資源簡介

熱點5-1 等差數列的通項及前n項和
主要考查等差數列的基本量計算和基本性質、等差數列的中項性質、判定與證明，這是高考熱點；等差數列的求和及綜合應用是高考考查的重點.這部分內容難度以中、低檔題為主，結合等比數列一般設置一道選擇題和一道解答題.
【題型1 等差數列的基本量計算】
滿分技巧1、等差數列的通項公式及前n項和公式共涉及五個量a1，an，d，n，Sn，知其中三個就能求另外兩個，體現了方程思想． 2、數列的通項公式和前n項和公式在解題中起到變量代換的作用，而a1和d是等差數列的兩個基本量，用它們表示已知量和未知量是常用方法．
【例1】（2023·四川樂山·統考一模）
1．設等差數列的前項和，若，，則（ ）
A．63 B．51 C．45 D．27
【變式1-1】（2023·全國·高三校聯考期中）
2．記等差數列的前項和為，若，，則的公差為（ ）
A． B． C． D．
【變式1-2】（2023·廣東廣州·高三廣雅中學校考階段練習）
3．已知數列是等差數列，是其前項和.若，，則的值是（ ）
A．1 B． C． D．
【變式1-3】（2023·湖南衡陽·高三衡陽市八中校聯考階段練習）
4．已知等差數列的前n項和為，若，，則 .
【題型2 等差數列性質的應用】
滿分技巧1、在等差數列{an}中，當m≠n時，d＝為公差公式，利用這個公式很容易求出公差，還可變形為am＝an＋（m－n）d. 2、等差數列{an}中，每隔相同的項抽出來的項按照原來的順序排列，構成的新數列仍然是等差數列． 3、等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q，則an＋am＝ap＋aq（n，m，p，q∈N*），特別地，若m＋n＝2p，則an＋am＝2ap.
【例2】（2023·全國·模擬預測）
5．已知等差數列的前n項和為，，則（ ）
A．60 B．120 C．180 D．240
【變式2-1】（2023·山東濟寧·高三統考期中）
6．設等差數列的前n項和為，已知，，則（ ）．
A．32 B．64 C．80 D．128
【變式2-2】（2023·上海·高三校考期中）
7．已知數列是等差數列，，則 .
【變式2-3】（2023·河南·高三校聯考期中）
8．記等差數列的前n項和為，則根據下列條件能夠確定的值的是（ ）
A． B．
C．， D．，
【題型3 等差數列的單調性及應用】
滿分技巧當公差時，等差數列的通項公式是關于的一次函數，且一次項系數為公差.若公差，則為遞增數列，若公差，則為遞減數列．
【例3】（2022·廣東惠州·統考一模）
9．設等差數列的公差為d，若，則“”是“（）”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
【變式3-1】（2023·吉林白山·撫松縣第一中學校考模擬預測）
10．若等差數列的前項和為，且滿足，對任意正整數，都有，則的值為（ ）
A．2020 B．2021 C．2022 D．2023
【變式3-2】（2022·湖北襄陽·高二校考階段練習）
11．設等差數列的前n項和為，若，則下列結論正確的是（ ）
A．數列是遞減數列 B．
C．當時， D．
【變式3-3】（2023·黑龍江·高三校聯考階段練習）
12．若數列是等差數列，公差，則下列對數列的判斷正確的是（ ）
A．若，則數列是遞減數列
B．若，則數列是遞增數列
C．若，則數列是公差為d的等差數列
D．若，則數列是公差為的等差數列
【題型4 等差數列前n項和性質應用】
滿分技巧1、等差數列的依次k項之和，Sk，S2k－Sk，S3k－S2k，…組成公差為k2d的等差數列． 2、數列{an}是等差數列 Sn＝an2＋bn（a，b為常數） 數列為等差數列． 3、若S奇表示奇數項的和，S偶表示偶數項的和，公差為d， ①當項數為偶數2n時，S偶－S奇＝nd，＝； ②當項數為奇數2n－1時，S奇－S偶＝an，＝.
【例4】（2024·四川宜賓·南溪第一中學校校考模擬預測）
13．已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2023·湖北荊州·高三松滋市第一中學校考階段練習）
14．等差數列、的前項和分別為與，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2023·海南·校聯考模擬預測）
15．等差數列前項和分別為，且，則 .
【變式4-3】（2023·安徽安慶·高三安徽省太湖中學校考階段練習）
16．已知為數列的前和，下列說法正確的是（ ）
A．若數列為等差數列，則 ，，為等差數列
B．若為等比數列，則，，為等比數列
C．若為等差數列，則，，為等差數列
D．若為等比數列，則，，為等比數列
【題型5 等差數列前n項和的最值問題】
滿分技巧1、二次函數法： 將Sn＝na1＋d＝n2＋n配方．轉化為求二次函數的最值問題， 但要注意n∈N*，結合二次函數圖象的對稱性來確定n的值，更加直觀． 2、鄰項變號法：當a1>0，d<0，時，Sn取得最大值；當a1<0，d>0，時，Sn取得最小值． 特別地，若a1>0，d>0，則S1是{Sn}的最小值；若a1<0，d<0，則S1是{Sn}的最大值．
【例5】（2023·貴州·高三貴陽一中校考階段練習）
17．已知是等差數列的前項和，且，且，則的最大值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·黑龍江·高三省實驗中學校考階段練習）
18．等差數列的前n項和為則的最大值為（ ）
A．60 B．45 C．30 D．15
【變式5-2】（2023·江蘇無錫·高三江陰市第一中學校考階段練習）
19．遞增等差數列，滿足，前n項和為，下列選項正確的是（ ）
A． B．
C．當時最小 D．時n的最小值為8
【變式5-3】（2023·河北石家莊·高三新樂市第一中學校考開學考試）
20．已知等差數列，其前n項和為，若，則下列結論正確的是（ ）
A． B．使的的最大值為 C．公差 D．當時最大
【題型6 含絕對值的等差數列求和】
【例6】（2023·上海·高三校考期中）
21．在公差為的等差數列中，已知，且，，成等比數列．
(1)求，；
(2)若，，求．
【變式6-1】（2023·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯考階段練習）
22．已知是等差數列的前項和，且.
(1)求數列的通項公式與前項和；
(2)若，求數列的前項和.
【變式6-2】（2023·云南·高三校聯考階段練習）
23．已知數列的前項和為，且.
(1)求的通項公式
(2)若，求的前項和.
【變式6-3】（2023·重慶·萬州第三中學校考模擬預測）
24．已知數列的前項和為，且.
(1)求數列的通項公式；
(2)若數列的前項和為，設，求的最小值.
【題型7 等差數列的判定與證明】
滿分技巧1、定義法：或是等差數列； 2、定義變形法：驗證是否滿足； 3、等差中項法：為等差數列； 4、通項公式法：通項公式形如為常數為等差數列； 5、前n項和公式法：為常數為等差數列． 注意：（1）若判斷一個數列不是等差數列，只需找出三項，使得即可； （2）如果要證明一個數列是等差數列，則必須用定義法或等差中項法．
【例7】（2023·廣東深圳·高三校考階段練習）
25．已知公比大于1的等比數列滿足：，．
(1)求的通項公式；
(2)記數列的前n項和為，若，，證明：是等差數列．
【變式7-1】（2023·黑龍江·高三佳木斯一中校考階段練習）
26．已知數列的首項為，前項和為．已知．
(1)證明：是等差數列；
(2)若成等比數列，求的最小值及取到最小值時的值．
【變式7-2】（2023·遼寧·高三校聯考期中）
27．設數列的各項都為正數，且．
(1)證明數列為等差數列；
(2)設，求數列的前項和．
【變式7-3】（2023·廣東廣州·高三華南師大附中校考階段練習）
28．已知正項數列的前項和為，滿足.
(1)證明：數列為等差數列；
(2)設數列，求數列前項和的值．
【題型8 等差數列的實際應用】
【例8】（2023·海南海口·校聯考一模）
29．家庭農場是指以農戶家庭成員為主要勞動力的新型農業經營主體．某家庭農場從2019年開始逐年加大投入，加大投入后每年比前一年增加相同額度的收益，已知2019年的收益為30萬元，2021年的收益為50萬元．照此規律，從2019年至2026年該家庭農場的總收益為（ ）
A．630萬元 B．350萬元 C．420萬元 D．520萬元
【變式8-1】（2023·黑龍江齊齊哈爾·統考一模）
30．基站建設是眾多“新基建”的工程之一，截至年月底，地區已經累計開通基站個，未來將進一步完善基礎網絡體系，加快推進網絡建設．已知年月該地區計劃新建個基站，以后每個月比上一個月多建個，則地區到年月底累計開通基站的個數為（ ）
A． B． C． D．
【變式8-2】（2023·江西·校聯考模擬預測）
31．天干地支紀年法源于中國，中國自古便有十天干與十二地支.十天干即：甲、乙、丙、丁、戊、己、庚、辛、壬、癸；十二地支即：子、丑、寅、卯、辰、巳、午、未、申、酉、戌、亥.天干地支紀年法是按順序以一個天干和一個地支相配，排列起來，天干在前，地支在后，天干由“甲”起，地支由“子”起，比如第一年為“甲子”，第二年為“乙丑”，第三年為“丙寅”，…，以此類推，排列到“癸酉”后，天干回到“甲”重新開始，即“甲戌”，“乙亥”，之后地支回到“子”重新開始，即“丙子”，…，以此類推，2023年是癸卯年，請問：在100年后的2123年為（ ）
A．癸未年 B．辛丑年 C．己亥年 D．戊戌年
【變式8-3】（2022·江蘇南通·高三統考期中）
32．在我國古代著名的數學專著《九章算術》里有一段敘述：今有良馬與駑馬發長安至齊，齊去長安一千一百二十五里，良馬初日行一百零三里，日增十三里；駑馬初日行九十七里，日減半里；良馬先至齊，復還迎駑馬，二馬相逢.則（ ）
A．駑馬第七日行九十四里 B．第七日良馬先至齊
C．第八日二馬相逢 D．二馬相逢時良馬行一千三百九十五里
（建議用時：60分鐘）
（2023·四川樂山·統考一模）
33．設等差數列的前項和，若，，則（ ）
A．18 B．27 C．45 D．63
（2023·重慶渝中·高三統考期中）
34．已知數列均為等差數列，且，設數列前項的和為，則（ ）
A．84 B．540 C．780 D．920
（2023·全國·模擬預測）
35．已知數列為等差數列，其前項和為，且，，則（ ）
A．63 B．72 C．135 D．144
（2023·北京·高三順義區第一中學校考階段練習）
36．若等差數列和等比數列滿足，，，則的公差為（ ）
A． B． C． D．
（2023·海南·高三海南中學校考階段練習）
37．在等差數列中，，其前項和為，且，則 的值等于（ ）
A． B． C．2023 D．2024
（2023·河南·高三南陽中學校聯考階段練習）
38．已知數列滿足：，且.若恒成立，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·江西南昌·高三江西師大附中校考期中）
39．設等差數列的前項和為，已知，，則下列結論中正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·黑龍江·高三大興安嶺實驗中學校考階段練習）
40．已知等差數列的前項和為，若，則（ ）
A．45 B．60 C．160 D．80
（2023·河南三門峽·高三陜州中學校考階段練習）
41．已知正項等比數列的前項和為，若，，成等差數列，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
（2023·新疆烏魯木齊·高三兵團二中校考階段練習）
42．已知為正項等比數列，是它的前n項和，若，且與的等差中項為3，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中校考期中）
43．已知是等差數列的前n項和，且，，則下列選項正確的是（ ）
A．數列為遞減數列 B．
C．的最大值為 D．
（2023·河南·高三校聯考階段練習）
44．已知各項都是實數的數列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A．若，則數列是遞減數列
B．若，則數列無最大值
C．若數列為等比數列，則為等比數列
D．若數列為等差數列，則為等差數列
（2023·安徽·高三校聯考階段練習）
45．已知數列的前項和為，則下列說法正確的是（ ）
A． B．數列是遞增數列
C．數列的最小項為和 D．滿足的最大正整數
（2023·全國·模擬預測）
46．已知數列的前項和為，且，則下列說法正確的是（ ）
A．當時，存在，，使得數列是等差數列
B．當時，存在，，使得數列是等比數列
C．當時，存在，，使得數列是等差數列
D．當時，存在，，使得數列是等比數列
（2023·遼寧·高三校聯考階段練習）
47．記為等差數列的前項和，已知，.
(1)求的通項公式；
(2)求的最小值.
（2023·寧夏銀川·銀川一中校考模擬預測）
48．在等差數列中，已知公差，，且，，成等比數列.
(1)求數列的通項公式；
(2)求的值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據等差數列的前n項和公式求出首項和公差，利用等差數列的通項公式，即可求得答案.
【詳解】由題意知等差數列中，，，
設首項為，公差為d，
則，即，
解得，故，
故選：B
2．C
【分析】根據題意，利用等差數列的求和公式，列出方程，即可求解.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為且，可得，解得.
故選：C.
3．C
【分析】求得等差數列的首項和公差，由此求得.
【詳解】設等差數列的公差為，
則，
解得，所以.
故選：C
4．0
【分析】設出公差，根據通項公式和求和公式基本量計算得到方程組，求出首項和公差，得到答案.
【詳解】設數列的公差為d，由已知有，，
解得，，所以.
故答案為：0
5．C
【分析】利用下標和性質求得，然后由等差數列求和公式和下標和性質可解.
【詳解】根據等差數列下標和性質可知，得，
所以．
故選：C．
6．B
【分析】由等差數列性質化簡已知條件得，再由前項和公式需要求，由性質知代入即得.
【詳解】因為是等差數列，
所以，則；
又，則；
則.
故選：B.
7．
【分析】根據等差數列的前項公式結合等差數列的性質即可得解.
【詳解】因為數列是等差數列，
所以，
所以，
所以，所以.
故答案為：.
8．AD
【分析】根據等差數列的求和性質即可結合選項逐一求解.
【詳解】，
所以A正確，
由于，結合,所以B錯誤，
對于C，，，故C錯誤，
對于D，，
，所以，又，
所以，故D正確，
故選：AD
9．C
【分析】利用指數函數的單調性、數列增減性的定義以及等差數列的定義，結合充分、必要性定義判斷即可.
【詳解】充分性：若，則，即，∴，即，所以充分性成立；必要性：若，即，∴，則，必要性成立.因此，“”是“”的充要條件.
故選：C.
10．C
【分析】根據等差數列的前項和公式以及數列的單調性得出結果.
【詳解】依題意，
又，即，則
則，且，
所以等差數列單調遞減，，
所以對任意正整數，都有，則．
故選，C．
11．ABCD
【分析】由題干條件得到，故可判斷AB；數列是遞減數列且，
，可判斷C；由可判斷D..
【詳解】若，可得，可得B正確；
故數列為遞減數列，故A正確；
因為，所以，
因為，所以，
因為數列是遞減數列，故當時，，故C正確；
，故D正確；
故選：ABCD.
12．AD
【分析】寫出的通項公式，結合各項寫出的通項公式，利用所得通項公式對應函數性質判斷單調性、等差數列的通項公式判斷等差數列.
【詳解】由且，
A：由，即數列是遞減數列，對；
B：由，若時，如，不單調，錯；
C：由，則數列是公差為的等差數列，錯；
D：由，則數列是公差為的等差數列，對.
故選：AD
13．D
【分析】根據等差數列的前n項和公式分析可知是以首項為，公差為的等差數列，結合等差數列的性質運算求解.
【詳解】設等差數列的公差為，
因為，
可知是以首項為，公差為的等差數列，
則，即，解得，
所以.
故選：D.
14．B
【分析】利用等差數列前n項和性質，公式求解.
【詳解】由等差數列性質得，，
等差數列前n項和滿足，則，
等差數列前n項和滿足，則，
所以.
故選：B.
15．##
【分析】通過等差數列性質其前項和，結合已知可得，即可解出答案.
【詳解】由等差數列性質可得，解得，
故答案為：.
16．AC
【分析】根據等差數列以及其前n項和的性質逐項判斷即可.
【詳解】對于B和D，當公比時，且m為偶數時，，
此時，，不為等比數列；
，此時，，不為等比數列，則B和D錯誤；
對于A，若數列為等差數列，設公差為，則，
，，
由等差數列片段和性質知，，為等差數列，公差為,A正確；
對于C，若為等差數列，設公差為，則
，
，，
則，所以，，為等差數列，C正確；
故選：
17．A
【分析】設數列的首項為，公差為，根據題意求得，再由，得到，得出數列為遞減數列，再結合，即可求解.
【詳解】設數列的首項為，公差為，
由，可得，
又由，可得，
因為，所以，所以，
可得等差數列為遞減數列，
又因為，所以，
故等差數列的前項和最大值為.
故選；A.
18．B
【分析】根據等差數列的性質，結合求和公式即可得出答案.
【詳解】因為
則，
則，則，
令，解得：，
因為是等差數列，
所以當時，，，當時，，
所以的最大值為.
故選：B.
19．ABD
【分析】由等差數列通項公式基本量的計算即可判斷AB；由等差數列前n項和二次函數特性即可判斷C；由等差數列前n項和的不等式法即可判斷D.
【詳解】A、B：由題意可設等差數列的公差為d，
因為，可得，解得，
又由等差數列是遞增數列，可知，則，故A，B正確.
C：，
由得，當或4時最小，故C錯誤.
D：令，解得或，即時n的最小值為8，故D正確.
故選：ABD.
20．ACD
【分析】根據條件可得，，可判斷A 正確，可判斷C 正確，再根據可判斷B錯誤，又因為可判斷D正確.
【詳解】等差數列，，
又，
，A正確.
, C正確.
,
使的n的最大值為. B錯誤.
當,
所以當時最大. D正確.
故選：ACD
21．(1)時，時
(2)
【分析】（1）根據等比中項的性質得到方程求出，從而求出通項公式；
（2）由（1）可得，令，分、兩種情況分別求出，再解方程即可.
【詳解】（1）公差為的等差數列中，已知，且，，成等比數列．
所以，即
解得或，
①當時，．
②當時，．
（2）因為，所以，
令，
①當時，，
所以，
所以．
②當時，，
所以，
，
，
．
故．
又，
且當時，
所以，則，
解得或（舍去）.
所以.
22．(1)
(2)
【分析】（1）根據等差數列基本量的計算可得公差和首項，進而根據公式即可求解，
（2）根據當時，，；當時，，，即可分類求解，結合等差數列求和公式即可.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，則，解得.
所以數列的通項公式為，
數列的前項和.
（2）由得，所以當時，，；
由得，所以當時，，.
所以，當時，；
當時，
.
所以，.
23．(1)
(2)
【分析】（1）當時，可得，再由，進而得到數列的通項公式；
（2）由，得到，結合等差數列的求和公式，分別求得時，可得；時，可得，進而求得的前項和.
【詳解】（1）由，
當時，可得，
當時，，適合上式，
所以數列的通項公式為.
（2）由，可得，則，
令，可得，
當時，可得，
當時，可得
，
因為，所以，
所以.
24．(1)
(2)
【分析】（1）根據與的關系可直接求解；
（2）先求出，然后得到，然后根據的單調性可求解.
【詳解】（1）因為，所以，
所以當時，，所以；
當時，，
所以，
所以，
又滿足上式，
所以數列的通項公式為.
（2）由（1）知，
當時，；
當時，
；
所以，
當時，遞減，所以；
當時，，
設，
則，令得，此時單調遞增，
令得，此時單調遞減，
所以在時遞減，在時遞增，
而，，且，
所以；
綜上，的最小值為.
25．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）方法1：根據等比數列性質計算出，從而求出公比，得到通項公式；
方法2：由等比數列性質得到關于首項和公比的方程組，求出解得，得到通項公式；
（2）根據與的關系式得到，從而結合（1）知，（），得到結論.
【詳解】（1）方法1：設公比為，
因為是等比數列，所以，
又，解得或．
又，所以，所以，．
因此；
方法2：設公比為，
由等比數列性質得出，
解得或，
又，所以，
因此．
（2）由（1）得，所以，
兩式作差可得，
即，整理得，．
方程同除以得，，即（）．
所以數列是公差為的等差數列．
26．(1)證明見解析
(2)或時．
【分析】（1）根據，得到，即可證明是等差數列；
（2）根據成等比數列列方程得到，即可得到，然后根據二次函數的單調性求最值即可.
【詳解】（1）證明：因為①，
當時，②，
①-②得，，
即，所以且，
所以是以1為公差的等差數列．
（2）解：由（1）可得，，，
又成等比數列，所以，即，解得，
所以，所以，
所以，當或時．
27．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）將兩邊取倒數，再結合等差數列的定義即可得證；
（2）利用裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）由數列的各項都為正數，且，
得，即，
所以數列是以為公差的等差數列；
（2），由（1）得，
所以，則，
所以.
28．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用退一相減法可證數列為等差數列；
（2）利用裂項相消法可得.
【詳解】（1）由，
當時，，解得，
當時，，則，
整理，
又數列為正項數列，
則，
所以，即，
所以數列是以為首項，為公差的等差數列，
所以；
（2）由（1）得，則
，
所以.
29．D
【分析】分析可知該家庭農場的收益依次成等差數列，求出公差，利用等差數列的求和公式即可求解.
【詳解】依題意，該家庭農場每年收益依次成等差數列，設為，
可得，，所以公差為，
所以2019年至2026年該家庭農場的總收益為，
故選：D
30．D
【分析】分析可知年月及之后該地區每個月建設的基站數量為等差數列，且公差為，利用等差數列的求和公式可求得結果.
【詳解】由題意得，年月及之后該地區每個月建設的基站數量為等差數列，且公差為，
則到年月底要經過個月，預計地區到年月底累計可開通
個基站．
故選：D．
31．A
【分析】根據題意，天干和地支的年份分別是以和為公差的等差數列，根據等差數列的性質即可求解.
【詳解】由題意得：天干可看作公差為10的等差數列，地支可看作公差為12的等差數列，
由于，余數為0，故100年后天干為癸，由于，余數為4，
故100年后地支為未，
綜上：100年后的2123年為癸未年.
故選：A .
32．AD
【分析】由題意可知，兩馬日行里數都成等差數列，根據題目條件，分別寫出兩個等差數列的通項公式，對選項逐一分析即可得出結論.
【詳解】由題意可知，兩馬日行里數都成等差數列;
記數列為良馬的日行里數，其中首項公差
所以數列的通項公式為
記數列為駑馬的日行里數，其中首項公差
所以數列的通項公式為
因此，對于A，駑馬第七日行里數為，即駑馬第七日行九十四里；故A正確；
第七日良馬行走總里程為，而齊去長安一千一百二十五里，因為，所以第七日良馬未至齊；所以B錯誤；
設第日兩馬相逢，由題意可知兩馬行走的總里數是齊去長安距離的兩倍，
即，
解得或（舍），即第九日二馬相逢；故C錯誤；
由C可知，第九日二馬相逢，此時良馬共行走了，所以，二馬相逢時良馬行一千三百九十五里，所以D正確；
故選：AD.
33．C
【分析】根據成等差數列，得到方程，求出答案.
【詳解】由題意得成等差數列，
即成等差數列，
即，解得.
故選：C
34．D
【分析】根據等差數列性質可得數列是首項為的等差數列，利用等差數列前項和公式即可求得.
【詳解】根據題意可設數列的公差分別為；
由可知，
即可知數列是以為首項，公差為的等差數列，
所以可得，
即可得，
所以.
故選：D
35．C
【分析】設出公差，表達出，代入得到方程，求出公差，從而求出首項，利用求和公式得到答案.
【詳解】設等差數列的公差為，則，則．
由，得，解得．
又因為，所以，
所以．
故選：C．
36．D
【分析】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，根據已知條件求出的值，可得出的值，由此可求得數列的公差.
【詳解】設等差數列的公差為，等比數列的公比為，
則，解得，所以，，
故.
故選：D.
37．B
【分析】先設等差數列的公差為，根據等差數列前項和的性質，得到也是等差數列，由題意，求出，即可得出結果.
【詳解】設等差數列的公差為，
，
所以數列是等差數列，公差為，
又，則，即，又，
所以，
，解得.
故選：B.
38．C
【分析】根據比值關系用表示出，根據遞推關系列方程組可得，可知為等差數列，然后由等差數列通項公式和下標和性質可解.
【詳解】因為，所以.
由題知，，即，化簡得，且不為0.
所以，所以數列是等差數列.
因為，所以.
因為，所以，解得，即公差.
所以，所以，
所以.
故選：C.
39．B
【分析】首先證明是上的奇函數和增函數，然后由題意可得，結合等差數列求和公式即可得解.
【詳解】設，其定義域為關于原點對稱，且，
所以函數是奇函數，
又，
所以函數是增函數，
由題意，
從而，即，
所以，整理得，
所以由等差數列的性質可知，
由等差數列前項和公式可知.
故選：B.
40．A
【分析】利用等差中項及已知得，結合、等差數列前n項和公式求結果.
【詳解】因為等差數列中，又，
所以，即，又，
所以.
故選：A
41．D
【分析】借助等比數列的片段和性質得出與的關系，再借助基本不等式即可得到.
【詳解】根據等比數列的片段和性質有，
由，，成等差數列，有，
即，故有，又因為數列為正項等比數列，則，
即，
當且僅當時，等號成立.
故選：D.
42．B
【分析】根據基本量法求出和q，然后由求和公式可得.
【詳解】記等比數列的公比為，
由題可知，，即，
解得或（舍去），
所以.
故選：B
43．ABC
【分析】由已知條件結合等差數列性質可判斷B；判斷出數列的公差小于0，可判斷A；根據數列各項的正負情況以及單調性可判斷C；利用前n項和公式結合等差數列性質判斷D.
【詳解】設等差數列的公差為d，
由于，，故，
則，B正確；
，則數列為遞減數列，A正確，
由以上分析可知，時，，
故的最大值為，C正確；
，D錯誤，
故選：ABC
44．ACD
【分析】根據數列通項與前項和的關系，即可求解，根據單調性即可判斷A；根據已知得數列的通項，結合函數單調性得數列單調性即可得最值，從而判斷B；根據等比數列前項和的性質即可判斷C；根據等差數列前項和的性質即可判斷D.
【詳解】對于選項，當時，，又，所以，則是遞減數列，故A正確；
對于選項是遞減數列，所以，故B錯誤；
對于選項，由題意得各項均不為0，設公比為，即，且0，即，所以，故C正確；
對于選項D，若數列為等差數列，則，
所以即數列為等差數列，故D正確.
故選：ACD.
45．ABD
【分析】先根據求出，即可判斷選項A、B；再利用二次函數性質可判斷選項C；最后根據解不等式即可判斷選項D.
【詳解】
當時，；
當時，；
.
數列是遞增數列，故選項A、B正確；
，
當或時最小，即數列的最小項為和，故選項C錯誤，
令，得，，即滿足的最大正整數，故選項D正確.
故選：ABD
46．ABC
【分析】根據給定條件，利用變形給定的遞推公式，再按與分別討論判斷即可得解.
【詳解】因為，當時，，
當時，，兩式相減可得，，
當時，當時，，則，即，
當，即，時，數列是等差數列，A正確；
當時，由，數列是等比數列，B正確；
當時，當時，，即，
當，即時，，此時數列是等差數列，C正確；
當時，，
即，此時數列既不是等差數列又不是等比數列，D錯誤.
故選：ABC
47．(1)
(2)
【分析】（1）設等差數列的公差為，根據題意，列出方程組，求得，進而得到數列的通項公式；
（2）由（1）得到數列為遞增數列，且，得到或時，取得最小值，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）解：設等差數列的公差為，
由，，可得，解得，
所以數列的通項公式為.
（2）解：由（1）知，可得數列為遞增數列，且，
所以當時，；當時，；當時，，
所以，當或時，取得最小值，即，
所以，故的最小值為.
48．(1)
(2)
【分析】（1）根據已知條件求得公差，由此求得.
（2）先判斷的符號，根據等差數列前項和公式求得正確答案.
【詳解】（1），，，
又，，成等比數列，所以，
化簡得，解得或，又，所以，
可得數列的通項公式；
（2）由（1）得，由，得，
由，得，設數列的前n項和為，
所以
，
所以.
答案第1頁，共2頁
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