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特例法在高考中的妙用

如果你認真研究近幾年的高考數學題，你將會發現有些選擇題，須用特例法求解。所謂特例法，通俗來說就是一般的滿足，特殊的也滿足；即在一般情況下，可用特殊的情形來代替一般情形。具體來說就是用特殊的值、向量、點、數列、函數、位置、圖形來代替一般的值、向量、點、數列、函數、位置、圖形；從而達到快速解題的目的。下面我就高考題把特例法做一總結，希望對你有所幫助。
特殊值法
例1（07安徽、文8)設，且，，，則的大小關系為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：取a=2,得答案B
評注：所選取的特例要符合題設條件，且越簡單越好。
例2（07江西、理5)若，則下列命題中正確的是（　　）
Ａ． Ｂ．
Ｃ． Ｄ．
解析：取,排除A,B,C,得D
評注：一般情況下，特例法與排除法結合起來使用。
例3（06安徽、理11)如果的三個內角的余弦值分別等于的三個內角的正弦值，則 ( )
A．和都是銳角三角形
B．和都是鈍角三角形
C．是鈍角三角形，是銳角三角形
D．是銳角三角形，是鈍角三角形
解析：三角形中角的正弦值均為正
的三內角的余弦值也為正
是銳角三角形
取
得所以選D
評注：所取的特例必須是我們非常熟悉的，越簡單越好。
例4（06遼寧，理10) 直線與曲線 的公共點的個數為（ ）
(A)1 (B)2 (C)3 (D)4
解析：不妨取k=1,將代入得：
，顯然該關于的方程有兩正解，即有四解，
所以交點有4個，故選擇答案D。
評注:任意不等于0的k都滿足，k取1當然滿足；不要擔心做錯題。
例5（06陜西，理10）已知函數f(x)=ax2+2ax+4(0A.f(x1)C.f(x1)>f(x2) D.f(x1)與f(x2)的大小不能確定
解析：取a=1得函數f(x)=x2+2x+4，二次函數的圖象開口向上，對稱軸為，∴ x1+x2=0，∴ x2到對稱軸的距離大于x1到對稱軸的距離。
∴ f(x1)評注：0例6（06湖南，理2）. 若數列滿足: , 且對任意正整數都有,則（ ）
A． B． C． D．
解析：數列滿足: , 且對任意正整數都有；所以，，∴數列是首項為，公比為的等比數列。，選A.
評注：任意正整數都有，取m=1又未嘗不可。
特殊向量法
例1（06四川，理4）.如圖, 已知正六邊形，下列向量的數量積中最大的是（ 　）
（A） （B）
（C） （D）
解析：如圖：不妨設正六邊形邊長為1，
根據正六邊形的性質，得答案為A
評注：特例越簡單越好,越方便越好。
例2（06全國Ⅰ，理9）、設平面向量、、的和。如果向量、、，滿足，且順時針旋轉后與同向，其中，則( )
A． B．
C． D．
解析：∵，∴不妨取，且起點在原點，在軸正半軸上；則向量、、順時針旋轉后與、、同向，且=2，∴，選D.
評注：一般問題特殊化，不會失去一般性。
特殊點法
例1（08天津卷、理3）函數（）的反函數是（ ）
（A）（）　　 （B）（）
（C）（） 　　（D）（）
解析：原函數經過（4，3）點，它的反函數經過（3，4）點；排除C,D;再根據原函數是增函數，得值域為，故反函數的定義域為；選A
評注：最快最簡單的方法就是最好的方法。
例2（07全國Ⅱ、理12)設F為拋物線y2=4x的焦點，A、B、C為該拋物線上三點，若，則|FA|+|FB|+|FC|=（ 　　）
(A)9 (B) 6 (C) 4 (D) 3
解析：,不妨取A(0,0)
則，即=1;做平行四邊形FCDB
∵拋物線關于x軸對稱
∴|FB|=|FC|,即FCDB為菱形
∴FD⊥BC,即B,C兩點的橫坐標均為；得
∴|FA|+|FB|+|FC|=1+5=6；故選B
評注：此題若分析出點F為△ABC的重心，則解法就更簡單了。若分析不出，此法也不錯。
特殊數列法
例1（05全國Ⅱ、理7)如果數列是等差數列，則( )
（A）＋＜＋ （B）＋＝＋
（C）＋＋ （D）＝
解析：取，得答案為B
特殊函數法
例1（07安徽、文11)定義在上的函數既是奇函數，又是周期函數，是它的一個正周期．若將方程在閉區間上的根的個數記為，則可能為（　　）
Ａ．0 Ｂ．1 Ｃ．3 Ｄ．5
解析：聯想滿足題設的函數，我們取則答案為D。
評注：千萬別擔心，你的特例太簡單了，會把題做錯。只要滿足題意，越簡單越好。
例2（06遼寧，理2) 設是R上的任意函數,則下列敘述正確的是
(A)是奇函數 (B)是奇函數
(C) 是偶函數 (D) 是偶函數
解析:取，排除A、C.再取,排除B;故選擇答案D。
評注：取特例取我們最熟悉的，這樣有利于解題。
例3（07江西、理11)設函數是上以5為周期的可導偶函數，則曲線在處的切線的斜率為（　　）
Ａ． Ｂ． Ｃ． Ｄ．
解析：聯想滿足題設的函數，我們取則答案為B
評注：以5為周期的可導偶函數，你不得不想到三角函數
例4(04全國Ⅳ、理12）設函數為奇函數，
則（ ）
A．0 B．1 C． D．5
解析：根據題意，聯系我們學過的所有函數。只有一次函數滿足
題設∴，得;∴;得；故選C
評注：很多抽象函數都以我們學過的函數為模型，同學們可以認真體會與總結。
例5（06江西、理5)對于R上可導的任意函數f（x），若滿足（x－1）(0，則必有（ ）
f（0）＋f（2）(2f（1） B. f（0）＋f（2）(2f（1）
C. f（0）＋f（2）(2f（1） D. f（0）＋f（2）(2f（1）
解析：依題意，當x(1時，f(（x）(0，函數f（x）在（1，＋(）上是增函數；當x(1時，f(（x）(0，f（x）在（－(，1）上是減函數，故f（x）當x＝1時取得最小值，聯想我們學過的函數，取，排除A,B;再想若為常值函數也滿足題意；故選C
評注：當取一個特例不能排除所有的錯誤項，且剩余項還十分相近時，應全面考慮；做到不重復也不遺漏。
特殊位置法
例1（05全國Ⅲ、理4)4、設三棱柱的體積為，分別是側棱、上的點，且，則四棱錐的體積為( )
A B C D
解析：不妨取正三棱錐且滿足,
不妨取=0;
此時
評注：滿足題意的點P和Q有無窮多個，特殊位置也不止一個；比如P和Q都取中點，也能得到答案；但過程較繁。取=0，使得P與A重合；Q與 重合，特例推到極限情形，問題就相當簡單了。故特例只要滿足題意，越簡單越好。
例2（08全國Ⅱ、理12）已知球的半徑為2，相互垂直的兩個平面分別截球面得兩個圓．若兩圓的公共弦長為2，則兩圓的圓心距等于（ ）
A．1 B． C． D．2
解析：如右圖，不妨設其中一個面過球心，
則圓心距=
評注：高考題不怕你做不到，就怕你想不到。
特殊圖形法
例1（05遼寧、理12)一給定函數的圖象在下列圖中，并且對任意，由關系式得到的數列滿足，則該函數的圖象是 （ ）
A B C D
解析：∵
則若；
根據函數與不等式之間的關系得，
的函數圖像應在的上方
∴答案為A
評注：這道題目，是當年遼寧卷的壓軸選擇題；大多數學生感到無從下手，沒有抓住問題的實質；結果弄錯了答案，丟了分。如果解題時，你感到題目特別難、無從下手時，是不是要用特例法了。切記，切記！
特例法在高考中考的并不多，一旦考上，往往是大多數學生失分的題目;高考不但考知識、能力，還考你對數學思想的理解和應用程度;一般與特殊的思想是高考考綱要求的數學思想，同學們應掌握這種數學思想的解題技巧，并會靈活應用它。

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