）
44．設等差數列的前項和為，數列的前和為，已知，，，若，則正整數的值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣西·模擬預測）
45．設是等差數列，是各項都為正數的等比數列．且，，，．
(1)求，的通項公式；
(2)設，求數列的前項和．
（2023·貴州貴陽·高三貴陽一中校考階段練習）
46．數列滿足，，，設.
(1)證明：數列是等差數列；
(2)求數列的前項和.
（2023·江蘇·高三泰州中學校聯考階段練習）
47．設數列的前項和為，且對于任意正整數，都有．
(1)求證：數列是等比數列；
(2)設，數列的前項和為，求證：．
（2023·天津·高三靜海一中校考階段練習）
48．已知數列是數列的前項和，已知對于任意，都有，數列是等差數列，，且成等比數列.
(1)求數列和的通項公式.
(2)記，求數列的前項和.
(3)記，求.
（2023·福建寧德·校考二模）
49．已知為等差數列的前項和，，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，求數列的前15項和．
（2023·湖南邵陽·統考二模）
50．已知為數列的前項和，，，記.
(1)求數列的通項公式；
(2)已知，記數列的前項和為，求證：.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)
(2)
【分析】（1）翻譯基本量，求解等比數列通項公式即可.
（2）構造等差數列，利用公式法求和即可.
【詳解】（1）設等比數列的公比為，則依題意有：
，即，
解得或（舍去）所以，
（2），
，且，
是首項為3，公差為2的等差數列，
2．(1)；
(2).
【分析】（1）利用已知條件列出方程，求出首項與公比，然后求解通項公式．
（2）化簡數列的通項公式，利用裂項相消法求解數列的和即可．
【詳解】（1）設等比數列的公比為，
由題意，得，解得，則，
所以數列的通項公式.
（2）由（1）得，顯然數列是等差數列，
因此，，
所以.
3．(1)
(2)10
【分析】（1）設等差數列的公差為，然后利用公式構建基本量的方程求解即可.
（2）先將等差數列的通項代入,得到數列的通項,再求和,解不等式即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
則解得，
故.
（2）由（1）可得，則，
所以,則數列是是等差數列，
故.
因為，所以，所以，
所以或.
因為，所以的最小值是10.
4．(1)
(2)
【分析】（1）設出公比，分和兩種情況，根據條件得到方程，求出公比，進而求出通項公式；
（2）根據等比數列求和公式得到，換元后，利用函數單調性求出最大值.
【詳解】（1）由題意得，
設公比為，若，此時，此時不滿足；
若，則，
故，即，
由于，故，解得或1（舍去），
故；
（2），故，
所以，
令，
由對勾函數可知在上單調遞減，
故當時，取得最大值，最大值為，
故. 數列的最大項為
5．(1)
(2)13
【分析】（1）根據等比數列的性質即可根據奇偶數項求解，
（2）根據等比數列求解公式，結合數列的單調性即可求解.
【詳解】（1）由可得，
所以，所以的奇數項以及偶數項均為公比為3的等比數列，
由得，
由，則，
因此的奇數項以1為首項，3為公比的等比數列，偶數項以3為首項，公比為3的等比數列，
故，
（2），
此時
若，則，故，
由于為單調遞增數列，且，
所以此時滿足的最小的為，
當為奇數時，此時，
由，則，故，
由于為單調遞增數列，且，
所以此時滿足的最小的為13，
綜上可得使得成立的最小正整數n為13
6．(1)
(2)
【分析】（1）根據數列遞推式求出，判斷是以為首項，為公比的等比數列，即可求得答案；
（2）求出的表達式，可得的表達式，利用分組求和法，結合等差等比數列的前n項和公式，即可得答案.
【詳解】（1）由題意可得（），兩式作差，得（），
則（），
當時，，即，將代入，
解得，則，適合（），
所以，，
所以是以為首項，為公比的等比數列，
所以.
（2）由（1得），.
故
.
7．(1)
(2)
【分析】（1）由關系消得遞推關系，再構造等差數列求通項；
（2）由等差與等比數列特點分組求和.
【詳解】（1）由①
當時，，所以
當時，②
①②式相減得，即
兩邊同除以得，，
又，所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
，則
（2），可知數列是以為首項，為公差的等差數列，
可知數列是以為首項，為公比的等比數列，
8．(1)，
(2)
【分析】（1）當時求出，可得通項與，由求數列的通項公式；
（2）利用分組求和法求數列的前10項和.
【詳解】（1）當時，，，，
等比數列的公比為，則有，
由，可得．
當時，．
經檢驗，當時，滿足上式，
所以．
（2），
設的前10項和為，
．
9．(1)
(2)
【分析】（1）根據求得.
（2）根據分組求和法求得正確答案.
【詳解】（1）依題意，，
當時，，
當時，，
所以，
所以數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，也符合.
所以.
（2）由（1）得，所以
.
10．(1)
(2)
【分析】（1）應用與的關系即可求解；（2）應用分組求和及等比數列求和公式即可求解.
【詳解】（1）因為，
時，,
兩式相減得，
，，，，
相乘得，所以，
當時符合上式，
所以；
（2），
當為奇數時，
.
11．100
【分析】根據通項公式可知相鄰奇數項與偶數項兩項之和為常數，分組求和即可.
【詳解】因為，所以，，，，
所以該數列的前100項之和為.
故答案為：100
12．(1)
(2)
【分析】(1)由遞推關系求解數列的通項即可；
(2)利用分組求和即可.
【詳解】（1）因為，
當時，，
當時，，
則，
當時，不成立，所以.
（2）由（1）可得，
所以
13．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的通項公式和求和公式列式求出和d，可得通項公式；
（2）先求出，再利用并項求和法與等差數列的求和公式可得結果.
【詳解】（1）設等差數列公差為d，則，
解得，，
所以.
（2）由（1）可得：，則，
可得
，
所以.
14．(1)
(2)
【分析】（1）利用累加法求出數列的通項公式，即可得出數列的通項公式；
（2）求出，可得出的表達式，當時，計算出，對分奇數和偶數兩種情況討論，結合并項求和法可得出的表達式.
【詳解】（1）解：由已知可得，
則，
上述等式累加可得，
所以，，故當時，，
也滿足，故對任意的，.
（2）解：因為，故數列為等差數列，
則，所以，，
對任意的，則，
當為偶數時，設，則，
則；
當為奇數時，設，則，
則，
綜上所述，.
15．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據已知等式變形得，利用等比數列的定義證明即可；
（2）對項數分奇偶討論，由裂項相消法求和可得.
【詳解】（1），且，，
，且，
，
故數列是以為首項，為公比的等比數列.
（2）由（1）知，，
則有，，，
各式相加得，
又，則.
，
則當為奇數時，
；
當為偶數時，
；
綜上所述，.
16．A
【分析】由等比數列的性質可得，再由題意可得出，由倒序相加法可求出答案.
【詳解】因為為正項等比數列，且，
所以，
由可得，
所以，
所以設，
則，
所以兩式相加可得：，故，
故選：A.
17．C
【分析】根據函數的對稱性，等比數列的性質，結合倒序相加法計算即可.
【詳解】用倒序相加法：令①
則也有②
由，
，即有，
可得：，
于是由①②兩式相加得，所以．
故選：C
18．D
【分析】分離常數后可得，再利用倒序相加法，即可求解．
【詳解】當時，，
，
，
，
，
，即.
故選：D．
19．##
【分析】根據可求，從而可求.易驗證，故可采用倒序相加法求題設式子的值．
【詳解】∵①，
∴當時，②，
①－②得，∴；
當時，，∴，此時仍然成立，
∴．
∴當n=1時，；
當時，，
當n=1時，上式也成立，故．
由于，
設
則，
∴．
故答案為：．
【點睛】本題關鍵是熟練掌握利用前n項和與通項公式的關系求得，觀察猜測并發現為定值，從而利用倒序相加法即可求和．
20．(1)
(2)
【分析】（1）根據遞推關系式，得到，兩式相減即可得解；
（2）利用倒序相加法求和即可.
【詳解】（1）當時，；
當時，①，
②，
①－②得：，
∴，當時，，
∴.
（2）∵，
∴
∴①，
②，
又∵∴①＋②得：
∴.
21．(1)
(2)
【分析】（1）由數列是等差數列，結合等差數列性質計算即可得；
（2）利用錯位相減法求和即可得.
【詳解】（1）是等差數列，記其公差為，
則有，
，
；
（2），
則，
則
，
.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用數列的前項和，即可求數列的通項公式；
（2）首先根據（1）的結果求數列的通項公式，再利用錯位相減法求和.
【詳解】（1）當時，，
由已知，，①
當，，②
①②，得，
得，
當時，，成立，
綜上可知，；
（2）由（1）可知，，
則，
，
，
兩式相減得，
即，
所以
23．(1)
(2)
【分析】（1）根據的關系可得是等差數列，即可求解，進而可得，
（2）根據錯位相減法即可求解.
【詳解】（1），
，又
.
數列是公差為2，首項為的等差數列.
,即.
當時，，
故.
（2）時，
時，.
設的前n項和為，則
，
.
.
（）
當時，也符合，
所以
24．(1)
(2)
【分析】（1）將原式化簡后兩邊同除可得等差關系，利用數列的通項解出；
（2）由（1）結果，利用求出，進而求出，再用錯位相減法求解；
【詳解】（1）依題意，
故，
故是以2為公差的等差數列.
而，
又，解得，
故的首項為3，
則，
則.
（2）由（1）可知，當時，；
當時，
也滿足該式，故，
故，
則，
兩式相減得，，
故
25．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）以替換得，，得到，從而證明是公差為的等差數列；
（2）令得，，可得，推出，再由（1），得到，再分和求解前項和.
【詳解】（1）因為對任意都有，
所以以替換得，，
則，
由,
，所以是公差為的等差數列；
（2）令得，，即，
則，
所以由（1）得，是以為首項，公差為的等差數列，
所以，即.
由，
令可得，，
則，
由得，.
當時，；
當時，①，
則②，
得，，
所以，
綜上，.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件得到，由是首項為2的等比數列且，求出的值，進而求出通項公式；
（2）利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）數列是首項為2的等比數列，是和的等差中項，
，即，
，，
，解得或（舍），
；
（2），
，
的前2023項和.
27．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據條件得到時的遞推關系式，兩式作差得到新的遞推關系式，將其化簡可完成證明；
（2）代入的通項公式于，將的通項公式裂項，然后采用裂項相消法進行求和并根據結果完成證明.
【詳解】（1）因為是的等差中項，所以，
所以，
兩式相減可得：，
所以，
又，所以，，
所以是首項為，公比為的等比數列；
（2）由（1）可知，所以，
所以，
所以，
所以，
因為，所以，所以.
28．(1)，；
(2)證明見解析．
【分析】（1）利用求通項公式；
（2）求出，利用裂項相消法求和后可證得不等式成立．
【詳解】（1）由已知，
時，，
此時也適合上式,
所以，；
（2）由（1），，
所以，
29．(1)
(2)，證明見解析
【分析】（1）由時，，及條件可得，再由累加法可求出，再由求出.
（2）由的通項公式可知，利用錯位相減法求出，再由不等式的性質比較與的大小.
【詳解】（1）因為時，
數列為正項數列，所以．
由累加法得，
又，所以，即，
故當時，，
因此．
（2）．證明如下：
由題意及（1）可得，
故，
．
兩式相減，得，
得．由于，故，所以．
30．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）根據給定條件，利用推導求解即得.
（2）由（1）的結論，利用裂項相消法求和即可得解.
【詳解】（1）當時，，當時，，
兩式相減得，則，
當時，，
又當時，，當時，，則，
顯然符合，
所以數列的通項公式是.
（2）由（1）知，，
所以
.
31．(1)
(2)
【分析】（1）利用與的關系，結合累乘法即可求出數列的通項公式；
（2）分和利用等差數列的求和公式求解即可.
【詳解】（1）由，則，
兩式相減得：，
整理得：，
即時，，
所以時，，
又時，，得，也滿足上式．
故．
（2）由（1）可知：．
記，設數列的前項和．
當時，；
當時，
綜上：
32．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的性質即可求解公差，進而可求解，
（2）分類討論，即可根據等差數列求和公式求解.
【詳解】（1）設的公差為，依題意得，
所以，即，
化簡得，解得或（舍去），
，
所以經檢驗滿足題意.
（2）依題意得，，，
其前項和，
當時，，，
故，
當時，，
故
所以.
33．(1)或
(2)
【分析】（1）根據題意建立方程組，求出，寫出通項公式即可；
（2）表示出數列，在求數列的前n項和時，進行分類討論即可.
【詳解】（1）設正項等比數列的公比，
因為，且，，
則，解得或，
所以的通項公式為：或.
（2）因為為遞增數列，則，
結合題意: ，得到，
所以 ，
當時，，
;
當時，，
，
綜上所述：.
34．(1)；
(2).
【分析】（1）利用關系，構造數列及等比數列定義寫出的通項公式；
（2）由（1）得，討論、求前n項和．
【詳解】（1）當，則；
當，則，
所以，而，則是首項、公比為2的等比數列，
所以，且也滿足，
綜上，.
（2）由（1）得，
當時，，
當時，
.
所以.
35．(1)
(2)
【分析】（1）由題知數列是首項為，公比為的等比數列，進而得；
（2）由題知為單調遞減數列，再根據，，分和兩種情況討論求解即可；
【詳解】（1）解：因為在數列中，，，
所以，，
所以，等式兩邊同加上得，
因為，
所以，數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，．
（2）解：因為，即
所以，為單調遞減數列，
因為，，
所以，時，，時，，
記的前項和為，則，
所以，當時，，；
當時，，，①
，②
所以，①②得：，即，
綜上，
36．(1)證明見解析
(2)
(3)
【分析】（1）利用整理化簡可得，再結合得到數列為等差數列，即可求出數列的通項公式，將數列的通項公式代入，計算即可得結論；
（2）利用數列的通項公式即可得數列的通項公式；
（3）先利用錯位相減法求出，再將恒成立轉化為，構造，計算的正負確定其單調性，進而可得最值.
【詳解】（1）當時，，解得；
當時，，
所以，
整理得，①
所以，②
由①-②得，所以數列為等差數列，
因為，所以數列的公差為，
所以.
設，
則，
因為（常數），
所以數列是等差數列；
（2）設數列的公比為，
結合（1）及已知得，
解得，所以；
（3）由（1）（2）得，，
所以，①
又②
①-②，得，
所以，
由，解得.
設，則，
故，
因為，
故恒成立，知單調遞減，
故的最大值為，則，即的取值范圍為.
37．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據與之間的關系，利用構造法結合等比數列分析求解；
（2）根據題意分析可得，，進而求和分析證明.
【詳解】（1）由題意可得：，
時，，可得；
時，，，
兩式相減得：，即.
可得，且，
可知是以為首項，2為公比的等比數列.
所以，即.
（2）因為，
所以；
又因為
，
所以，
綜上所述：.
38．(1)2
(2)證明見解析
【分析】（1）先推導可得，再累加可得，再判斷當時，即可得；
（2）推導可得是以為首項，為公比的等比數列，代入通項公式可得，再根據，累加求和證明即可.
【詳解】（1），
，，
．又是遞增數列，
，當時，．
．
（2），
，則有，
是以為首項，為公比的等比數列，
．
，
，
原不等式得證．
39．(1)
(2)
【分析】（1）由題意結合等差數列基本量的計算即可求解.
（2）由分組求和法將的表達式求出來，分是奇數，偶數兩種情形討論，結合表達式恒成立的理論即可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
兩式相減得．
因為為等差數列，所以的公差．
又，所以，解得，
則，即的通項公式為．
（2）由（1）得，
所以不等式可化為，
當為奇數時，，則，即，
當為偶數時，，則．
綜上，的取值范圍為．
40．(1)，；
(2)
【分析】（1）由，運用倒序相加求和，可得所求通項公式；
（2）由（1）可得的通項公式，由數列的裂項相消求和可得，再由參數分離和配方法求得最值，即可得到所求的取值范圍.
【詳解】（1）因為,
由①,
則②,
所以可得：，
故，.
（2）由（1）知，，則時，，
所以

.
又由對一切恒成立,可得恒成立,
即有對一切恒成立.
當時,取得最大值，所以；
故實數的取值范圍是.
41．D
【分析】根據給定條件，化簡數列的通項公式，再利用并項求和作答.
【詳解】依題意，當n為奇數時，，當n為偶數時，，
于是，因此，
所以.
故選：D
42．C
【分析】由等比數列的性質可得，求得，進而可得答案.
【詳解】由題意知，
由等比數列性質可得，
所以，
，
故選：C.
43．B
【分析】根據等差數列的通項公式，由，求得，再由，，成等比數列，求得，得到，結合并項求和，即可求解.
【詳解】在公差大于0的等差數列中，由，得，解得，
由，，成等比數列，得，
即為，而，解得，
因此數列的通項公式，
所以數列的前21項和為：
.
故選：B
44．B
【分析】設出公差，根據通項公式和求和公式基本量計算出首項和公差，得到，進而得到，裂項求和得到，得到方程，求出.
【詳解】設的公差為，
則，解得，
故，
故，
則，
因為，所以，
解得.
故選：B
45．(1)，．
(2).
【分析】（1）應用等差、等比通項公式及已知列方程求基本量，進而寫出，的通項公式；
（2）由（1）得，再由錯位相減法、等比數列前n項和公式求．
【詳解】（1）由已知得①，
②，
聯立①②，得，解得或，
因為是各項都為正數的等比數列，所以，代入①式可得，
所以，．
（2）由題意及（1）及，故，
∴，
，
兩式相減得
．
∴.
46．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用等差數列的定義證明即可；
（2）利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）證明：依題意，由，可得，
則，
∵，
∴數列是以3為首項，2為公差的等差數列.
（2）由（1）知，
則，
.
47．(1)證明見解析；
(2)證明見解析.
【分析】（1）利用給定的遞推公式變形，再利用等比數列定義判斷即得.
（2）由（1）的結論求出，再利用裂項相消法求和即得.
【詳解】（1）數列中，，則，
兩式相減得，即，因此，
又當時，，得 即，
所以數列是首項為5公比為2的等比數列．
（2）由（1）得，即，
則有，又，
因此是常數數列，即，則，
從而
所以.
48．(1)，
(2)
(3)
【分析】（1）首先根據與的關系得到，再根據等比數列的性質即可得到；
（2）利用裂項相消法即可得結果；
（3）將分組求和與錯位相減法相結合即可得結果.
【詳解】（1）當時，，解得.
當時，，
所以，
即是以首先，公比為的等比數列，即.
因為，成等比數列，
所以，即，解得.
所以.
（2）由（1）得
，
則
（3），
因為，
設，前項和為，
則，
，
.
所以
49．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列的求和公式即可根據等差數列的性質求解，
（2）根據分組求和，結合等比數列的求和公式即可求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，，
且，，，，．
（2）由（1）可知其中．
故的前15項和為
．
50．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）借助構造等比數列算出，即可求出；
（2）將裂項后求和，再分奇偶討論即可得證.
【詳解】（1）由，得，，
則，，，
數列是以為首項，為公比的等比數列，
，
，
.
（2），
，
，
當為奇數時，，
當為偶數時，，由，可知是遞增數列，
，
綜上，.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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