資源簡介

熱點4-2 平面向量的數量積及應用
平面向量屬于高考的必考內容，主要以客觀題的形式出現，也與三角函數、解析幾何結合出現在綜合性大題中，難度中等.本部分考題綜合性較強，強調模、數量積、坐標運算等向量固有的知識，對向量幾何模的研究比較透徹.考生在復習過程中，要重點理解向量數量積的含義，掌握數量積的坐標表示，能靈活運用定義法、坐標法、基底法解決常見的數量積問題.
【題型1 平面向量的數量積運算】
滿分技巧求向量數量積的3種常規方法 1、定義法求平面向量的數量積：，其中是兩個向量，的夾角；適用于已知或可求兩個向量的模和夾角. 2、基底法求平面向量的數量積：選取合適的一組基底，利用平面向量基本定理將待求數量積的兩個向量分別用這組基底表示出來，進而根據數量積的運算律和定義求解；適用于直接利用定義求數量積不可行時，可將已知模和夾角的兩個不共線的向量作為基底，采用“基底法”求解. 3、坐標法求平面向量的數量積：，，則 適用于：①已知或可求兩個向量的坐標；②已知條件中有（或隱含）正交基底，優先考慮建立平面直角坐標系，使用坐標法求數量積，例如已知圖形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時.
【例1】（2024·陜西咸陽·統考模擬預測）
1．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1-1】（2024·河北邢臺·高三統考期末）
2．已知向量，滿足，，則（ ）
A． B．2 C． D．4
【變式1-2】（2024·北京東城·高三統考期末）
3．已知非零向量，，滿足，且，對任意實數，，下列結論正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式1-3】（2024·山東濟南·高三統考期末）
4．平行四邊形ABCD中，，，，若，，則（ ）
A．4 B．6 C．18 D．22
【變式1-4】（2024·陜西西安·高三西安中學校考期末）
5．在邊長為2的正三角形中，D是的中點，，交于F.則 .
【題型2 平面向量的投影向量】
滿分技巧解決向量投影問題應注意以下3點 1、向量在方向上的投影向量為（其中為與同向的單位向量），它是一個向量且與共線，其方向由與的夾角的余弦決定； 2、向量在方向上的投影向量為； 3、注意：在方向上的投影向量與在方向上的投影向量不同，即在方向上的投影向量可以表示為
【例2】（2024·浙江寧波·高三余姚中學校聯考期末）
6．若向量滿足，且，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2022·河南·高三校聯考期末）
7．已知平面向量滿足，，，則在方向上的投影為（ ）
A．5 B． C．10 D．
【變式2-2】（2024·河北·高三校聯考期末）
8．已知為不共線的平面向量，，若，則在方向上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】（2024·云南昭通·統考模擬預測）
9．已知非零向量與滿足，且，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-4】（2024·江蘇南京·高三金陵中學假期作業）
10．在等邊中，已知點，滿足，，與交于點，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
【題型3 平面向量的模長問題】
滿分技巧求向量的模或其范圍的方法 1、定義法：，； 2、坐標法：設，則； 3、幾何法：利用向量加減法的平行四邊形法則或三角形法則作出向量，再利用解三角形的相關知識求解. 【注意】（1）形如的向量的模，可通過平方轉化為數量的運算； （2）用定義法或坐標法求模的范圍時，一般把它表示成某個變量的函數，再利用函數的有關知識求解；用幾何法求模的范圍時，注意數形結合思想，常用三角不等式進行最值求解.
【例3】（2024·全國·高三校聯考競賽）
11．平面向量，則（ ）
A．3 B．5 C．7 D．11
【變式3-1】（2024·山西臨汾·統考一模）
12．已知向量，，若向量在向量上的投影向量，則（ ）
A． B． C．3 D．7
【變式3-2】（2024·湖南長沙·統考一模）
13．在平面四邊形中，，分別為，的中點.若，，且，則（ ）
A． B． C． D．
【變式3-3】（2024·湖北·校聯考模擬預測）
14．已知向量，滿足，，且，的夾角為，則的最小值是 .
【變式3-4】（2024·全國·高三專題練習）
15．已知，，，則的取值范圍是（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 平面向量的夾角問題】
滿分技巧求兩個非零向量夾角的步驟 第一步：由坐標運算或定義計算出這兩個向量的數量積； 第二步：分別求出這兩個向量的模； 第三步：根據公式求解出這兩個向量夾角的余弦值； 第四步：根據兩個向量夾角的范圍是及其夾角的余弦值，求出這兩個向量的夾角.
【例4】（2024·重慶·高三重慶一中校考開學考試）
16．已知向量與是非零向量，且滿足在上的投影向量為，，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·云南大理·統考模擬預測）
17．已知向量均為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-2】（2024·全國·模擬預測）
18．已知兩個單位向量滿足，則向量的夾角為（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2023·全國·模擬預測）
19．已知內的一點M滿足，則向量與向量的夾角為（ ）
A．30° B．45°
C．60° D．90°
【變式4-4】（2024·全國·高三專題練習）
20．已知向量，且和的夾角為，若與的夾角為鈍角，則的取值范圍為 ．
【題型5 平面向量的垂直問題】
滿分技巧兩平面向量垂直的充要條件既可以判定兩向量垂直，也可以由垂直求參數，高考試題中一般是考查已知兩向量垂直求參數. （1）如果已知向量的坐標，根據兩平面向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數； （2）如果未知向量的坐標，則可通過向量加法（減法）的三角形法則轉化為已知模和夾角的向量的數量，根據兩平面向量垂直的充要條件，列出相應的關系式，進而求解參數. 【注意】如已知圖形為矩形、正方形、直角梯形、等邊三角形、等腰三角形或直角三角形時，則可建立平面直角坐標系求出未知向量的坐標，從而把問題轉化為已知向量的坐標求參數的問題，注意方程思想和等價轉化思想的運用.
【例5】（2024·江西·高三校聯考期末）
21．已知向量，，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2022·全國·高三專題練習）
22．若為非零向量，滿足，且，則（ ）
A． B．1 C． D．
【變式5-2】（2024·浙江·校聯考一模）
23．已知平面向量滿足：與的夾角為，若，則（ ）
A．0 B．1 C． D．
【變式5-3】（2024·安徽·高三校聯考階段練習）
24．已知非零向量，滿足，設甲：，乙：，則（ ）
A．甲是乙的充要條件
B．甲是乙的充分條件但不是必要條件
C．甲是乙的必要條件但不是充分條件
D．甲既不是乙的充分條件也不是乙的必要條件
【變式5-4】（2024·湖南常德·高三統考期末）
25．已知向量，，若，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 數量積的綜合應用】
滿分技巧綜合問題的求解方法： （1）坐標法：把幾何圖形放在適當的坐標系中，則有關點與向量就可以用坐標表示，這樣就能進行相應的代數運算和向量運算，從而使問題得到解決； （2）基向量法：適當選取一組基底，溝通向量之間的聯系，利用向量間的關系構造關于未知量的方程來進行求解.
【例6】（2024·北京西城·高三北京師大附中校考開學考試）
26．如圖，圓為的外接圓，，為邊的中點，則（ ）

A．10 B．13 C．18 D．26
【變式6-1】（2023·上海普陀·高三曹楊二中校考期末）
27．在中，，則下列說法一定正確的是（ ）
A．若，則是銳角三角形 B．若，則是鈍角三角形
C．若，則是銳角三角形 D．若，則是鈍角三角形
【變式6-2】（2024·全國·校聯考一模）
28．窗花是貼在窗紙或窗戶玻璃上的剪紙，是中國古老的傳統民間藝術之一．在2022年虎年新春來臨之際，許多地區人們為了達到裝點環境、渲染氣氛，寄托辭舊迎新、接福納祥的愿望，設計了一種由外圍四個大小相等的半圓和中間正方形所構成的剪紙窗花（如左圖）．已知正方形的邊長為，中心為，四個半圓的圓心均在正方形各邊的中點（如右圖）．若點在四個半圓的圓弧上運動，則的取值范圍是 .
【變式6-3】（2024·天津河西·高三統考期末）
29．在中，，，，，，且，則 ；的值為 .
【變式6-4】（2023·全國·模擬預測）
30．已知中，，且為的外心．若在上的投影向量為，且，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（建議用時：60分鐘）
（2024·寧夏石嘴山·高三平羅中學校考期末）
31．已知向量，滿足，，且，則（ ）
A． B．0 C．1 D．2
（2024·浙江嘉興·高三統考期末）
32．已知單位向量，的夾角為，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·山東青島·高三統考期末）
33．在四邊形中，四個頂點A，B，C，D的坐標分別是，，，，E，F分別為的中點，則（ ）
A．10 B．12 C．14 D．16
（2024·黑龍江·高三大慶實驗中學校聯考階段練習）
34．已知、為單位向量，且，則、的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2024·福建廈門·統考一模）
35．已知，為單位向量，若，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2024·北京豐臺·高三統考期末）
36．已知是兩個不共線的單位向量，向量（）．“，且”是“”的（ ）
A．充分而不必要條件 B．必要而不充分條件
C．充分必要條件 D．既不充分也不必要條件
（2024·湖南邵陽·統考一模）
37．已知向量.若與的夾角的余弦值為，則實數的值為（ ）
A． B． C． D．
（2024·廣東深圳·高三統考期末）
38．已知為單位向量，且，則與的夾角為（ ）
A． B． C． D．
（2024·全國·武鋼三中校聯考模擬預測）
39．已知，，若，則在上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2024·湖北武漢·武漢市第六中學校聯考二模）
40．在平面直角坐標系中為原點，，，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北·高三雄縣第一高級中學校聯考期末）
41．已知向量，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2024·河北·高三校聯考期末）
42．若，，則的最大值為（ ）
A．3 B．5 C． D．
（2024·遼寧遼陽·高三統考期末）
43．在中，，D為AB的中點，，P為CD上一點，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·江蘇·高三統考期末）
44．平面向量，，滿足，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2024·天津河北·高三統考期末）
45．如圖，在平行四邊形中，與交于點，是線段的中點，的延長線與交于點.若，則等于（ ）

A． B． C． D．
（2022·河南·高三校聯考專題練習）
46．已知平面向量，，若，，（其中表示向量，的夾角），則 .
（2022·河南·高三專題練習）
47．已知平面向量，滿足，，若，則向量，的夾角的余弦值為 ．
（2024·黑龍江雞西·高三校考期末）
48．如下圖，在平行四邊形中，，點在上，且，則= ．
（2023·全國·模擬預測）
49．已知圓上有兩個動點，滿足，點是圓上的動點，則的取值范圍是 ．
（2023·天津·高三天津市第七中學校考階段練習）
50．如圖，在菱形中，，E、F分別為、上的點．，，點M在線段上，且滿足， ；若點N為線段上一動點，則的取值范圍為 ．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】根據數量積得運算律計算即可.
【詳解】由，
所以，則.
故選：C
2．A
【分析】由向量數量積公式計算即可得.
【詳解】因為，，所以.
故選：A.
3．B
【分析】根據向量的數量積的運算律求解即可.
【詳解】非零向量，，滿足，且，
對于A，不恒為，故A錯誤；
對于B，，故B正確；
對于C，不恒為，故C錯誤；
對于D，不恒為，故D錯誤.
故選：B.
4．C
【分析】根據已知條件建立空間直角坐標系，求出相關點的坐標，利用向量的坐標運算及數量積的坐標運算即可求解.
【詳解】由題意可知，以為坐標原點，建立平面直角坐標系如圖所示
因為，
所以.
設，則，
由，得，即，解得，
所以.
設，則，
由，得，
即，解得，
所以.
所以，
.
故選：C.
5．
【分析】利用平行線的性質，確定出點是的幾等分點，則都用基底向量來表示，利用數量積的運算律即可求解．
【詳解】如圖：過作交于點．
由，是的中點得：，,所以，
故，即．
所以．
所以．
．
由已知得．
所以
．
故答案為：．
6．D
【分析】由向量數量積的運算律可得，再由投影向量的定義求在上的投影向量.
【詳解】由，則，
由在上的投影向量.
故選：D
7．A
【分析】首先根據，結合向量數量積公式，求，再代入投影公式，即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以，，
則在方向上的投影為.
故選：A
8．D
【分析】根據向量的加法法則，結合投影向量的求解即可求解.
【詳解】由可得，
又，如圖所示，由平行四邊形法則可得四邊形為菱形，
故互相垂直平分，所以在方向上的投影向量為，
故選：D．
9．B
【分析】根據給定條件，確定的形狀，再利用投影向量的意義求解作答
【詳解】因為和分別表示向量和向量方向上的單位向量，
由，可得的角平分線與垂直，
所以為等腰三角形，且，
又，得，所以，
又，所以,
所以為等邊三角形，
所以向量在向量上的投影向量為，
故選：B.
10．C
【分析】首先利用平面向量基本定理的推理，以向量為基底表示向量，再根據投影向量公式，即可求解.
【詳解】如圖，，
，
則，得，，
即,
則在上的投影向量為，
，
所以在上的投影向量為.
故選：C
11．B
【分析】根據平面向量數量積的坐標表示及模的坐標表示即可求解.
【詳解】因為，所以，
所以.
故選：B
12．B
【分析】根據已知結合投影向量的概念得出，求解即可得出答案.
【詳解】由已知可得，在上的投影向量為，
又在上的投影向量，所以，
所以，所以，
所以.
故選：B.
13．B
【分析】由向量的數量積以及模長運算公式即可得解.
【詳解】連接，，如圖，可知.

由，即，可得.
從而，，所以.
故選：B.
14．
【分析】根據數量積的定義和運算律可得，結合二次函數分析求解.
【詳解】由題意可知：，
因為，
當且僅當時，等號成立，
所以的最小值是.
故答案為：.
15．C
【分析】根據題設向量模長和垂直條件，考慮運用幾何法求解，由想到構造矩形，運用極化恒等式推導出結論，求得,最后用三角形三邊關系定理得到的范圍，轉化即得.
【詳解】
如圖，設，，，點在圓上，
點在圓上，則，，由可得：，
作矩形, 則.
下證： .
設交于點，連接,因則 ，
同理可得：，兩式左右分別相加得：
，
.
即，故.
又，因，
即，故有．
故選:C．
【點睛】方法點睛：本題考查平面向量的線性運算的模長范圍問題，屬于較難題.
處理平面向量的模長范圍問題，常用的方法有：
（1）坐標法：即通過建立直角坐標系，通過向量坐標運算求得；
（2）基向量表示法：即通過選設平面的基底，用基底表示相關向量，運算求得；
（3）構造幾何圖形法：即根據模長定值構造圓形，由向量點乘等于零得到兩向量垂直.
16．A
【分析】根據投影向量、向量數量積等知識求得正確答案.
【詳解】設與的夾角為，
在上的投影向量為
所以，
所以，
所以為鈍角，且.
故選：A
17．C
【分析】將條件等式變形，再結合數量積公式，即可求解.
【詳解】因為，且，則，
兩邊平方可得，即，
所以，，又，
所以與的夾角為.
故選：C
18．A
【分析】根據向量的模長可得向量的數量積，再根據平面向量夾角余弦公式即可得向量的夾角大小.
【詳解】由，平方可得，又
所以，
所以，
因為，
所以向量的夾角為．
故選：A.
19．D
【分析】先將轉化為向量間的關系即，進而結合向量的運算轉化可得，之間的關系，進而求解.
【詳解】因為，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以，
所以向量與向量的夾角為90°．
故選：D.
20．
【分析】利用數量積為負可求參數的取值范圍.
【詳解】因為與的夾角為鈍角，
故且與不共線反向，
由可得，
即即，故或，
若與共線，則存在實數，使得，
而不共線，故即或，
當時，與共線同向；
當時，與共線反向；
故的取值范圍為或或，
故答案為：.
21．C
【分析】根據向量垂直的坐標表示可得答案.
【詳解】因為，所以，即，
所以，所以.
故選：C.
22．B
【分析】根據垂直關系可得數量積為零，由此構造方程可求得，進而得到結果.
【詳解】，，
即，
又,
為非零向量，,
又,
所以.
故選：B
23．D
【分析】先計算平面向量的數量積，再利用，列式解得即可.
【詳解】由題意，得，
由，得，即，
∴ ，解得.
故選：D
24．A
【分析】將平方轉化為數量積，根據可得乙等價于，即甲、乙互為充要條件.
【詳解】乙:等價于，
即，
因為，所以，所以乙等價于，即，
所以甲、乙互為充要條件.
故選：A
25．D
【分析】由題意得，即，代入即可求解．
【詳解】已知向量，，
若，則，即，
則的值為．
故選：D．
26．B
【分析】根據三角形外接圓的性質，結合數量積的幾何意義求解可得可得與，再根據平面向量的運算可得出結論．
【詳解】是邊的中點，可得，
是的外接圓的圓心，
，
同理可得，
．
故選：B．
27．D
【分析】根據題中條件利用向量的數量積運算可求得，分情況考查的正負情況，轉化為的正負情況，進一步分析即可.
【詳解】因為，
即,
又時，三角形一定不是直角三角形，
則有，
，
若，則，為銳角，但是不能判斷的大小，
故A,B錯誤；
當時，則，中必有一個鈍角，
故此時是鈍角三角形，C錯誤，D正確，
故選：D.
28．
【分析】根據題意建立平面直角坐標系，利用坐標系表示向量，寫出的解析式，再求的取值范圍即可.
【詳解】以原點，為軸正方向建立平面直角坐標系，如圖所示.
因為正方形的邊長為，所以，
則、，則，
設的中點為，則，，所以，，
因為是半圓上的動點，設點，
則，其中，則，
所以，，
由對稱性可知，當點在第三象限的半圓弧上運動時（包含點、），
，
當點在第一象限的半圓弧上運動時（包含點、），的中點為，半圓的半徑為，
可設點，其中，則，
，則，
同理可知，當點在第四象限內的半圓弧上運動時（包含點、），
.
綜上可知，的取值范圍是.
故答案為：.
【點睛】方法點睛：求兩個向量的數量積有三種方法：
（1）利用定義：
（2）利用向量的坐標運算；
（3）利用數量積的幾何意義．
具體應用時可根據已知條件的特征來選擇，同時要注意數量積運算律的應用．
29．
【分析】根據平面向量的基本定理、向量的數量積定義及數量積運算即可求解.
【詳解】因為，，，
所以,
又，在中，，，
所以，
,
即，解得或（舍去），
故的值為：.
又,,

，
故的值為：.
故答案為：
30．A
【分析】根據題意B，O，C三點共線．因為為的外心，即有，所以為直角三角形，利用向量得投影結合圖形即可得解.
【詳解】
因為，
則，所以，即B，O，C三點共線．
因為為的外心，即有，
所以為直角三角形，因此，為斜邊的中點．因為，所以為銳角．
如圖，過點作，垂足為．
因為在上的投影向量為，所以，
所以在上的投影向量為．
又因為，所以．
因為，所以，
故的取值范圍為．
故選：A．
31．C
【分析】將平方轉化為數量積計算即可.
【詳解】得，即
所以，所以.
故選：C
32．B
【分析】根據題意可得，，，結合數量積的運算律分析求解.
【詳解】由題意可知：，，，
所以.
故選：B.
33．A
【分析】利用中點坐標公式以及向量的坐標表示進行數量積運算.
【詳解】由題意，
則，，
.
故選：A
34．B
【分析】設、的夾角為，則，利用平面向量數量積的運算性質可得出的值，即可得出角的值.
【詳解】設、的夾角為，則，由已知可得，，
所以，，即，
即，即，
解得，故，
故選：B.
35．B
【分析】根據已知，應用向量數量積的運算律求即可判斷夾角大小.
【詳解】由題意，則與的夾角為.
故選：B
36．A
【分析】舉例驗證必要性，通過向量的運算來判斷充分性.
【詳解】當，且時，
，充分性滿足；
當時，
，當，時，
是可以大于零的，
即當時，可能有，，必要性不滿足，
故“，且”是“”的充分而不必要條件.
故選：A.
37．D
【分析】根據平面向量數量積的坐標運算法則求解.
【詳解】由題意：，，，
所以.
故選：D
38．C
【分析】根據可得，再由向量夾角計算公式可求得與的夾角為.
【詳解】由題意可得，
將兩邊平方可得；
可得，可得；
設與的夾角為，則，
所以.
故選：C
39．D
【分析】借助平面向量的數量積公式與投影向量公式計算即可得.
【詳解】
.
故選：D.
40．B
【分析】由投影向量的定義及數量積、模長的坐標表示求向量在向量上的投影向量.
【詳解】由題設，
向量在向量上的投影向量為.
故選：B
41．A
【分析】根據投影向量的定義運算求解.
【詳解】，又，
所以在向量上的投影向量為.
故選：A.
42．A
【分析】（法一）設與夾角為．因為，對其兩邊同時平方結合三角函數的性質即可得出答案；（法二）因為，如圖設，，由知點B在以A為圓心1為半徑的圓上，結合圖形即可得出答案.
【詳解】（法一）設與夾角為．因為，
得
，
當時，最大值9，的最大值3，故選：A．
（法二）因為，如圖設，，
由知點B在以A為圓心1為半徑的圓上，
當點B與O、A在一條直線，位于圖中位置時，的最大值3.
故選：A.
43．D
【分析】由中點可知，根據模長關系可得，設，結合平面向量的線性運算以及基本定理可得，用表示，結合模長運算求解.
【詳解】因為D為AB的中點，則，
可得，即，解得，
又因為P為CD上一點，設，
則，
可得，解得，即，
則，
可得，即.
故選：D.
【點睛】關鍵點睛：1.根據模長關系可得；
2.設，根據平面向量基本定理求得；
3.以為基底表示，進而運算求解.
44．B
【分析】設，計算得到，求出，利用求出答案.
【詳解】設，
則，
而，
因為，所以.
故選：B.
45．C
【分析】根據兩個三角形相似對應邊成比例，得到，運用向量的加減運算和向量中點的表示，結合向量數量積的定義和性質，將向量用，表示，計算即可得到結果．
【詳解】平行四邊形，，，，，
可得，
是線段的中點，
可得，
；
，
則
．
故選：C
46．8
【分析】利用平面向量的線性運算求解即可.
【詳解】依題意，，解得，
則.
故答案為：8.
47．##0.725
【分析】根據給定條件，利用向量數量積運算律計算即得.
【詳解】依題意，兩邊平方得，而，，
因此，解得，
所以向量，的夾角的余弦值為.
故答案為：
48．18
【分析】表達出，，利用數量積運算法則求出答案.
【詳解】因為平行四邊形中，，
所以，，
，，
故
.
故答案為：18
49．
【分析】取的中點，連接，根據題意分析可知，根據向量的運算可得，結合圓的性質分析求解.
【詳解】由題意可知：圓的圓心，半徑；
圓的圓心，半徑；
連接，取的中點，連接，
由得，
因為，
注意到與為相反向量，
因此．
又因為，，
即，可得，所以．
故答案為：.
50． ,．
【分析】根據模長公式即可由數量積的運算律求解空1，用基底，表示，，然后求數量積，再由函數性質得出取值范圍．
【詳解】由可得，
所以,
設，,，
，
所以，
，
所以
，
因為,，所以,，
故答案為：；,．
答案第1頁，共2頁
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