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熱點(diǎn)4-1 平面向量的概念、線性運(yùn)算與基本定理
平面向量屬于高考的必考內(nèi)容．縱觀近幾年的高考情況，主要以選擇題及填空題的形式出現(xiàn)，向量的線性運(yùn)算、基本定理以及坐標(biāo)運(yùn)算屬于熱門(mén)考點(diǎn)．同時(shí)也作為工具，與三角函數(shù)、解析幾何結(jié)合出現(xiàn)在綜合性大題中，難度中等．預(yù)計(jì)2024年的高考對(duì)于這部分內(nèi)容考察主要還是以小題為主，若出題大概率以題的形式出現(xiàn)．
【題型1 平面向量的基本概念辨析】
滿分技巧 解決向量概念問(wèn)題的關(guān)鍵點(diǎn) 1、相等向量具有傳遞性，非零向量的平行也具有傳遞性． 2、共線向量即平行向量，它們均與起點(diǎn)無(wú)關(guān)． 3、相等向量不僅模相等，而且方向也相同，所以相等向量一定是平行向量，但平行向量未必是相等向量． 4、向量可以平移，平移后的向量與原向量是相等向量．解題時(shí)，不要把它與函數(shù)圖象的平移混為一談． 5、非零向量與的關(guān)系：是方向上的單位向量，因此單位向量與方向相同． 6、向量與數(shù)量不同，數(shù)量可以比較大小，向量則不能．但向量的模是非負(fù)實(shí)數(shù)，可以比較大小． 7、在解決向量的概念問(wèn)題時(shí)，要注意兩點(diǎn)：①不僅要考慮向量的大小，還要考慮向量的方向；②考慮零向量是否也滿足條件．
【例1】（2023·遼寧·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
1．設(shè)，都是非零向量，下列四個(gè)條件中，能使一定成立的是（ ）
A． B． C． D．
【變式1-1】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
2．設(shè)是非零向量，λ是非零實(shí)數(shù)，下列結(jié)論中正確的是（ ）
A．與的方向相反 B．與的方向相同
C． D．
【變式1-2】（2023·黑龍江雙鴨山·高三雙鴨山一中校考階段練習(xí)）（多選）
3．下列說(shuō)法中不正確的是（ ）
A．若，則
B．若與共線，則或
C．若，為單位向量，則
D．是與非零向量共線的單位向量
【變式1-3】（2023·重慶沙坪壩·高三南開(kāi)中學(xué)校考階段練習(xí)）（多選）
4．已知非零向量，下列命題正確的是（ ）
A．若，則
B．與向量共線的單位向量是
C．“”是“與的夾角是銳角”的充分不必要條件
D．若是平面的一組基底，則也能作為該平面的一組基底
【變式1-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）（多選）
5．（多選題）給出下列命題，不正確的有（　　）
A．若兩個(gè)向量相等，則它們的起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同
B．若A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，且＝，則四邊形ABCD為平行四邊形
C．的充要條件是且
D．已知λ，μ為實(shí)數(shù)，若，則與共線
【題型2 平面向量的線性運(yùn)算】
滿分技巧 向量的運(yùn)算往往結(jié)合平面幾何知識(shí)和三角函數(shù)知識(shí)解答，運(yùn)算法則是： （1）平面四邊形法則：平行四邊形的對(duì)角線分別是兩向量的和與差； （2）三角形法則：兩箭頭間向量是差，箭頭與箭尾向量是和； （3）平面向量多邊形法則：一般地，首尾順次相接的多個(gè)向量的和等于從第一個(gè)向量起點(diǎn)指向最后一個(gè)向量終點(diǎn)的向量，即．特別地，一個(gè)封閉圖形，首尾連接而成的向量和為零向量．
【例2】（2023·北京·高三北京市第三十五中學(xué)校考期中）
6．在等腰梯形ABCD中，，M為BC的中點(diǎn)，則（ ）
A． B． C． D．
【變式2-1】（2023·廣東深圳·高三深圳中學(xué)校考階段練習(xí)）
7．如圖，在中，，，若，則的值為（ ）
A．7 B．6 C．5 D．4
【變式2-2】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）（多選）
8．如圖是一個(gè)正六邊形，下列說(shuō)法正確的是（ ）
A．
B．
C．
D．在上的投影向量為
【變式2-3】（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）
9．在平行四邊形中，為對(duì)角線上靠近點(diǎn)的三等分點(diǎn)，延長(zhǎng)交于，則（ ）
A． B．
C． D．
【變式2-4】（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
10．已知的邊的中點(diǎn)為D，點(diǎn)E在所在平面內(nèi)，且，若，則（ ）
A．7 B．6 C．3 D．2
【題型3 平面向量共線定理及應(yīng)用】
滿分技巧 1、證明向量共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，則與非零向量共線； 2、證明三點(diǎn)共線：若存在實(shí)數(shù)λ，使，與有公共點(diǎn)A，則A，B，C三點(diǎn)共線； 3、求參數(shù)的值：利用向量共線定理及向量相等的條件列方程(組)求參數(shù)的值
【例3】（2022·四川綿陽(yáng)·統(tǒng)考二模）
11．已知平面向量a，b不共線，，，則（　　）
A．A，B，D三點(diǎn)共線 B．A，B，C三點(diǎn)共線
C．B，C，D三點(diǎn)共線 D．A，C，D三點(diǎn)共線
【變式3-1】（2023·陜西銅川·高三校考期末）
12．在中，若，則點(diǎn)（ ）
A．在直線上 B．在直線上 C．在直線上 D．為的外心
【變式3-2】（2024·陜西安康·安康中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
13．已知平面向量與不共線，向量，若，則實(shí)數(shù)的值為（ ）
A．1 B． C．1或 D．或
【變式3-3】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
14．在中，是邊的中點(diǎn)，，過(guò)點(diǎn)的直線交直線分別于兩點(diǎn)，且，則 .
【變式3-4】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
15．在中，為邊上的中線，為上一點(diǎn)，且，若，且（），則 ．
【題型4 平面向量基本定理及應(yīng)用】
滿分技巧 平面向量基本定理的實(shí)質(zhì)及解題思路 1、應(yīng)用平面向量基本定理表示向量的實(shí)質(zhì)是平行四邊形法則或三角形法則進(jìn)行向量的加、減或數(shù)乘運(yùn)算，一般將向量“放入”相關(guān)的三角形中，利用三角形法則列出向量的間的關(guān)系； 2、用平面向量基本定理解決問(wèn)題的一般思路是先選擇一組基底，并運(yùn)用該基底將條件和結(jié)論表示成向量的形式，再通過(guò)向量的運(yùn)算來(lái)解決．注意同一向量在不同基底下的分解是不同的，但在每個(gè)基底下的分解是唯一的．
【例4】（2023·陜西西安·高三校考階段練習(xí)）
16．在中，點(diǎn)D，E分別是，的中點(diǎn)，記，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-1】（2024·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
17．設(shè)向量是平面內(nèi)一個(gè)基底，且，則向量可以用另一個(gè)基底表示，即 .
【變式4-2】（2023·江蘇南通·高三如東高級(jí)中學(xué)校考期中）
18．已知，是兩個(gè)不共線的向量，，，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式4-3】（2024·湖南常德·高三常德市一中校考階段練習(xí)）
19．直角梯形中，角為直角，，，若，則（ ）
A． B． C．1 D．2
【變式4-4】（2023·安徽蚌埠·高三固鎮(zhèn)縣第二中學(xué)校考階段練習(xí)）
20．如圖，在中，分別是邊上的動(dòng)點(diǎn).

(1)證明：；
(2)當(dāng)分別是邊的中點(diǎn)時(shí)，用表示.
【題型5 平面向量的坐標(biāo)運(yùn)算】
滿分技巧 1、向量的坐標(biāo)運(yùn)算主要是利用向量的加法、減法、數(shù)乘運(yùn)算法則進(jìn)行，若已知有向線段兩端點(diǎn)的坐標(biāo)，則應(yīng)先求出向量的坐標(biāo)，求解過(guò)程中要注意方程思想的運(yùn)用． 2、平面向量共線的坐標(biāo)表示問(wèn)題的解題策略： （1）如果已知兩向量共線，求某些參數(shù)的取值時(shí)，利用“，則的充要條件是”； （2）在求與一個(gè)已知向量共線的向量時(shí)，可設(shè)所求向量為
【例5】（2023·江蘇·高三海安高級(jí)中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
21．已知是的邊上的高，且，，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-1】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）
22．已知平面向量，若與共線，則實(shí)數(shù) ．
【變式5-2】（2024·北京大興·高三統(tǒng)考期末）
23．設(shè)向量，若，則（ ）
A． B． C． D．
【變式5-3】（2024·河北保定·高三阜平中學(xué)校聯(lián)考期末）
24．已知向量，，，若正實(shí)數(shù)，滿足，則的值為（ ）
A． B． C． D．
【變式5-4】（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）
25．在正方形中，動(dòng)點(diǎn)從點(diǎn)出發(fā)，經(jīng)過(guò)，，到達(dá)，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【題型6 向量運(yùn)算在幾何中的應(yīng)用】
滿分技巧 利用向量運(yùn)算解決幾何問(wèn)題時(shí)由兩種方法： 一幾何法：利用向量的線性運(yùn)算求解幾何關(guān)系； 二坐標(biāo)法：根據(jù)題設(shè)條件建立合適的直角坐標(biāo)系，通過(guò)坐標(biāo)運(yùn)算解決．
【例6】（2024·廣東·珠海市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
26．若O是所在平面內(nèi)的一點(diǎn)，且滿足，則的形狀為（　　）
A．等邊三角形 B．等腰三角形 C．等腰直角三角形 D．直角三角形
【變式6-1】（2023·黑龍江綏化·高三校考期中）
27．在中，，則是（ ）
A．等邊三角形 B．直角三角形 C．鈍角三角形 D．等腰直角三角形
【變式6-2】（2024·山東菏澤·高三鄄城縣第一中學(xué)校考階段練習(xí)）
28．已知的面積為24，平面中的點(diǎn)分別滿足，，，則的面積為（ ）
A．7 B．8 C．9 D．10
【變式6-3】（2024·河南焦作·高三統(tǒng)考期末）
29．已知所在平面內(nèi)一點(diǎn)滿足，則的面積是的面積的（ ）
A．5倍 B．4倍 C．3倍 D．2倍
【變式6-4】（2023·陜西銅川·高三校考期末）
30．如圖，在直角梯形中，為上靠近的三等分點(diǎn)，交于．
(1)用和表示；
(2)求證：．
（建議用時(shí)：60分鐘）
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
31．設(shè)為單位向量，有下列命題：①若為平面內(nèi)的某個(gè)向量，則；②若與平行，則；③若與平行且，則．其中假命題的個(gè)數(shù)是（ ）
A．0 B．1
C．2 D．3
（2023·全國(guó)·高三專(zhuān)題練習(xí)）
32．下列各式化簡(jiǎn)結(jié)果正確的是（　　）
A．＋＝
B．＋＋＋＝
C．＋－＝0
D．－－＝
（2024·廣東廣州·仲元中學(xué)校考一模）
33．已知在中，點(diǎn)在邊上，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2024·江蘇南京·金陵中學(xué)校考模擬預(yù)測(cè)）
34．如圖1，兒童玩具紙風(fēng)車(chē)的做法體現(xiàn)了數(shù)學(xué)的對(duì)稱(chēng)美，取一張正方形紙折出“十”字折痕，然后把四個(gè)角向中心點(diǎn)翻折，再展開(kāi)，把正方形紙兩條對(duì)邊分別向中線對(duì)折，把長(zhǎng)方形短的一邊沿折痕向外側(cè)翻折，然后把立起來(lái)的部分向下翻折壓平，另一端折法相同，把右上角的角向上翻折，左下角的角向下翻折，這樣，紙風(fēng)車(chē)的主體部分就完成了，如圖2，是一個(gè)紙風(fēng)車(chē)示意圖，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023·浙江·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
35．已知平面向量，，均為單位向量，則“”是“與共線”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·北京朝陽(yáng)·高三統(tǒng)考期中）
36．已知平面內(nèi)四個(gè)不同的點(diǎn)滿足，則（ ）
A． B． C．2 D．3
（2023·陜西西安·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
37．在中，點(diǎn)滿足，點(diǎn)滿足，若，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·湖南婁底·婁底市第三中學(xué)校聯(lián)考三模）
38．2000多年前，古希臘雅典學(xué)派的第三大算學(xué)家歐道克薩斯首先提出黃金分割.所謂黃金分割點(diǎn)，指的是把一條線段分割為兩部分，使其中一部分與全長(zhǎng)之比等于另一部分與這部分之比，黃金分割比為.如圖，在矩形中，與相交于點(diǎn)，，且點(diǎn)為線段的黃金分割點(diǎn)，則（ ）

A． B．
C． D．
（2023·江蘇南京·高三南京師范大學(xué)附屬中學(xué)江寧分校校聯(lián)考期末）
39．已知平面四邊形滿足，平面內(nèi)點(diǎn)滿足，與交于點(diǎn)，若，則等于（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學(xué)校校聯(lián)考期中）
40．已知P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，若，，則點(diǎn)C的坐標(biāo)為（ ）
A． B． C． D．
（2023·四川資陽(yáng)·統(tǒng)考模擬預(yù)測(cè)）
41．已知向量，滿足，．若，則（ ）
A．4 B． C．2 D．
（2023·寧夏石嘴山·高三石嘴山市第三中學(xué)校考開(kāi)學(xué)考試）
42．設(shè)向量，若，則實(shí)數(shù)m的值為（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·河南周口·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
43．已知向量，，，若，則（ ）
A．3 B．-1 C．2 D．4
（2023·黑龍江哈爾濱·高三哈爾濱七十三中校考期中）
44．在直角梯形ABCD中，，點(diǎn)E為BC邊上一點(diǎn)，且，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2024·山東青島·高三青島第十七中學(xué)校考期末）（多選）
45．有關(guān)平面向量的說(shuō)法，下列錯(cuò)誤的是（ ）
A．若，，則
B．若與共線且模長(zhǎng)相等，則
C．若且與方向相同，則
D．恒成立
（2023·山東青島·高三統(tǒng)考期中）（多選）
46．在中，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是邊的三分之一分點(diǎn)，（靠近點(diǎn)的）， 與交于點(diǎn)，則下列說(shuō)法正確的是（ ）
A． B．
C． D．
（2023·安徽合肥·高三合肥一六八中學(xué)校考階段練習(xí)）
47．已知向量，，，若與共線，則 .
（2024·陜西西安·高三統(tǒng)考期末）
48．在中，在上，且，在上，且.若，則 .
（2024·天津和平·高三統(tǒng)考期末）
49．如圖，在中，，過(guò)點(diǎn)的直線分別交直線于不同的兩點(diǎn)，記，用表示 ；設(shè)，若，則的最小值為 ．
（2022·湖南岳陽(yáng)·統(tǒng)考三模）
50．設(shè)點(diǎn)P在以A為圓心，半徑為1的圓弧上運(yùn)動(dòng)(包含B，C兩個(gè)端點(diǎn))，∠BAC＝，且，x＋y的取值范圍為 ．
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】根據(jù)非零向量的方向是否相同分別判斷各個(gè)選項(xiàng)即可.
【詳解】因?yàn)椋释?
對(duì)于A:，方向相反,A選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B:，得出,不能得出方向，B選項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C:,方向向相同,則成立，C選項(xiàng)正確；
對(duì)于D:,不能確定的方向，D選項(xiàng)錯(cuò)誤.
故選：C．
2．B
【分析】由平面向量的基本概念及數(shù)乘運(yùn)算一一判定即可.
【詳解】對(duì)于A，當(dāng)時(shí)，與的方向相同，當(dāng)時(shí)，與的方向相反，故A不正確；對(duì)于B，顯然，即B正確；
對(duì)于C，，由于與1的大小不確定，故與的大小關(guān)系不確定，故C不正確；
對(duì)于D，是向量，而表示長(zhǎng)度，兩者不能比較大小，故D不正確．
故選：B
3．BC
【分析】根據(jù)零向量的定義與性質(zhì)，單位向量的定義以及共線向量的定理，可得答案.
【詳解】對(duì)于A，根據(jù)零向量的定義，若，則，故A正確；
對(duì)于B，當(dāng)時(shí)，顯然與共線，但是零向量的方向是任意的，所以不一定有或，
故B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，設(shè)，，顯然為單位向量，但，故C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，由，則為單位向量，由，則向量與共線，
即是與非零向量共線的單位向量，故D正確.
故選：BC.
4．AD
【分析】利用向量共線定理判斷A；求出與向量共線的單位向量判斷B；舉例說(shuō)明判斷C；利用平面的一個(gè)基底的意義判斷D.
【詳解】對(duì)于A，非零向量，由，得存在非零實(shí)數(shù)，使得，則，即，A正確；
對(duì)于B，與共線的單位向量是，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，當(dāng)與同向共線時(shí)，滿足，而與的夾角為0，不是銳角，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，是平面的一組基底，則不共線，假設(shè)向量共線，
則存在實(shí)數(shù)，使得，即，顯然不同時(shí)為0，
于是共線，與不共線矛盾，即假設(shè)是錯(cuò)的，因此向量不共線，D正確.
故選：AD
5．ACD
【分析】根據(jù)向量共線的定義以及命題的充分必要條件的定義一一判斷求解.
【詳解】A錯(cuò)誤，兩個(gè)向量起點(diǎn)相同，終點(diǎn)相同，則兩個(gè)向量相等，
但兩個(gè)向量相等，不一定有相同的起點(diǎn)和終點(diǎn)；
B正確，因?yàn)椋剑裕角遥?br/>又A，B，C，D是不共線的四點(diǎn)，所以四邊形ABCD為平行四邊形；
C錯(cuò)誤，當(dāng)且方向相反時(shí)，即使，也不能得到，
所以且不是的充要條件，而是必要不充分條件；
D錯(cuò)誤，當(dāng)時(shí)，與可以為任意向量，滿足，
但與不一定共線．
故選:ACD.
6．B
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算求解.
【詳解】
因?yàn)樵诘妊菪蜛BCD中，，所以,
因?yàn)镸為BC的中點(diǎn)，所以
,
故選:B.
7．C
【分析】表達(dá)出，利用平面向量基本定理求出，即可求出的值.
【詳解】由題意及圖可得，
∵，
∴，
∵，
∴,．
∵，
∴，，解得：，，，
故選：C．
8．ABD
【分析】利用平面向量的加法減法法則和數(shù)乘運(yùn)算即可判斷A，B正確，C錯(cuò)誤；利用投影向量的定義即可判斷D正確.
【詳解】
對(duì)A， ，故A正確；
對(duì)B，由圖易得，直線平分角，且為正三角形，根據(jù)平行四邊形法則有，與共線且同方向．易知，均為含角的直角三角形，故，則，而，故，故，故B正確；
對(duì)C，因?yàn)椋?，故C錯(cuò)誤；
對(duì)D，，則在上的投影向量為，故D正確．
故選：ABD．
9．A
【分析】根據(jù)三角形相似推出為的中點(diǎn)，再根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可得答案.
【詳解】易知，，所以，又，所以，即為的中點(diǎn)，
所以.

故選：A
10．A
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算可求出，則得到，的值，進(jìn)而即可求解．
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?br/>所以，
所以，
因?yàn)椋?br/>所以，，故.
故選：A．
11．D
【分析】根據(jù)平面向量共線的定義一一判斷求解.
【詳解】對(duì)A，與不共線，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，則與不共線，B錯(cuò)誤；
對(duì)于C，則與不共線，C錯(cuò)誤；
對(duì)于D，，
即，又線段AC與CD有公共點(diǎn)C，所以A，C，D三點(diǎn)共線，D正確.
故選：D.
12．A
【分析】根據(jù)向量的減法法則將已知條件化簡(jiǎn)，再利用向量共線定理可得結(jié)論.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以和共線，
因?yàn)楹陀泄捕它c(diǎn)，
所以三點(diǎn)共線，
所以點(diǎn)在直線上，
故選：A
13．C
【分析】根據(jù)平面共線定理，由向量平行，求得滿足滿足的方程，求解即可.
【詳解】由，且均不為零向量，則，
可得，則，
整理得，解得或．
故選：C．
14．
【分析】由三點(diǎn)共線的性質(zhì)列式求值.
【詳解】由題意：
由三點(diǎn)共線知，.
，
消去，得.
故答案為：
15．
【分析】根據(jù)已知，可由向量分別表示出，再由可得含有的等式，又不共線，可得方程組，計(jì)算即得.
【詳解】如圖所示，
由為邊的中點(diǎn)，得到，而，
因此，
所以，
因?yàn)椋茫?br/>因?yàn)椋O(shè)（），所以，
所以，即．
因?yàn)榕c不共線，所以，得，故．
故答案為：.
16．D
【分析】根據(jù)題意，由平面向量的線性運(yùn)算，代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】由題意可知，，．
兩式相減，得，所以．
故選：D．
17．
【分析】設(shè)，將代入，利用向量基本定理，得出的關(guān)系式，求解，即可得出結(jié)論.
【詳解】設(shè)，因?yàn)椋?br/>所以，因?yàn)椴还簿€，
所以，解得，，
故答案為：.
18．C
【分析】根據(jù)題意，設(shè)，由待定系數(shù)法代入計(jì)算，即可得到結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋莾蓚€(gè)不共線的向量，設(shè)，
則，
即，解得，
所以.
故選：C
19．B
【分析】根據(jù)向量的三角形法則，將用表示可得結(jié)果.
【詳解】因?yàn)椋?br/>，
可得，，
又，
所以.
故選：B.
20．(1)證明見(jiàn)解析；
(2).
【分析】（1）利用向量共線的充要條件和向量的加法運(yùn)算法則即可求證；
（2）綜合運(yùn)用平面向量基本定理和向量的線性運(yùn)算法則即可解答.
【詳解】（1）因?yàn)榉謩e是邊上的動(dòng)點(diǎn)，
所以存在 使，
所以.
令，則，因?yàn)椋裕?br/>所以.
（2）因?yàn)榉謩e是邊的中點(diǎn)，
所以，又，所以，
所以，所以，即，
所以.
故.
21．B
【分析】設(shè)，表達(dá)出，根據(jù)垂直關(guān)系得到方程，求出，進(jìn)而得到答案.
【詳解】設(shè)，
則，
由得，
解得，
故
故選：B
22．2
【分析】利用向量共線的坐標(biāo)表示可得答案.
【詳解】，
若與共線，則，
解得.
故答案為：.
23．D
【分析】根據(jù)向量的數(shù)乘公式和模的公式代入即可求解.
【詳解】因?yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋裕?
故選：D
24．A
【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示求得，從而得解..
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以，解得，
所以.
故選：A.
25．B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，寫(xiě)成點(diǎn)的坐標(biāo)，分點(diǎn)在，，三種情況，求出的取值范圍.
【詳解】以為坐標(biāo)原點(diǎn)，，所在直線分別為軸，軸，建立平面直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，
則，即，故，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，
則，即，解得，
故，
當(dāng)點(diǎn)在上時(shí)，設(shè)，
則，即，故
綜上，的取值范圍是.
故選：B
26．D
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算可以得出，進(jìn)而得到，由此可判斷出的形狀.
【詳解】∵，，
∴，兩邊平方，化簡(jiǎn)得∴.
∴為直角三角形.
因?yàn)椴灰欢ǖ扔冢圆灰欢榈妊苯侨切?
故選：D.
27．A
【分析】根據(jù)向量加減法法則及模的定義判斷.
【詳解】因?yàn)椋?br/>所以，
所以是等邊三角形．
故選：A．
28．A
【分析】根據(jù)向量共線得出分點(diǎn)位置，再根據(jù)面積公式進(jìn)行求解.
【詳解】如圖，由題意，，
同理，，
所以．
故選：A．

29．A
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算計(jì)算即可．
【詳解】設(shè)的中點(diǎn)為，因?yàn)椋?br/>所以，所以，
所以點(diǎn)是線段的五等分點(diǎn)，
所以,
所以的面積是的面積的5倍．
故選：A.
30．(1)
(2)證明見(jiàn)解析
【分析】（1）根據(jù)已知條件可得，，再結(jié)合向量的加減法和平面向量基本定理可求得結(jié)果；
（2）由題意可得，再結(jié)合和三點(diǎn)共線，可求出，從而可證得結(jié)論.
【詳解】（1），
，
又為上靠近的三等分點(diǎn)，
，
；
（2）交于，，
由（1）知．
．
三點(diǎn)共線，
，解得，
．
即
31．D
【分析】由向量的概念一一判定即可.
【詳解】向量是既有大小又有方向的量，與的模相等，但方向不一定相同，故①是假命題；若與平行，則與的方向有兩種情況：一是同向，二是反向，反向時(shí)，故②③也是假命題．
綜上所述，假命題的個(gè)數(shù)是3．
故選：D．
32．B
【分析】根據(jù)向量的加減法運(yùn)算法則求解.
【詳解】對(duì)A，＋，A錯(cuò)誤；
對(duì)B，＋＋＋＝＋＋
＝＋＝,B正確；
對(duì)C，＋－＝，C錯(cuò)誤；
對(duì)D，－－＝－＝,D錯(cuò)誤；
故選:B.
33．A
【分析】根據(jù)向量的線性運(yùn)算即可.
【詳解】在中，，又點(diǎn)在邊上，且，
則，
故選：A.

34．C
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合圖形，易于判斷A,B兩項(xiàng)；對(duì)于C項(xiàng)，理解折紙過(guò)程知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，易得結(jié)論；對(duì)于D項(xiàng)，合并其中兩個(gè)向量后，只需判斷余下的兩向量能否共線即可.
【詳解】不妨設(shè)，則，
對(duì)于A項(xiàng)，顯然與方向不一致，所以，故A項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于B項(xiàng)，由圖知是鈍角，則，故B項(xiàng)錯(cuò)誤；
對(duì)于C項(xiàng)，由題意知點(diǎn)是線段的中點(diǎn)，則易得：,即得：，故C項(xiàng)正確；
對(duì)于D項(xiàng)，由，而與顯然不共線，故．即項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：C．
35．A
【分析】利用向量加法的三角形不等式，結(jié)合充分條件、必要條件的定義判斷即得.
【詳解】平面向量，，均為單位向量，則，當(dāng)且僅當(dāng)同向共線時(shí)取等號(hào)，
則當(dāng)時(shí)，與共線，反之，與共線并且方向相反時(shí)，，
所以“”是“與共線”的充分不必要條件，A正確.
故選：A
36．D
【分析】將條件變形，得到的關(guān)系，進(jìn)而可得的值.
【詳解】,
,
即,
.
故選：D.
37．C
【分析】用、作為一組基底表示出、，再根據(jù)平面向量基本定理得到方程組，解得即可.
【詳解】因?yàn)辄c(diǎn)滿足，所以為的中點(diǎn)，
所以，又，
所以，
所以，又，
因?yàn)椋裕?br/>即，
所以，解得，所以.
故選：C
38．D
【分析】由題意得，結(jié)合矩形的特征可用表示出，再利用向量加減法法則及數(shù)乘向量運(yùn)算法則即可作答.
【詳解】由題意得，顯然，，
同理有，，
所以，故，
因?yàn)?br/>，
所以.
故選：D
39．B
【分析】根據(jù)平面向量的線性運(yùn)算和基本定理運(yùn)算求解.
【詳解】解：如圖，因?yàn)椋?
又因?yàn)椋裕裕?br/>又因?yàn)椋裕?br/>所以，在平面四邊形中，,
所以且
所以相似于相似比為，
所以,
,
所以，
故選:B.
40．A
【分析】由向量求出的坐標(biāo)，進(jìn)而求出點(diǎn)C的坐標(biāo).
【詳解】由P，Q分別為的邊，的中點(diǎn)，，得，
點(diǎn)為坐標(biāo)原點(diǎn)，，因此，
所以點(diǎn)C的坐標(biāo)為.
故選：A
41．D
【分析】向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示先算出，由，向量共線的坐標(biāo)運(yùn)算得.
【詳解】向量，滿足，，
，
由，則，解得.
故選：D
42．D
【分析】利用向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示，再結(jié)合向量共線的坐標(biāo)表示求解即得.
【詳解】向量，則，
由，得，解得，
所以實(shí)數(shù)m的值為.
故選：D
43．A
【分析】運(yùn)用共線向量的坐標(biāo)表達(dá)式即得.
【詳解】由，，又由，可得：，解得.
故選：A.
44．B
【分析】建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式，結(jié)合配方法進(jìn)行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐角坐標(biāo)系，過(guò)作，垂足為，
因?yàn)椋?br/>所以有，

，設(shè)，，
因此有
因?yàn)椋?br/>所以有，
而，
所以，
當(dāng)時(shí)，有最大值，當(dāng)，xy有最小值，
所以的取值范圍是
故選：B
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立平面直角坐標(biāo)系，利用平面向量運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是解題的關(guān)鍵.
45．ABC
【分析】取，可判斷A選項(xiàng)；利用平面向量的概念可判斷B選項(xiàng)；利用向量不能比大小可判斷C選項(xiàng)；利用平面向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)可判斷D選項(xiàng).
【詳解】對(duì)于A選項(xiàng)，取，滿足，，但、不一定共線，A錯(cuò)；
對(duì)于B選項(xiàng)，若與共線且模長(zhǎng)相等，則或，B錯(cuò)；
對(duì)于C選項(xiàng)，任何兩個(gè)向量不能比大小，C錯(cuò)；
對(duì)于D選項(xiàng)，恒成立，D對(duì).
故選：ABC.
46．ABD
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合平面向量的線性運(yùn)算法則，以及三角形的面積公式，逐項(xiàng)判定，即可求解.
【詳解】由題意，點(diǎn)是邊的中點(diǎn)，是邊的三分之一分點(diǎn)，
可得，所以A正確；
設(shè)為的中點(diǎn)，連接，則，
在中，因?yàn)榉謩e為的中點(diǎn)，可得且，
在中，由分別為的中點(diǎn)，且，可得，
所以，所以，
所以，所以B正確；
由，可得且，
則，且，
所以，所以C不正確；
由，，
且，
所以，所以D正確.
故選：ABD.
47．##
【分析】根據(jù)向量共線的坐標(biāo)表示求解即可.
【詳解】，，，
，，
與共線，
，得.
故答案為：.
48．##
【分析】根據(jù)已知條件先確定，，再根據(jù)平面向量基本定理，把向量與向量作為一組基底表示出向量即可.
【詳解】因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕?br/>因?yàn)椋?br/>所以，則，
因?yàn)椋裕瑒t.
故答案為：
49．
【分析】利用平面向量的線性運(yùn)算、用基底表示向量，結(jié)合基本不等式即可求解.
【詳解】由題知，
，
即.
由，，
所以，
因?yàn)椤ⅰ⑷c(diǎn)共線，
所以，
所以
，
當(dāng)且僅當(dāng)，即時(shí)等號(hào)成立.
故答案為：；
50．[1，2]
【分析】建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)公式，結(jié)合輔助角公式和正弦型函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】建立如圖所示的直角坐標(biāo)系，
，設(shè)，
所以，因此有，
因?yàn)椋?br/>所以有，
于是有，
因?yàn)椋裕裕?br/>即，
故答案為：
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：建立直角坐標(biāo)系，利用平面向量線性運(yùn)算的坐標(biāo)表示公式是題的關(guān)鍵.
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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