資源簡介

熱點7-4 拋物線及其應用
拋物線是高考數學的熱點問題，在高考中選擇題、填空題、解答題都曾出現過，屬于高頻考點.這部分內容主要涉及標準方程、幾何性質、弦長問題及面積問題等，解題思路和解題步驟相對固定，在沖刺階段的教學過程中盡量淡化解題技巧，強調通性通法，規范解題步驟.
【題型1 拋物線的定義及概念辨析】
滿分技巧1、利用拋物線的定義解決問題，應靈活地進行拋物線上的點到焦點的距離與到準線距離的等價轉化．即“看到準線想到焦點，看到焦點想到準線”． 2、注意靈活運用拋物線上一點P（x，y）到焦點F的距離|PF|＝|x|＋或|PF|＝|y|＋.
【例1】（2023·廣東廣州·高三天河中學校考階段練習）
1．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且，則點到軸的距離為（ ）
A． B． C．2 D．1
【變式1-1】（2023·全國·高三專題練習）
2．動點P到直線的距離減去它到點的距離等于2，則點P的軌跡是（ ）
A．直線 B．圓 C．雙曲線 D．拋物線
【變式1-2】（2023·湖南長沙·高三湖南師大附中校考階段練習）
3．焦點為的拋物線的對稱軸與準線交于點，點在拋物線上且在第一象限，在中，，則直線的斜率為（ ）
A． B． C．1 D．
【變式1-3】（2023·安徽合肥·合肥一中校考模擬預測）
4．設O為坐標原點，F為拋物線C：的焦點，直線與拋物線C交于A，B兩點，若，則拋物線C的準線方程為（ ）
A． B．
C．或 D．或
【變式1-4】（2023·河南·校聯考二模）
5．設F為拋物線的焦點，點M在C上，點N在準線l上，且平行于x軸，準線l與x軸的交點為E，若，則梯形的面積為（ ）
A．12 B．6 C． D．
【題型2 利用定義求距離和差最值】
滿分技巧與拋物線有關的最值問題的轉換方法 （1）將拋物線上的點到準線的距離轉化為該點到焦點的距離，構造出“兩點之間線段最短”，使問題得解． （2）將拋物線上的點到焦點的距離轉化為該點到準線的距離，利用“與直線上所有點的連線中垂線段最短”原理解決．
【例2】（2023·四川綿陽·高三南山中學校考階段練習）
6．已知點是拋物線的焦點，點，且點為拋物線上任意一點，則的最小值為（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【變式2-1】（2023·江西萍鄉·高三統考期末）
7．點為拋物線上任意一點，點為圓 上任意一點，為直線的定點，則的最小值為（ ）
A．2 B． C．3 D．
【變式2-2】（2023·全國·模擬預測）
8．已知拋物線C：的焦點為F，，過點M作直線的垂線，垂足為Q，點P是拋物線C上的動點，則的最小值為 ．
【變式2-3】（2023·廣西·統考模擬預測）
9．已知拋物線：的焦點為，圓：，點，分別為拋物線和圓上的動點，設點到直線的距離為，則的最小值為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【變式2-4】（2023·湖北孝感·校聯考模擬預測）
10．設P為拋物線C：上的動點，關于P的對稱點為B，記P到直線的距離分別，，則的最小值為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 拋物線標準方程的求解】
滿分技巧1、定義法：根據拋物線的定義，確定p的值（系數p是指焦點到準線的距離），再結合焦點位置，求出拋物線方程．標準方程有四種形式，要注意選擇． 2、待定系數法 （1）根據拋物線焦點是在x軸上還是在y軸上，設出相應形式的標準方程，然后根據條件確定關于p的方程，解出p，從而寫出拋物線的標準方程； （2）當焦點位置不確定時，有兩種方法解決．一種是分情況討論，注意要對四種形式的標準方程進行討論，對于焦點在x軸上的拋物線，若開口方向不確定需分為y2＝－2px（p>0）和y2＝2px（p>0）兩種情況求解． 另一種是設成y2＝mx（m≠0），若m>0，開口向右；若m<0，開口向左；若m有兩個解，則拋物線的標準方程有兩個．同理，焦點在y軸上的拋物線可以設成x2＝my（m≠0）．
【例3】（2023·北京·北京四中校考模擬預測）
11．已知拋物線的焦點為，準線為，點是拋物線上一點，于.若，則拋物線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】（2023·河北衡水·高二衡水市第二中學校考階段練習）
12．已知拋物線：（）的焦點為，點在上，且，若點的坐標為，且，則的方程為（ ）
A．或 B．或
C．或 D．或
【變式3-2】（2023·上海楊浦·統考一模）
13．已知拋物線的焦點為，第一象限的、兩點在拋物線上，且滿足，.若線段中點的縱坐標為4，則拋物線的方程為 .
【變式3-3】（2023·天津河東·高三校考階段練習）
14．點M為拋物線上點，拋物線焦點為F，過M作y軸垂線交y軸于N點，若是以為底邊的等腰三角形，且，則拋物線方程為 .
【變式3-4】（2023·全國·高三專題練習）
15．若點A，B在拋物線上，O是坐標原點，正三角形OAB的面積為，則該拋物線的方程是 ．
【題型4 拋物線的中點弦問題】
滿分技巧設直線與曲線的兩個交點、，中點坐標為，代入拋物線方程，，，將兩式相減，可得，整理可得：
【例4】（2023·四川資陽·統考三模）
16．已知拋物線C：，過點的直線l與拋物線C交于A，B兩點，若，則直線l的斜率是（ ）
A． B．4 C． D．
【變式4-1】（2022·北京·高三北京二中校考階段練習）
17．已知A，B是拋物線上的兩點，線段AB的中點為，則直線AB的方程為 ．
【變式4-2】（2023·貴州遵義·統考三模）
18．已知拋物線上兩點A，B關于點對稱，則直線AB的斜率為 .
【變式4-3】（2022·全國·高三專題練習）
19．直線（是參數）與拋物線的相交弦是，則弦的中點軌跡方程是 .
【變式4-4】（2023·陜西漢中·校聯考模擬預測）
20．已知拋物線的焦點為，點在拋物線上，且．
(1)求拋物線的方程；
(2)已知直線交拋物線于兩點，且點為線段的中點，求直線的方程．
【題型5 拋物線的弦長問題】
滿分技巧1、一般弦長：設為拋物線的弦，，，（為直線的斜率，且）. 2、焦點弦長：如圖，是拋物線過焦點的一條弦，設，，的中點，過點，，分別向拋物線的準線作垂線，垂足分別為點，，， 根據拋物線的定義有，， 故. 又因為是梯形的中位線，所以， 從而有下列結論； （1）以為直徑的圓必與準線相切. （2）（焦點弦長與中點關系） （3）. （4）若直線的傾斜角為，則. （5），兩點的橫坐標之積，縱坐標之積均為定值，即，. （6）為定值.
【例5】（2023·湖南長沙·雅禮中學校考模擬預測）
21．已知拋物線的焦點為，過且斜率大于零的直線與及拋物線的公共點從右到左依次為點、、，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2023·江西景德鎮·統考一模）
22．已知拋物線C：的焦點為F，準線為l，過F的直線交拋物線C于A，B兩點，的中垂線分別交l與x軸于D，E兩點（D，E在的兩側）.若四邊形為菱形，則（ ）
A． B． C． D．2
【變式5-2】（2022·廣東深圳·高三深圳外國語學校校考階段練習）
23．若直線l經過拋物線的焦點，與該拋物線交于A，B兩點，且線段AB的中點的縱坐標為3，則線段AB的長為 .
【變式5-3】（2022·四川內江·統考模擬預測）
24．已知拋物線：，坐標原點為，焦點為，直線：.
(1)若直線與拋物線只有一個公共點，求的值；
(2)過點作斜率為的直線交拋物線于,兩點，求的面積．
【變式5-4】（2023·湖南邵陽·高三邵東市第三中學校考階段練習）
25．已知拋物線的準線方程是.
(1)求拋物線的方程；
(2)設直線與拋物線相交于，兩點，若，求實數k的值.
【題型6 直線與拋物線綜合應用】
滿分技巧求解拋物線綜合問題的方法 （1）研究直線與拋物線的位置關系與研究直線與橢圓、雙曲線的位置關系的方法類似，一般是用方程法，但涉及拋物線的弦長、中點、距離等問題時，要注意“設而不求”“整體代入”“點差法”以及定義的靈活應用． （2）有關直線與拋物線的弦長問題，要注意直線是否過拋物線的焦點，若過拋物線的焦點，可直接使用公式|AB|＝x1＋x2＋p（焦點在x軸正半軸），若不過焦點，則必須用弦長公式．
【例6】（2023·全國·模擬預測）
26．已知拋物線的焦點為上任意一點到的距離與到點的距離之和的最小值為3．
(1)求拋物線的標準方程．
(2)已知過點且互相垂直的直線與分別交于點與點，線段與的中點分別為．若直線的斜率分別為，求的取值范圍．
【變式6-1】（2023·湖北·高三校聯考階段練習）
27．已知拋物線C：（）的準線方程為．動點P在上，過P作拋物線C的兩條切線，切點為M，N．
(1)求拋物線C的方程：
(2)當面積的最大值時，求點P的坐標．（O為坐標原點）
【變式6-2】（2023·陜西西安·高三西安市第三中學校考期中）
28．已知為拋物線的焦點，為坐標原點，為的準線上的一點，直線的斜率為，的面積為4.
(1)求的方程；
(2)拋物線在軸上方一點的橫坐標為，過點作兩條傾斜角互補的直線，與曲線的另一個交點分別為、，求證：直線的斜率為定值.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習）
29．已知拋物線 的準線經過點 ．
(1)求拋物線C的方程．
(2)設O是原點，直線l恒過定點（1，0），且與拋物線C交于A，B兩點，直線與直線，分別交于點M，N，請問：是否存在以 為直徑的圓經過x軸上的兩個定點？若存在，求出兩個定點的坐標；若不存在，請說明理由．
【變式6-4】（2023·重慶·高三四川外國語大學附屬外國語學校校考期中）
30．已知拋物線的焦點為，點是拋物線上一點，且.
(1)求拋物線C的方程；
(2)設直線l：，點B是l與y軸的交點，過點A作與l平行的直線，過點A的動直線與拋物線C相交于P，Q兩點，直線PB，QB分別交直線于點M，N，證明：．
（建議用時：60分鐘）
（2023·西藏拉薩·統考一模）
31．已知拋物線：的焦點為，點在拋物線上，且，為坐標原點，則（ ）
A． B． C．4 D．5
（2023·全國·模擬預測）
32．已知拋物線，直線與拋物線相交于A，B兩點，點A為x軸上方一點，過點A作垂直于C的準線于點D．若，則p的值為（ ）
A． B．1 C． D．2
（2023·浙江紹興·統考模擬預測）
33．已知為拋物線上的一點，過作圓的兩條切線，切點分別為，，則的最小值是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
34．設為拋物線的焦點，點為上第四象限的點．若直線的方程為，則（ ）
A．6 B．4 C．3 D．2
（2023·江蘇徐州·高三統考期中）
35．已知拋物線的焦點為，過點的直線與交于兩點，線段的垂直平分線與軸交于點，若，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預測）
36．已知焦點為的拋物線上有一點，準線交軸于點.若，則直線的斜率（ ）
A． B． C． D．
（2023·河南新鄉·高三校聯考開學考試）
37．已知直線l交拋物線于M，N兩點，且MN的中點為，則直線l的斜率為（ ）
A． B． C．3 D．
（2023·重慶·高三巴蜀中學校考階段練習）
38．設拋物線C: 的焦點為F， 準線為. 點A，B是拋物線C上不同的兩點，且，則（ ）
A． B．以線段為直徑的圓必與準線相切
C．線段的長為定值 D．線段的中點 E 到準線的距離為定值
（2023·廣東佛山·高三校考階段練習）
39．直線與拋物線相交于兩點，下列說法正確的是（ ）
A．拋物線的準線方程為 B．拋物線的焦點為
C．若為原點，則 D．若，則
（2023上·山東·高三校聯考開學考試）
40．已知拋物線的焦點到準線的距離為2，過軸上異于坐標原點的任意一點作拋物線的一條切線，切點為，且直線的斜率存在，為坐標原點.則（ ）
A． B．當線段的中點在拋物線上時，點的坐標為
C． D．
（2023·天津北辰·高三統考期中）
41．一條傾斜角為的直線經過拋物線的焦點，且該直線與圓相交于A，兩點，則 ．
（2023·全國·高三專題練習）
42．已知點F(0，2)，過點且與y軸垂直的直線為，軸，交于點N，直線垂直平分FN，交于點M．則點M的軌跡方程為 ．
（2023上·北京·高三北京市八一中學校考開學考試）
43．已知拋物線C的方程為，若傾斜角為銳角的直線l過拋物線的焦點F，與拋物線交于A，B兩點，且，則直線l的傾斜角為 ．
（2023·湖南郴州·統考一模）
44．已知點在拋物線上，為拋物線上兩個動點，不垂直軸，為焦點，且滿足.
(1)求的值，并證明：線段的垂直平分線過定點；
(2)設（1）中定點為，當的面積最大時，求直線的斜率.
（2023·貴州畢節·校考模擬預測）
45．已知拋物線的焦點為，過點的直線與拋物線交于兩點，點在第一象限，為坐標原點．
(1)設為拋物線上的動點，求的取值范圍；
(2)記的面積為的面積為，求的最小值．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據拋物線定義求解即可.
【詳解】由題意得，，拋物線中，
所以，所以所求距離為.
故選：B
2．D
【分析】根據題意可知，動點P到直線的距離與到定點的距離相等，由拋物線的定義可知，點P的軌跡為拋物線.
【詳解】如圖所示，由于動點P到直線的距離減去它到點的距離等于2，
于是動點P在直線的右邊，且動點P到直線的距離大于2，
因此動點P到直線的距離等于它到點的距離，
進而根據拋物線的定義，可知點P的軌跡是拋物線．
故選：D
3．A
【分析】先過B點作準線的垂線，再根據定義結合正弦定理，計算傾斜角的正弦最后得出斜率即可.
【詳解】過作準線的垂線，垂足為，作軸的垂線，垂足為，
則由拋物線的定義可得，由，
在中由正弦定理可知：，
設的傾斜角為，則，
故選:A．

4．C
【分析】根據題意，由條件可得，然后結合拋物線的定義，列出方程，即可求得結果.
【詳解】設直線與軸交點為，
由拋物線的對稱性，易知為直角三角形，且，
，即，去絕對值，解得或，
所以拋物線的準線方程為或.
故選：C.
5．D
【分析】由已知及拋物線定義證是正三角形，再求梯形的面積即可.
【詳解】由題知，拋物線的焦點F為，準線l為，如圖所示.

由題知，因為，所以，
則.
因為，所以，
由拋物線的定義知，所以是正三角形，
所以，則.
故選：D
6．A
【分析】先用焦點坐標將拋物線方程計算出來，再根據拋物線的定義得到點到焦點的距離等于其到準線的距離，結合線段間的不等關系，即可得到.
【詳解】由是拋物線的焦點，得，即，
故，其準線方程為，
當時，有，即，故點在拋物線上方，
由拋物線定義可知，點到焦點的距離等于其到準線的距離，
則.
故選：A.
7．A
【分析】畫圖，找出拋物線焦點，化簡圓的普通方程為標準方程，結合拋物線定義以及共線性質分析得出最值.
【詳解】如圖所示：
由知，拋物線焦點，
由，化為，
即為以為圓心，1為半徑的圓，
又，得，恒過定點，
過點作垂直于拋物線的準線：交于點，連接，
則，
當三點共線時，最小,此時為3，
所以的最小值為：，
故選：A.
8．
【分析】本題先求出直線必過的定點，再求出的軌跡方程，再數形結合求最值即可.
【詳解】
由得，
所以直線過點．
連接AM，則，由題意知點Q在以AM為直徑的圓上，設，所以點Q的軌跡方程為（不包含點），
記圓的圓心為，過點Q，P，N分別作準線的垂線，垂足分別為B，D，S，連接DQ，則，當且僅當B，P，Q，N四點共線且點Q在PN中間時等號同時成立，所以的最小值為．
故答案為;
9．C
【分析】由題意，的最小值為，的最小值為，可求的最小值.
【詳解】圓：，圓心坐標，半徑為1，
拋物線：的焦點為，準線方程，如圖所示，
點到直線的距離比點到準線的距離大2，即，
的最小值為，當三點共線時的最小值為，
所以.
故選：C.
10．A
【分析】根據題意得到，再利用拋物線的定義結合三角不等式求解.
【詳解】解：如圖，

因為，且關于P的對稱點為B，所以|PA|=|PB|，拋物線焦點，
所以
.
當P在線段AF上時，取得最小值，且最小值為.
故選：A
11．C
【分析】根據拋物線的定義求得，然后在直角三角形中利用可求得，從而可得答案．
【詳解】如圖，連接，設準線與軸交點為

拋物線的焦點為，準線：
又拋物線的定義可得，又，所以為等邊三角形，
所以，
所以在中，，則，所以拋物線的方程為.
故選：C.
12．A
【分析】設為，得到，，得到，由，聯立方程組求得，結合，求得的值，即可求解.
【詳解】設為，則，
又由，所以，
因為，所以，可得，
由，聯立方程組，消去，可得，所以，故，
又由，所以，即，解得或，
所以的方程為或．
故選：A．
13．
【分析】先根據焦半徑公式得到的關系，然后根據弦長公式求解出，結合兩點間斜率公式以及點在拋物線上求解出的值，則拋物線方程可求.
【詳解】設，
因為，
所以，所以，
又因為，所以，
因為都在第一象限，所以，
又因為且，
所以，所以，所以拋物線方程為，
故答案為：.
14．
【分析】根據拋物線的定義：拋物線上的點到焦點的距離等于到準線的距離，列出關系求解即可.
【詳解】因為是以為底邊的等腰三角形，且，
所以，設點M到拋物線準線的距離為，
則由拋物線的定義知，，
即：，且，所以，解得：，
所以拋物線的方程為.
故答案為：
15．
【分析】根據對稱性可知軸，所以根據正三角形OAB的面積為，可以得到AB長，以及三角形OAB的高，進一步得到點A的坐標，將A點坐標代入拋物線方程解得p，即可得到拋物線的方程.
【詳解】根據對稱性，可知軸，
由于正三角形OAB的面積是，故，
故，正的高為，
故可設點A的坐標為，代入拋物線方程得，解得，
故所求拋物線的方程為．
故答案為：
16．A
【分析】利用點差法求解即可.
【詳解】設，則作差得.因為，所以P是線段AB的中點，所以，則直線l的斜率.
故選：A
17．
【分析】先由題意判斷得，再由點差法求得，由此得到，從而利用點斜式即可求得直線AB的方程.
【詳解】依題意，設，
若，則直線，由拋物線的對稱性可知，線段AB的中點為，顯然不符合題意，故，
因為A，B是拋物線上的兩點，
所以，兩式相減得，，整理得，
因為線段AB的中點為，
所以，即，
又，所以，
所以直線AB的方程為，即.
故答案為：.
18．2
【分析】根據點差法求得直線AB的斜率，并驗證判別式大于零.
【詳解】設，代入拋物線，得，
則①，
因為兩點A，B關于點對稱，則，
所以由①得，
直線AB的斜率為2.
則直線AB：與代入拋物線聯立，得，，解得.
所以直線AB的斜率為2.
故答案為：2.
19．
【分析】設、中點，分析可得直線過定點，即，點差法可得，代入可得，與拋物線聯立可得的范圍
【詳解】設，中點，
則.
，
過定點，
.
又，（1），（2）
得：，
. 于是，即.
又弦中點軌跡在已知拋物線內，
聯立
故弦的中點軌跡方程是
20．(1)
(2)
【分析】（1）利用拋物線定義可求得，即可求出拋物線的方程；
（2）由弦中點坐標為并利用點差法即可求得直線的斜率為，便可得直線方程.
【詳解】（1）點在拋物線上，
由拋物線定義可得，解得，
故拋物線的標準方程為．
（2）設，如下圖所示：

則，兩式相減可得，
即，
又線段的中點為，可得；
則，故直線的斜率為4，
所以直線的方程為，
即直線的方程為．
21．C
【分析】設直線l的方程為，將直線的方程與拋物線的方程聯立，根據其判別式為零，結合可求得的值，設點、，將直線的方程與拋物線的方程聯立，利用韋達定理結合拋物線的焦點弦長公式可求得的值.
【詳解】如下圖所示：
易知拋物線的焦點為，
設直線l的方程為，
因為直線與拋物線相切，聯立，可得，
則，因為，解得，
設點、，聯立，可得，
，由韋達定理可得，，
故選：C.
22．B
【分析】由題設及拋物線性質求出直線的傾斜角，由即可求弦長.
【詳解】由四邊形為菱形，如下圖示，，，
由拋物線性質知：，則，故，
又，故，
所以.
公式，證明如下：
令直線（斜率存在）為，代入，則，
整理得，若，
而，若直線傾斜角為（不為直角），則，
所以.
故選：B
23．8
【分析】求出焦點坐標，設出直線方程為，并設，直線方程代入拋物線方程，由韋達定理得，由中點縱坐標求得值，由弦長公式得結論．
【詳解】拋物線的焦點為，直線與拋物線交于兩點，則其斜率存在，
設的方程為，，
則由得，
，，
又，所以，即，，
所以．
故答案為：8．
24．(1)或
(2)
【分析】（1）聯立直線方程與拋物線方程，分別討論當或，即可求解；
（2）由拋物線的標準方程可得到焦點坐標，從而得到直線方程，聯立直線方程與拋物線方程，根據韋達定理及即可求解.
【詳解】（1）依題意，聯立，消去，得：，即：，
①當時，有：，顯然方程只有一個解，滿足條件；
②當時，要使得直線與拋物線只有一個公共點，
則方程只有一個解，
所以，解得：；
綜上所述，當或時，直線與拋物線只有一個公共點．
（2）由于拋物線：的焦點的坐標為，
所以過點且斜率為的直線方程為：，
設，，
聯立，消去，得：，
則由韋達定理得：，，
所以，
所以.
25．(1)
(2)
【分析】（1）根據拋物線的準線方程求出得解；
（2）聯立直線與拋物線方程，根據根與系數的關系及弦長公式建立方程即可得解.
【詳解】（1）因為拋物線的準線方程為，
所以 ， 解得，
所以拋物線的方程為.
（2）如圖，

設，.
將代入，
消去整理得 .
當時，
， .
，
化簡得：，解得，
經檢驗，此時，故.
26．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意結合拋物線的定義分析可得，進而可得；
（2）設直線的方程為，直線的方程為，與拋物線方程聯立，利用韋達定理整理得，利用基本不等式運算求解.
【詳解】（1）拋物線的準線方程為，
設點到準線的距離為．
由拋物線的定義，得，解得，
當且僅當三點共線時，等號成立，
所以拋物線的標準方程為．
（2）設，
由題意可知，的斜率存在且均不為0，
設直線的方程為，
將其代入，得，則有．
同理可得：設直線的方程為，則．
所以，
所以，，
所以，
當且僅當，即時取等號，
又易知，
所以的取值范圍為．
【點睛】方法點睛：與圓錐曲線有關的取值范圍問題的三種解法：
（1）數形結合法：利用待求量的幾何意義，確定出極端位置后數形結合求解；
（2）構建不等式法：利用已知或隱含的不等關系，構建以待求量為元的不等式求解；
（3）構建函數法：先引入變量構建以待求量為因變量的函數，再求其值域．
27．(1)
(2)．
【分析】（1）根據準線方程得到方程，求出，得到拋物線方程；
（2）求出過M，N的切線方程，從而，均在直線上，聯立，根據弦長公式結合求出，表達出的面積，，構造函數，求導，得到單調性，求出最值.
【詳解】（1）因為準線方程為，所以，解得，
拋物線C的方程為．
（2）設，，則，
對求導可得，
故過M的切線方程為，即，
故，
故MP：，
同理可得NP：，
因為兩切線均經過，
所以
，均在直線上，
可知MN：，當得，，解得，
則MN與y軸的交點坐標為．
聯立，整理得，
由韋達定理，，，
則，
又因為在圓，則，
代入可得，
，
因為，所以，．
構造，，，
易知在上恒成立，故在上單調遞增，
當時，取得最小值，此時取到最大值，點P的坐標為．
【點睛】圓錐曲線中最值或范圍問題的常見解法：
（1）幾何法，若題目的條件和結論能明顯體現幾何特征和意義，則考慮利用幾何法來解決；
（2）代數法，若題目的條件和結論能體現某種明確的函數關系，則可首先建立目標函數，再求這個函數的最值或范圍．
28．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設點的坐標為，根據直線的斜率為，得到，再根據的面積為求出，即可得解；
（2）設直線的斜率為，，，則直線的方程為，聯立直線與拋物線方程，消元，即可求出，同理求出，從而得到，再由斜率公式求出即可.
【詳解】（1）由題意知，設點的坐標為，
則直線的斜率為．
因為直線的斜率為，所以，即，
所以的面積，
解得或（舍去），
故拋物線的方程為．

（2）依題意直線的斜率存在且不為，
設直線的斜率為，點，，．
則直線的方程為，
由消去整理得，
由，所以且，
，是方程的兩個根，
，，
依題意，直線的斜率為，同理可得，
，
，
所以直線的斜率為定值．

29．(1)
(2)存在，兩個定點的坐標分別為和.
【分析】（1）由拋物線的幾何性質可知，求出值從而得出拋物線方程；
（2）設直線的方程為 ，聯立直線與拋物線 的方程，由韋達定理可得,設以為直徑的圓上任一點 , 則 ,令 ,再結合即可解得以為直徑的圓經過軸上的兩個定點的橫坐標，從而求得兩個定點
【詳解】（1）依題意知, , 解得 , 所以拋物線 的方程為 .
（2）存在, 理由如下.
設直線的方程為 .
聯立直線與拋物線 的方程得 消去 并整理, 得 .
易知 , 則
由直線的方程 , 可得 ,
由直線的方程 , 可得 .
設以為直徑的圓上任一點 , 則 ,
所以以為直徑的圓的方程為 .
令 , 得 .
將 代入上式，得 , 解得 .
故存在以為直徑的圓經過軸上的兩個定點, 兩個定點的坐標分別為和.
30．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）根據拋物線的定義表示的長，然后求出，即得到拋物線C的方程.
（2）由已知條件可求出直線的方程，再設出直線的方程并代入拋物線中化簡求出，兩點橫坐標之間關系，從而設出直線，并與直線聯立求出，同理可得，從而可得的表達式，化簡可得，即可得證.
【詳解】（1）
過點D作準線的垂線，垂足為，
由拋物線的定義得，，解得，
所以拋物線C的方程為．
（2）
證明：直線l：，令得，所以點，
因為直線平行于直線l：，且過點，
所以直線：，
設直線：，聯立，得，
所以，設點，，
由韋達定理可得，，
所以直線PB的方程為，直線QB的方程為，
聯立解得，
同理可得，
所以
，
因為，所以，即A是線段MN的中點．
所以．
31．B
【分析】根據拋物線的定義求得點的坐標，進而求得.
【詳解】設，由得，又，得，
所以，.
故選：B
32．B
【分析】易得點的橫坐標為，再利用拋物線的定義得到，再根據，得到是等邊三角形，結合，得到，由求解.
【詳解】解：如圖所示：
根據題意，得點的橫坐標為．
由拋物線的性質，得．
又因為，所以，
所以是等邊三角形．
而 ，則，
所以，
解得．
故選：B．
33．C
【分析】設，由取得最小值，則最大，最小求解.
【詳解】解：如圖所示：
因為，
設，
則，
，
當時，取得最小值，
此時，最大，最小，
且，
故選：C
34．C
【分析】先根據焦點位置求出拋物線方程，再將直線和拋物線方程聯立求出點坐標，再根據焦半徑公式可得答案.
【詳解】由題意可知，，則，所以，．
將代入，得，解得，，
則，．
因為點為上第四象限的點，所以．
根據拋物線的定義可知，．
故選：C．
35．C
【分析】設AB的中點為H，A、B、H在準線上的射影分別為，由題意和拋物線的定義可得，即，設，設直線AB方程，聯立拋物線方程，利用韋達定理求出直線AB的斜率，求得H的坐標，進而求出其中垂線方程，可得D的坐標，結合弦長公式和三角形面積公式計算即可求解.
【詳解】設AB的中點為H，拋物線的焦點為，準線為，
設A、B、H在準線上的射影分別為，
則，由拋物線的定義可知，
，
所以，得,
即點H的橫坐標為2，設直線AB：，代入拋物線方程，
得，由，得且.
設，則，解得或（舍去）.
所以直線AB：，，
所以AB的中垂線方程為，令，解得，即，
則，
又，所以，
所以.
故選：C.
36．B
【分析】根據拋物線的簡單幾何性質、直線的斜率求解.
【詳解】由拋物線的性質，得，所以，則.
設，則，所以，所以，解得，
所以直線的斜率.
故選:B.
37．C
【分析】易知直線l的斜率存在，設，則，兩式相減即可得出直線的斜率的值．
【詳解】易知直線l的斜率存在，設直線的斜率為k，，
則，兩式相減得，整理得，
因為MN的中點為，則，
所以，即直線l的斜率為3．
故選：C．
38．AD
【分析】根據給定條件，求出拋物線的方程，令，由已知結合拋物線的定義可得，計算判斷AD；舉例說明判斷BC.
【詳解】依題意，拋物線的焦點，方程為，則，A正確；
令，顯然，即，
取，則，即點，此時，
以線段為直徑的圓的圓心為，該圓心到準線的距離為4，不等于圓半徑，
因此該圓與準線不相切，B錯誤；
以點為端點的線段長，當直線垂直于x軸時，，
此時，C錯誤；
線段的中點E的橫坐標為3，點E到準線的距離為，D正確.
故選：AD
39．BC
【分析】根據拋物線的方程即可得準線和焦點坐標，進而可判斷AB，聯立直線與拋物線方程，根據韋達定理，結合向量垂直的坐標運算即可判斷C，由焦半徑公式即可判斷D.
【詳解】
由，則其焦點為，準線方程為A錯，B對；
聯立直線與拋物線得，設，則
，而，
由，即，故C對，
顯然直線不過焦點，由拋物線定義有，所以D錯.
故選：BC
40．ACD
【分析】對于A選項：由焦點到準線的距離為2即可驗證；
對于B選項：設點的坐標為，根據中點坐標公式以及線段的中點在拋物線上即可驗證；
對于C選項：可轉換為相應的斜率的乘積是否為即可驗證；
對于D選項：表示出相應的線段長度即可驗證.
【詳解】如下圖所示：

對于A選項：由題意焦點的坐標以及準線方程分別為，
所以焦點到準線的距離為，因此A選項符合題意；
對于B選項：由題意設點的坐標為，又由A選項分析可知，拋物線方程為，
所以線段的中點坐標為，將其代入拋物線方程得，
解得，此時點的坐標為，因此B選項不符合題意；
對于C選項：由題意設點的坐標為，切線的方程為，
將其代入拋物線方程得，整理得，
所以，
因為，所以解得，所以切線的斜率為，
又因為點的坐標為，，所以直線的斜率為，
所以，所以，因此C選項符合題意；
對于D選項：由C選項分析可知，又，
所以有，解得，
將其代入切線的方程，解得，
所以切點的坐標為，又因為，，，
所以，，，，
所以，即，因此D選項符合題意.
故選：ACD.
【點睛】關鍵點點睛：本題AB兩選項常規驗證即可，對于C選項關鍵是要將所驗證的轉換為相應的斜率的乘積是否為，對于D選項關鍵是要想辦法表示所有線段的長度，然后作差驗證是否恒為0即可.
41．
【分析】求出直線方程和拋物線焦點坐標，再利用直線被圓所截弦長公式即可得到答案.
【詳解】由題意得，拋物線的焦點為，
則直線方程為，即，
圓化為，則圓心為，半徑，
設圓心到直線的距離為，則，
則，
故答案為：.
42．
【分析】作圖后，結合圖象和拋物線的定義即可得解.
【詳解】如圖，由題意得，即動點M到點的距離和到直線的距離相等，
所以點M的軌跡是以為焦點，直線為準線的拋物線，
根據拋物線定義可知點M的軌跡方程為．
故答案為: .

43．
【分析】結合拋物線的定義，結合幾何性質，即可求直線的傾斜角.
【詳解】如圖，直線為拋物線的準線，過點分別作垂直于，作，
因為，，且，所以,
則，，
所以，則，即直線的傾斜角為.

故答案為：
44．(1)，證明見解析
(2)
【分析】（1）將點代入拋物線方程可得，設直線的方程為：，聯立方程根據中垂線性質和韋達定理分析證明；
（2）利用弦長公式結合韋達定理整理得，進而可得，換元令，得到函數，利用導數判斷原函數的單調性和最值.
【詳解】（1）將點代入拋物線方程，可得，解得，所以拋物線方程為，
設直線的方程為：，
聯立方程，消去y得，
由韋達定理得：，
根據拋物線定義：，可得，
此時，解得或，
設的中點坐標為，則，
可得的垂直平分線方程為：，
將代入整理得：，
故的垂直平分線過定點.
（2）由（1）可得，
且點到直線的距離，
則的面積為，
可得，
設，設，則
令，解得；令，解得；
則在上單調遞增，在上單調遞減
所以當時，的面積取最大值，此時，即.

【點睛】關鍵點睛：
1.動直線l過定點問題的解法：設動直線方程(斜率存在)為，由題設條件將m用k表示為，得，故動直線過定點；
2.與圓錐曲線有關的最值問題的解法：先引入變量，構建以待求量為因變量的函數，再求其最值，常用基本不等式或導數法求最值（注意：有時需先換元后再求最值）．
45．(1)；
(2).
【分析】（1）求出拋物線的焦點坐標，準線方程，設點，求出關于的函數關系，再利用二次函數性質求解作答.
（2）設出直線的方程，與拋物線方程聯立，利用韋達定理、三角形面積公式結合均值不等式求解作答.
【詳解】（1）依題意，拋物線的焦點，準線方程，設，
則，
因此，
而，即有，則當，即時，，
當，即時，，
所以的取值范圍是.
（2）顯然直線不垂直于軸，設直線的方程為，
由消去并整理得，顯然，
設，，則，即，

令為點，于是的面積為，的面積為，
因此，當且僅當，即時取等號，
所以的最小值為.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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