資源簡介

熱點2-3 函數的最值（值域）及應用
函數的值域是函數概念中三要素之一，是高考中的必考內容，具有較強的綜合性，貫穿整個高中數學的始終.在高考試卷中的形式千變萬化，但萬變不離其宗，真正實現了?？汲Ｐ碌目荚囈螅忌趶土曔^程中首先要掌握一些簡單函數的值域求解的基本方法，其次要多看多練在其他板塊中涉及值域類型的內容.
【題型1 單調性法求函數的最值（值域）】
滿分技巧函數單調性法：確定函數在定義域上的單調性，根據函數單調性求出函數值域（或最值） （1）基本初等函數如一次函數、二次函數、反比例函數、指數函數、對數函數、冪函數可直接判斷函數的單調性，從而求得值域； （2）可根據單調性的運算性質判斷函數的單調性. （3）對于復合函數，可根據“同增異減”判斷函數的單調性.
【例1】（2023·寧夏固原·高三校考階段練習）
1．函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·廣東中山·高三校考階段練習）
2．函數，的值域為
【變式1-2】（2023·廣東深圳·高三珠海市第一中學校聯考階段練習）
3．已知函數，則的最大值為 （ ）
A． B． C． D．
【變式1-3】（2023·河南焦作·高三博愛縣第一中學?？茧A段練習）
4．已知函數，，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．1
【變式1-4】（2023·海南?？凇ずＤ先A僑中學校考二模）
5．已知函數是上的單調函數，且，則在上的值域為（ ）
A． B． C． D．
【題型2 圖象法求函數的最值（值域）】
滿分技巧畫出函數的圖象，根據圖象確定函數的最大值與最小值，常見于含絕對值的函數.
【例2】（2023·全國·模擬預測）
6．已知函數．
(1)畫出的圖像，并直接寫出的值域；
(2)若不等式恒成立，求實數的取值范圍．
【變式2-1】（2023·河南新鄉·高三?？茧A段練習）
7．對，用表示，中的較大者，記為，若函數，則的最小值為 .
【變式2-2】（2023·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學?？茧A段練習）
8．定義在上的函數滿足，且當時，，當時，的值域為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2023·北京·高三北京四中?？计谥校?br/>9．已知，若實數，則在區間上的最大值的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型3 換元法求函數的最值（值域）】
滿分技巧換元法：利用換元法將函數轉化為易求值域的函數，常用的換元有 （1）或的結構，可用“”換元； （2）（均為常數，），可用“”換元； （3）型的函數，可用“”或“”換元；
【例3】（2023·廣東河源·高三校聯考開學考試）
10．函數的最大值為 .
【變式3-1】（2023·山西呂梁·高三統考階段練習）
11．函數的最大值為（ ）
A．4 B．2 C． D．
【變式3-2】（2023·全國·高三專題練習）
12．求函數的值域.
【變式3-3】（2023·全國·高三專題練習）
13．求函數的值域.
【題型4 分離常數法求函數的最值（值域）】
滿分技巧分離常數法： （1）形如的函數，可分離為，然后求值域； （2）形如，將分子配成分母的一元二次，分子分母同時除以分母，分離為； （3）形如，將分母配成分子的一元二次，分子分母同時除以分母，分離為
【例4】（2023·全國·高三專題練習）
14．函數的值域（ ）
A． B．
C． D．
【變式4-1】（2023·全國·高三專題練習）
15．求函數的值域．
【變式4-2】（2023·江蘇鎮江·高三呂叔湘中學?？茧A段練習）
16．若，則函數的值域是 .
【變式4-3】（2023·全國·高三對口高考）
17．函數的值域是（ ）
A． B． C． D．
【題型5 判別式法求函數的最值（值域）】
滿分技巧形如或的函數求值域，可將函數轉化為關于的方程，利用二次項系數不為0，判別式或二次項系數為0，一次方程有解得出函數的值域.
【例5】（2023·河南平頂山·高三階段練習）
18．若函數的最大值為，最小值為，則（ ）
A．4 B．6
C．7 D．8
【變式5-1】（2022·陜西·高三校聯考階段練習）
19．函數的值域是 .
【變式5-2】（2022·全國·高三專題練習）
20．求函數的值域.
【變式5-3】（2023·廣東茂名·統考二模）
21．已知實數a，b滿足，則的最小值是 .
【題型6 幾何法求函數的最值（值域）】
滿分技巧分析代數式的結構，一般情況表示的斜率、截距、距離等幾何意義.
【例6】（2023·河北·校聯考三模）
22．函數的值域是 ．
【變式6-1】（2023·全國·高三專題練習）
23．函數的值域為
【變式6-2】（2023·全國·高三專題練習）
24．函數的值域為 .
【變式6-3】（2023·陜西銅川·?？家荒＃?br/>25．若，則函數的值域是 ．
【題型7 導數法求函數的最值（值域）】
滿分技巧對可導函數求導，令，求出極值點，判斷函數單調性； 如果定義域是閉區間，則函數最值一定取在極值點處或區間端點處； 如果定義域是開區間且函數存在最值，則函數最值一定取在極值點處.
【例7】（2023·全國·模擬預測）
26．已知函數，則的最小值為 ．
【變式7-1】（2023·上海虹口·高三校考期中）
27．函數在區間上的最大值是 .
【變式7-2】（2023·河南·高三校聯考階段練習）
28．函數的最小值為 ．
【變式7-3】（2023·廣西玉林·校聯考模擬預測）
29．已知正實數x，y滿足，則的最大值為（ ）
A． B．0 C．1 D．2
【題型8 已知函數的最值（值域）求參數】
滿分技巧已知函數的最值求參數范圍時，要視參數為已知數，結合函數值域（或最值）的求法，得到函數的最值（含有參數），再與給出的函數最值作比較，求出參數范圍.
【例8】（2023·河北滄州·高三泊頭市第一中學校聯考階段練習）
30．已知函數，若的值域為，則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-1】（2023·上海青浦·統考一模）
31．已知函數的值域為，則實數的取值范圍為 ．
【變式8-2】（2023·湖北武漢·統考一模）
32．已知函數若的值域為,則實數的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【變式8-3】（2022·河北衡水·高三校聯考階段練習）
33．已知的最小值為2，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（建議用時：80分鐘）
（2023·河北·校聯考模擬預測）
34．已知，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·廣西南寧·南寧三中?？寄M預測）
35．已知函數，若的最小值為，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
36．已知，則的最大值是（ ）
A．1 B． C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
37．函數y＝3－4的最小值為（ ）
A．－8 B．8 C．－10 D．10
（2023·全國·高三專題練習）
38．若函數有最小值，則實數a的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽·高三校聯考階段練習）
39．設函數，若表示不超過的最大整數，則的函數值可能是（ ）
A．0 B． C．1 D．2
（2023·黑龍江佳木斯·佳木斯一中?？寄M預測）
40．已知函數f(x)的定義域為A，若對任意，都存在正數M使得總成立，則稱函數是定義在A上的“有界函數”．則下列函數是“有界函數”的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·全國·高三專題練習）
41．函數的值域為
（2023·全國·高三專題練習）
42．函數在上的最大值為 ．
（2023·全國·高三專題練習）
43．求函數的值域為 .
（2023下·重慶渝中·高三重慶巴蜀中學校考階段練習）
44．函數的最大值為 .
（2023·河北·高三校聯考階段練習）
45．函數的最小值為 ．
（2023·全國·高三專題練習）
46．函數的值域是 ．
（2021·全國·模擬預測）
47．函數的值域為 .
（2023·陜西咸陽·高三統考期中）
48．若對任意實數a，b規定，則函數的最大值為 .
（2023·全國·高三專題練習）
49．已知，，，則的最小值為 .
（2023·安徽合肥·高三合肥一中校考階段練習）
50．已知函數是定義域為的偶函數.
(1)求a的值；
(2)若，求函數的最小值.
（2023·海南·高三校聯考階段練習）
51．已知函數（且，為常數）的圖象經過點，.
(1)求的值；
(2)設函數，求在上的值域.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據二次函數的性質即可求解.
【詳解】函數的圖象是一條開口向下的拋物線，對稱軸為，
所以該函數在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，又，
所以，即函數的值域為.
故選：B.
2．
【分析】由初等函數的單調性判斷函數單調性，進而求值域.
【詳解】因為和在上均為減函數，
所以在上為減函數，
所以，即，
所以值域為.
故答案為：
3．B
【分析】先判斷的單調性，即可得出答案.
【詳解】當時，在上單調遞增，
此時，，
當時，在上單調遞減，
此時，，
綜上可知，的最大值為.
故選：B.
4．A
【分析】根據函數的單調性求出的最值，由即可得結果.
【詳解】由“對勾函數”的性質可得在上單調遞減，在上單調遞增，
，，
所以，
故選：A.
5．D
【分析】根據函數的單調性，建立方程，可得答案.
【詳解】因為是上的單調函數，所以存在唯一的，使得，
則．
因為為上的增函數，且，所以，
所以．因為在上單調遞增，所以，得．
故選：D.
6．(1)圖象見解析，函數的值域是
(2)或.
【分析】（1）將化為分段函數，根據分段函數的解析式畫出圖象，根據圖象可得值域；
（2）化為，解不等式可得結果.
【詳解】（1）當時，，
當時，，
當時，，
所以，
的圖象如圖：
由圖可知，函數的值域是.
（2）若不等式恒成立，則，
則，即，
解得或.
7．
【分析】分別求出，的解集，即可得出函數的解析式，再根據一次函數和二次函數的圖象作圖即可，即可求出函數的最小值，從而可得出答案.
【詳解】解：當，即，
即時，，
當當，，
即或時，，
所以，
函數圖象如圖所示：

由圖可得，函數在，上遞減，在上遞增，
所以.
故答案為：.
8．B
【分析】根據題意，求得在區間上，可得，作出函數的圖象，結合圖象，即可求解.
【詳解】由函數滿足，且當時，
當時，可得；
當時，可得，
所以在區間上，可得，
作函數的圖象，如圖所示，
所以當時，，
故選：B.

9．C
【分析】作出函數的圖象，將問題轉化為函數上的點到直線的距離，在區間上的最大值問題，然后觀察圖象可得.
【詳解】作出函數的圖象如圖：
因為，
因為，所以，
表示函數上的點到直線的距離，
由圖可知，當時，取得最大值，最大值為；
當時，，
結合圖象可知，在區間上總有，
所以，此時的最大值為；
當時，由圖可知，，
且.
綜上，在區間上的最大值的取值范圍為.
故選：C
【點睛】關鍵點睛：本題主要考查分段函數圖象的運用，關鍵在于作圖和簡問題轉化為在區間上點到直線的距離的最值問題.
10．##
【分析】利用換元法及二次函數的性質即可求解.
【詳解】令，則，所以，
由二次函數的性質知，對稱軸為，開口向下，
所以函數在單調遞增，在上單調遞減.
所以當，即時，
取得最大值為.
故答案為：.
11．C
【分析】令（），通過求出的范圍，則配方后即可求得最大值.
【詳解】由解析式易知的定義域為，
令（），
所以，則，
由，可知，
，所以，則，
所以（），
則，
所以的最大值為.
故選：C.
12．
【分析】由題意令，代入化簡可得，再由三角函數的性質即可得出答案.
【詳解】由 ，可令
原函數可整理為：
因為 ，所以，則，
當 ；當，
所以函數的值域為.
13．
【分析】由題意可設 ，則，由二倍角的正弦、余弦公式化簡函數，再由三角函數的性質即可得出答案.
【詳解】因為函數的定義域為，即，
設 ，
原函數轉化為：
因為，所以，所以，
所以，所以
所以函數的值域為.
故答案為：.
14．D
【分析】將化簡為，求出的值域，進而可求得的值域.
【詳解】解：依題意，，其中的值域為，故函數的值域為，故選D．
15．
【分析】先分離常數，再分類討論與，結合換元法與對勾函數的性質即可得解.
【詳解】，
當時，，
當時，，
令，則，，
所以，
由對勾函數的值域可知，當時，，
所以，
所以．
綜上所述，函數的值域為．
16．
【分析】先將函數變形為，再利用基本不等式求最值即可求得函數的值域.
【詳解】∵.
當時，，
當且僅當，即時取等號；
故函數的值域為.
故答案為：.
17．C
【分析】將化為，利用基本不等式即可求得答案.
【詳解】由可得，
當時，故，當且僅當時等號成立，
而恒成立，故，
故的值域為，
故選：C
18．B
【分析】直接用判別式法求函數的最大值和最小值．
【詳解】設，，，
時，，
時，因為，所以，解得，即且，
綜上，最大值是，最小值是，和為6．
故選：B．
19．
【分析】由已知函數可知定義域為，轉換成二次方程有根問題，利用判別式法求解即可.
【詳解】解：由函數可知
所以，整理得：
當時，，符合；
當時，則關于的一元二次方程在有根
所以
整理得：且
解得：，
綜上得：.
故答案為：.
20．
【分析】將函數式轉化為方程，即該方程在上有解，討論、，結合判別式法即可求值域.
【詳解】因為，
所以當時，；
當時，原函數化為，
所以，整理得，
解得即或，
∴綜上，函數的值域為.
21．
【分析】先判斷出，且.令，利用判別式法求出的最小值.
【詳解】因為實數a，b滿足，
所以，且.
令，則，所以，
代入，則有，
所以關于b的一元二次方程有正根，
只需，解得：.
此時，關于b的一元二次方程的兩根，所以兩根同號，只需，解得.
綜上所述：.
即的最小值是（此時，解得：）.
故答案為：.
22．
【分析】函數的幾何意義是在直角坐標平面內定點與動點連線的斜率，由此轉化為直線與圓有交點的問題，即可求出答案.
【詳解】函數的幾何意義是在直角坐標平面內定點與動點連線的斜率，
易知動點在以為圓心，1為半徑的圓除以外的點上，
易知直線的斜率存在，設為，則直線為即，
則，解得，即值域為.
故答案為：
23．
【分析】將問題轉化為圓上的點與點連線的斜率的取值范圍的求解，利用直線與圓的位置關系可求得過的圓的切線的斜率，結合圖象可確定結果.
【詳解】表示點與點連線的斜率，
的軌跡為圓，
表示圓上的點與點連線的斜率，
由圖象可知：過作圓的切線，斜率必然存在，
則設過的圓的切線方程為，即，
圓心到切線的距離，解得：，
結合圖象可知：圓上的點與點連線的斜率的取值范圍為，
即的值域為.
故答案為：.
24．
【分析】將問題化為軸上點到與距離差的范圍，利用三角形三邊關系及絕對值不等式，討論端點情況，即可得值域.
【詳解】由題設，
所以所求值域化為求軸上點到與距離差的范圍，如下圖示，
由圖知：，即，
當三點共線且在之間時，左側等號成立；
當三點共線且在之間時，右側等號成立，顯然不存在此情況；
所以，即，
所以函數值域為.
故答案為：
25．
【分析】化簡可得.令，根據幾何意義求出的范圍，即可得出答案.
【詳解】，
設，，則.
由于，則，且.
設，
由該式的幾何意義得下面圖形，，其中直線為圓的切線，由圖知.
由圖知，
在中，有，，所以，
所以，所以.
所以，，故所求值域為．
故答案為：．
26．
【分析】根據題意，求得，設，求得，得到函數的單調性，進而求得在上單調遞減，進而求得的最小值，得到答案.
【詳解】因為，可得，
設，則，
令，可得，令，得，
所以函數，即函數在上單調遞減，在上單調遞增，
又因為，，
所以，所以在上單調遞減，則．
故答案為：.
27．
【分析】利用導數判斷的單調性，從而得解.
【詳解】因為，所以，
令，得；令，得；
故函數在上單調遞減，在上單調遞增，
所以．
故答案為：.
28．
【分析】根據題意，當，得到在上單調遞減，求得最小值為，若，求得，得到函數單調性和最小值，進而得到函數的最小值.
【詳解】由函數的定義域為，
1.若，函數，此時在上單調遞減，
此時函數的最小值為；
2.若，函數，可得，
當時，，單調遞減；
當時，，單調遞增；
所以此時的最小值為；
又由，即，
所以函數的最小值為.
故答案為：.
29．B
【分析】由得，構造函數，利用單調性得，記，求導，利用函數單調性求最值即可.
【詳解】因為正實數x，y滿足，
所以，
設，則，當時，，
所以函數在上單調遞增，由得，
所以，所以，
所以，記，
則，所以，記，
則，
所以函數在上單調遞減，且，
所以在上，，，單調遞增，
在上，，，單調遞減，
所以，當時，，即的最大值為.
故選：B
30．A
【分析】借助的值域為可得要取遍所有的正數，對進行分類討論即可得.
【詳解】若函數的值域為，則要取遍所有的正數．
所以或，解得，
即實數的取值范圍是.
故選：A．
31．
【分析】先求解出時的值域，然后根據分類討論時的值域，由此確定出的取值范圍.
【詳解】當時，，此時，
當且時，，
此時，且，所以不滿足；
當且時，，
由對勾函數單調性可知在上單調遞增，在上單調遞減，
所以，此時，
若要滿足的值域為，只需要，解得；
當且時，因為均在上單調遞增，
所以在上單調遞增，且時，，時，，
所以此時，此時顯然能滿足的值域為；
綜上可知，的取值范圍是，
故答案為：.
32．B
【分析】分別畫出分段函數對應的兩個函數圖象，再對實數的取值進行分類討論即可.
【詳解】根據題意可得，在同一坐標系下分別畫出函數和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當或時，兩圖象相交，
若的值域是，以實數為分界點，可進行如下分類討論：
當時，顯然兩圖象之間不連續，即值域不為；
同理當,值域也不是；
當時，兩圖象相接或者有重合的部分，此時值域是；
綜上可知，實數的取值范圍是.
故選：B
33．D
【分析】注意觀察時，，所以讓時， 恒成立即可，根據參變分離和換元方法即可得解.
【詳解】當時，，
又因為的最小值為2，
，所以需要當時， 恒成立，
所以在恒成立，
所以在恒成立，
即在恒成立，
令 ，則，
原式轉化為在恒成立，
是二次函數，開口向下，對稱軸為直線，
所以在上 最大值為，
所以，
故選：D.
34．D
【分析】原式整理化簡為，可構造函數，使用函數的單調性求解.
【詳解】∵
∴原式
令，
則，
當時，，在區間上單調遞增，
當時，，在區間上單調遞減，
又∵，，
，
∴當時，，
∴當，的取值范圍是.
故選：D.
35．C
【分析】根據復合函數單調性以及對數函數相關知識進行求解即可.
【詳解】由，得，
所以函數定義域為，
因為由外層函數和內層函數復合而成，
當時，內層函數單調遞增，外層函數單調遞減，所以單調遞減，
當時，內層函數單調遞減，外層函數單調遞減，所以單調遞增，
所以，所以，
又因為，所以.
故選：C
36．D
【分析】根據題意令，然后代入所求的表達式，根據對勾函數的單調性即可求解,
【詳解】因為，，令．
所以
，因為函數在上單調遞增，故，
即的最大值為，
故選：D．
37．A
【分析】利用三角換元將問題轉化為求三角函數的最值問題，計算即可.
【詳解】由解得－2≤x≤2，所以函數的定義域為[－2，2].
因為，故可設，
則，
（其中有）.
因為，所以.
所以當θ＝0時，函數取得最小值10sin(－φ)＝10×＝－8.
故選：A
38．A
【分析】根據對數函數的性質可得且，則，即可求出的大致范圍，再令的根為、且，，，對分兩種情況討論，結合二次函數、對數函數的單調性判斷即可；
【詳解】解：依題意且，所以，解得或，綜上可得，
令的根為、且，，，
若，則在定義域上單調遞增，在上單調遞增，在上單調遞減，
根據復合函數的單調性可知，在上單調遞增，在上單調遞減，函數不存在最小值，故舍去；
若，則在定義域上單調遞減，在上單調遞增，在上單調遞減，
根據復合函數的單調性可知，在上單調遞減，在上單調遞增，所以函數在取得最小值，所以；
故選：A
39．AB
【分析】先得到函數的值域，從而得到的范圍，結合條件即可求解.
【詳解】因為，則，
所以函數的值域是，
則的范圍是，
于是的函數值可能是或，
故選：.
40．BC
【分析】可求每個選項函數的值域，然后求出的范圍即可得出該函數是否為有界函數．
【詳解】對于A：的定義域為,，令，則，
，，
不存在正數，使得總成立，不是有界函數；
對于B：的定義域為，
，所以，
存在，使得，是有界函數；
對于C：，
，
存在，使得，是有界函數；
對于D：，
由于時，單調遞增，此時，
故不存在正數，使得總成立，不是有界函數；
故選：BC．
41．
【分析】根據二次函數的單調性直接求解即可.
【詳解】為開口方向向上，對稱軸為的拋物線，
在上單調遞減，在上單調遞增，
當時，；當時，，
的值域為.
故答案為：.
42．
【分析】由為增函數，然后根據增函數減函數=增函數，可判斷出在上單調遞增，進而求出最大值.
【詳解】在上單調遞增，在上單調遞減，
在上單調遞增，.
故答案為：
43．
【分析】通過換元，配方，將原函數轉化為二次函數頂點式的形式，要注意的是原函數是給定定義域的，要在定義域內求值域.
【詳解】令，則，
容易看出，該函數轉化為一個開口向下的二次函數，對稱軸為，
，所以該函數在時取到最大值，當時，函數取得最小值，
所以函數值域為.
故答案為：
44．##
【分析】依題意可得，根據對勾函數的性質求出的取值范圍，即可得解.
【詳解】因為，
令，則，
令，，因為函數在上單調遞增，所以，
即，則，
即函數的最大值為，當且僅當時取等號.
故答案為：
45．
【分析】對進行分類討論，利用導數求得的最小值.
【詳解】，
當時，，
所以在區間上單調遞增，最小值是.
當時，，
所以在區間上單調遞減.
綜上所述，的最小值為.
故答案為：
46．
【分析】將化為，利用余弦函數的有界性，即，解不等式即可得答案.
【詳解】由，可得，
當時等式不成立，∴，則有，
∵，∴，，或，
∴函數的值域是，
故答案為：
47．
【分析】，令，則，然后用法求解即可.
【詳解】由題可得，，令，則，
即，當，即時，；
當，即時，要使方程有解，則需，得.
綜上，
故答案為：
48．2
【分析】分與兩種情況，結合函數單調性得到值域，求出最大值.
【詳解】，
若，即時，
，
若，即或時，
，
當時，單調遞減，故，
當時，單調遞增，故，
故或時，，
綜上，函數的最大值為2.
故答案為：2
49．##
【分析】分別作，的圖象，取點，，則原式可看為兩圖象上各取一點的距離的平方，可轉化為圖象上點到圓心的距離減半徑的平方.計算結果即可.
【詳解】解：分別作，的圖象，
分別取點，，原式視為兩圖象上各取一點的距離的平方，
設為與的交點，
，即.
當且僅當時，取等號.
故得的最小值為.
故答案為：.

50．(1)
(2)
【分析】（1）由偶函數的定義轉化為等式恒成立問題，由系數為求值即可；
（2）由換元法，把函數轉化為二次函數，然后分類討論確定函數的最小值，從而求得參數值．
【詳解】（1）
則，
因為是定義域為的偶函數，
則，
即對任意恒成立，則；
（2）由（1）知，
則
，
令，由基本不等式可得，當且僅當時等號成立，
則原函數化為：，，
①當即時，
在上單調遞增，
則，即，；
②當，即時，
在單調遞減，在單調遞增，
則；
即，
綜上所述，.
51．(1)
(2)
【分析】（1）利用待定系數法即可得解；
（2）利用對數函數的單調性與單調性的加減性質即可得解.
【詳解】（1）因為的圖象經過點，，
所以，兩式相減得，
又且，解得或（舍去），則.
（2）由（1）得，
因為函數在上單調遞增，函數在上單調遞增，
所以在上單調遞增，
則，
，
故在上的值域為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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