資源簡介

熱點2-1 函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性與對稱性
函數(shù)的性質(zhì)是函數(shù)學習中非常重要的內(nèi)容，對于選擇題和填空題部分，重點考查基本初等函數(shù)的單調(diào)性，利用性質(zhì)判斷函數(shù)單調(diào)性及求最值、解不等式、求參數(shù)范圍等，難度較小，屬于基礎題；對于解答題部分，一般與導數(shù)結合，考查難度較大.
【題型1 判斷函數(shù)的單調(diào)性】
滿分技巧判斷函數(shù)的單調(diào)性的四種方法 1、定義法：按照取值、取值變形、定號、下結論的步驟判斷或證明函數(shù)在區(qū)間上的單調(diào)性； 2、圖象法：對于熟悉的基本初等函數(shù)（或由基本初等函數(shù)構成的分段函數(shù)），可以通過利用圖象來判斷單調(diào)性； 3、導數(shù)法：利用求導的方法（如有ex，lnx的超越函數(shù)）判斷函數(shù)的單調(diào)性； 4、復合法：針對一些簡單的復合函數(shù)，可以利用符合函數(shù)的單調(diào)性法則（同增異減）來確定單調(diào)性.
【例1】（2023·新疆烏魯木齊·高三兵團二中校考階段練習）
1．下列函數(shù)中是偶函數(shù)且在區(qū)間上是增函數(shù)的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-1】（2023·安徽·校聯(lián)考模擬預測）
2．已知是定義在上的偶函數(shù)，函數(shù)滿足，且，在單調(diào)遞減，則（ ）
A．在單調(diào)遞減 B．在單調(diào)遞減
C．在單調(diào)遞減 D．在單調(diào)遞減
【變式1-2】（2023·海南海口·華僑中學校考二模）
3．已知偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，則函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是 ．
【變式1-3】（2023·全國·高三專題練習）
4．已知函數(shù)的定義域為R，對任意，且，都有，則下列說法正確的是（ ）
A．是增函數(shù) B．是減函數(shù)
C．是增函數(shù) D．是減函數(shù)
【變式1-4】（2023·江蘇揚州·高三校聯(lián)考期末）
5．已知函數(shù)在定義域中滿足，且在上單調(diào)遞減，則可能是（ ）
A． B． C． D．
【題型2 利用函數(shù)的單調(diào)性求參數(shù)】
滿分技巧利用單調(diào)性求參數(shù)的三種情況： 1、直接利用題意條件和單調(diào)性代入求參； 2、分段函數(shù)求參，每段單調(diào)性都符合題意，相鄰兩段自變量臨界點的函數(shù)值取到等號； 3、復合函數(shù)求參，注意要滿足定義域要求，通過分離常數(shù)法或構造函數(shù)法轉(zhuǎn)化成恒成立或有解問題.
【例2】（2023·四川南充·統(tǒng)考模擬預測）
6．函數(shù)在上是減函數(shù)的一個充分不必要條件是（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·江蘇淮安·高三校考階段練習）
7．使得“函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減”成立的一個充分不必要條件可以是（ ）
A． B．1 C． D．0
【變式2-2】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習）
8．若函數(shù)在上單調(diào)遞增，則實數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·貴州黔東南·高三校聯(lián)考階段練習）
9．已知函數(shù)，若，都有成立，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2023·甘肅白銀·高三校考階段練習）
10．已知是R上的單調(diào)遞減函數(shù)，則實數(shù)a的取值范圍為 ．
【題型3 函數(shù)的奇偶性及應用】
滿分技巧1、常見的奇函數(shù)與偶函數(shù) （1）（）為偶函數(shù)； （2）（）為奇函數(shù)； （3）（）為奇函數(shù)； （4）（）為奇函數(shù)； （5）（）為奇函數(shù)； （6）為偶函數(shù)； （7）為奇函數(shù)； 2、函數(shù)奇偶性的應用 （1）求函數(shù)值：將待求值利用就行轉(zhuǎn)化為已知區(qū)間上的函數(shù)值求解； （2）求解析式：將待求區(qū)間上的自變量轉(zhuǎn)化到已知解析式的區(qū)間上，再利用奇偶性的定義求出； （3）求參數(shù)：利用待定系數(shù)法求解，根據(jù)得到關于待求參數(shù)的恒等式，由系數(shù)的對等性得參數(shù)的值或方程（組），進而求出參數(shù)的值.
【例3】（2023·山東濰坊·統(tǒng)考模擬預測）
11．已知函數(shù)，下列函數(shù)是奇函數(shù)的是（ ）
A． B． C． D．
【變式3-1】（2023·貴州·高三凱里一中校聯(lián)考開學考試）
12．設函數(shù)為奇函數(shù)，則實數(shù)的值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【變式3-2】（2023·福建泉州·高三培元中學校考階段練習）
13．已知函數(shù)，若為奇函數(shù)，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱三中校考期末）
14．已知為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】（2023·江西·高三校聯(lián)考階段練習）
15．若奇函數(shù)，則（ ）
A． B． C． D．
【題型4 奇函數(shù)+常數(shù)求值】
滿分技巧已知為奇函數(shù)，則， 設（其中為常數(shù)），則，
【例4】（2023·四川達州·統(tǒng)考一模）
16．函數(shù)，且，則的值為 .
【變式4-1】（2023·重慶九龍坡·高三四川外國語大學附屬外國語學校校考階段練習）
17．函數(shù)為奇函數(shù)，且，若，則 ．
【變式4-2】（2023·福建莆田·高三莆田第十中學校考期中）
18．函數(shù)的最大值為，最小值為，若，則 ．
【變式4-3】（2023·江蘇蘇州·高三常熟中學校考階段練習）
19．已知函數(shù)在上的最大值和最小值分別為M，N，則（ ）
A． B．0 C．2 D．4
【變式4-4】（2023·全國·高三專題練習）
20．若關于x的函數(shù)的最大值和最小值之和為4，則 ．
【題型5 函數(shù)的周期性及應用】
滿分技巧（是不為0的常數(shù)） （1）若，則； （2）若，則； （3）若，則； （4）若，則； （5）若，則； （6）若，則（）；
【例5】（2023·云南昭通·校聯(lián)考模擬預測）
21．已知函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)，滿足，若，則（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【變式5-1】（2023·山東菏澤·高三校考階段練習）
22．已知定義在上的奇函數(shù)滿足，當時，，則（ ）
A．0 B． C． D．3
【變式5-2】（2023·全國·模擬預測）
23．設函數(shù)的定義域為，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，若，則 ．
【變式5-3】（2023·河南南陽·高三統(tǒng)考期中）
24．奇函數(shù)滿足，，則 .
【變式5-4】（2023·全國·模擬預測）
25．已知定義域為的奇函數(shù)滿足，當時，，則 .
【題型6 函數(shù)的對稱性及應用】
滿分技巧1、關于線對稱：若函數(shù)滿足，則函數(shù)關于直線對稱，特別地，當a＝b＝0時，函數(shù)關于y軸對稱，此時函數(shù)是偶函數(shù)． 2、關于點對稱：若函數(shù)滿足，則函數(shù)關于點（a，b）對稱，特別地，當a＝0，b＝0時，，則函數(shù)關于原點對稱，此時函數(shù)是奇函數(shù)．
【例6】（2023·全國·高三專題練習）
26．若函數(shù)滿足，則的圖象的對稱軸是（ ）
A．軸 B．軸 C．直線 D．不能確定
【變式6-1】（2023·四川眉山·高三仁壽一中校考階段練習）
27．定義在上的奇函數(shù)滿足，且當時，，則函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為（ ）
A．16 B．32 C．36 D．48
【變式6-2】（2023·陜西銅川·高三校考期末）
28．已知函數(shù)，則方程在區(qū)間上的所有實根之和為（ ）
A．0 B．3 C．6 D．12
【變式6-3】（2023·安徽·高三校聯(lián)考階段練習）
29．已知函數(shù)，若實數(shù)滿足，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-4】（2023·上海·高三閔行中學校考階段練習）
30．已知函數(shù)與函數(shù)的圖象交于點M、N、P，此三點中最遠的兩點間距離為，則實數(shù) .
【題型7 利用函數(shù)的性質(zhì)比較大小】
【例7】（2023·江西上饒·高三校考階段練習）
31．設是定義域為的偶函數(shù)，且在單調(diào)遞減，設，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-1】（2023·廣西·模擬預測）
32．已知，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-2】（2023·全國·模擬預測）
33．已知函數(shù)．若為偶函數(shù)，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式7-3】（2023·山東菏澤·高三校考階段練習）
34．已知，，，，則，，的大小關系為（ ）
A． B．
C． D．
【變式7-4】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯(lián)考階段練習）
35．已知是定義域為的單調(diào)函數(shù)，且，若，則（ ）
A． B．
C． D．
【題型8 利用函數(shù)的性質(zhì)解不等式】
滿分技巧解決此類問題時一定要充分利用已知的條件，把已知不等式轉(zhuǎn)化成或的形式，再根據(jù)奇函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相同，偶函數(shù)在關于原點對稱的區(qū)間上的單調(diào)性相反，列出不等式（組），同時不能漏掉函數(shù)自身定義域?qū)?shù)的影響.
【例8】（2023·海南·高三校聯(lián)考階段練習）
36．已知是偶函數(shù)，，且當時，單調(diào)遞增，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2023·全國·高三貴溪市實驗中學校聯(lián)考階段練習）
37．已知函數(shù)，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·河北滄州·統(tǒng)考模擬預測）
38．已知是定義在上的奇函數(shù)，對任意正數(shù)，，都有，且，當時，，則不等式的解集為（ ）
A． B．
C． D．
【變式8-3】（2023·四川·高三校聯(lián)考階段練習）
39．已知函數(shù)，若對任意的，恒成立，則a的取值范圍為 .
【變式8-4】（2023·全國·模擬預測）
40．已知函數(shù)，則不等式的解集為 ．
（建議用時：60分鐘）
（2023·全國·高三專題練習）
41．設函數(shù)，則函數(shù)是（ ）
A．偶函數(shù)，且在上是減函數(shù) B．奇函數(shù)，且在上是減函數(shù)
C．偶函數(shù)，且在上是增函數(shù) D．奇函數(shù)，且在上是增函數(shù)
（2023·河北唐山·高三開灤第一中學校考階段練習）
42．若為奇函數(shù)，則的單調(diào)減區(qū)間是（ ）
A． B． C． D．
（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）
43．已知函數(shù)是定義在上的增函數(shù)，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重慶·高三西南大學附中校聯(lián)考階段練習）
44．設，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·重慶·高三重慶八中校考階段練習）
45．已知函數(shù)，則不等式的解集是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南·高三南陽中學校聯(lián)考階段練習）
46．已知函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，當時，；當時，，則（ ）
A．-24 B．-12 C． D．
（2023·河北滄州·高三校聯(lián)考階段練習）
47．已知定義域為的函數(shù)滿足，，當時，，則（ ）
A． B．2 C． D．3
（2023·四川成都·高三成都實外校考階段練習）
48．已知定義域為的函數(shù)滿足，且其圖像關于直線對稱，若當時，，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·河北承德·高三雙灤區(qū)實驗中學校考階段練習）
49．已知的定義域為且為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，且對任意的，，且，都有，則下列結論正確的是（ ）
A．是偶函數(shù) B．
C．的圖象關于對稱 D．
（2023·山東·高三校聯(lián)考階段練習）
50．已知函數(shù)與的定義域均為，，，且，為偶函數(shù)，下列結論正確的是（ ）
A．的周期為4 B．
C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
51．設定義在上的函數(shù)滿足，且當時，，則 ．
（2023·上海浦東新·高三南匯中學校考階段練習）
52．已知是定義在R上的偶函數(shù)，當且時，總有，則不等式的解集為 ．
（2023·廣東廣州·高三廣雅中學校考階段練習）
53．設為奇函數(shù)，若在的最大值為3，則在的最小值為 .
（2023·甘肅天水·高三校聯(lián)考階段練習）
54．已知函數(shù)是定義在上的奇函數(shù)，且為偶函數(shù)．
(1)求的解析式，并判斷的單調(diào)性；
(2)已知，，且，求的取值范圍．
（2023·四川綿陽·高三江油中學校考階段練習）
55．已知函數(shù)對任意，，總有，且當時，，．
(1)求證：是上的奇函數(shù)；
(2)求證：是上的減函數(shù)；
(3)若，求實數(shù)的取值范圍．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】由題意對于AC，舉出反例說明其不是偶函數(shù)即可；對于D，舉出反例說明其在區(qū)間上不是增函數(shù)即可；對于B，按偶函數(shù)的定義證明并且由冪函數(shù)的單調(diào)性判斷即可.
【詳解】對于A，，故不是偶函數(shù)，不符題意；
對于B，因為冪函數(shù)滿足，且其定義域為關于原點對稱，
所以是偶函數(shù)，且，所以在區(qū)間上是增函數(shù)，符合題意；
對于C，，故不是偶函數(shù)，不符題意；
對于D，，所以在區(qū)間上不是增函數(shù)，不符題意.
故選：B.
2．C
【分析】利用函數(shù)的奇偶性與單調(diào)性一一判定選項即可.
【詳解】由題意知在單調(diào)遞增，為奇函數(shù)，在上單調(diào)遞減.
設，則，，
所以在單調(diào)遞增，故A錯誤，
設，則，，
在單調(diào)遞增，故B錯誤；
設，則，，
所以在單調(diào)遞減，故C正確；
取，則，，，此時在不單調(diào)遞減，故D錯誤.
故選:C.
3．
【分析】根據(jù)偶函數(shù)的對稱性結合圖象平移分析求解.
【詳解】因為偶函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又因為，則函數(shù)的圖象是由函數(shù)的圖象向右平移2個單位長度得到，
所以函數(shù)的單調(diào)增區(qū)間是．
故答案為：.
【點睛】本題考查函數(shù)的性質(zhì)，要求學生了解函數(shù)圖象的平移與單調(diào)性和奇偶性的綜合關系．
4．A
【分析】對題中條件進行變化，構造新函數(shù)，根據(jù)增、減函數(shù)的定義即可.
【詳解】不妨令，
，
令，，
又，∴是增函數(shù)．
故選:A.
5．C
【分析】求出各個選項中函數(shù)的定義域，再判斷該函數(shù)是否同時滿足兩個條件作答.
【詳解】對于A，函數(shù)的定義域是，，A不是；
對于B，函數(shù)的定義域是R，而在上單調(diào)遞增，B不是；
對于C，函數(shù)的定義域是R，，，
，因，則，
有，即有，因此，在上單調(diào)遞減，C正確；
對于D，函數(shù)的定義域是，，D不是.
故選：C
6．A
【分析】問題可轉(zhuǎn)化為只需即可，討論，，三種情況，結合二次函數(shù)的性質(zhì)，從而求出m的范圍.
【詳解】在上是減函數(shù)，只需要即可，
若，則，成立；
若，則是二次函數(shù)，由二次函數(shù)的性質(zhì)可得，時恒成立.
若，當和時，，故不成立.
所以，當時，，而是的充分不必要條件.
故選：A.
7．D
【分析】根據(jù)指數(shù)型復合函數(shù)的單調(diào)性確定函數(shù)在區(qū)間 上單調(diào)遞減成立的充要條件，從而可得其成立的一個充分不必要條件.
【詳解】由于函數(shù)在上單調(diào)遞減，
函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
則，解得，
所以函數(shù)在區(qū)間上單調(diào)遞減的充要條件為，
那么其成立的一個充分不必要條件可以是.
故選：D.
8．B
【分析】換元，設，將化為，根據(jù)二次函數(shù)的單調(diào)性即可求得答案.
【詳解】設，則即為，
而圖像的對稱軸為，故在上單調(diào)遞增，
則，即的增區(qū)間為，
而函數(shù)在上單調(diào)遞增，故，
即實數(shù)的取值范圍為，
故選：B
9．C
【分析】首先分析出函數(shù)單調(diào)遞增，再根據(jù)函數(shù)單調(diào)性定義得到不等式組，解出即可.
【詳解】因為對于，都有成立，所以函數(shù)是增函數(shù)，
則函數(shù)和均為增函數(shù)，且有，
即，解得.
故選：C.
10．
【分析】根據(jù)分段函數(shù)、一次函數(shù)與對數(shù)函數(shù)的單調(diào)性，建立不等式組，可得答案.
【詳解】由題意可得，解得.
故答案為：.
11．D
【分析】分別求出每個選項中的函數(shù)的表達式，確定其定義域，結合奇函數(shù)的定義判斷，即可得答案.
【詳解】由于，定義域為
故，定義域為，
，
即不是奇函數(shù)，A錯誤；
，定義域為，不關于原點對稱，
即不是奇函數(shù)，B錯誤；
，定義域為，不關于原點對稱，
即不是奇函數(shù)，C錯誤；
，定義域為，
，
即為奇函數(shù)，D正確，
故選：D
12．B
【分析】函數(shù)為奇函數(shù)，函數(shù)為奇函數(shù)，則有函數(shù)為偶函數(shù)，由可求實數(shù)的值.
【詳解】函數(shù)有意義，有，解得或，
則函數(shù)的定義域為，
，
所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又為奇函數(shù)，則為偶函數(shù)，
有，即，解得.
故選：B.
13．A
【分析】由題意可得，從而可求出的值
【詳解】由題意可得當時，，
因為為上的奇函數(shù)，
所以，
所以，
，
所以（舍去），或，
因為，所以.
故選：A.
14．B
【分析】根據(jù)題意可得，由函數(shù)的奇偶性可得，解之即可求解.
【詳解】由題意知，為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
則，
所以，即，
解得.
故選：B
15．A
【分析】根據(jù)題意先確定，根據(jù)奇函數(shù)求，代入分段函數(shù)求解，進而計算可得.
【詳解】因為，又因為為奇函數(shù)，所以，
因為，所以，
所以.
故選：A
16．0
【分析】構造，得到為奇函數(shù)，從而根據(jù)得到，由求出.
【詳解】令，
定義域為或且，關于原點對稱，
則，
故為奇函數(shù)，
又，故，
解得.
故答案為：0
17．
【分析】由為奇函數(shù)可得，解得，再由結合，即可得出答案.
【詳解】因為函數(shù)為奇函數(shù)，
所以，
所以，即，解得：或（舍去），
故，
因為，，
則
所以，又，所以.
故答案為：
18．
【分析】將函數(shù)解析式化為，設，則，記，則為奇函數(shù)，根據(jù)奇函數(shù)的性質(zhì)及，即可求得的值.
【詳解】因為，
設，
則，
設，
則，
所以是上的奇函數(shù)，最大值為，最小值為，
所以，
由，得，
故答案為：
19．D
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性即可求解.
【詳解】令，所以最大值和最小值分別為，
又，故為奇函數(shù)，
故的圖象關于原點對稱，故,
故選：D
20．2
【分析】根據(jù)三角恒等變換和分類常量法可得，由函數(shù)的奇偶性可知為奇函數(shù)，則，進而，即可求解.
【詳解】當時，，當或時，，
所以的定義域為.
又，
設，則，∴ g(x) 為奇函數(shù)；設 g(x) 的最大數(shù)值為M，最小值為N，
則，則的最大數(shù)值為，最小值為，
∴的最大值與最小值之和為，得．
故答案為：2．
21．A
【分析】根據(jù)給定條件，探討函數(shù)的周期性，求出即可求解作答.
【詳解】因為函數(shù)是定義域為上的奇函數(shù)，則，即，
由，得，因此，即，
則，于是函數(shù)是以4為周期的周期函數(shù)，
由，得，由，得，，
從而，
所以.
故選：A
【點睛】關鍵點睛：涉及較大自變量的抽象函數(shù)的函數(shù)值問題，根據(jù)給定的函數(shù)性質(zhì)，求出函數(shù)的周期是解題的關鍵.
22．A
【分析】根據(jù)在上的奇函數(shù)，且，得到的周期為4求解.
【詳解】解：因為在上的奇函數(shù)，且，
所以，即，
所以，則的周期為，
所以，
故選：A
23．5
【分析】根據(jù)函數(shù)奇偶性的性質(zhì)分析得出該函數(shù)的對稱性，借助雙對稱性的周期將求轉(zhuǎn)換為求即可得.
【詳解】由為奇函數(shù)，
可得，
則的圖象關于點對稱，
又的定義域為，則有．
由為偶函數(shù)得，
則的圖象關于直線對稱，
則，
從而，則，
則，
故是周期為4的偶函數(shù)，所以．
而，
所以，，故.
故答案為：5.
24．
【分析】根據(jù)奇函數(shù)得到，確定函數(shù)周期為，計算得到答案.
【詳解】奇函數(shù)滿足，則，，
故，函數(shù)周期為，
.
故答案為：.
25．
【分析】先對等式進行變形，然后求，，再利用函數(shù)的性質(zhì)進行求解.
【詳解】當時，由可得，
則，是周期為的周期函數(shù).
因為，，
所以，得，，
故，
，
故.
故答案為：
26．B
【分析】對已知等式變形，可判斷其為偶函數(shù)，再利用偶函數(shù)的性質(zhì)可得答案.
【詳解】因為，所以，
所以為偶函數(shù)，
所以的圖象的對稱軸為軸．
故選：B
27．B
【分析】根據(jù)函數(shù)為奇函數(shù)及推理可得出函數(shù)的周期、對稱中心，根據(jù)零點定義轉(zhuǎn)化為方程解的關系，結合圖象以及對稱性即可求解.
【詳解】依題意函數(shù)為定義在上的奇函數(shù)，所以，
又，所以函數(shù)關于軸對稱，且，
所以，即，
所以，所以函數(shù)是周期為4的周期函數(shù)，
且函數(shù)的圖象關于中心對稱；
令，得，
由反比例函數(shù)性質(zhì)知函數(shù)的圖象關于中心對稱，
又當時，，結合對稱性和周期性作出函數(shù)和的圖象，
如圖所示，
由圖可知，函數(shù)和的圖象有8個交點，且交點關于中心對稱，
所以函數(shù)在區(qū)間上所有零點之和為.
故選：B
28．C
【分析】首先確定的圖象關于對稱，然后分和兩種情況進行討論，利用數(shù)形結合的方法，在同一直角坐標系中畫出，通過判斷兩函數(shù)在上的交點個數(shù)即可求出函數(shù)的實根和.
【詳解】由題意得，，
，
所以的圖象關于對稱；
當時，，
當時，令可得，
時，，時，，
在同一直角坐標系中畫出，
在上有且僅有3個交點，
所以所有的實根之和為，
故選：C.
29．C
【分析】首先對進行變形，構造函數(shù)，，推得其對稱中心為，且上在單調(diào)遞增，再結合對稱性和單調(diào)性將轉(zhuǎn)化為,再利用基本不等式求解的最大值.
【詳解】由，
記，，
則，，
且單調(diào)遞增，單調(diào)遞增，
則與都關于中心對稱且為上的增函數(shù),
所以，
故關于中心對稱且為上增函數(shù)，
則由，得，可得，
記，
則，
可得，當且僅當，即取等號，
故的最大值為.
故選：C．
【點睛】關鍵點睛：本題解決的關鍵是求得的對稱中心，從而得到，的關系，進而利用基本不等式求解最值.
30．
【分析】根據(jù)題意可得兩函數(shù)均是以點為對稱中心的函數(shù)，結合對稱中心的性質(zhì)建立等式即可求解.
【詳解】不妨記，，
函數(shù)，與是奇函數(shù)且關于坐標原點對稱，
所以兩個函數(shù)均是以點為對稱中心的函數(shù)，
所以三個交點其中一個必是點，另外兩個點關于點對稱，
不妨記，設，
所以，即，解得或，.
故答案為：.
【點睛】求出函數(shù)對稱中心，利用函數(shù)對稱中心的性質(zhì)是求解本題的關鍵.
31．B
【分析】利用指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)性質(zhì)，得出，結合偶函數(shù)以及單調(diào)性即可得出結論.
【詳解】，
即，由于函數(shù)是偶函數(shù)，
在區(qū)間上單調(diào)遞減，所以在上單調(diào)遞增，
則，
故選：B
32．A
【分析】根據(jù)題意，由條件可得為奇函數(shù)，且在單調(diào)遞增，由函數(shù)的單調(diào)性即可得到結果.
【詳解】因為
則函數(shù)定義域為，
且滿足，
即，所以函數(shù)為奇函數(shù)，
又由函數(shù)，都是上單調(diào)遞增函數(shù)，
所以在單調(diào)遞增，
因為且，所以，
又因為，，所以，
因為在單調(diào)遞增，所以．
故選：A．
33．A
【分析】根據(jù)函數(shù)對稱軸可得，進而可知在上為增函數(shù)，令，利用導數(shù)可得，以及，進而分析得解.
【詳解】因為為偶函數(shù)，則，
可知的對稱軸為，
又因為均只有一條對稱軸，
可知只有一條對稱軸，則，可得，
所以，
當時，，
因為在上為增函數(shù)，則在上為增函數(shù)，
令，則，
當時，，則在上單調(diào)遞增，
可得，即，則；
由，可得，則；
即，可得，所以．
故選：A．
【點睛】關鍵點睛：構造恰當?shù)暮瘮?shù)，過程中用到了函數(shù)，對應的不等式為，以及變形的．此類不等式常用的有，，，，加強記憶，方便碰到此類問題后直接使用．
34．A
【分析】根據(jù)指數(shù)函數(shù)和對數(shù)函數(shù)單調(diào)性結合中間值“0”和“1”可得的大小關系，再結合的單調(diào)性分析判斷.
【詳解】因為在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；
在內(nèi)單調(diào)遞增，則，即；
在內(nèi)單調(diào)遞減，則，所以；
綜上所述：.
又因為在內(nèi)單調(diào)遞增，所以.
故選：A.
35．C
【分析】由已知與函數(shù)單調(diào)，可得存在唯一，使，則，由求解，再由，根據(jù)指對函數(shù)的對稱性作出圖象比較大小，然后根據(jù)單調(diào)遞增，比較大小即可.
【詳解】由已知，令，
又因為是定義域為的單調(diào)函數(shù)．
所以存在唯一，使，即，
所以，解得，
所以.
如圖所示作出與的圖象，
因為它們互為反函數(shù)，則圖象關于直線對稱，
由，
在圖中作直線，則與的交點的橫坐標依次為，
可得，
又因為是單調(diào)遞增的，
所以，
故選：C.
36．A
【分析】首先根據(jù)題意可得或的解集，再分和兩種情況求不等式的解集.
【詳解】由題意可知，當時，，當時，，
當或時，，
當時，，則，由已知可得，解得，又，所以；
當時，，則，
由已知可得或，解得或，又，所以.
綜上，可得不等式的解集為.
故選：A
37．A
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性定義可判斷為偶函數(shù)，即可根據(jù)基本函數(shù)的單調(diào)性確定的單調(diào)性，即可求解.
【詳解】的定義域為，且，所以為偶函數(shù)，
又當，由于函數(shù)均為單調(diào)遞增函數(shù)，所以在上單調(diào)遞增，
又，．
故選：A．
38．B
【分析】通過條件，利用定義法證明抽象函數(shù)的單調(diào)性，通過賦值，求得和，再利用奇偶性和單調(diào)生即可求出結果.
【詳解】令，則，即，
令，，則，又，則，
不妨取任意正數(shù)，
，
因為，所以，即，所以在區(qū)間上單調(diào)遞增，
又是定義在上的奇函數(shù)，故在區(qū)間上單調(diào)遞增，
令，則，
令，，則，
∴，
又因為，即，由和，結合函數(shù)單調(diào)性可以得到或，
故選：B.
39．
【分析】利用奇函數(shù)定義和單調(diào)性的定義判斷為R上遞減的奇函數(shù)，然后將不等式化為，從而對任意的恒成立，分類討論，利用判別式法求解即可.
【詳解】由題易知，的定義域為R，因為，
所以為奇函數(shù).
又，
函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞減，
所以在上單調(diào)遞減.
若對任意的，恒成立，
即，又為奇函數(shù)，得，
因為在上單調(diào)遞減，所以對任意的恒成立，
即對任意的恒成立.
當時，不恒成立，不符合題意；
當時，有，解得.
綜上，a的取值范圍為.
故答案為：
40．
【分析】先判斷函數(shù)的奇偶性，再利用導數(shù)判斷函數(shù)的單調(diào)性，求解不等式.
【詳解】由題可得，當時，，，
當時，，
所以函數(shù)為偶函數(shù)．
當時，，
此時恒成立，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
由為偶函數(shù)可得，函數(shù)在上單調(diào)遞減．
又因為，
所以，即，
所以，即或，
解得或，
所以的解集為．
故答案為：
41．D
【分析】根據(jù)題意，由函數(shù)奇偶性的定義，即可判斷的奇偶性，再由復合函數(shù)的單調(diào)性即可判斷其單調(diào)性.
【詳解】要使函數(shù)有意義，則，解得，
則函數(shù)定義域為關于原點對稱，
且，
則函數(shù)是奇函數(shù)；
且，
其中在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞增，
所以函數(shù)在上是增函數(shù)；
故選：D
42．B
【分析】先利用奇函數(shù)的性質(zhì)求出，再根據(jù)復合函數(shù)單調(diào)性求解即可.
【詳解】因為為奇函數(shù)，且定義域為，
所以，解得，當時，，滿足題意，
則（或），
因為二次函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
且在其定義域上單調(diào)遞增，
所以復合后，的單調(diào)遞減區(qū)間為，
故選：B
43．B
【分析】由題意可知函數(shù)在每一段上為增函數(shù)，且在時，一次函數(shù)的值不小于二次函數(shù)的值，然后解不等式組可求得結果.
【詳解】因為是定義在上的增函數(shù)，
所以，解得.
故選：B
44．A
【分析】對于結合不等式的性質(zhì)，易判斷大小；對于可構造函數(shù)，利用導數(shù)的單調(diào)性、最值即可判斷.
【詳解】對于，顯然，，所以；
對于，
可構造函數(shù)，且，
所以，
當時，所以在單調(diào)遞增，
當時，所以在單調(diào)遞減，
所以，所以，
所以，即，故，所以.
綜上：.
故選:A.
45．C
【分析】判斷出函數(shù)奇偶性、單調(diào)性，可得，再解不等式可得答案.
【詳解】由題意，函數(shù)，
所以是偶函數(shù)，令，設，
則，
因為，所以，所以，
所以在上單調(diào)遞增，
因為在上單調(diào)遞增，
所以在上單調(diào)遞增，
在上單調(diào)遞減，
因為不等式，所以，
解得，或，
則不等式的解集是.
故選：C.
46．D
【詳解】根據(jù)函數(shù)解析式得到，再根據(jù)奇函數(shù)性質(zhì)計算得到答案.
【分析】.
為奇函數(shù)，故，所以.
故選：D.
47．A
【分析】依題意可得為奇函數(shù)，再由，推出是周期為的周期函數(shù)，由求出的值，最后根據(jù)周期性計算可得.
【詳解】因為定義域為的函數(shù)滿足，則為奇函數(shù)，
又，所以，
所以，則是周期為的周期函數(shù)，
又因為，即，
又當時，，所以，解得，
所以，
所以.
故選：A
48．D
【分析】求得，又由得，根據(jù)點關于直線的對稱點為，即可求得.
【詳解】設點在函數(shù)的圖象上，
則關于直線的對稱點為，
則，解得，則，
又時，，
則，
又，
所以，
則，
此圖象關于對稱，所以，
故選：D.
【點睛】本題的關鍵點有兩個：一是根據(jù)條件求得點關于直線的對稱點；二是求得后，根據(jù)，求得.
49．ABC
【分析】由已知奇偶性得出函數(shù)的圖象關于點對稱且關于直線對稱，再得出函數(shù)的單調(diào)性，然后由對稱性變形判斷ABC，結合單調(diào)性判斷D．
【詳解】為奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
所以的圖象關于點對稱且關于直線對稱，故C正確；
所以，，，
，所以是周期函數(shù)，4是它的一個周期．
，
，故B正確；
，是偶函數(shù)，A正確；
對任意的，且，都有，即時，
，所以在是單調(diào)遞增，
，，，
，∴，故D錯．
故選：ABC．
【點睛】關鍵點睛：本題的關鍵是得到函數(shù)的對稱性、單調(diào)性和周期性，再利用這些性質(zhì)逐項分析即可.
50．ABD
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性、周期性進行分析，從而確定正確答案.
【詳解】對A：由于為偶函數(shù)，圖象關于軸對稱，所以圖象關于對稱；
所以
所以①，
而②，將兩式相加得：，
則③，所以，
所以是的一個周期，故A正確；
對B、C、D：由A項知令，由③得，由①，
得，由②得，
則，所以，所以，
故D正確；
由①令，得，，
由，，得，
兩式相減得，
即，且關于對稱，，
所以④，所以，
所以是周期為的周期函數(shù)，所以，故B正確；
由④令，得，所以，所以，故C錯誤；
故選：ABD.
【點睛】關鍵點睛：分別求出，的奇偶性及周期，從而求解.
51．1010
【分析】根據(jù)函數(shù)的周期性，結合函數(shù)解析式，即可求得函數(shù)值.
【詳解】∵，
∴函數(shù)的周期．
∵當時，，
∴，，
∴，．
故．
故答案為：1010
52．
【分析】利用單調(diào)性與奇偶性解不等式．
【詳解】因為當且時，總有，
即當時，，所以是上的減函數(shù)，
又，則是偶函數(shù)，且在上遞減，
不等式即為，也即，
所以，，，
故答案為：．
53．
【分析】根據(jù)函數(shù)的奇偶性求得，利用構造函數(shù)法，結合函數(shù)的奇偶性求得正確答案.
【詳解】的定義域為且為奇函數(shù)，
所以，
，
所以，，
設，
則，所以是奇函數(shù)，
依題意可知，在的最大值為，
所以在的最小值為，
所以在的最小值為.
故答案為：
54．(1)，在上單調(diào)遞增
(2)
【分析】（1）利用函數(shù)的奇偶性求得，再利用指數(shù)函數(shù)的單調(diào)性與單調(diào)性和差的性質(zhì)即可得解；
（2）利用的奇偶性與單調(diào)性，分類討論的取值范圍，結合指對數(shù)的運算法則即可得解.
【詳解】（1）因為是定義在上的奇函數(shù)，為偶函數(shù)，
令，則，
故，所以，
因為在上單調(diào)遞增，在上單調(diào)遞減，
所以函數(shù)在上單調(diào)遞增，
綜上，，在上單調(diào)遞增.
（2）因為是定義在上的奇函數(shù)，且在上單調(diào)遞增，
，且，
，即，則，
當時，，則，即，故；
當時，，則，即，則；
綜上，的取值范圍為.
55．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)
【分析】（1）利用進行賦值，即可得到函數(shù)奇偶性.
（2）結合定義法證明在上的增減性.
（3）利用單調(diào)性和奇偶性進行不等式的變形，之后借助單調(diào)性進行不等式的求解.
【詳解】（1）證明：函數(shù)對任意，，總有，令，則，解得.
令，得到，則
可證，是上的奇函數(shù).
（2）證明：在上任取、且，則，
由（1）是上的奇函數(shù)，
所以，
因為，所以.
由題可知，當時，，
所以.即
所以函數(shù)是上的減函數(shù).
（3）因為，
令，則
令，則.
因為，
所以
又因為函數(shù)是上的減函數(shù)，
所以，則，解得，
則實數(shù)的取值范圍是.
【點睛】方法點睛：在對抽象函數(shù)進行奇偶性求解時，可先進行賦值計算，再令代入即可判斷函數(shù)的奇偶性.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑