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熱點(diǎn)7-3 雙曲線及其應(yīng)用
雙曲線及其應(yīng)用是高考數(shù)學(xué)的重點(diǎn)與難點(diǎn)，在近幾年高考數(shù)學(xué)試卷中，雙曲線的相關(guān)題型幾乎年年都會考到，屬于熱點(diǎn)問題.題型比較豐富，選擇題、填空題、解答題都出現(xiàn)過，主要通過雙曲線的定義、方程及性質(zhì)考查數(shù)學(xué)運(yùn)算能力及轉(zhuǎn)化思想，難度中等偏難.
【題型1 雙曲線的定義及概念辨析】
滿分技巧（1）在雙曲線定義中若去掉定義中的“絕對值”，常數(shù)a滿足約束條件： （），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支； 若（），則動點(diǎn)軌跡僅表示雙曲線中靠焦點(diǎn)的一支； （2）若常數(shù)a滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡是以F1、F2為端點(diǎn)的兩條射線（包括端點(diǎn)）； （3）若常數(shù)a滿足約束條件：，則動點(diǎn)軌跡不存在； （4）若常數(shù)，則動點(diǎn)軌跡為線段F1F2的垂直平分線.
【例1】
（2023·全國·高三專題練習(xí)）
1．已知動點(diǎn)滿足，則動點(diǎn)的軌跡是（ ）
A．射線 B．直線
C．橢圓 D．雙曲線的一支
【變式1-1】
（2023·四川綿陽·高三南山中學(xué)校考階段練習(xí)）
2．雙曲線C：（，）的一條漸近線過點(diǎn)，，是C的左右焦點(diǎn)，且，若雙曲線上一點(diǎn)M滿足，則（ ）
A．或 B． C． D．
【變式1-2】
（2023·河北·模擬預(yù)測）
3．已知雙曲線的上、下焦點(diǎn)分別為，，的一條漸近線過點(diǎn)，點(diǎn)在上，且，則 .
【變式1-3】
（2023·全國·高三專題練習(xí)）
4．已知圓，圓，圓與圓、圓外切，則圓心的軌跡方程為 ．
【變式1-4】
（2023·河北·石家莊一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）
5．已知復(fù)數(shù)，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓
B．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是橢圓
C．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是雙曲線的一支
D．方程表示的在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是拋物線
【題型2 利用定義求距離和差最值】
滿分技巧利用定義||PF1|-|PF2||＝2a轉(zhuǎn)化或變形，借助三角形性質(zhì)及基本不等式求最值
【例2】
（2023·天津南開·統(tǒng)考一模）
6．已知拋物線上一點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為是雙曲線的左焦點(diǎn)，是雙曲線右支上的一動點(diǎn)，則的最小值為（ ）
A．12 B．11 C．10 D．9
【變式2-1】
（2023·江西贛州·統(tǒng)考一模）
7．已知點(diǎn)，雙曲線的左焦點(diǎn)為，點(diǎn)在雙曲線的右支上運(yùn)動.當(dāng)?shù)闹荛L最小時，（ ）
A． B． C． D．
【變式2-2】
（2023·四川南充·校考模擬預(yù)測）
8．已知是離心率為的雙曲線的右支上一點(diǎn)，則到直線的距離與到點(diǎn)的距離之和的最小值為（ ）
A． B． C． D．
【變式2-3】
（2022·天津南開·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
9．已知雙曲線，點(diǎn)F是C的右焦點(diǎn)，若點(diǎn)P為C左支上的動點(diǎn)，設(shè)點(diǎn)P到C的一條漸近線的距離為d，則的最小值為（ ）
A． B． C．8 D．10
【變式2-4】
（2023·山東泰安·統(tǒng)考二模）
10．已知雙曲線，其一條漸近線方程為，右頂點(diǎn)為A，左，右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)P在其右支上，點(diǎn)，三角形的面積為，則當(dāng)取得最大值時點(diǎn)P的坐標(biāo)為（ ）
A． B．
C． D．
【題型3 雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程的求解】
滿分技巧1、由雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程求參數(shù)范圍 （1）對于方程，當(dāng)時表示雙曲線； 當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線； 當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線. （2）對于方程，當(dāng)時表示雙曲線； 當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線；當(dāng)時表示焦點(diǎn)在軸上的雙曲線. （3）已知方程所代表的曲線，求參數(shù)的取值范圍時，應(yīng)先將方程轉(zhuǎn)化為所對應(yīng)曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程的形式，再根據(jù)方程中參數(shù)取值范圍的要求，建立不等式（組）求解參數(shù)的取值范圍. 2、待定系數(shù)法求雙曲線方程的五種類型 （1）與雙曲線－＝1有公共漸近線的雙曲線方程可設(shè)為－＝λ(λ≠0)； （2）若已知雙曲線的一條漸近線方程為y＝x或y＝－x，則可設(shè)雙曲線方程為－＝λ(λ≠0)； （3）與雙曲線－＝1共焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(－b2＜k＜a2)； （4）過兩個已知點(diǎn)的雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程可設(shè)為－＝1(mn＞0)或者＋＝1(mn＜0)； （5）與橢圓＋＝1(a＞b＞0)有共同焦點(diǎn)的雙曲線方程可設(shè)為－＝1(b2＜λ＜a2)
【例3】
（2023·全國·高三對口高考）
11．與有相同漸近線，焦距，則雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-1】
（2023·湖北荊州·高三松滋市第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
12．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為．過向一條漸近線作垂線，垂足為．若，直線的斜率為，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-2】
（2023·天津?qū)幒印じ呷J臺第一中學(xué)校考期末）
13．已知雙曲線的右焦點(diǎn)與拋物線的焦點(diǎn)重合，拋物線準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式3-3】
（2023·甘肅定西·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
14．已知雙曲線C：的漸近線方程為，左、右焦點(diǎn)分別為，，過點(diǎn)且斜率為的直線l交雙曲線的右支于M，N兩點(diǎn)，若的周長為36，則雙曲線C的方程為（ ）
A． B． C． D．
【變式3-4】
（2023·四川樂山·統(tǒng)考三模）
15．設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，是雙曲線：的左、右焦點(diǎn)．過作圓：的一條切線，切點(diǎn)為，線段交于點(diǎn)，若，的面積為，則的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【題型4 雙曲線的焦點(diǎn)三角形問題】
滿分技巧求雙曲線中的焦點(diǎn)三角形面積的方法 （1）①根據(jù)雙曲線的定義求出； ②利用余弦定理表示出、、之間滿足的關(guān)系式； ③通過配方，利用整體的思想求出的值； ④利用公式求得面積. （2）利用公式求得面積； （3）若雙曲線中焦點(diǎn)三角形的頂角，則面積，結(jié)論適用于選擇或填空題.
【例4】
（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
16．已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，過的直線交雙曲線左支于兩點(diǎn)，且，若雙曲線的實軸長為8，那么的周長是（ ）
A．5 B．16 C．21 D．26
【變式4-1】
（2023·重慶·高三重慶八中校考期中）
17．設(shè)雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的右支上，且，則的面積為（ ）
A．2 B． C． D．
【變式4-2】
（2023·四川成都·高三校考期中）
18．設(shè)、分別是雙曲線：的左、右兩個焦點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)在上且，則的面積為（ ）
A．5 B．10 C． D．20
【變式4-3】
（2023·廣東湛江·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
19．已知雙曲線的一條漸近線方程是分別為雙曲線的左、右焦點(diǎn)，過點(diǎn)且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-4】
（2023·云南昆明·高三昆明一中校考階段練習(xí)）
20．已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為，過點(diǎn)的直線與雙曲線的左支交于，兩點(diǎn)，若，則的內(nèi)切圓周長為 .
【題型5 求雙曲線的離心率與范圍】
滿分技巧1、求雙曲線的離心率或其范圍的方法 （1）求a，b，c的值，由＝＝1＋直接求e. （2）列出含有a，b，c的齊次方程(或不等式)，借助b2＝c2－a2消去b，然后轉(zhuǎn)化成關(guān)于e的方程(或不等式)求解，注意e的取值范圍． （3）因為離心率是比值，所以可以利用特殊值法．例如，令a＝1，求出相應(yīng)c的值，進(jìn)而求出離心率，能有效簡化計算． （4）通過特殊位置求出離心率． 2、雙曲線－＝1(a>0，b>0)的漸近線的斜率k與離心率e的關(guān)系： 當(dāng)k>0時，k＝＝＝ ＝；當(dāng)k<0時，k＝－＝－.
【例5】
（2023·天津北辰·高三統(tǒng)考期中）
21．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點(diǎn)為，若原點(diǎn)到直線的距離等于實半軸的長，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】
（2023·全國·模擬預(yù)測）
22．雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)是其右支上一點(diǎn)．若，，，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-2】
（2023·江蘇蘇州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
23．已知雙曲線的左 右焦點(diǎn)分別為為坐標(biāo)原點(diǎn)，圓交雙曲線的左支于點(diǎn)，直線交雙曲線的右支于點(diǎn)，若為的中點(diǎn)，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】
（2023·全國·模擬預(yù)測）
24．已知雙曲線C：的左、右焦點(diǎn)分別為，，P為雙曲線C的右支上一點(diǎn)，且，，則雙曲線C的離心率的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
【變式5-4】
（2023·河南洛陽·高三洛陽市第八中學(xué)校考開學(xué)考試）
25．已知雙曲線的上下焦點(diǎn)分別為，點(diǎn)在的下支上，過點(diǎn)作的一條漸近線的垂線，垂足為，若恒成立，則的離心率的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【題型6 雙曲線的中點(diǎn)弦問題】
滿分技巧解決中點(diǎn)弦問題的兩種方法： 1、根與系數(shù)關(guān)系法：聯(lián)立方程，消元，利用根與系數(shù)的關(guān)系進(jìn)行舍而不求，從而簡化運(yùn)算； 2、點(diǎn)差法：利用交點(diǎn)在曲線上，坐標(biāo)滿足方程，將交點(diǎn)坐標(biāo)分別代入雙曲線方程，然后作差，構(gòu)造出中點(diǎn)坐標(biāo)和斜率的關(guān)系，具體如下：直線(不平行于軸)過雙曲線上兩點(diǎn)A、B，其中AB中點(diǎn)為，則有. 證明：設(shè)、，則有，上式減下式得， ∴，∴，∴.
【例6】
（2023·陜西寶雞·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
26．已知雙曲線：的右焦點(diǎn)為，過點(diǎn)的直線交雙曲線E于A、B兩點(diǎn).若的中點(diǎn)坐標(biāo)為，則E的方程為（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-1】
（2024·陜西寶雞·校考一模）
27．設(shè)，為雙曲線上兩點(diǎn)，下列四個點(diǎn)中，可為線段中點(diǎn)的是（ ）
A． B．
C． D．
【變式6-2】
（2023·陜西渭南·統(tǒng)考二模）
28．已知直線過雙曲線的左焦點(diǎn)，且與的左 右兩支分別交于兩點(diǎn)，設(shè)為坐標(biāo)原點(diǎn)，為的中點(diǎn)，若是以為底邊的等腰三角形，則直線的斜率為（ ）
A． B． C． D．
【變式6-3】
（2023·上海·高三七寶中學(xué)校考二模）
29．不與軸重合的直線經(jīng)過點(diǎn)，雙曲線：上存在兩點(diǎn)A，B關(guān)于對稱，AB中點(diǎn)M的橫坐標(biāo)為，若，則的值為 .
【變式6-4】
（2023·全國·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
30．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為是上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，若，則的兩條浙近線的斜率之積為 .
【題型7 直線與雙曲線相交弦長】
滿分技巧求弦長的兩種方法： （1）交點(diǎn)法：將直線的方程與雙曲線的方程聯(lián)立，求出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后運(yùn)用兩點(diǎn)間的距離公式來求． （2）根與系數(shù)的關(guān)系法：如果直線的斜率為k，被雙曲線截得弦AB兩端點(diǎn)坐標(biāo)分別為(x1，y1)，(x2，y2)，則弦長公式為：
【例7】
（2023·山東臨沂·統(tǒng)考一模）
31．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，過的直線與的左、右兩支分別交于點(diǎn)，且，則的離心率為（ ）
A． B． C． D．
【變式7-1】
（2023·湖南益陽·安化縣第二中學(xué)校考三模）
32．已知雙曲線：，若直線的傾斜角為60°，且與雙曲線C的右支交于M，N兩點(diǎn)，與x軸交于點(diǎn)P，若，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 .
【變式7-2】
（2023·江蘇蘇州·校聯(lián)考三模）
33．已知雙曲線，過其右焦點(diǎn)的直線與雙曲線交于、兩點(diǎn)，已知，若這樣的直線有條，則實數(shù)的取值范圍是 .
【變式7-3】
（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
34．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，.過的直線l交C的右支于M，N兩點(diǎn)，且當(dāng)l垂直于x軸時，l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為4.
(1)求C的方程；
(2)證明：，求.
【變式7-4】
（2023·山東青島·高三統(tǒng)考開學(xué)考試）
35．已知為坐標(biāo)原點(diǎn)，，，直線，的斜率之積為4，記動點(diǎn)的軌跡為.
(1)求的方程；
(2)直線經(jīng)過點(diǎn)，與交于，兩點(diǎn)，線段中點(diǎn)為第一象限，且縱坐標(biāo)為，求的面積.
【題型8 直線與雙曲線綜合問題】
【例8】
（2023·江蘇南通·高三江蘇省如皋中學(xué)校考階段練習(xí)）
36．如圖，雙曲線C：－＝1的中心O為坐標(biāo)原點(diǎn)，離心率，點(diǎn) 在雙曲線C上．
(1)求雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)若直線l與雙曲線C交于P，Q兩點(diǎn)，且，求＋的值．
【變式8-1】
（2023·湖北·高三天門中學(xué)校聯(lián)考期中）
37．已知雙曲線C：的右焦點(diǎn)為，過F且斜率為的直線交C于A，B兩點(diǎn)，且當(dāng)時，A的橫坐標(biāo)為3.
(1)求C的方程；
(2)設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，過A且平行于x軸的直線與直線交于點(diǎn)D，P為線段的中點(diǎn)，直線交于點(diǎn)Q，證明：.
【變式8-2】
（2023·全國·高三專題練習(xí)）
38．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)分別為，，是的左頂點(diǎn)，的離心率為2.設(shè)過的直線交的右支于、兩點(diǎn)，其中在第一象限.

(1)求的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)是否存在常數(shù)，使得恒成立？若存在，求出的值；否則，說明理由.
【變式8-3】
（2023·廣東廣州·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
39．已知在平面直角坐標(biāo)系中，動點(diǎn)到的距離與它到直線的距離之比為，的軌跡為曲線.
(1)求曲線的方程；
(2)過點(diǎn)作直線與曲線交于不同的兩點(diǎn)、（、在軸右側(cè)），在線段上取異于點(diǎn)、的點(diǎn)，且滿足，證明：點(diǎn)恒在一條直線上.
【變式8-4】
（2023·云南大理·統(tǒng)考一模）
40．已知雙曲線：，其漸近線方程為，點(diǎn)在上.
(1)求雙曲線的方程；
(2)過點(diǎn)的兩條直線AP，AQ分別與雙曲線交于P，Q兩點(diǎn)（不與點(diǎn)A重合），且兩條直線的斜率之和為1，求證：直線PQ過定點(diǎn).
（建議用時：60分鐘）
圓錐曲線練習(xí)
（2023·陜西漢中·統(tǒng)考一模）
41．已知雙曲線的一條漸近線的斜率為2，則（ ）
A．－4 B．4 C． D．
（2023·全國·模擬預(yù)測）
42．已知雙曲線的離心率為，且雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，則雙曲線的方程為（ ）
A． B．
C． D．
（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
43．已知雙曲線的左焦點(diǎn)為，過原點(diǎn)的直線與的右支交于點(diǎn)，若為等腰三角形，則點(diǎn)到軸的距離為（ ）
A． B． C．3 D．5
（2023·廣東佛山·統(tǒng)考一模）
44．已知雙曲線C：的左，右焦點(diǎn)分別為，，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)P是雙曲線C上的一點(diǎn)，，且的面積為4，則實數(shù)（ ）
A． B．2 C． D．4
（2023·山西臨汾·校考模擬預(yù)測）
45．已知雙曲線（，）的離心率為，圓與C的一條漸近線相交，且弦長不小于4，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國·模擬預(yù)測）
46．已知直線過雙曲線的右焦點(diǎn)，且與雙曲線右支交于，兩點(diǎn)．若，則雙曲線的離心率為（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽滁州·校考一模）
47．已知橢圓與雙曲線有共同的焦點(diǎn)，，離心率分別為，，點(diǎn)為橢圓與雙曲線在第一象限的公共點(diǎn)，且 .若，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
（2023·安徽·高三懷遠(yuǎn)第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
48．在平面直角坐標(biāo)系xOy中，A、B兩點(diǎn)的坐標(biāo)分別為、，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則點(diǎn)P的軌跡為直線
B．若，則點(diǎn)P的軌跡為圓
C．若，則點(diǎn)P的軌跡為橢圓
D．若，則點(diǎn)P的軌跡為雙曲線
（2023·廣東廣州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
49．已知雙曲線的左、右焦點(diǎn)別為，，過點(diǎn)的直線l與雙曲線的右支相交于兩點(diǎn)，則（ ）
A．若的兩條漸近線相互垂直，則
B．若的離心率為，則的實軸長為
C．若，則
D．當(dāng)變化時，周長的最小值為
（2023·河南·高三南陽中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
50．雙曲線的一條漸近線方程為，半焦距為，則下列論述錯誤的是（ ）
A．雙曲線的離心率為3
B．頂點(diǎn)到漸近線的距離與焦點(diǎn)到漸近線的距離之比為
C．直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)
D．過點(diǎn)有兩條直線與雙曲線相切
（2023·全國·高三專題練習(xí)）
51．已知方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線，則的取值范圍是 ．
（2023·全國·高三專題練習(xí)）
52．以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在直線的方程為 .
（2023·廣西·高三南寧三中校聯(lián)考階段練習(xí)）
53．已知雙曲線的右焦點(diǎn)為，過且與軸垂直的弦長為12．
(1)求雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程；
(2)過作直線與雙曲線交于兩點(diǎn)，問在軸上是否存在點(diǎn)，使為定值，若存在，請求出點(diǎn)坐標(biāo)，若不存在，請說明理由．
（2023·海南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
54．已知拋物線（）的焦點(diǎn)F到雙曲線的漸近線的距離是．
(1)求p的值；
(2)已知過點(diǎn)F的直線與E交于A，B兩點(diǎn)，線段的中垂線與E的準(zhǔn)線l交于點(diǎn)P，且線段的中點(diǎn)為M，設(shè)，求實數(shù)的取值范圍．
（2023·河北保定·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）
55．已知雙曲線：的離心率為2，其左、右焦點(diǎn)分別為，，點(diǎn)為的漸近線上一點(diǎn)，的最小值為.
(1)求的方程；
(2)過的左頂點(diǎn)且斜率為的直線交的右支于點(diǎn)，與直線交于點(diǎn)，過且平行于的直線交直線于點(diǎn)，證明：點(diǎn)在定圓上.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】利用兩點(diǎn)間的距離公式分析條件的幾何意義可得.
【詳解】設(shè)，由題意知動點(diǎn)M滿足|，故動點(diǎn)M的軌跡是射線.
故選：A.
2．B
【分析】先根據(jù)已知條件求解出雙曲線的方程，然后根據(jù)在雙曲線的左右支上進(jìn)行分類討論，由此確定出的值.
【詳解】因為，，所以，所以或（舍），
又因為雙曲線的漸近線過點(diǎn)，所以，所以，
所以，所以，所以，
若在左支上，，符合要求，所以，
若在右支上，，不符合要求，
所以，
故選：B.
3．11
【分析】將雙曲線化為標(biāo)準(zhǔn)方程，求出該雙曲線的漸近線方程，再利用已知條件求出的值，最后利用雙曲線的定義求出即可.
【詳解】由得雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：
，
所以，
所以雙曲線的漸近線方程為：
，
又的一條漸近線過點(diǎn)，
所以，
因為點(diǎn)在上，，為雙曲線的上、下焦點(diǎn)，
所以，
由，所以，
所以或（舍去），
故答案為：11.
4．
【分析】設(shè)圓的半徑為，根據(jù)題意可得，兩式相減，再結(jié)合雙曲線的定義即可得解.
【詳解】設(shè)圓的半徑為，
圓的圓心，半徑，
圓的圓心，半徑，
因為圓與圓、圓外切，
則，
所以，
所以點(diǎn)的軌跡是以為焦點(diǎn)的雙曲線的右支，
又，則，
所以其軌跡方程為．
故答案為：．
5．AC
【分析】根據(jù)復(fù)數(shù)模的幾何意義，及橢圓、雙曲線的定義逐項分析即可.
【詳解】由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，
表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)與點(diǎn)之間的距離為定值2，
則在復(fù)平面內(nèi)對應(yīng)點(diǎn)的軌跡是圓，故A正確；
由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，
表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之和為，
又，不滿足橢圓的定義，故B不正確；
由復(fù)數(shù)模的幾何意義知，
表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離之差為1，
又，滿足雙曲線的定義，故C正確；
對于D，可化為，
表示復(fù)平面內(nèi)點(diǎn)到點(diǎn)和的距離相等，軌跡是直線，
故D不正確，
故選：AC.
6．D
【分析】先根據(jù)題意求出點(diǎn)的坐標(biāo)，設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，根據(jù)雙曲線的定義可得，從而可得出答案.
【詳解】拋物線的準(zhǔn)線為，
則點(diǎn)到準(zhǔn)線的距離為，所以，
則，故，
設(shè)是雙曲線的右焦點(diǎn)，
則，則，
故，
當(dāng)且僅當(dāng)三點(diǎn)共線時取等號，
所以的最小值為.
故選：D.
7．C
【分析】利用雙曲線的定義可以得出=，當(dāng)三點(diǎn)共線時最小.
【詳解】由雙曲線得到,,，左焦點(diǎn)，
設(shè)右焦點(diǎn).當(dāng)?shù)闹荛L最小時，取到最小值，所以只需求出的最小值即可.
===.
故選：C.
8．A
【分析】由雙曲線的定義，將點(diǎn)到左焦點(diǎn)的距離轉(zhuǎn)化為到右焦點(diǎn)的距離，再求右焦點(diǎn)到直線的距離，進(jìn)而得出結(jié)果.
【詳解】已知雙曲線，可知，則，
所以，分別為的左、右焦點(diǎn)，則，即，
設(shè)到直線的距離為，到直線的距離為，且，則.
故選：A.
9．A
【分析】設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為,求出其到漸近線的距離，利用雙曲線定義將轉(zhuǎn)化為，利用當(dāng)三點(diǎn)共線時，取得最小值，即可求得答案.
【詳解】由雙曲線,可得，,
設(shè)雙曲線左焦點(diǎn)為，不妨設(shè)一條漸近線為，即，
作，垂足為E，即，
作,垂足為H，則，
因為點(diǎn)P為C左支上的動點(diǎn)，
所以，可得，
故，
由圖可知，當(dāng)三點(diǎn)共線時，即E和H點(diǎn)重合時，取得最小值，
最小值為，
即的最小值為，
故選：A．
10．B
【分析】根據(jù)三角形的面積結(jié)合漸近線方程可得的值，再根據(jù)雙曲線的定義轉(zhuǎn)換可得當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時取得最大值，進(jìn)而聯(lián)立直線與雙曲線的方程求解即可.
【詳解】設(shè)，則由三角形的面積為可得，即，又雙曲線一條漸近線方程為，故，即，故，故，解得，故，雙曲線.
又由雙曲線的定義可得，當(dāng)且僅當(dāng)共線且在中間時取得等號.
此時直線的方程為，即，聯(lián)立可得，解得，由題意可得在中間可得，代入可得，故.
故選：B
11．D
【分析】根據(jù)雙曲線及漸近線方程的定義求解即可.
【詳解】（1）若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，
因為與雙曲線有相同漸近線，
所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，
又因為焦距，所以，所以，
聯(lián)立，解得，則雙曲線方程為；
（2）若焦點(diǎn)在軸上，設(shè)所求雙曲線方程為，
因為與雙曲線有相同漸近線，
所以，設(shè)該雙曲線的焦距為，
又因為焦距，所以，所以，
聯(lián)立，解得，則雙曲線方程為，
所以雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為：或.
綜上，雙曲線標(biāo)準(zhǔn)方程為.
故選：D
12．D
【分析】先由點(diǎn)到直線的距離公式求出，設(shè)，由得到，.再由三角形的面積公式得到，從而得到，則可得到，解出，代入雙曲線的方程即可得到答案.
【詳解】如圖，

因為，不妨設(shè)漸近線方程為，即，
所以，
所以.
設(shè),則，所以，所以.
因為,所以，所以，所以，
所以，
因為，
所以，
所以，解得，
所以雙曲線的方程為
故選：D
13．D
【分析】根據(jù)題意，求得雙曲線的右焦點(diǎn)為，得到，再由拋物線的準(zhǔn)線方程為，求得，將代入漸近線方程，得到，進(jìn)而求得的值，即可求解.
【詳解】由拋物線的焦點(diǎn)為，
因為雙曲線與拋物線的焦點(diǎn)重合，可得雙曲線的右焦點(diǎn)為，
即，可得，
又由雙曲線的一條漸近線方程為，拋物線的準(zhǔn)線方程為，
因為拋物線準(zhǔn)線與一條漸近線交于點(diǎn)，可得，
即交點(diǎn)為，代入漸近線方程，可得，可得，
將代入，可得，所以，
所以雙曲線的方程為.
故選：D.
14．D
【分析】由題意可得，則直線為，代入雙曲線方程中，利用弦長公式求出，再由雙曲線的定義和的周長為36，可求出，從而可求出雙曲線的方程.
【詳解】因為雙曲線的漸近線方程為，
所以，則雙曲線方程為，，，
所以直線為，設(shè)，
由，得，
則，
所以，
因為，，
所以，
因為的周長為36，所以，
所以，得，所以雙曲線方程為，
故選：D
15．D
【分析】由雙曲線定義，的面積，直角中的銳角三角函數(shù)和中的正弦定理、余弦定理建立，，之間的關(guān)系方程，再求解即可.
【詳解】
由圓的方程知，，
又∵，∴在直角中，，
且.
在中，，的面積，
∴.
在中，，
由正弦定理，，
∴，
∴由雙曲線定義，，
又∵，，∴，
∴，即.
∵為直角，∴易知為鈍角，∴由知，，
在中，由余弦定理，，
∴，
∴，整理得，
∴.
又∵，將代入，解得.
∴雙曲線的方程為：.
故選：D.
【點(diǎn)睛】本題的解題關(guān)鍵，是建立起，，之間的關(guān)系，通過方程組進(jìn)行求解.作為選擇題，可以適當(dāng)運(yùn)用解題技巧：當(dāng)?shù)玫剑g的第一個關(guān)系時，可以通過將選項中的，依次代入檢驗，快速選出正確選項.
16．D
【分析】根據(jù)雙曲線的定義分析求解.
【詳解】由題意可知：，即，
所以的周長.
故選：D.
17．C
【分析】由雙曲線定義和余弦定理求出，利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】由題意得，
由雙曲線定義可得，，，
由余弦定理得，
即，解得，
又，解得，
故.

故選：C
18．A
【分析】由題設(shè)可得，進(jìn)而確定的位置，易知為直角三角形，最后利用雙曲線定義結(jié)合勾股定理，即可求面積.
【詳解】由，
所以是以原點(diǎn)為圓心，為半徑的圓與雙曲線的交點(diǎn)，
又，即它們也在點(diǎn)所在的圓上，且為直徑，
所以為直角三角形，，

如上圖，，且，
所以，
則，故的面積為.
故選：A.
19．D
【分析】由雙曲線的漸近線方程可得，再根據(jù)及M點(diǎn)坐標(biāo)即可求出答案.
【詳解】解：由題意得：
因為該雙曲線的一條漸近線方程是，則，
又由，可得，
由過點(diǎn)且垂直于軸的垂線在軸上方交雙曲線于點(diǎn)，可知M的橫坐標(biāo)為，
代入橢圓方程即可得：，，
又有，可知，
所以.
故選：D
20．
【分析】由雙曲線定義可以首先求出，然后由可以求出，最終由直角三角形內(nèi)切圓半徑公式即可求解.
【詳解】如圖所示：

設(shè)內(nèi)切圓半徑為，切點(diǎn)分別為，
由題意，則，所以，
由雙曲線定義有；
又因為，即，所以，
因此，
從而直角三角形的內(nèi)切圓半徑是，
所以的內(nèi)切圓周長為.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：熟練雙曲線定義以及直角三角形內(nèi)切圓半徑公式，并合理轉(zhuǎn)換已知條件是解題的關(guān)鍵.
21．A
【分析】運(yùn)用雙曲線的定義和直角三角形的勾股定理，化簡整理得出關(guān)于、的齊次方程，即可解得雙曲線的離心率的值.
【詳解】作圖如下：

∵原點(diǎn)到直線的距離等于實半軸的長，
∴直線的距離為，
又∵以為圓心，為半徑的圓與的左支的一個公共點(diǎn)為，
∴，
由雙曲線定義的，
∴直線的距離為，
故，即，
∴，解得（舍去）或.
故選：A.
22．B
【分析】利用向量法得：，然后結(jié)合雙曲線定義：和余弦定理即可求解.
【詳解】由雙曲線的幾何性質(zhì)，可知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則，
即:，
所以：，解得：，
所以：，故，
由，解得：，
所以：，故B項正確.
故選：B.
23．D
【分析】設(shè)，據(jù)雙曲線的定義可用表示，由直角三角形可計算得，并用勾股定理列出了，進(jìn)而可求.
【詳解】設(shè)，則，因為為的中點(diǎn)，
所以，則由雙曲線的定義可知，
因為圓交雙曲線的左支于點(diǎn)，所以，
所以，即，
則化簡可得，即，
則，所以，
所以，即，
則化簡可得，即，
故選：D.
24．B
【分析】先利用雙曲線的定義及勾股定理等得到，設(shè)，結(jié)合雙曲線的定義得到，則，構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)法求解.
【詳解】解：因為，，
∴，
又，∴．
設(shè)，則，，
∴，
∴，則，
∴．
∴，則，
設(shè)，則，
∴在上單調(diào)遞增，∴，
∴，
∴，∴，
∴，
故選：B．
25．A
【分析】過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，則，再根據(jù)雙曲線的定義得，進(jìn)而轉(zhuǎn)化為恒成立，再根據(jù)齊次式求解即可.
【詳解】如圖，過點(diǎn)作漸近線的垂線，垂足為，
設(shè)，則點(diǎn)到漸近線的距離.
由雙曲線的定義可得，故，
所以，即的最小值為，
因為恒成立，
所以恒成立，即恒成立，
所以，，即，即，
所以，，即，解得.
故選：A.

26．D
【分析】設(shè)，由，利用點(diǎn)差法求解.
【詳解】解：設(shè)，
則，兩式相減得，
即，化簡得，
又，解得，
所以雙曲線的方程為： .
故選：D.
27．C
【分析】根據(jù)點(diǎn)差法分析可得，對于A、B、C：通過聯(lián)立方程判斷交點(diǎn)個數(shù)，逐項分析判斷；對于D：結(jié)合雙曲線的漸近線分析判斷.
【詳解】設(shè)，則的中點(diǎn)，設(shè)直線的斜率為，
可得，
因為在雙曲線上，則，兩式相減得，
所以.
對于選項A： 可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故A錯誤；
對于選項B：可得，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故B錯誤；
對于選項C：，則，
聯(lián)立方程，消去y得，
此時，故直線AB與雙曲線有交兩個交點(diǎn)，故C正確；
對于選項D：可得，則
由雙曲線方程可得，則為雙曲線的漸近線，
所以直線AB與雙曲線沒有交點(diǎn)，故D錯誤；
故選：C.
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：此題考查直線與雙曲線的位置關(guān)系，考查點(diǎn)差法，解題的關(guān)鍵是根據(jù)點(diǎn)差法得到，然后逐個分析判斷，考查計算能力，屬于較難題.
28．D
【分析】由點(diǎn)差法得，由條件知直線的傾斜角為傾斜角的兩倍，代入兩直線的斜率關(guān)系式即可求得的斜率.
【詳解】設(shè),
由均在上，為的中點(diǎn)，
得，則，
∴，
∴，
設(shè)直線的傾斜角為，則，不妨設(shè)為銳角，
∵是以為底邊的等腰三角形，∴直線的傾斜角為，則.
∴，
∴，解得，
∴由對稱性知直線的斜率為.
故選：D
【點(diǎn)睛】中點(diǎn)弦定理：直線與橢圓（雙曲線）交于兩點(diǎn)，中點(diǎn)為，則有，（為坐標(biāo)原點(diǎn)）
此題解答過程中中點(diǎn)弦定理起了核心作用，通過中點(diǎn)弦定理建立了與的關(guān)系，另一方面通過是以為底邊的等腰三角形可能建立兩直線傾斜角的關(guān)系，從而得到所求直線的斜率.
29．
【分析】由點(diǎn)差法得，結(jié)合得，代入斜率公式化簡并利用可求得.
【詳解】設(shè)，
則，兩式相減得，
即，
即 ，所以，
因為是AB垂直平分線，有，所以，
即，化簡得，故，則.
故答案為：
30．
【分析】設(shè)，進(jìn)而根據(jù)點(diǎn)差法得，再根據(jù)得，進(jìn)而得，再求漸近線的斜率之積即可得答案.
【詳解】解：設(shè)，
因為是上的兩點(diǎn)，是的中點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線的斜率為，
所以①，②，③，④，
所以，②③得，整理得
所以，
因為雙曲線的右焦點(diǎn)為，虛軸的上端點(diǎn)為，
所以，，
因為，
所以，即，整理得：，
所以，整理得，
所以，即，
所以，整理得，
因為的兩條浙近線分別為，
所以，的兩條浙近線的斜率之積為
故答案為：
31．D
【分析】由，設(shè)，利用雙曲線的定義得到，然后設(shè)，與雙曲線方程聯(lián)立，利用弦長公式求解.
【詳解】解：因為，
所以，
由雙曲線的定義得，
解得，
則，
設(shè)，，，
聯(lián)立，消去x得，
由韋達(dá)定理得：，
由，得，解得，
所以，
，
解得，
則，
故選：D
32．
【分析】設(shè)直線的方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用根與系數(shù)的關(guān)系及弦長公式列式求解的值，即可求出直線的方程，令即可得出答案.
【詳解】雙曲線雙曲線：的漸近線方程為，
而直線的傾斜角為60°，則直線的斜率為，可設(shè)直線的方程為，
與雙曲線方程聯(lián)立，化簡可得，
由，得或．
設(shè)，，則，，
則，所以，
，解得：（舍去）或，
所以直線的方程為，令，可得.
故點(diǎn)P的坐標(biāo)為.
故答案為：.
33．
【分析】記，分析可知雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為，可知直線的斜率存在且不為零，設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，將直線的方程與雙曲線方程聯(lián)立，列出韋達(dá)定理，結(jié)合弦長公式可得出關(guān)于的方程由四個不等的實數(shù)解，可得出關(guān)于實數(shù)的不等式組，綜合可得出實數(shù)的取值范圍.
【詳解】記，若直線與軸重合，此時，；
若直線軸時，將代入雙曲線方程可得，此時，
當(dāng)時，則，此時，；當(dāng)，可得，則，
所以，雙曲線的實軸長和通徑長不可能同時為；
當(dāng)直線與軸不重合時，記，則點(diǎn)，
設(shè)直線的方程為，其中，設(shè)點(diǎn)、，
聯(lián)立可得，
由題意可得，可得，
，
由韋達(dá)定理可得，，
所以，
，即，
所以，關(guān)于的方程由四個不等的實數(shù)解.
當(dāng)時，即當(dāng)時，可得，
可得，整理可得，因為，解得；
當(dāng)時，即當(dāng)，可得，
可得，整理可得，可得.
綜上所述，.
故答案為：.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：圓錐曲線中取值范圍問題的五種求解策略：
（1）利用圓錐曲線的幾何性質(zhì)或判別式構(gòu)造不等關(guān)系，從而確定參數(shù)的取值范圍；
（2）利用已知參數(shù)的范圍，求新的參數(shù)的范圍，解這類問題的核心是建立兩個參數(shù)之間的等量關(guān)系；
（3）利用隱含的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（4）利用已知的不等關(guān)系建立不等式，從而求出參數(shù)的取值范圍；
（5）利用求函數(shù)值域的方法將待求量表示為其他變量的函數(shù)，求其值域，從而確定參數(shù)的取值范圍.
34．(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）根據(jù)題意，表示出兩交點(diǎn)的坐標(biāo)，然后結(jié)合三角形的面積公式，代入計算，即可得到結(jié)果；
（2）當(dāng)直線的斜率存在時，設(shè)l的方程為，聯(lián)立直線與雙曲線的方程，結(jié)合韋達(dá)定理，再由弦長公式，即可得到結(jié)果；
【詳解】（1）根據(jù)題意有，C的漸近線方程為，
將代入兩個漸近線方程得到交點(diǎn)坐標(biāo)為，，
l與C的兩條漸近線所圍成的三角形的面積為，
所以，C的方程為.
（2）
設(shè)，，其中，，
由（1）可知，，
當(dāng)軸時，顯然MN與不垂直.
當(dāng)l不垂直于x軸時，設(shè)l的方程為時，代入C的方程有：
，故，，
，，
當(dāng)時有：①，
由得到，代入，
整理有②，
由①，②可得.
所以.
35．(1)
(2)
【分析】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，根據(jù)題意結(jié)合斜率公式求解即可；
（2）顯然直線的斜率不存在時，不符合題意，設(shè)直線方程為，與雙曲線方程聯(lián)立，利用韋達(dá)定理求出的值，再求出和到直線的距離即可求解.
【詳解】（1）設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，
因為，，所以，
化簡得：
所以的方程為：.
（2）當(dāng)直線的斜率不存在時，顯然不符合題意；

設(shè)，，直線方程為，
與聯(lián)立得：，
由且，解得且，
由韋達(dá)定理得，
因為線段中點(diǎn)在第一象限，且縱坐標(biāo)為，
所以，
解得或（舍去），
所以直線為，
所以，
所以，
點(diǎn)到直線的距離，
所以.
【點(diǎn)睛】解決直線與圓錐曲線相交（過定點(diǎn)、定值）問題的常用步驟：
（1）得出直線方程，設(shè)交點(diǎn)為，；
（2）聯(lián)立直線與曲線方程，得到關(guān)于或的一元二次方程；
（3）寫出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中關(guān)系轉(zhuǎn)化為，形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
36．(1)－＝1
(2)
【分析】（1）依題意雙曲線的離心率，且點(diǎn)在雙曲線上，所以可以得到兩個關(guān)于的方程，再根據(jù)，就可解出，求出雙曲線的方程．（2）因為，所以，設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，分別代入雙曲線方程，即可得的坐標(biāo)用含的式子表示，再代入＋，化簡即得.
【詳解】（1）因為，所以，從而，所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1，
即，.因為點(diǎn)在雙曲線C上，所以，解得，
所以雙曲線C的標(biāo)準(zhǔn)方程為－＝1
（2）設(shè)，
設(shè)直線OP的方程為，則直線OQ的方程為，
.聯(lián)立與－＝1，得，
所以，同理有，
所以.
37．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）先求坐標(biāo)，代入雙曲線方程，可得，聯(lián)立可解；
（2）設(shè)，，分別由題意表達(dá)點(diǎn)坐標(biāo)將長度關(guān)系證明問題轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)關(guān)系，聯(lián)立直線與雙曲線方程，利用韋達(dá)定理代入坐標(biāo)關(guān)系化簡證明.
【詳解】（1）當(dāng)時，：，把代入得，即，
將A代入C的方程有，①，
且由雙曲線的幾何性質(zhì)可知②，
由①，②得，，，
故C的方程為.
（2）設(shè)，，且：，
由，得，
則，，①
所以，②
.③
直線的方程為，故，.
的方程為，與方程聯(lián)立有：，
將①代入得，即.
方法1：所以，，
要證，
只需證，即證，④
由②③知④成立，所以.
方法2：由題設(shè)可知A，B，F(xiàn)，Q四點(diǎn)共線，
且
，
故，即.
由可知，，
故，.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)；（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于 （或 ）的一元二次方程 ；（3）列出韋達(dá)定理；（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為坐標(biāo)和及積的形式；（5）代入韋達(dá)定理求解.
38．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)離心率，以及，結(jié)合，即可求得曲線方程；
（2）求得直線不存在斜率時滿足的，當(dāng)斜率存在時，將所求問題，轉(zhuǎn)化為直線斜率之間的關(guān)系，結(jié)合點(diǎn)的坐標(biāo)滿足曲線方程，求解即可.
【詳解】（1）由題可得，故可得，則，
故的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）當(dāng)直線斜率不存在時，
對曲線，令，解得，
故點(diǎn)的坐標(biāo)為，此時，
在三角形中，，故可得，
則存在常數(shù)，使得成立；
當(dāng)直線斜率存在時，
不妨設(shè)點(diǎn)的坐標(biāo)為，，直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
則，，
假設(shè)存在常數(shù)，使得成立，即，
則一定有：，也即；
又；；
又點(diǎn)的坐標(biāo)滿足，則，
故；
故假設(shè)成立，存在實數(shù)常數(shù)，使得成立；
綜上所述，存在常數(shù)，使得恒成立.
39．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用距離公式結(jié)合已知條件化簡可得出曲線的方程；
（2）設(shè)，則，設(shè)點(diǎn)、、，利用向量的坐標(biāo)運(yùn)算可得出，，結(jié)合平方差公式以及雙曲線的方程計算出，即可證得結(jié)論成立.
【詳解】（1）解：由題意可得，整理可得.
所以，曲線的方程為.
（2）證明：如下圖所示：
因為，設(shè)，則，
設(shè)點(diǎn)、、，
由可得，
即，所以，，
由可得，
即，所以，，
所以， ，，
所以，，即，
所以，點(diǎn)在定直線上.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題使用向量方法得到若干方程后，將這些方程進(jìn)行整體處理，已達(dá)到消元的目的，這個方法比聯(lián)立方程的計算量要小，不失為一中巧妙的方法.
40．(1)；
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的漸近線與過一點(diǎn)列方程組即可得的值，從而得雙曲線方程；
（2）設(shè)直線的方程為，，，聯(lián)立直線與橢圓得交點(diǎn)坐標(biāo)關(guān)系，再根據(jù)斜率與坐標(biāo)運(yùn)算從而得的關(guān)系來確定直線定點(diǎn)即可.
【詳解】（1）∵，，依題意，
解得：，，
所以雙曲線C的方程為
（2）依題意可知斜率存在，設(shè)方程為，，，
則，即①，
所以
設(shè)直線AP，AQ的斜率分別為，，由題意知：，故有：
，
整理得
當(dāng)，，過舍去，
當(dāng)，，過點(diǎn)，
此時，將代入①得，得，滿足題意.
∴直線PQ過定點(diǎn)
41．A
【分析】利用雙曲線的方程求解漸近線，求出的值.
【詳解】根據(jù),得到,
則焦點(diǎn)在軸，故漸近線為，
則，故.
故選：A
42．B
【分析】利用由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2得，再由離心率、可得答案.
【詳解】由離心率，得，由雙曲線上的點(diǎn)到焦點(diǎn)的最近距離為2，
得，根據(jù)這兩個方程解得，
則，得，所以雙曲線的方程為.
故選：B.
43．A
【分析】由為等腰三角形，可得，證得，有，又，得，利用面積法求點(diǎn)到軸的距離.
【詳解】設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)為，由題意可得，連接，
則有，，
若為等腰三角形，則（線段與顯然不相等），
所以，又為的中點(diǎn)，所以，
則有．
由雙曲線的定義得，
所以，
設(shè)點(diǎn)到軸的距離為，則．
故選：A．
44．C
【分析】由，得為直角三角形，根據(jù)雙曲線定義，再利用以及勾股定理建立等量關(guān)系即可求解.
【詳解】因為的面積為4，所以的面積為8.
又，所以，
所以為直角三角形，且.
設(shè)，，
所以，，
所以，
所以，
又，所以.
故選：C.

45．D
【分析】根據(jù)雙曲線的離心率可得漸近線方程為，結(jié)合弦長可得，運(yùn)算求解即可.
【詳解】設(shè)雙曲線的半焦距為，
則，解得，
且雙曲線的焦點(diǎn)在x軸上，所以雙曲線的漸近線為，
因為圓的圓心為，半徑，
可知圓關(guān)于x軸對稱，不妨取漸近線為，即，
則圓心到漸近線的距離，可得，
又因為圓與雙曲線C的一條漸近線相交弦長為，
由題意可得，解得，
所以a的取值范圍是.
故選：D.
46．B
【分析】設(shè)，，由得到，的關(guān)系，結(jié)合韋達(dá)定理得到，，之間的關(guān)系式，進(jìn)而求出離心率.
【詳解】設(shè)，，則，．
由，得．
直線l的方程為，即，
代入雙曲線的方程中，得，
即，
∴，，
∴，，
∴，
整理得．又，∴．
故選:B．
47．B
【分析】根據(jù)橢圓和雙曲線的定義可得，，進(jìn)而在焦點(diǎn)三角形中由余弦定理即可得，由即可得的范圍.
【詳解】由題意設(shè)焦距為，橢圓長軸長為，雙曲線實軸長為，
在雙曲線的右支上，由雙曲線的定義，由橢圓定義，
可得，，
又，由余弦定理得，
可得，
得，即，
可得，即，
又時，可得，
即，亦即，
得.
故選：B
48．AD
【分析】設(shè)點(diǎn)，由，求出點(diǎn)P的軌跡可判斷A；設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，由可得，由兩點(diǎn)的斜率公式和兩角差的正切公式代入求可判斷B；根據(jù)橢圓、雙曲線的定義可判斷C，D.
【詳解】選項A：設(shè)點(diǎn)，，
化簡可得：，所以點(diǎn)P的軌跡為直線，故A正確；
選項B：當(dāng)或不存在時，動點(diǎn)為，
當(dāng)、存在時，設(shè)點(diǎn)，，
設(shè)直線的傾斜角為，直線的傾斜角為，
當(dāng)時，由可得：，即，
所以，即，
化簡可得：，
同理當(dāng)時，由可得：，即，
所以，即，
化簡可得：，
因此點(diǎn)P軌跡為圓上的一段弧（）或上的一段弧（），故B錯誤；
選項C：由，可知點(diǎn)P軌跡為線段AB，故C錯誤；
選項D：由，根據(jù)雙曲線的定義可知，
點(diǎn)P軌跡為雙曲線，且，即，
所以點(diǎn)P軌跡方程為，故D正確．
故選：AD.
49．ACD
【分析】根據(jù)雙曲線的漸近線、離心率、定義、三角形的周長等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】依題意，，
A選項，若雙曲線的兩條漸近線相互垂直，所以，故A正確；
B選項，若的離心率為，
解得，所以實軸長，故B錯誤；
C選項，若，則，
整理得，故C正確；
D選項，根據(jù)雙曲線的定義可知，，
兩式相加得，
所以周長為，
當(dāng)時，取得最小值，
所以，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時，等號成立，
所以周長的最小值為，故D正確.
故選：ACD
50．ABD
【分析】根據(jù)漸近線得出離心率判斷A選項，根據(jù)點(diǎn)到直線距離判斷B選項，結(jié)合漸近線斜率可以判斷交點(diǎn)判斷C選項，結(jié)合雙曲線對稱性判斷D選項.
【詳解】由題易得，所以錯誤；
頂點(diǎn)到漸近線的距離為與焦點(diǎn)到漸近線的距離，距離之比為，B錯誤；
因為直線與漸近線平行，所以直線與雙曲線的左支僅有1個交點(diǎn)，與右支沒有交點(diǎn).又直線與直線都過點(diǎn)，
且直線的傾斜角比直線的傾斜角小，直線與雙曲線有兩個不同的交點(diǎn)，正確；
因為，所以點(diǎn)位于雙曲線右支的右側(cè)位置，顯然過點(diǎn)的直線不可能與雙曲線相切，D錯誤.
故選:ABD.
51．
【分析】利用雙曲線的定義即可求解.
【詳解】因為方程表示中心在原點(diǎn)，焦點(diǎn)在坐標(biāo)軸上的雙曲線，
則，解得.
所以實數(shù)的取值范圍為.
故答案為：.
52．
【分析】利用點(diǎn)差法先求得弦所在直線的斜率，再利用點(diǎn)斜式即可求得直線的方程，再驗算一下與雙曲線是否有兩個交點(diǎn)可保萬無一失.
【詳解】設(shè)是雙曲線的弦的中點(diǎn)，且，
則，
因為在雙曲線上，所以，
兩式相減，得，故，
所以，故以中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為，即，
聯(lián)立，消去，得，
因為，
所以以為中點(diǎn)的雙曲線的弦所在的直線方程為.
故答案為：.
53．(1)
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)雙曲線的通徑公式即可求得和的值，即可求得雙曲線的方程；
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)其坐標(biāo)為，利用韋達(dá)定理及向量的坐標(biāo)運(yùn)算即可求得，根據(jù)比例關(guān)系，即可求得的值，即可求得點(diǎn)坐標(biāo).
【詳解】（1）由題意知：，，，
故，故，解得或，
，，
則，故雙曲線的標(biāo)準(zhǔn)方程為.
（2）假設(shè)存在點(diǎn)滿足條件，設(shè)其坐標(biāo)為，設(shè)，，
當(dāng)斜率存在時，設(shè)方程為，
，
即，且，
，，
，，
，
當(dāng)為定值時，，則，
此時，
當(dāng)斜率不存在時，，，，，，
成立，
存在滿足條件的點(diǎn)，其坐標(biāo)為，此時為0.
【點(diǎn)睛】方法點(diǎn)睛：本題第二問主要考查直線與圓錐曲線相交問題，
利用韋達(dá)定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設(shè)直線方程，設(shè)交點(diǎn)坐標(biāo)為，；
（2）聯(lián)立直線與圓錐曲線的方程，得到關(guān)于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達(dá)定理；
（4）將所求問題或題中的關(guān)系轉(zhuǎn)化為、（或，）的形式；
（5）代入韋達(dá)定理求解.
54．(1)
(2)
【分析】（1）求出雙曲線的漸近線，由點(diǎn)到直線距離公式得到方程，求出；
（2）設(shè)直線的方程為，聯(lián)立拋物線方程，得到兩根之和，兩根之積，進(jìn)而由弦長公式求出，求出M點(diǎn)的坐標(biāo)和線段的中垂線方程，得到，，求出，得到答案.
【詳解】（1）E的焦點(diǎn)為，
雙曲線的漸近線方程為，不妨取，即．
由點(diǎn)到直線的距離公式得，
得．
（2）由（1）知，，：．
設(shè)直線的方程為，
聯(lián)立消去x并整理，得，
設(shè)，，則，，
，
∴．
易得M點(diǎn)的坐標(biāo)為，
∴的中垂線方程為，
令得，
∴，
從而，
∴，
∴實數(shù)的取值范圍為．
55．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）利用雙曲線的漸近線方程和點(diǎn)到直線距離公式求解；
（2）根據(jù)題意做出幾何圖形，求出點(diǎn)的坐標(biāo)，利用斜率公式求出，進(jìn)而可得，從而有，即可證明求解.
【詳解】（1）設(shè)雙曲線的右焦點(diǎn)，一條漸近線的方程為，
因為的最小值為，
所以右焦點(diǎn)到漸近線的距離為，
所以，
又因為離心率，所以，
所以的方程為：.
（2）由題得，的左頂點(diǎn)，右焦點(diǎn)，
所以直線為線段的垂直平分線，

所以的斜率分別為，
所以直線的直線方程為與聯(lián)立有，
，
設(shè)，則有，即
所以，
當(dāng)軸時，，則有
為等腰直角三角形，
所以,故直線的方程為：，故，
當(dāng)不垂直于軸時，，
所以，，
所以，
所以，
因為，
所以
所以為定值，
所以點(diǎn)在定圓上.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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