資源簡(jiǎn)介

重難點(diǎn)6-1 空間角與空間距離的求解
空間角與空間距離問(wèn)題一直是高考數(shù)學(xué)必考點(diǎn)與熱點(diǎn)考向.通常小題及解答題的第2小問(wèn)考查，難度中等.在高考復(fù)習(xí)過(guò)程中除了掌握空間向量法，還需多鍛煉幾何法的應(yīng)用.
【題型1 幾何法求異面直線夾角】
滿分技巧1、求異面直線所成角一般步驟： （1）平移：選擇適當(dāng)?shù)狞c(diǎn)，線段的中點(diǎn)或端點(diǎn)，平移異面直線中的一條或兩條成為相交直線． （2）證明：證明所作的角是異面直線所成的角． （3）尋找：在立體圖形中，尋找或作出含有此角的三角形，并解之． （4）取舍：因?yàn)楫惷嬷本€所成角的取值范圍是，所以所作的角為鈍角時(shí)，應(yīng)取它的補(bǔ)角作為異面直線所成的角． 2、可通過(guò)多種方法平移產(chǎn)生，主要有三種方法： （1）直接平移法（可利用圖中已有的平行線）； （2）中位線平移法； （3）補(bǔ)形平移法（在已知圖形中，補(bǔ)作一個(gè)相同的幾何體，以便找到平行線）．
【例1】（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考期中）
1．在正方體中，，，，分別為，，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的大小是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）
2．如圖，是圓錐的頂點(diǎn)，是底面直徑，點(diǎn)在底面圓上．若為正三角形，且，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2024·廣東·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）
3．
如圖，在直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，，，分別是棱，，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的余弦值是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2022·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
4．已知正方形的邊長(zhǎng)為2，把沿折起，使點(diǎn)A與點(diǎn)E重合，若三棱錐的外接球球心O到直線的距離為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．0
【變式1-4】（2023·安徽·高三池州市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
5．在正四棱臺(tái)中，，點(diǎn)是底面的中心，若該四棱臺(tái)的側(cè)面積為，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 向量法求異面直線夾角】
滿分技巧異面直線所成角：若分別為直線的方向向量，為直線的夾角，則.
【例2】（2023·山東德州·高三德州市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
6．如圖，在直三棱柱中，，且，，分別是棱，的中點(diǎn)，則異面直線與所成角的正弦值是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·安徽·高三校聯(lián)考期末）
7．已知是圓錐底面的直徑，為底面圓心，為半圓弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，，，則異面直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】（2024·江西·高三統(tǒng)考期末）
8．已知圓柱的底面半徑為1，高為2，，分別為上、下底面圓的直徑，四面體的體積為，則直線與所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·湖南長(zhǎng)沙·高三長(zhǎng)沙一中校考開(kāi)學(xué)考試）
9．三棱錐中，平面，，.，點(diǎn)是面內(nèi)的動(dòng)點(diǎn)（不含邊界），，則異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2023·廣東汕頭·高三潮陽(yáng)實(shí)驗(yàn)學(xué)校校考階段練習(xí)）
10．正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，則異面直線與所成的角為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 幾何法求直線與平面夾角】
滿分技巧1、垂線法求線面角（也稱直接法）： （1）先確定斜線與平面，找到線面的交點(diǎn)B為斜足；找線在面外的一點(diǎn)A，過(guò)點(diǎn)A向平面做垂線，確定垂足O； （2）連結(jié)斜足與垂足為斜線AB在面上的投影；投影BO與斜線AB之間的夾角為線面角； （3）把投影BO與斜線AB歸到一個(gè)三角形中進(jìn)行求解（可能利用余弦定理或者直角三角形）. 3、公式法求線面角（也稱等體積法）： 用等體積法，求出斜線PA在面外的一點(diǎn)P到面的距離，利用三角形的正弦公式進(jìn)行求解. 公式為：，其中是斜線與平面所成的角，是垂線段的長(zhǎng)，是斜線段的長(zhǎng). 方法：已知平面內(nèi)一個(gè)多邊形的面積為S，它在平面內(nèi)的射影圖形的面積為，平面和平面所成的二面角的大小為，則.這個(gè)方法對(duì)于無(wú)棱二面角的求解很簡(jiǎn)便.
【例3】（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）
11．在正方體中，棱的中點(diǎn)分別為，，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2024·山西運(yùn)城·高三統(tǒng)考期末）
12．已知四棱錐的底面是邊長(zhǎng)為4的正方形，，，則直線與平面夾角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-2】（2024·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱市第六中學(xué)校校聯(lián)考期末）
13．過(guò)正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，若四棱錐與四棱臺(tái)的表面積之比為，則直線與底面所成角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
14．如圖，在三棱臺(tái)中，平面，，，.
(1)求證：平面平面；
(2)求與平面所成角正弦值.
【變式3-4】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
15．如圖，在四棱錐中，，，，，，，．
(1)求證：平面平面；
(2)若為上一點(diǎn)，且，求直線與平面所成角的正弦值．
【題型4 向量法求直線與平面夾角】
滿分技巧直線與平面所成角：設(shè)是直線的方向向量，是平面的法向量，直線與平面的夾角為.則.
【例4】（2023·福建福州·高三校聯(lián)考期中）
16．正四棱柱中，，四面體體積為，則與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·上海嘉定·高三校考期中）
17．在正方體中，是中點(diǎn)，點(diǎn)在線段上，若直線與平面所成的角為，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-2】（2023·四川南充·統(tǒng)考一模）
18．如圖，在四棱錐中，平面，，，．
(1)求證：平面；
(2)若，二面角的正切值為，求直線與平面所成角的正弦值．
【變式4-3】（2023·四川雅安·統(tǒng)考一模）
19．如圖，在正方體中，點(diǎn)是線段上的動(dòng)點(diǎn)（含端點(diǎn)），點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，設(shè)與平面所成角為，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】（2024·江蘇南通·高三海安高級(jí)中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）
20．如圖，己知三棱臺(tái)的高為1，，為的中點(diǎn)，，，平面平面．
(1)求證：平面；
(2)求與平面所成角的大小．
【題型5 幾何法求平面與平面夾角】
滿分技巧1、定義法（棱上一點(diǎn)雙垂線法）：提供了添輔助線的一種規(guī)律 （1）方法：在二面角的棱上找一個(gè)特殊點(diǎn)，在兩個(gè)半平面內(nèi)分別過(guò)該點(diǎn)作垂直于棱的射線． （2）具體演示：如圖所示，以二面角的棱a上的任意一點(diǎn)O為端點(diǎn)，在兩個(gè)面內(nèi)分別作垂直于a的兩條射線OA，OB，則∠AOB為此二面角的平面角 2、三垂線法（面上一點(diǎn)雙垂線法）----最常用 （1）方法：自二面角的一個(gè)面上一點(diǎn)向另外一個(gè)面作垂線，再由垂足向棱作垂線得到棱上的點(diǎn)（即斜足），斜足和面上一點(diǎn)的連線與斜足和垂足的連線所夾的角，即為二面角的平面角 （2）具體演示：在平面內(nèi)選一點(diǎn)A向另一個(gè)平面作垂線AB，垂足為B，再過(guò)點(diǎn)B向棱a作垂線BO，垂足為O，連接AO，則∠AOB就是二面角的平面角. 3、垂面法（空間一點(diǎn)垂面法） （1）方法：過(guò)空間一點(diǎn)作與棱垂直的平面，截二面角得兩條射線，這兩條射線所成的角就是二面角的平面角. （2）具體演示：過(guò)二面角內(nèi)一點(diǎn)A作于B，作于C，面ABC交棱a于點(diǎn)O，則∠BOC就是二面角的平面角. 4、射影面積法求二面角
【例5】（2024·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）
21．已知三棱錐的外接球半徑為，，，，則平面與平面的夾角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·全國(guó)·高三專題練習(xí)）
22．如圖，三棱錐中，且為正三角形，分別是的中點(diǎn)，若截面?zhèn)让妫瑒t此棱錐側(cè)面與底面夾角的余弦值為 .
【變式5-2】（2024·北京海淀·高三統(tǒng)考期末）
23．在正四棱錐中，，二面角的大小為，則該四棱錐的體積為（ ）
A．4 B．2 C． D．
【變式5-3】（2024·河北滄州·高三泊頭市第一中學(xué)校聯(lián)考期末）
24．將兩個(gè)相同的正棱錐的底面重疊組成的幾何體稱為“正雙棱錐”.如圖，在正雙三棱錐中，兩兩互相垂直，則二面角的余弦值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·河北邢臺(tái)·寧晉中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）
25．如圖，在三棱柱中，點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，，，.

(1)證明：；
(2)設(shè)直線到平面的距離為，求二面角的大小.
【題型6 向量法求平面與平面夾角】
滿分技巧平面與平面的夾角：若分別為平面的法向量，為平面的夾角，則.
【例6】（2024·浙江寧波·高三余姚中學(xué)校聯(lián)考期末）
26．如圖，在三棱錐中，，，平面，平面平面，是的中點(diǎn).
(1)求證：;
(2)求平面與平面的夾角.
【變式6-1】（2024·云南昆明·統(tǒng)考一模）
27．如圖，在三棱錐中，平面，是線段的中點(diǎn)，是線段上一點(diǎn)，，.
(1)證明：平面平面；
(2)是否存在點(diǎn)，使平面與平面的夾角為？若存在，求；若不存在，說(shuō)明理由.
【變式6-2】（2024·云南曲靖·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
28．如圖所示，在四棱錐中，平面平面ABCD，底面ABCD為矩形，，，，點(diǎn)M在棱PC上且．
(1)證明：M為PC的中點(diǎn)；
(2)求平面PBD與平面MDB的夾角．
變式6-3】（2024·貴州貴陽(yáng)·高三貴陽(yáng)一中校考階段練習(xí)）
29．如圖，在三棱柱中，，，為的中點(diǎn)，平面平面．
(1)證明：平面；
(2)若，二面角的余弦值為，求平面與平面夾角的余弦值．
【變式6-4】（2024·江蘇南通·高三統(tǒng)考期末）
30．已知是圓錐的底面直徑，C是底面圓周上的一點(diǎn)，，平面和平面將圓錐截去部分后的幾何體如圖所示．
(1)證明：平面；
(2)求二面角的余弦值．
【題型7 幾何法解決空間距離問(wèn)題】
滿分技巧點(diǎn)面距的求解方法 1、定義法（直接法）：找到或者作出過(guò)這一點(diǎn)且與平面垂直的直線，求出垂線段的長(zhǎng)度； 2、等體積法：通過(guò)點(diǎn)面所在的三棱錐，利用體積相等求出對(duì)應(yīng)的點(diǎn)線距離； 3、轉(zhuǎn)化法：轉(zhuǎn)化成求另一點(diǎn)到該平面的距離，常見(jiàn)轉(zhuǎn)化為求與面平行的直線上的點(diǎn)到面的距離．
【例7】（2024·河北·高三校聯(lián)考期末）
31．已知正方形的邊長(zhǎng)為1，將正方形繞著邊旋轉(zhuǎn)至分別為線段上的動(dòng)點(diǎn)，且，若，則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
【變式7-1】（2024·河北邯鄲·高三磁縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
32．如圖，已知圓柱的底面半徑和母線長(zhǎng)均為1，分別為上、下底面圓周上的點(diǎn)，若異面直線所成的角為，則（ ）
A．1 B． C．1或2 D．2或
【變式7-2】（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）
33．如圖，在正四棱柱中，為的中點(diǎn)，則中點(diǎn)到平面的距離為 ．
【變式7-3】（2024·陜西·高三校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）
34．如圖，在三棱臺(tái)中，，，．
(1)證明：；
(2)求點(diǎn)到平面的距離．
【變式7-4】（2023·廣東·統(tǒng)考二模）
35．半正多面體是由邊數(shù)不全相同的正多邊形為面的多面體，如圖所示的多面體就是一個(gè)半正多面體，其中四邊形和四邊形均為正方形，其余八個(gè)面為等邊三角形，已知該多面體的所有棱長(zhǎng)均為2，則平面與平面之間的距離為（ ）

A． B． C． D．
【題型8 向量法解決空間距離問(wèn)題】
滿分技巧點(diǎn)到平面的距離：已知平面的法向量為 ， 是平面內(nèi)的任一點(diǎn)，是平面外一點(diǎn)，過(guò)點(diǎn)作則平面的垂線，交平面于點(diǎn)，則點(diǎn)到平面的距離為（如圖）. 注意：線面距、面面距均可轉(zhuǎn)化為點(diǎn)面距離，用求點(diǎn)面距的方法進(jìn)行求解. 直線與平面之間的距離：，其中，是平面的法向量. 兩平行平面之間的距離：，其中，是平面的法向量.
【例8】（2024·廣西·模擬預(yù)測(cè)）
36．如圖，在棱長(zhǎng)為2的正方體中，為線段的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).直線到平面的距離為（ ）.
A． B． C． D．
【變式8-1】（2024·北京昌平·高三統(tǒng)考期末）
37．如圖，在棱長(zhǎng)為1的正方體中，為線段上的點(diǎn)，且，點(diǎn)在線段上，則點(diǎn)到直線距離的最小值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式8-2】（2023·河北邢臺(tái)·高三寧晉中學(xué)校聯(lián)考開(kāi)學(xué)考試）
38．已知四棱臺(tái)中，底面為正方形，，，，⊥底面．
(1)證明：．
(2)求到平面的距離．
【變式8-3】（2024·重慶·高三重慶南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）
39．如圖，四邊形是圓柱的軸截面，點(diǎn)在底面圓上，，點(diǎn)是線段的中點(diǎn)

(1)證明：平面；
(2)若直線與圓柱底面所成角為，求點(diǎn)到平面的距離.
【變式8-4】（2024·河南周口·高三項(xiàng)城市第一高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考期末）
40．如圖，將圓沿直徑折成直二面角，已知三棱錐的頂點(diǎn)在半圓周上，在另外的半圓周上，.
(1)若，求證： ；
(2)若，，直線與平面所成的角為，求點(diǎn)到直線的距離.
（建議用時(shí)：60分鐘）
（2023·全國(guó)·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
41．已知四棱錐底面是矩形，其中，，側(cè)棱底面，E為的中點(diǎn)，四棱錐的外接球表面積為，則直線與所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·上海虹口·高三校考期中）
42．如圖所示，在正方體中，E為線段上的動(dòng)點(diǎn)，則下列直線中與直線CE夾角為定值的直線為（ ）
A．直線 B．直線
C．直線 D．直線
（2024·陜西渭南·統(tǒng)考一模）
43．在正三棱柱中，，是的中點(diǎn)，則直線與平面所成角的正弦值為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）
44．《九章算術(shù)》中將底面為直角三角形且側(cè)棱垂直于底面的三棱柱稱為塹堵，在塹堵中，若，若為線段中點(diǎn)，則點(diǎn)到直線的距離為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東濟(jì)寧·高三濟(jì)寧一中校考階段練習(xí)）
45．如圖1，某廣場(chǎng)上放置了一些石凳供大家休息，這些石凳是由正方體截去八個(gè)一樣的正三棱錐得到的，它的所有棱長(zhǎng)均相同，數(shù)學(xué)上我們稱之為半正多面體（semiregular solid），亦稱為阿基米德多面體，如圖2，設(shè)，則平面與平面之間的距離是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山東德州·高三統(tǒng)考期末）
46．在棱長(zhǎng)為1的正方體中，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．點(diǎn)到的距離為 B．面與面的距離為
C．直線與平面所成的角為 D．點(diǎn)到平面的距離為
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·高三校考階段練習(xí)）
47．如圖，已知正方體的棱長(zhǎng)為2，點(diǎn)P是線段的中點(diǎn)，點(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面
B．Q到平面的距離為
C．與所成角的取值范圍為
D．三棱錐外接球體積的最小值為
（2023·廣西·模擬預(yù)測(cè)）
48．如圖，已知在矩形和矩形中，，，且二面角為，則異面直線與所成角的正弦值為 ．
（2024·廣東深圳·高三深圳市高級(jí)中學(xué)校考期末）
49．如圖， 在圓臺(tái) 中，，點(diǎn)C是底面圓周上異于A、B的一點(diǎn)，, 點(diǎn)D是的中點(diǎn)， 為平面與平面的交線， 則交線與平面所成角的大小為 ．
（2022·全國(guó)·高三專題練習(xí)）
50．如圖，在四棱錐中，平面平面，四邊形為矩形，為的中點(diǎn)．
(1)求異面直線與所成的角；
(2)求二面角的余弦值．
（2024·重慶九龍坡·高三重慶實(shí)驗(yàn)外國(guó)語(yǔ)學(xué)校校考開(kāi)學(xué)考試）
51．如圖．在四棱錐中，已知底面為矩形，側(cè)面是正三角形，面底面，是棱的中點(diǎn)．
(1)證明：；
(2)若，且二面角的大小為，求異面直線與所成角的正切值．
（2024·山西臨汾·統(tǒng)考一模）
52．如圖，在三棱柱中，，，，二面角的大小為.
(1)求四邊形的面積；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得直線與平面所成的角的正弦值為？若存在，求出的長(zhǎng)；若不存在，說(shuō)明理由.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】連接，利用三角形中位線性質(zhì)，結(jié)合異面直線的定義求解即得.
【詳解】在正方體中，連接，由分別為的中點(diǎn)，得分別為中點(diǎn)，
而分別為的中點(diǎn)，則，，
因此或其補(bǔ)角是異面直線與所成的角，
在中，，則，
所以異面直線與所成角的大小是.
故選：C
2．A
【分析】分別取的中點(diǎn)，連接，則，或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，求出的三邊，然后利用余弦定理求解即可.
【詳解】由已知，
所以，設(shè)，則，
可得，
分別取的中點(diǎn)，連接，則，
所以或其補(bǔ)角為異面直線與所成角，
過(guò)點(diǎn)作于，連接，
則為中點(diǎn)，與底面垂直，且，
在中，，，
所以，
所以，
所以在中，
所以異面直線與所成角的余弦值為.
故選：A .
3．D
【分析】利用平移法作出異面直線與所成的角，解三角形即可求得答案.
【詳解】連接，因?yàn)樵谥比庵校謩e是棱，的中點(diǎn)，
故，即四邊形為平行四邊形，
所以，則即為異面直線與所成角或其補(bǔ)角；

直三棱柱中，所有棱長(zhǎng)都相等，設(shè)其棱長(zhǎng)為2，
連接，則，而平面，故平面，
平面，故，
是棱的中點(diǎn)，故，則,
而，又，
故在中，,
由于異面直線所成角的范圍為大于，小于等于，
故異面直線與所成角的余弦值是，
故選：D
4．A
【分析】依題意，確定外接圓的圓心，表示球心O到直線的距離，并找到異面直線與所成角的平面角，借助于余弦定理求解即可.
【詳解】
易得三棱錐的外接球球心O為的中點(diǎn)，連接，則，
取的中點(diǎn)H，連接，易知，則為點(diǎn)O到直線的距離，即，
取的中點(diǎn)F，連接，得，則或其補(bǔ)角是異面直線與所成角．
因?yàn)椋裕?br/>則異面直線與所成角的余弦值為，
故選：A．
5．A
【分析】根據(jù)題意作出圖形，利用幾何知識(shí)及余弦定理求解.
【詳解】由題意知：正四棱臺(tái)側(cè)面為等腰梯形，連接：，，，，，，作，如下圖所示，
因?yàn)槔馀_(tái)側(cè)面積為，即：，得：，
所以：側(cè)棱長(zhǎng)，
因?yàn)椋海茫海?br/>又因?yàn)椋海裕核倪呅问瞧叫兴倪呅危?br/>所以：，（或其補(bǔ)角）是異面直線與所成的角，
根據(jù)余弦定理可知：，故A項(xiàng)正確.
故選：A.
6．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，確定各點(diǎn)坐標(biāo)，得到向量，根據(jù)向量的夾角公式計(jì)算得到答案.
【詳解】如圖所示：以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，
則，，，，
，，
，
異面直線與所成角的正弦值是.
故選：A.
7．B
【分析】根據(jù)條件，建立空間直角坐標(biāo)系，求出，再利用線線角的向量法，即可求出結(jié)果.
【詳解】因?yàn)闉榘雸A弧的中點(diǎn)，則，如圖，建立空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋瑸榘雸A弧的中點(diǎn)，，分別為線段，的中點(diǎn)，
則,，
所以，
設(shè)異面直線與所成角的角為，
則，

故選：B.
8．D
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，假定的坐標(biāo)，結(jié)合已知解出的坐標(biāo)，利用線線角的向量求法求解即可.
【詳解】
如圖，找底面圓心，作與底面垂直，//，，
故以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系，規(guī)定，，設(shè)，，
易知底面圓方程為，則，，
故，，
故，
設(shè)到面的距離為，設(shè)面的法向量，故有，，解得，，，
故，由點(diǎn)到平面的距離公式得，已知四面體的體積為，
故得，解得(負(fù)根舍去)，易得，故，，
，，設(shè)直線與所成角為，故有.
故選：D
9．A
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，由，可得，再利用線線角的向量求法求解即得.
【詳解】由平面平面，得，
又平面，則平面，
平面，則，又，平面，
因此平面，而平面，則，
如圖，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，的方向?yàn)檩S正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，設(shè)，
，由，得，
，設(shè)異面直線與所成角為，
則，
令，則，
顯然函數(shù)在上單調(diào)遞增，此時(shí)，，
所以異面直線與所成角的余弦值的取值范圍為.
故選：A
【點(diǎn)睛】思路點(diǎn)睛：求空間角余弦的最值或范圍問(wèn)題，根據(jù)給定條件，選定變量，將該角的余弦建立起變量的函數(shù)，求出函數(shù)最值或范圍即可.
10．C
【分析】建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，將異面直線的夾角轉(zhuǎn)換為直線的方向向量的夾角來(lái)做即可.
【詳解】連接，交于點(diǎn)O，連接，
以為x軸，為y軸，為z軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
正四棱錐的側(cè)棱長(zhǎng)為，底面的邊長(zhǎng)為，E是的中點(diǎn)，
，，
，，
設(shè)異面直線與所成的角為，
則，，異面直線與所成的角為．
故選：C.
11．C
【分析】結(jié)合正方體的結(jié)構(gòu)特征找到直線與平面所成角，解直角三角形，即可求得答案.
【詳解】連接，在正方體中，平面，
棱的中點(diǎn)為，則平面，
而平面，故，
則即為直線與平面所成角，
設(shè)正方體棱長(zhǎng)為2，則，
則，
故，
故選：C
12．B
【分析】首先求，再作出平面，根據(jù)垂直關(guān)系，以及等面積轉(zhuǎn)化，確定垂足點(diǎn)的位置，以及，再求線面角的正弦值.
【詳解】如圖，由題意可知，，
中，根據(jù)余弦定理可知，則，
過(guò)點(diǎn)作平面，，連結(jié)，，連結(jié)，

因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>，且平面
所以平面，平面，
所以，又因?yàn)椋裕?br/>同理，
中，，則，
根據(jù)等面積公式，，所以，，
又，所以，
則，
直線與平面夾角的夾角為，.
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：本題的關(guān)鍵是確定垂足的位置，以及垂直關(guān)系的轉(zhuǎn)化.
13．A
【分析】根據(jù)題意知，，，分別為，，，的中點(diǎn)，設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，然后表示四棱錐與四棱臺(tái)的表面積，由表面積之比為，得到，的關(guān)系，確定線面角，求解即可.
【詳解】
依題意過(guò)正四棱錐的高的中點(diǎn)作平行于底面的截面，
則，，，分別為，，，的中點(diǎn)，
設(shè)正方形的邊長(zhǎng)為，，
所以正方形的面積為，正方形的面積為，
正四棱錐的側(cè)面積為，
四棱臺(tái)的側(cè)面積為，
所以正四棱錐的表面積為，
四棱臺(tái)的表面積為，
所以，
解得，
由平面，所以為直線與底面所成角，
所以，又，，
所以.
故選：.
14．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）利用線線垂直性質(zhì)定理證明；
（2）將棱臺(tái)補(bǔ)全為棱錐，利用等體積法求到平面的距離，結(jié)合線平面角的定義求與平面所成角的正弦值.
【詳解】（1）由，得，
由平面，平面，則，
又平面，所以平面，
因?yàn)槠矫妫云矫嫫矫妫?br/>（2）將棱臺(tái)補(bǔ)全為如下棱錐，
由，，，易知，，
由平面，平面，則，，，
所以，.
可得，
設(shè)到平面的距離為h，又，
則，可得，
設(shè)與平面所成角為，，則.
15．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得；
（2）由題意計(jì)算可得點(diǎn)所處位置，根據(jù)線面角的定義找到線面所成角后計(jì)算即可得.
【詳解】（1），，，
，，平面，
平面，
平面，平面平面；
（2）取的中點(diǎn)．連接、，
由（1）知平面，
平面，，
如圖，過(guò)點(diǎn)作，
，，，，，
，，，
，由勾股定理可知，
，平面，平面，
，為的中點(diǎn)，
，又，，
平面，為直線與平面所成角，
由（1）知，又，，
，，，
則，
，，
，
直線與平面所成角的正弦值為．
16．C
【分析】設(shè)，根據(jù)四面體體積為，由，求得，再建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法求解.
【詳解】解：設(shè)，因?yàn)樗拿骟w體積為，
所以，解得，
建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系：
則 ，
所以，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則，即 ，
令 ，則 ，所以 ，
設(shè)與平面所成的角為 ，
所以，
故選：C
17．B
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)向量法求出直線與平面所成的角為的正弦值，再表示出并求出其范圍.
【詳解】
設(shè)正方體邊長(zhǎng)為2，以D為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
則，
設(shè)，
則,
設(shè)平面的法向量為，
則取，則，
所以為平面的一個(gè)法向量，
所以
由于，所以，
所以，
因?yàn)樗?
故選：B
18．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)，連接，根據(jù)條件得到，再利用平面，得到，從而得出四邊形是平行四邊形，進(jìn)而有，即可證明結(jié)果；
（2）取取中點(diǎn)，連接，，根據(jù)條件建立空間直角坐標(biāo)系，再求出平面的法向量和向量，利用線面角的向量法即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）如圖，取中點(diǎn)，連接，因?yàn)椋?br/>所以，且，
又平面，平面，所以，
又面，所以，又，所以四邊形是平行四邊形，得到，
又平面，平面，所以平面.
（2）如圖，取中點(diǎn)，連接，，則，
因?yàn)槠矫妫桑?）知，所以平面，
又，所以，過(guò)作，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)槠矫妫妫裕郑悦妫?br/>又面，所以,
故為二面角的平面角，所以，
又，所以，又，所以，
所以，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，
則由得到，，取，所以，
設(shè)直線與平面所成角為，則，
所以直線與平面所成角的正弦值為.
19．A
【分析】以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，利用向量法求解即可.
【詳解】如圖，以點(diǎn)為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，不妨設(shè)，
則，
故，
，
設(shè)平面的法向量為，
則，可取，
則，
所以，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)，即時(shí)，，
綜上所述，的最小值是.
故選：A.
20．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）借助面面垂直的判定定理即可得線面垂直；
（2）建立適當(dāng)空間直角坐標(biāo)系后借助空間向量計(jì)算即可得.
【詳解】（1）由，，，
故與全等，故，
又為的中點(diǎn)，故，
又平面平面，平面平面，
且平面，故平面；
（2）連接，由平面，平面，故，
又，為的中點(diǎn)，故，
即、、兩兩垂直，且，
故可以為原點(diǎn)，建立如圖所示空間直角坐標(biāo)系，
有、、、，
由三棱臺(tái)的高為1，故，故，
、，
則，，，
令平面的法向量為，
則有，即，
令，則有、，故，
則有，
故與平面所成角的正弦值為，
即與平面所成角為.
21．D
【分析】先設(shè)的中點(diǎn)為，為的外接圓圓心；的外接圓圓心為，三棱錐的外接球球心為，由正弦定理確定，在中由勾股定理確定，在中由勾股定理確定，作出二面角的平面角，求即可.
【詳解】
不妨設(shè)二面角為銳角，設(shè)的中點(diǎn)為，
因?yàn)椋詾榈耐饨訄A圓心；設(shè)的外接圓圓心為，
三棱錐的外接球球心為，如圖，連接，，，，
則平面，平面，，
在中，，，
所以由正弦定理知，所以；
在中，由，得；
在中，由，，得；
在中，，，則；
所以在中，，從而；
在平面內(nèi)過(guò)點(diǎn)作交于，
則為二面角的平面角，易知，
所以.
故選：D.
22．
【分析】取和的中點(diǎn)分別為，，根據(jù)二面角的定義可得，進(jìn)而可得為所作的二面角，根據(jù)三角形的邊角關(guān)系即可求解二面角余弦值．
【詳解】取和的中點(diǎn)分別為，，
，分別是，的中點(diǎn)，
,,
由于且為正三角形，
，故,
由于，分別是，的中點(diǎn)，因此，
故,
由于截面?zhèn)让妫?進(jìn)而可得,
由于
故為側(cè)面與底面的二面角的平面角，
設(shè)， ，，
在直角中， ，
故答案為：
23．C
【分析】作出輔助線，得到為二面角的平面角，所以，從而求出四棱錐的高，由棱錐體積公式求出答案.
【詳解】連接，相交于點(diǎn)，則為正方形的中心，
故⊥底面，
取的中點(diǎn)，連接，則，，
故為二面角的平面角，所以，
故，
所以該四棱錐的體積為.
故選：C
24．D
【分析】取中點(diǎn)，連接，說(shuō)明為二面角的平面角，通過(guò)幾何關(guān)系計(jì)算求解.
【詳解】取中點(diǎn)，連接，交平面于點(diǎn)，
由正棱錐性質(zhì)及對(duì)稱性易知為的中心，且，
故為二面角的平面角，
設(shè)正三棱錐側(cè)棱長(zhǎng)為2，易得，
則，
在中由余弦定理得.
故選：D.
25．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）連接，由已知易得、面，應(yīng)用線面垂直的性質(zhì)及已知有、，根據(jù)線面垂直的判定證面，最后由線面垂直的性質(zhì)、判定證結(jié)論；
（2）根據(jù)二面角定義及線面垂直性質(zhì)易得是二面角的平面角，再由線面平行及面面垂直判定證面、面面，得到的距離為，進(jìn)而確定為等邊三角形，即可得結(jié)果.
【詳解】（1）連接，由題設(shè)，易知為菱形，故，
由點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在AC上，則面，
面，則，而，則，
又，面，故面，
面，則，
而，面，則面，
由面，則.

（2）由（1）知面，面，則，
所以是二面角的平面角，
由，面，面，則面，
直線到平面的距離為，即到平面的距離為，
又面，面，則面面，
面，面面，即到的距離為，
由題設(shè)，易知，
點(diǎn)在平面內(nèi)的射影D在線段AC上，則為銳角，
所以，故為等邊三角形，即，
所以二面角的大小.
26．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）作，垂足為，根據(jù)面面垂直性質(zhì)得平面，再由線面垂直性質(zhì)得、，最后由線面垂直的判定及性質(zhì)證結(jié)論；
（2）法一：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角的大小；法二：取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，由面面角的定義找到其平面角，再根據(jù)已知條件求平面角的大小.
【詳解】（1）作，垂足為，

因?yàn)槠矫嫫矫妫矫嫫矫妫矫妫?br/>所以平面，平面，所以，
又平面，平面，所以，
因?yàn)椋妫云矫妫?br/>由平面，所以.
（2）（向量法）如圖，以為原點(diǎn)，及垂直面向上為軸正方向，建立空間直角坐標(biāo)系.

所以，所以，，
易知平面的一個(gè)法向量，
設(shè)平面的法向量為，則,
令，所以，則，
所以平面與平面的夾角為.
（幾何法）取中點(diǎn)，中點(diǎn)，連結(jié)，，，

因?yàn)槠矫妫矫妫裕?br/>又，所以，
由（1）知，平面，平面，所以，
在直角和直角中，，
所以是等腰三角形，所以，
綜上，即為二面角的平面角，
，，，則，
所以為等腰直角三角形，故，
所以平面與平面的夾角為.
27．(1)證明見(jiàn)解析；
(2)存在，．
【分析】（1）利用勾股定理及逆定理判定線線垂直，得出線面垂直再證面面垂直即可；
（2）建立合適的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量研究面面夾角，計(jì)算即可.
【詳解】（1）因?yàn)椋堑闹悬c(diǎn)，所以，
在直角中，，，所以，
在中，，，所以，得，
又平面，平面，所以，
又，，所以平面，
由平面得，
又，所以平面，
由平面得，平面平面．
（2）存在點(diǎn)滿足條件，
以為原點(diǎn)，建立空間直角坐標(biāo)系如圖所示，
設(shè)，則，，，
，，
設(shè)平面的法向量為，
則，令得，
所以平面的一個(gè)法向量為，
易知平面的一個(gè)法向量為，
由已知得，解得，即，
所以存在點(diǎn)使平面與平面的夾角為，此時(shí)．
28．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由面面垂直的判定定理可得平面，分析可知，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系可知是等邊三角形，進(jìn)而可得結(jié)果；
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)建系，利用向量法求面面夾角.
【詳解】（1）因?yàn)槠矫嫫矫妫移矫嫫矫妫?br/>根據(jù)條件可知，平面，則平面，
且平面，所以，
所以，同理可得，
又因?yàn)椋允堑冗吶切危?br/>且，所以M是的中點(diǎn)．
（2）以D為坐標(biāo)原點(diǎn)，以所在直線為軸，過(guò)D垂直于底面的直線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
則．
設(shè)為平面的法向量．
因?yàn)椋傻茫?br/>令，則，可得，
設(shè)平面的法向量為，
因?yàn)椋傻茫?br/>令，則，可得，
設(shè)平面與平面的夾角為，
則，
所以平面PBD與平面MDB的夾角.
29．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）連接與相交于點(diǎn)，連接，則側(cè)面是平行四邊形，據(jù)此即可證明；
（2）二面角的平面角為，作直線的垂線，垂足為，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量即可求解.
【詳解】（1）如圖，連接與相交于點(diǎn)，連接，

三棱柱中，側(cè)面是平行四邊形，
則為的中點(diǎn)，又為的中點(diǎn)，有，
平面，平面，所以平面；
（2）平面平面，平面平面，
底面為正三角形，為的中點(diǎn)，則，
平面，則平面，
，平面，，，
則二面角的平面角為，
有余弦值為，中，
由余弦定理，
即，解得，
過(guò)作直線的垂線，垂足為，則，
故在的延長(zhǎng)線上，，
，，，四邊形為矩形，
則，以為原點(diǎn)，，，分別為軸，軸，軸，
建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，

則，，，，
，，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，
令，則，，即，
，，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則有，
令，則，，即，
平面與平面夾角的余弦值為．
30．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由等腰三角形三線合一得，由線面垂直的性質(zhì)得，結(jié)合線面垂直的判定定理即可得證；
（2）建立適當(dāng)?shù)目臻g直角坐標(biāo)系，求出兩平面的法向量，然后利用向量夾角公式即得.
【詳解】（1）為底面圓周上一點(diǎn)，
，又，
又為中點(diǎn)，，
又底面，底面，
，
又底面，
平面．
（2）底面，底面，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，
因?yàn)椋?br/>，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量，
由，，取，所以，
而平面的一個(gè)法向量，
設(shè)二面角平面角為，顯然為銳角，
．
31．A
【分析】根據(jù)線線垂直可證明線面垂直，進(jìn)而根據(jù)余弦定理求解，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)即可求解.
【詳解】由于平面，
所以平面，平面，
由于，則，
在中，利用余弦定理可得,
所以，
過(guò)作的垂線，垂足為，由，平面，
所以平面，
又平面，所以，所以，
不妨設(shè)，則，所以由余弦定理得，，
故選：A．

32．D
【分析】過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則是母線，則或，分類討論即可求解.
【詳解】如圖，過(guò)點(diǎn)作平面于點(diǎn)，則是母線，
連接底面，，
則四邊形是平行四邊形，，
與所成的角就是或其補(bǔ)角．
當(dāng)時(shí)，是等邊三角形，，
在中，；
當(dāng)時(shí)，在中，，
在中，．
綜上，或.
故選：D．
33．
【分析】中點(diǎn)到平面距離為到平面距離的一半，由，等體積法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】設(shè)中點(diǎn)為O，O到平面距離為到平面距離的一半，連接，
設(shè)到平面的距離為，由，即，
，∴O到平面CDE的距離為.
故答案為：.
34．(1)答案見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)線面垂直判定定理證明線面垂直進(jìn)而得出線線垂直即可；
（2）根據(jù)線面垂直結(jié)合等體積計(jì)算即得.
【詳解】（1）
，，
．
同理,
平面,平面,平面,
（2）
平面,平面,
作 平面,
到平面的距離中
,
.
35．B
【分析】分別取的中點(diǎn)，作出截面，結(jié)合幾何體的性質(zhì)，確定梯形的高即為平面與平面之間的距離，由此即可求得答案.
【詳解】分別取的中點(diǎn)，連接，

根據(jù)半正多面體的性質(zhì)可知，四邊形為等腰梯形；
根據(jù)題意可知，
而平面，
故平面，又平面，
故平面平面，則平面平面，
作，垂足為S，平面平面，
平面，故平面，
則梯形的高即為平面與平面之間的距離；
，
故，
即平面與平面之間的距離為，
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：本題考查了空間想象能力，解答的關(guān)鍵是根據(jù)幾何體的結(jié)構(gòu)特征，作出其截面圖，確定梯形的高即為平面與平面之間的距離，即可求得答案.
36．C
【分析】由線線平行得到線面平行，直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，建立空間直角坐標(biāo)系，得到平面法向量，得到點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】∵，平面，平面，
∴平面，
因此直線到平面的距離等于點(diǎn)到平面的距離，
如圖，以點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在的直線為軸，所在的直線為軸，
所在的直線為軸，建立直角坐標(biāo)系.
則，，，，，
，，，，
設(shè)平面的法向量為，
則，
令，則，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
則，
故直線到平面的距離為.
故選：C.
37．C
【分析】建立空間直角坐標(biāo)系，借助空間向量求出點(diǎn)到直線距離的函數(shù)關(guān)系，再求其最小值作答.
【詳解】由題意以為原點(diǎn)，所在直線分別為軸建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系：
因?yàn)檎襟w棱長(zhǎng)為1，，
所以，
不妨設(shè)，
所以，
而，
所以點(diǎn)到直線的投影數(shù)量的絕對(duì)值為，
所以點(diǎn)到直線距離，
等號(hào)成立當(dāng)且僅當(dāng)，即點(diǎn)到直線距離的最小值為.
故選：C.
38．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直的性質(zhì)得到，再由得到平面，即可得證；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量法計(jì)算可得.
【詳解】（1）因?yàn)榈酌妫酌妫?br/>所以，
因?yàn)榈酌鏋檎叫危裕?br/>又平面，，
所以平面，
又平面，所以.
（2）如圖建立空間直角坐標(biāo)系，則，，，，
所以，，，
設(shè)平面的法向量為，則，取，
則點(diǎn)到平面的距離.
39．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）取中點(diǎn)為，通過(guò)證明，得證平面；
（2）以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，利用向量法求點(diǎn)到平面的距離.
【詳解】（1）證明：取中點(diǎn)，連接，如圖所示，

為中點(diǎn)，則，又，得，
由，，得，
所以四邊形為平行四邊形，，
又平面，平面，所以平面.
（2），易知，又，得.
由平面，且直線與圓柱底面所成角為，即，則有.
如圖，以為原點(diǎn)，分別為軸，過(guò)垂直于底面的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，

則有，，
，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
令，有，得，
，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，
.
40．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）先證明平面，推出，即可證明平面，根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理，即可證明結(jié)論；
（2）建立空間直角坐標(biāo)系，求出相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，利用直線與平面所成的角為，求出P點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)空間距離的向量求法，即可求得答案.
【詳解】（1）由題意知平面平面，平面平面，
，且平面，故平面，
又平面，故；
又，且平面，
故平面，而平面，
故；
（2）以O(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，所在直線為軸，過(guò)點(diǎn)O作平面的垂線作為z軸，
建立空間直角坐標(biāo)系，如圖：
由于，，
則，設(shè),則，
則，
設(shè)平面的一個(gè)法向量為，則，
即，令，則可得，
由于直線與平面所成的角為，
故，
解得，結(jié)合，則，
故，
由，則，
故點(diǎn)到直線的距離為.
41．D
【分析】將四棱錐補(bǔ)成長(zhǎng)方體后可求外接球的直徑，利用外接球的表面積可求的長(zhǎng)度，從而異面直線所成的角可求.
【詳解】設(shè).可將該四棱錐補(bǔ)成如圖所示的長(zhǎng)方體：
則該長(zhǎng)方體的外接球即為四棱錐的外接球，其直徑為，
故表面積為，得，
因?yàn)椋驶蚱溲a(bǔ)角為異面直線與所成的角，
因?yàn)槠矫妫矫妫闷矫嫫矫妫?br/>由，得平面，
且平面，故，故為銳角，
又E為的中點(diǎn)，故在中，，
在中，，故.
故選：D.
42．C
【分析】利用空間向量的方法求異面直線所成角即可.
【詳解】
設(shè)正方體的棱長(zhǎng)為1，
如圖，以為原點(diǎn)，分別以為軸建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，，
設(shè)，，則，，，，，
，不是定值，故A錯(cuò)；
，不是定值，故B錯(cuò)；
，所以直線與直線所成角為，故C正確；
，不是定值，故D錯(cuò).
故選：C.
43．B
【分析】作出線面角的平面角，利用正三柱的性質(zhì)設(shè)出邊長(zhǎng)即可求得結(jié)果.
【詳解】取是的中點(diǎn)，連接，如下圖所示：
設(shè)三棱柱底面邊長(zhǎng)為，可得，
由正三棱柱性質(zhì)可知平面，所以即為直線與平面所成角的平面角，
易知，由勾股定理可得，
所以；
即直線與平面所成角的正弦值為.
故選：B
44．B
【分析】建立合適的空間直角坐標(biāo)系，先求出的夾角，在直角三角形中，得出點(diǎn)到直線的距離.
【詳解】解：根據(jù)塹堵的定義，建立以點(diǎn)為原點(diǎn)的空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，
故，，
所以，
所以，
設(shè)點(diǎn)到直線的距離為，
所以，解得.
故選：B.
45．D
【分析】不妨記正方體為，設(shè)對(duì)角線分別交平面和平面于點(diǎn)，，可推出即為平面與平面的距離，結(jié)合等體積法求得，結(jié)合對(duì)稱性求得即可．
【詳解】如圖，不妨記正方體為，，，
故四邊形是平行四邊形，所以，
又，分別為，的中點(diǎn)，
所以，同理，
所以，又平面，平面，
所以平面，同理平面，
又，，平面，
所以平面平面，
設(shè)對(duì)角線分別交平面和平面于點(diǎn)，，
因?yàn)槠矫妫矫妫?br/>所以，
連接，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，
故，又，平面，，
所以平面，又平面，
所以，同理，
又，，平面，
所以平面，
又平面平面，
所以平面，
即為平面與平面的距離，
則，
由正方體棱長(zhǎng)為得，
由題意得，為等邊三角形，
故，
根據(jù)，
得，
解得，
根據(jù)對(duì)稱性知，
所以，
則平面與平面的距離為．
故選：D
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：求點(diǎn)到平面的距離方法，一是建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求解；二是利用等體積法求解；三是作出輔助線，在三角形中結(jié)合余弦定理等方法進(jìn)行求解.
46．AB
【分析】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，利用點(diǎn)到直線的向量求法可判斷A；求出平面、平面的一個(gè)法向量，可得平面平面，轉(zhuǎn)化為點(diǎn)到平面的距離，利用點(diǎn)到平面的距離向量求法可判斷B；求出平面的一個(gè)法向量，利用線面角的向量求法可判斷C；利用點(diǎn)到平面的距離的向量求法可判斷D.
【詳解】以為原點(diǎn)，所在的直線分別為正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
對(duì)于A，，，
所以點(diǎn)到的距離，故A正確；
對(duì)于B，，
，，
設(shè)分別為平面、平面的一個(gè)法向量，
所以，令，可得，所以，
，令，可得，所以，
所以，所以平面平面，
可得點(diǎn)到平面的距離即為所求，，
所以點(diǎn)到平面的距離為，故B正確；
對(duì)于C，，，
設(shè)為平面的一個(gè)法向量，
所以，令，可得，所以，
設(shè)直線與平面所成的角為，
所以，
因?yàn)椋裕蔆錯(cuò)誤；
對(duì)于D，因?yàn)槠矫娴囊粋€(gè)法向量為，，
所以點(diǎn)到平面的距離為，
故D錯(cuò)誤.
故選：AB.
47．ACD
【分析】A由面面平行得到線面平行；B用空間向量法求出點(diǎn)到平面的距離；C找到與所成的角就是與所成的角，由邊長(zhǎng)關(guān)系確定即可找到最大和最小；D由和外接球體積最小確定球心，再由球的體積公式求出即可.
【詳解】A：由題意可知，且面，面，
所以面面，
又因?yàn)槊妫?br/>所以平面，
故A正確；
B：因?yàn)槠矫妫?br/>所以Q到平面的距離等于到平面的距離，
以所在直線分別為軸，以為原點(diǎn)建立空間直角坐標(biāo)系，如圖
則，
所以，
設(shè)平面的法向量為，
則，取，則，所以，
所以到平面的距離，故B錯(cuò)誤；
C：
因?yàn)椋耘c所成的角就是與所成的角，
因?yàn)辄c(diǎn)Q是線段上的動(dòng)點(diǎn)（不含端點(diǎn)），所以與所成角的最大值為，
又因?yàn)椋?br/>所以，
所以在中，，即為與所成角的最小值，但不能取得，
所以與所成角的取值范圍為，故C正確；
D：
因?yàn)椋质侵苯侨切危〉闹悬c(diǎn)，
則，
因?yàn)槔忮F外接球體積最小，所以在處，所以，
所以為外接球的球心，
所以，
所以，故D正確；
故選：ACD
48．
【分析】取中點(diǎn)為，根據(jù)二面角平面角定義可知，得到為等邊三角形；根據(jù)三角形中位線性質(zhì)和異面直線所成角的定義可知：或其補(bǔ)角即為所求角，結(jié)合長(zhǎng)度關(guān)系，利用余弦定理可求得，進(jìn)而得到結(jié)果.
【詳解】連接，，，取中點(diǎn)，連接，，
∵四邊形，為矩形，∴，，
平面平面，平面，平面，
∴即為二面角的平面角，∴，
又，，∴，∴為等邊三角形，∴；
∵，分別為，中點(diǎn)，∴，，
∴（或其補(bǔ)角）即為異面直線與所成角，
∵，∴，
∴，
所以異面直線與所成角的正弦值為．
故答案為：．
49．##
【分析】根據(jù)中位線的性質(zhì)與線面平行的判定與性質(zhì)轉(zhuǎn)化交線與平面所成角為與平面所成角，根據(jù)線面角定義、線面垂直的判定與性質(zhì)解三角形即可.
【詳解】因?yàn)椋珼分別是，BC的中點(diǎn)，所以，
所以平面，平面，所以平面，
平面，平面平面，
所以，，所以，
所以直線l與平面所成角即直線與平面所成角，
因?yàn)闉橹睆剑裕驗(yàn)椋矗?br/>又因?yàn)槠矫妫?br/>平面，所以，平面，
所以平面，過(guò)點(diǎn)作交于點(diǎn)，
因?yàn)槠矫妫裕?br/>，平面，所以平面，
所以為交線l與平面所成角，
因?yàn)椋?br/>.
所以，結(jié)合圖知.
故答案為：.
50．(1)
(2)
【分析】(1)由異面直線的定義求解；
(2) 先證明平面，可得，所以是二面角的平面角，即可求解．
【詳解】（1）是異面直線與所成的角或其補(bǔ)角，
，
∴異面直線與所成的角為．
（2）∵平面平面，平面平面，
平面平面，
平面，平面，
平面，
平面平面，
又是二面角的平面角．
平面平面，
．
，即二面角的余弦值為．
51．(1)證明見(jiàn)解析
(2)
【分析】（1）由題意首先證明平面，由此可得，又由三線合一可得，結(jié)合線面垂直的判定定理、性質(zhì)定理即可得證.
（2）作出適當(dāng)?shù)妮o助線，首先得，作出二面角的平面角結(jié)合解直角三角形的知識(shí)可得，然后利用平行關(guān)系得線線角，利用解三角形知識(shí)即可得解.
【詳解】（1）因?yàn)閭?cè)面底面，側(cè)面底面，
又因?yàn)榈酌鏋榫匦危裕?br/>又平面，所以平面．
又平面，所以．
又側(cè)面是正三角形，是的中點(diǎn)，所以．
又，，平面，
所以平面．
又因?yàn)槠矫妫?br/>所以．
（2）如圖，
過(guò)點(diǎn)作，垂足為，易得為的四等分點(diǎn)，．
由于側(cè)面底面，交線為，
所以底面，過(guò)作，垂足為，連接，
則即為二面角的平面角，其大小為．
在中，，所以，所以．
因?yàn)椋运倪呅螢槠叫兴倪呅危瑥亩?br/>由（1）知平面，所以為直角三角形，
所以異面直線與所成角即為．
52．(1)；
(2)存在，.
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接，由給定條件結(jié)合余弦定理求出，再推證即可求出四邊形面積.
（2）由已知可得兩兩垂直，建立空間直角坐標(biāo)系，利用線面角的向量求法求解即得.
【詳解】（1）在三棱柱中，取的中點(diǎn)，連接，
在中，由，，得，，
在中，由，，得，，
則為二面角的平面角，即，
在中，由余弦定理得，解得，
又，平面，則平面，而平面，于是，
顯然，則，
所以平行四邊形的面積.
（2）由（1）知，有，則，
同理，又，，即，則，
以為原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
，，，，
，，
假設(shè)存在點(diǎn)滿足題意，不妨設(shè)，
則，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)直線與平面所成的角為，則，
解得，此時(shí)，
所以存在點(diǎn)滿足題意，且的長(zhǎng)為.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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