資源簡介

熱點(diǎn)6-1 線線、線面、面面的平行與垂直
在高考數(shù)學(xué)中，本部分內(nèi)容主要分兩方面進(jìn)行考查，一是以幾何體為載體考查空間點(diǎn)、線、面位置關(guān)系的判斷，主要以小題的形式出現(xiàn)，題目難度較小；二是空間線線、線面、面面平行和垂直關(guān)系交匯綜合命題，一般以選擇題、填空題或解答題的第（1）問的形式考查，屬于中檔題.
【題型1 空間點(diǎn)線面位置關(guān)系判斷】
滿分技巧1、判斷與空間位置關(guān)系有關(guān)的命題的方法： （1）借助空間線面平行、面面平行、線面垂直、面面垂直的判定定理和性質(zhì)定理進(jìn)行判斷； （2）借助空間幾何模型，如從長方體模型、四面體模型等模型中觀察線面位置關(guān)系，結(jié)合有關(guān)定理，進(jìn)行肯定或否定. 2、兩點(diǎn)注意： （1）平面幾何的結(jié)論不能完全引用到立體幾何中； （2）當(dāng)從正面入手較難時，可利用反證法，推出與提升或公認(rèn)結(jié)論相矛盾的命題，進(jìn)而作出判斷.
【例1】（2024·湖南·長沙一中校聯(lián)考模擬預(yù)測）
1．設(shè)是兩條不同的直線，是兩個不同的平面，則下面說法正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則
C．若，則
D．若，則
【變式1-1】（2024·江蘇徐州·高三校考開學(xué)考試）
2．已知兩條不重合的直線和，兩個不重合的平面和，下列四個說法：
①若，，，則 ②若，，，則
③若，，，則 ④若，，，則
其中所有正確的序號為（ ）
A．②④ B．③④ C．④ D．①③
【變式1-2】（2024·江西·高三校聯(lián)考開學(xué)考試）
3．設(shè)m，n是不同的直線，是不同的平面，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．若，則
C．若，則 D．若，則
【變式1-3】（2024·山東濟(jì)南·高三濟(jì)南一中校聯(lián)考開學(xué)考試）
4．已知是三條不重合的直線，是三個不重合的平面，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．若，則
B．若，則且
C．若，則
D．若，則
【變式1-4】（2024·云南昆明·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
5．已知直線a，b，c與平面，，，下列說法正確的是（ ）
A．若，，，則a，b異面
B．若，，，則
C．若，，則
D．若，，則
【題型2 共面、共線、共點(diǎn)證明】
滿分技巧1、證明點(diǎn)線共面問題的兩種方法 （1）納入平面法：先確定一個平面，再證明有關(guān)點(diǎn)、線在此平面內(nèi)； （2）輔助平面法：先證有關(guān)點(diǎn)、線共平面，再證其他點(diǎn)、線共平面，最后證平面，重合. 2、證明點(diǎn)共線問題的兩種方法 （1）先由兩點(diǎn)確定一條直線，再證其他各點(diǎn)都在這條直線上； （2）直接證明這些點(diǎn)都在一條特定直線上. 3、證明三線共點(diǎn)問題的步驟 第一步：先證其中兩條直線交于一點(diǎn)； 第二步：再證交點(diǎn)在第三條直線上. 證交點(diǎn)在第三條直線上時，第三條直線應(yīng)為前兩條直線所在平面的交線.
【例2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
6．如圖，在正方體中，為棱的靠近上的三等分點(diǎn).設(shè)與平面的交點(diǎn)為，則（ ）

A．三點(diǎn)共線，且
B．三點(diǎn)共線，且
C．三點(diǎn)不共線，且
D．三點(diǎn)不共線，且
【變式2-1】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
7．如圖，在長方體中，，，，分別是，的中點(diǎn)，證明：四點(diǎn)共面．
【變式2-2】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
8．如圖，在長方體中，、分別是和的中點(diǎn)．
(1)證明：、、、四點(diǎn)共面；
(2)對角線與平面交于點(diǎn)，交于點(diǎn)，求證：點(diǎn)共線；
(3)證明：、、三線共點(diǎn)．
【變式2-3】（2023·河南·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
9．如圖，在長方體中，點(diǎn)分別在棱上，且，.
(1)求證：四點(diǎn)共面；
(2)若，求平面與平面夾角的正弦值.
【變式2-4】（2024·河北衡水·河北冀州中學(xué)校考一模）
10．如圖所示的幾何體是由一個直三棱柱和半個圓柱拼接而成.其中，，點(diǎn)為弧的中點(diǎn)，且四點(diǎn)共面.
(1)證明：四點(diǎn)共面；
(2)若平面與平面夾角的余弦值為，求長.
【題型3 線線、線面、面面平行證明】
滿分技巧1、線線平行的證明方法 （1）定義法：即證明兩條直線在同一個平面內(nèi)且兩直線沒有公共點(diǎn)； （2）利用平面圖形的有關(guān)平行的性質(zhì)，如三角形中位線，梯形，平行四邊形等關(guān)于平行的性質(zhì)； （3）利用基本事實4：找到一條直線，使所證的直線都與這條直線平行． 2、線面平行的判定方法 （1）利用線面平行的定義：直線與平面沒有公共點(diǎn)； （2）利用線面平行的判定定理：如果平面外有一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，那么該直線與此平面平行（簡記為“線線平行線面平行”） （3）利用面面平行的性質(zhì)定理：如果兩個平面平行，那么在一個平面內(nèi)所有直線都平行于另一個平面.（簡記為“面面平行線面平行”） 3、面面平行的判定方法 （1）面面平行的定義：兩個平面沒有公共點(diǎn)，常與反證法結(jié)合（不常用）； （2）面面平行的判定定理：如果一個平面內(nèi)的兩條相交直線都平行于另一個平面，那么這兩個平面平行（主要方法）； （3）垂直于通一條直線的兩個平面平行（客觀題可用）； （4）平行于同一個平面的兩個平面平行（客觀題可用）.
【例3】（2024·全國·高三專題練習(xí)）
11．如圖1所示，在四邊形中，，為上一點(diǎn)，，，將四邊形沿折起，使得，得到如圖2所示的四棱錐．若平面平面，證明：.
【變式3-1】（2024·青海西寧·高三統(tǒng)考期末）
12．如圖，A，B為正方體的兩個頂點(diǎn)，M，N，Q為所在棱的中點(diǎn)，則（ ）
A． B．
C． D．平面
【變式3-2】（2024·陜西西安·統(tǒng)考一模）
13．如圖，在四棱錐中，平面，且是的中點(diǎn)，點(diǎn)分別在上，且．
(1)證明：平面；
(2)求三棱錐的體積．
【變式3-3】（2024·內(nèi)蒙古包頭·高三統(tǒng)考期末）
14．如圖，在四棱錐中，平面，，，，為棱上的一點(diǎn)，且．
(1)證明：平面；
(2)求四棱錐的體積．
【變式3-4】（2024·河南·方城第一高級中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測）
15．如圖，梯形是圓臺的軸截面，，分別在底面圓，的圓周上，為圓臺的母線，，若，，，分別為，的中點(diǎn)，且異面直線與所成角的余弦值為.

(1)證明：平面平面；
(2)求圓臺的高.
【題型4 線線、線面、面面垂直證明】
滿分技巧直線與平面垂直的判定方法 1、利用定義：若一條直線垂直于一個平面內(nèi)的任意一條直線，則這條直線垂直于這個平面； 2、利用線面垂直的判定定理：如果一條直線和一個平面內(nèi)的兩條相交直線垂直，那么這條直線就和這個平面垂直； 3、可作定理用的正確命題：如果兩條平行直線中的一條直線垂直于一個平面，那么另一條也垂直于這個平面； 4、面面垂直的性質(zhì)定理：如果兩個平面垂直，那么在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一平面； 5、面面平行的性質(zhì)：如果一條直線垂直于兩個平行平面中的一個平面，則這條直線也垂直于另一個平面； 6、面面垂直的性質(zhì)：若兩相交平面同時垂直于第三個平面，則這兩個平面的交線垂直于第三個平面.
【例4】（2024·北京西城·高三北師大實驗中學(xué)校考開學(xué)考試）
16．在某次數(shù)學(xué)探究活動中，小明先將一副三角板按照圖1的方式進(jìn)行拼接，然后他又將三角板折起，使得二面角為直二面角，得圖2所示四面體.小明對四面體中的直線、平面的位置關(guān)系作出了如下的判斷，其中不正確的是（ ）
A．平面 B．平面
C．平面平面 D．平面平面
【變式4-1】（2022·福建廈門·高三廈門雙十中學(xué)校考階段練習(xí)）
17．已知三棱錐（如圖一）的平面展開圖（如圖二）中，四邊形為邊長等于的正方形，和均為正三角形，在三棱錐中：
(1)證明：平面平面；
(2)若點(diǎn)M在棱上運(yùn)動，當(dāng)直線與平面所成的角最大時，求平面與平面所成銳二面角的余弦值．
【變式4-2】（2024·四川雅安·高三雅安中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）
18．如圖，在四棱柱中，底面和側(cè)面均是邊長為2的正方形．
(1)證明：．
(2)若，求點(diǎn)到平面的距離．
【變式4-3】（2023·全國·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
19．如圖，在五面體中，四邊形的對角線交于點(diǎn)，為等邊三角形，，，.
(1)證明：平面；
(2)若，求五面體的體積.
【變式4-4】（2023·陜西榆林·高三榆林市第一中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
20．如圖，在四棱錐中，底面是等腰梯形，，是正三角形，已知，，.
(1)證明：平面平面；
(2)求點(diǎn)到平面的距離.
【題型5 平行關(guān)系中的動點(diǎn)探究問題】
滿分技巧1、探索性問題的一般解題思路：先假設(shè)其存在，然后把這個假設(shè)作為已知條件，和題目的其他已知條件一起進(jìn)行推理論證和計算．在推理論證和計算無誤的前提下，如果得到了一個合理的結(jié)論，則說明存在；如果得到了一個不合理的結(jié)論，則說明不存在． 2、探索性問題的答題步驟：第一步對“是否存在”給出作答，寫出探求的最后結(jié)論；第二步探求結(jié)論的正確性.
【例5】（2024·山東濟(jì)寧·高三校考開學(xué)考試）
21．如圖，四棱錐中，是的中點(diǎn)，四邊形為平行四邊形，且平面．
(1)試探究在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面？若存在，請確定點(diǎn)的位置，并給予證明；若不存在，請說明理由；
(2)若，且，求平面與平面所成夾角的余弦值．
【變式5-1】（2024·陜西·校聯(lián)考一模）
22．如圖，在等腰梯形ABCD中，面ABCD，面ABCD，，點(diǎn)P在線段EF上運(yùn)動．
(1)求證：；
(2)是否存在點(diǎn)P，使得平面ACE 若存在，試求點(diǎn)P的位置，若不存在，請說明理由．
【變式5-2】（2023·北京·高二期中）
23．如圖所示，在四棱錐中，平面，，E是PD的中點(diǎn).

(1)求證：；
(2)求證：平面；
(3)若M是線段上一動點(diǎn)，則線段上是否存在點(diǎn)N，使平面？說明理由.
【變式5-3】（2023·河北承德·高三校聯(lián)考期中）
24．如圖，在四棱錐中，平面平面，底面是正方形，且、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)．
(1)求證：；
(2)在上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式5-4】（2023·重慶·高三重慶市第七中學(xué)校校考階段練習(xí)）
25．在如圖所示的五面體中，共面，是正三角形，四邊形為菱形，，平面，，點(diǎn)為中點(diǎn).
(1)在直線上是否存在一點(diǎn)，使得平面平面，請說明理由；
(2)當(dāng)，求平面與平面所成二面角的正弦值.
【題型6 垂直關(guān)系中的動點(diǎn)探究問題】
【例6】（2022·全國·模擬預(yù)測）
26．如圖1，在等邊中，是邊上的高，、分別是和邊的中點(diǎn)，現(xiàn)將沿翻折成使得平面平面，如圖2.

(1)求證：平面；
(2)在線段上是否存在一點(diǎn)，使？若存在，求的值；若不存在，請說明理由.
【變式6-1】（2023·遼寧沈陽·東北育才學(xué)校校考模擬預(yù)測）
27．如圖，在棱長為2的正方體中，點(diǎn)M是正方體的中心，將四棱錐繞直線逆時針旋轉(zhuǎn)后，得到四棱錐．

(1)若，求證：平面平面；
(2)是否存在，使得直線平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式6-2】（2023·重慶·高三重慶八中校考開學(xué)考試）
28．如圖，在四棱錐中，底面是菱形，，三角形為正三角形，且側(cè)面底面.分別為線段的中點(diǎn).

(1)求證：平面；
(2)在棱上是否存在點(diǎn)，使得平面平面？若存在，請求出的值；若不存在，請說明理由.
【變式6-3】（2023·全國·高三專題練習(xí)）
29．如圖，正方形與梯形所在平面互相垂直，已知，，．

(1)求證：平面．
(2)線段上是否存在點(diǎn)M，使平面平面？若存在，求出的值；若不存在，請說明理由．
【變式6-4】（2023·江西贛州·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
30．如圖，在三棱柱中，側(cè)面是矩形，側(cè)面是菱形，，、分別為棱、的中點(diǎn)，為線段的中點(diǎn).

(1)證明：平面；
(2)在棱上是否存在一點(diǎn)，使平面平面？若存在，請指出點(diǎn)的位置，并證明你的結(jié)論；若不存在，請說明理由.
（建議用時：60分鐘）
（2024·重慶·高三西南大學(xué)附中校聯(lián)考開學(xué)考試）
31．已知是空間中三條互不重合的直線，是兩個不重合的平面，則下列說法正確的是（ ）
A．，則 B．且，則
C．，則 D．，則
32．已知m，n表示兩條不同直線，表示平面，下列說法正確的是
A．若則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，則
（2023·陜西西安·高三校聯(lián)考階段練習(xí)）
33．如圖，在正方體中，均為棱的中點(diǎn)，現(xiàn)有下列4個結(jié)論：
①平面平面；
②梯形內(nèi)存在一點(diǎn)，使得平面；
③過可作一個平面，使得到這個平面的距離相等；
④梯形的面積是面積的3倍.
其中正確的個數(shù)為（ ）
A．4 B．3 C．2 D．1
（2023·上海金山·統(tǒng)考一模）
34．如圖，在正方體中，E、F為正方體內(nèi)（含邊界）不重合的兩個動點(diǎn)，下列結(jié)論錯誤的是（ ）．
A．若，，則
B．若，，則平面平面
C．若，，則面
D．若，，則
（2024·云南大理·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
35．如圖所示，在平行六面體中，為正方形的中心，分別為線段的中點(diǎn)，下列結(jié)論正確的是（ ）

A．平面
B．平面平面
C．直線與平面所成的角為
D．
（2024·湖南長沙·統(tǒng)考一模）
36．在正方體中，點(diǎn)為線段上的動點(diǎn)，直線為平面與平面的交線，則（ ）
A．存在點(diǎn)，使得面
B．存在點(diǎn)，使得面
C．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有面
D．當(dāng)點(diǎn)不是的中點(diǎn)時，都有面
（2023·廣東廣州·高三廣州市天河中學(xué)校考階段練習(xí)）
37．如圖所示，在四棱錐中，是正方形，平面，分別是的中點(diǎn)．
(1)求證：平面平面；
(2)證明：平面平面．
（2023·遼寧朝陽·高三建平縣實驗中學(xué)校聯(lián)考階段練習(xí)）
38．如圖，已知四邊形為菱形，平面，平面，.

(1)證明：平面平面；
(2)若平面平面，求的長.
（2023·江西·高三鷹潭一中校聯(lián)考期中）
39．如圖1，山形圖是兩個全等的直角梯形和的組合圖，將直角梯形沿底邊翻折，得到圖2所示的幾何體.已知，,點(diǎn)在線段上，且在幾何體中，解決下面問題.
(1)證明：平面；
(2)若平面平面，證明：.
（2023·廣東中山·高三統(tǒng)考階段練習(xí)）
40．如圖，在四棱錐中，底面是正方形，平面平面，，為中點(diǎn).
(1)求證：平面；
(2)求證：；
（2024·河南安陽·高三安陽一中校考期末）
41．如圖,在四棱錐中,底面是菱形,,三角形為正三角形,且側(cè)面底面.分別為線段,的中點(diǎn).

(1)求證:平面;
(2)在棱上是否存在點(diǎn),使平面平面,請說明理由.
（2023·山東濱州·高三統(tǒng)考期中）
42．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，平面平面，，，為的中點(diǎn)．

(1)求證：；
(2)求證：平面平面；
(3)在線段上是否存在點(diǎn)，使得平面 請說明理由．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據(jù)直線和平面平行和垂直的性質(zhì)即可判斷出它們的位置關(guān)系，逐項得出結(jié)論即可.
【詳解】對于A，若，則可能平行或相交，可得A錯誤；
對于B，若，則，即B正確；
對于C，若，則或，可知C錯誤；
對于D，若，則或，可知D錯誤；
故選：B
2．B
【分析】①②錯誤，舉出反例即可，③④正確，給出證明.
【詳解】對于①：如果，，也能滿足條件，①錯誤；
對于②：與相交或異面也能滿足條件，②錯誤；
對于③：因為，，則，又因為，所以，③正確；
對于④：因為，所以平面內(nèi)必有直線，又因為，所以，
因為，，所以，而，所以，④正確.
故選：B
3．D
【分析】利用線面、面面平行關(guān)系判斷A；由B的條件可得判斷；由直線、都平行于的交線判斷C；由線面垂直的性質(zhì)推理判斷D.
【詳解】對于A，若，則直線與可能相交、也可能平行、還可能是異面直線，A錯誤；
對于B，若，則，B錯誤；
對于C，若，直線與可能平行，
如直線、都平行于的交線，且，滿足條件，而，C錯誤；
對于D，若，則，又，因此，D正確.
故選：D
4．D
【分析】根據(jù)線面以及面面平行的性質(zhì)可判斷A；根據(jù)線面平行的判定定理可判斷B；根據(jù)線面垂直的判定定理可判斷C；根據(jù)面面垂直的性質(zhì)以及線面垂直的判定定理可判斷D.
【詳解】對于A，若，則或，A錯誤；
對于B，若，則當(dāng)且時，才有且，B錯誤；
對于C，若，當(dāng)時，推不出，C錯誤；
對于D，如圖，設(shè)，在內(nèi)取點(diǎn)P，，
作，垂足為，因為，則，
而，則，又，
故，D正確，

故選：D
5．AC
【分析】根據(jù)題意，由空間中直線與平面的位置關(guān)系，對選項逐一判斷，即可得到結(jié)果.
【詳解】若，，，則a，b異面，故A正確；
若，，，則與異面或平行或相交，故B錯誤；
若，，則，故C正確；
若，，則或相交，故D錯誤；
故選：AC
6．B
【分析】連接，利用公理2可直接證得，并且由三角形相似得比例關(guān)系，從而求出結(jié)果.
【詳解】連接連接，，

直線平面平面.
又平面，平面平面直線
∴三點(diǎn)共線.
.
故選：B.
7．證明見解析
【分析】符合同一原理，可以用同一法證明三點(diǎn)構(gòu)成一個平面．
【詳解】假設(shè)面與棱交于．
平面，平面與其相交，
，
為中點(diǎn)，為中點(diǎn)，
與重合，即四點(diǎn)共面．
8．(1)證明見解析；
(2)證明見解析；
(3)證明見解析.
【分析】（1）證明，即可說明、、、四點(diǎn)共面.
（2）先證明點(diǎn)面和面，即點(diǎn)在面與面的交線上在證明面 面 ，即點(diǎn)，即可得到答案.
（3）延長交于,由于面 面，則在交線上.
【詳解】（1）連接
在長方體中
、分別是和的中點(diǎn)
、、、四點(diǎn)共面
（2）
確定一個平面
面
面
對角線與平面交于點(diǎn)
面
在面與面的交線上
面且面
面 面
即點(diǎn)共線.
（3）延長交于
面
面
面
面
面 面
、、三線共點(diǎn).
9．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）分別證明四邊形和為平行四邊形即可；
（2）建系，分別求出兩平面的法向量，再用向量夾角余弦值求出即可.
【詳解】（1）
證明：如圖所示，在棱上取點(diǎn)，使得，
又，所以四邊形為平行四邊形，
則且，又且，所以且，
則四邊形為平行四邊形，所以，
同理可證四邊形為平行四邊形，則，所以.
所以四點(diǎn)共面.
（2）以為軸，為軸，為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示，
則，
.設(shè)平面的法向量為，
由得，解得
令，則.
，設(shè)平面的法向量為，
由得，解得
令，則，
設(shè)兩個平面夾角大小為，則.
所以，
所以平面與平面夾角的正弦值為.
10．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）連接，由題意可得，根據(jù)平行線性質(zhì)有，即可證結(jié)論；
（2）法1：構(gòu)建空間直角坐標(biāo)系，應(yīng)用向量法求面面角列方程求線段長；法2：取中點(diǎn)，連接，過作于，過作于，連接，利用線面垂直及面面角定義有是平面與平面所成的夾角，根據(jù)已知列方程求線段長.
【詳解】（1）連接，因為，
所以直棱柱的底面為等腰直角三角形，，
在半圓上，是弧中點(diǎn)，所以，
所以，又，
所以，所以四點(diǎn)共面.
（2）法1：直棱柱中，以為原點(diǎn)，建立如圖空間直角坐標(biāo)系，
設(shè)，則，
設(shè)面的法向量為，則，取，所以，
，
設(shè)面的法向量為，則，取，所以，
平面與平面所成夾角，即與夾角或其補(bǔ)角，
所以，解得，所以
法2：設(shè)，由（1）知四點(diǎn)共面，則面面.

取中點(diǎn)，連接，則，而面，面，
故，，面，則平面，
過作于，又平面，所以平面，
過作于，連接，則，又是銳角.
所以是平面與平面所成的夾角，則，
所以在Rt中，，
在中，根據(jù)等面積法，
在中，.
所以.
所以，解得，即，
所以.
11．證明見解析
【分析】先根據(jù)圖1中幾何關(guān)系，得到，進(jìn)而得平面，可證.
【詳解】在圖1中，因為，，，
所以，，又，
所以，
因為，，
所以，故，
在圖2中，因為，平面，平面，
所以平面，
因為平面，平面平面，所以；
12．C
【分析】根據(jù)記正方體的另一個頂點(diǎn)為C，設(shè)的中點(diǎn)為，可證，結(jié)合平行關(guān)系分析判斷ABC；對于D：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理和性質(zhì)定理可證平面，即可得結(jié)果.
【詳解】如圖，記正方體的另一個頂點(diǎn)為C，連接，交于點(diǎn)O，
設(shè)的中點(diǎn)為，連接，
因為Q，D為的中點(diǎn)，則，
又因為交于同一點(diǎn)，
即與均不平行，故A，B錯誤；
對于選項D：若平面，
且平面，平面平面，可得，
這與與不平行相矛盾，假設(shè)不成立，故D錯誤；
對于選項C：因為為正方形，則，
且M，N為所在棱的中點(diǎn)，則，可得，
又因為平面，且平面，可得，
且，平面，所以平面，
由平面，所以，故C正確；
故選：C.
13．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據(jù)條件得到，從而得到，再利用線面平行的判定定理即可證明結(jié)果；
（2）作交于點(diǎn)，根據(jù)條件得出平面，從而得到平面，且，再算出，利用棱錐的體積公式即可得出結(jié)果.
【詳解】（1）在中，因為，所以，且，
在四邊形中，，
，
四邊形是平行四邊形，，
又平面平面，
平面．
（2）作交于點(diǎn)，
平面，又面，所以，
又，面，
平面，又，平面，
由，得到，又，所以，
又為的中點(diǎn)，，
．
14．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）連接交于點(diǎn)，連接，通過證明可得平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，通過體積公式計算即可.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接．
在底面中，因為，，
由，可得，
因為，即，
所以在中，，故，
因為平面，平面，
所以平面；
（2）取的中點(diǎn)，連接，由，，
得為等邊三角形，所以．
在等邊三角形中，，
所以．
因為．
15．(1)證明見解析
(2)6
【分析】（1）先證線線平行，再證線面平行，從而得到面面平行；
（2）可以建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)異面直線所成角的余弦確定圓臺的高；也可以用立體幾何的方式，轉(zhuǎn)化為解三角形求解.
【詳解】（1）證明：由題意得，，
所以四邊形為平行四邊形，所以，
而平面，平面，
所以平面.
因為，分別為，的中點(diǎn)，
所以為的中位線，所以.
而平面，平面，
所以平面，
又，平面，且，
所以平面平面.
（2）（方法一）易知，以為坐標(biāo)原點(diǎn)，以，所在直線分別為軸、軸，在底面圓內(nèi)過作的垂線為軸，建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系.
設(shè)圓臺的高為（），

則，，，，
則，，
由，解得.
（方法二）設(shè)圓臺的高為（），連接和，

因為點(diǎn)和分別為和的中點(diǎn)，故為的中位線，
所以，則（或其補(bǔ)角）為異面直線與所成的角，
同理可得，則，
由（1）知，則，，
由勾股定理可得.
由，為圓臺的母線得，，
則為等邊三角形，則，故，
則在中，由余弦定理可得，
解得.
16．D
【分析】根據(jù)題意，結(jié)合線面位置關(guān)系的判定定理和性質(zhì)定理，逐項判定，即可求解.
【詳解】對于A，因為二面角為直二面角，可得平面平面，
又因為平面平面，，且平面，
所以平面， 所以A正確；
對于B，由平面，平面，可得，
又因為，且，平面，
所以平面，故B正確；
對于C，由平面，且平面，所以平面平面，故C正確；
對于D，因為平面，平面，
所以平面平面，
若平面平面，且平面平面，
可得平面，又平面，可得，
因為與不垂直，矛盾，所以平面與平面不垂直，故D錯誤.
故選：D.
17．(1)證明見解析；
(2).
【分析】（1）根據(jù)三棱錐的平面展開圖確定各棱長，由勾股定理和等邊三角形性質(zhì)先證明線面垂直，再由面面垂直判定定理證明平面平面.
（2）確定在棱上的位置，建立合理的空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求二面角的余弦值即可.
【詳解】（1）取的中點(diǎn)，連接，，依題意，，，，
則，即有，顯然有，
而平面，平面，于是平面，又平面，
所以平面平面.
（2）由（1）知，，，，則平面，
即為直線與平面所成的角，且，
因此當(dāng)最短時，最大，最大，而，則為的中點(diǎn)，
以為坐標(biāo)原點(diǎn)，直線分別為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，，，，，
，，；
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
顯然平面的法向量為，設(shè)平面與平面所成銳二面角為，
則，
所以平面與平面所成銳二面角的余弦值為.
18．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）由線面垂直證明線線垂直，先連接，由已知得到四邊形為菱形后推出，再證明平面，得到，推出平面，最后可證明.
（2）用等體積法求點(diǎn)到面的距離，先求出，得到，再由，得到，最后由體積相等解出即可.
【詳解】（1）證明：連接，因為底面和側(cè)面均為正方形，所以四邊形為菱形，則．
由底面和側(cè)面均為正方形，得，．
因為，所以平面．
又平面，所以．
因為，所以平面．
又平面，所以．
（2）因為，，所以．
又平面，所以．
，，
則．
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，
則，解得，即點(diǎn)到平面的距離為．
19．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）首先證明和，然后利用線面垂直的判定即可證明.
（2）首先證明平面，然后利用錐體的體積公式可得.
【詳解】（1）連接EF，
在和中，，
所以，
所以，
又，，所以≌，
則為的中點(diǎn)，所以．
在中，，又為的中點(diǎn)，
所以，
因為平面，平面，，，，
平面
（2）取的中點(diǎn)，連結(jié)，與交于點(diǎn)，連結(jié)．
因為平面，平面，所以，
又，，，所以平面，
又平面，所以，
又所以平面．
因為，為等邊三角形，
因為，所以
而，
在中，，
在等邊中，BF是AC的中線，CM是AB的中線，
所以G是等邊的重心，
所以
在中，，
則四邊形的面積為．
故五面體的體積為．
20．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）分別作的中點(diǎn)，證得，得到，再由，得到，根據(jù)線面垂直的判定定理，證得平面，進(jìn)而證得平面平面.
（2）過作于，求得，，設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，結(jié)合，即可求解.
【詳解】（1）證明：分別作的中點(diǎn)，連接，
因為分別為的中點(diǎn)，且四邊形為等腰梯形，
可得，所以，
在等腰梯形中，因為，，
可得，所以，
因為是正三角形，是中點(diǎn)，所以，又由，可知
又因為，所以，所以，
因為，，且平面，所以平面，
又因為平面，所以平面平面.
（2）解：由（1）知，，且為的中點(diǎn)，可得，
過作于，因為，則為的中點(diǎn)，
且，所以，
又由，所以，
設(shè)點(diǎn)到平面的距離為，則，解得，
所以點(diǎn)到平面的距離為.
21．(1)存在，為的中點(diǎn)，證明見解析
(2)
【分析】（1）先利用中位線及平行四邊形的性質(zhì)得出∥，再根據(jù)線面平行的判定定理即可證明.
（2）先建立空間直角坐標(biāo)系，表示出點(diǎn)的坐標(biāo)；再求出平面與平面的法向量；最后根據(jù)面面所成角的空間向量計算方法即可求解.
【詳解】（1）在線段上存在點(diǎn)，且為的中點(diǎn)，使得//平面.
證明如下：
取得中點(diǎn)，連結(jié)，，.
因為為的中點(diǎn)，
所以∥，且.
因為為的中點(diǎn)，且四邊形為平行四邊形，
所以∥，且，
所以∥，且，
所以四邊形為平行四邊形.
所以∥.
因為平面，平面，
所以∥平面.
（2）因為平面，且四邊形為平行四邊形，
所以平面.
因為，且，
所以，，，.
以為原點(diǎn)，所在直線為軸，所在直線為軸，過在平面內(nèi)與垂直的直線為軸，建立空間直角坐標(biāo)系，如圖所示.

則，，，即，.
令平面的法向量為，
則，即.
取，則，，即.
因為平面，平面，
所以平面平面.
則為平面的一個法向量.
所以.
所以平面與平面所成夾角的余弦值.
22．(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）由題意知先由線面垂直證明平面，又由平面，從而可求解；
（2）當(dāng)時結(jié)合線面平行判定可知平面，從而可求解.
【詳解】（1）在等腰梯形ABCD中，，，
．
平面，平面，
，又，面，
平面，
平面，.
（2）在線段上存在，使得平面．
證明如下：由已知可得四邊形為矩形，連接交于，連接，
由（1）知在中，，則
當(dāng)時，且，則四邊形為平行四邊形，則，
又面AEC，面AEC，所以平面．
23．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在，證明見解析
【分析】（1）根據(jù)線面平行的性質(zhì)定理即可證明；
（2）由中位線、線面平行的性質(zhì)可得四邊形為平行四邊形，再根據(jù)線面平行的判定即可證明；
（3）根據(jù)線面、面面平行的性質(zhì)定理和判斷定理即可判斷存在性.
【詳解】（1）在四棱錐中，平面，平面，平面，
平面平面，所以；
（2）如下圖，取為中點(diǎn)，連接，由E是PD的中點(diǎn)，
所以且，由（1）知，又，
所以且，所以四邊形為平行四邊形，故，
而平面，平面，則平面.

（3）取中點(diǎn)N，連接，，
因為E，N分別為，的中點(diǎn)，所以，
因為平面，平面，所以平面，
線段存在點(diǎn)N，使得平面，理由如下：
由（2）知：平面，又，平面，平面，
所以平面平面，又M是上的動點(diǎn)，平面，
所以平面，所以線段存在點(diǎn)N，使得平面.
24．(1)證明見解析
(2)＝，理由見解析
【分析】（1）借助面面垂直的性質(zhì)定理，可得線面垂直，再借助線面垂直的性質(zhì)定理可得線線垂直；
（2）假設(shè)存在該點(diǎn)，構(gòu)造出相應(yīng)的點(diǎn)后結(jié)合性質(zhì)即可得.
【詳解】（1）因為四邊形是正方形，所以，
因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，
又平面，所以．
（2）設(shè)，則為正方形的中心，
如圖，連接，交于點(diǎn)，連接并延長交于點(diǎn)．
若平面平面，平面平面，平面平面，所以．
因為、分別是、上靠近的三等分點(diǎn)，
所以，所以，，
又是的中點(diǎn)，所以，
所以，所以．
故上存在一點(diǎn)，使平面平面，此時的值為．
25．(1)存在，理由見解析；
(2).
【分析】（1）由題意根據(jù)條件推出平面平面，再根據(jù)面面平行的判定定理證明結(jié)論.
（2）求出，取中點(diǎn)，連接，從而證明，建立空間直角坐標(biāo)系，利用空間向量求出二面角的正弦值.
【詳解】（1）在直線上存在一點(diǎn)，使得平面平面，理由如下：
取的中點(diǎn)，連接，

由點(diǎn)為中點(diǎn)，得，平面，平面，則平面，
又平面,平面，平面平面，則,
四邊形是菱形，則，于是四邊形是平行四邊形，
則，平面，平面，則平面，
而平面，所以平面平面.
（2）四邊形為菱形，，則為正三角形，，
在中，，由余弦定理知，
取中點(diǎn)，連接，而是正三角形，則，
顯然，即，又，即直線兩兩垂直，
以為原點(diǎn)，直線分別為軸建立空間直角坐標(biāo)系，如圖，

則，，，
由，得，則，，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面的法向量為，則，令，得，
設(shè)平面與平面所成二面角為，，
所以平面與平面所成二面角的正弦值為.
26．(1)證明見解析
(2)存在，且
【分析】（1）利用中位線的性質(zhì)可得出，再利用線面平行的判定定理可證得結(jié)論成立；
（2）在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接，利用面面垂直的性質(zhì)推導(dǎo)出平面，可得出，可得出，推導(dǎo)出，可得出平面，再利用線面垂直的性質(zhì)可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：如圖1，在中，、分別是和邊的中點(diǎn)，所以，，
因為平面，平面，所以，平面.
（2）解：在線段上取點(diǎn)，使，過點(diǎn)在平面內(nèi)作于點(diǎn)，連接.

由題意得，平面平面.
因為，平面平面，平面平面，平面，
所以，平面，
因為平面，所以，.
在中，因為，，所以，，
所以，，
翻折前，為等邊三角形，則，
因為為的中點(diǎn)，所以，，即，
翻折后，仍有，所以，，故，
在中，，因為，則.
又因為，則平分，
因為是斜邊上的中線，則，且，
所以，是等邊三角形，則，
又因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，，
綜上，在線段上存在一點(diǎn)，且當(dāng)時，.
27．(1)證明見解析
(2)不存在，理由見解析
【分析】（1）根據(jù)面面平行的判定定理即可證明結(jié)論；
（2）假設(shè)存在，使得直線平面，建立空間直角坐標(biāo)系，求得相關(guān)點(diǎn)坐標(biāo)，求出平面平面的法向量，則求出的坐標(biāo)，由可得，此方程組無解，即可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：若，則平面、平面為同一個平面，
連接，則M是中點(diǎn)，是中點(diǎn)，

故是的中位線，所以．
因為，所以平面四邊形是平行四邊形，所以．
又平面平面，所以平面
同理平面，且平面平面，
所以，平面平面．
（2）假設(shè)存在，使得直線平面．
以C為原點(diǎn)，分別以為軸正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
則，，故．
設(shè)是平面的法向量，則，
所以，取，得是平面的一個法向量，

取中點(diǎn)P，中點(diǎn)Q，連接，
則．
于是是二面角的平面角，是二面角的平面角，
是二面角的平面角，于是，
所以，且平面，
故，同理，
所以，
因為，
，
所以．
若直線平面，是平面的一個法向量，則．
即存在，使得，則，此方程組無解，
所以，不存在，使得直線平面．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)點(diǎn)睛：是否存在，使得直線平面，明確點(diǎn)線面的位置關(guān)系，建立空間直角坐標(biāo)系后，關(guān)鍵點(diǎn)在于確定，并結(jié)合三角恒等變換化簡，從而結(jié)合向量的共線的坐標(biāo)表示，判斷結(jié)論.
28．(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行，再利用線面平行的判定定理即可得到線面平行；
（2）法一：建立空間直角坐標(biāo)系，設(shè)，求出平面和平面的法向量，再利用兩平面垂直的向量法即可求出結(jié)果.法二：利用幾何法，先找出平面，使平面平面，再利用幾何關(guān)系即可求出結(jié)果.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn)，連接，因為四邊形是菱形，所以點(diǎn)為的中點(diǎn).
又因為為的中點(diǎn)，所以，
又因為平面平面，
所以平面.

（2）設(shè)底面邊長為2，連接，由于為菱形，且，
故，
所以，故有，
又三角形為正三角形，為中點(diǎn)，故，
又側(cè)面底面，平面平面，面，
所以平面，
如圖，以為原點(diǎn)，方向分別為軸正半軸，建立空間直角坐標(biāo)系.
則，
設(shè)，則，
則，
設(shè)平面的法向量為，則有，得到，
取，得，，所以，
又平面法向量可取為，
由題可知，即，解得，
故存在點(diǎn)使得平面平面，.

法二：三角形為正三角形， 是的中點(diǎn)，
又側(cè)面底面，平面平面，面，
所以平面，
連接，取的中點(diǎn)，連接，則是的中位線，，
所以平面，
延長交于，又面，所以平面平面.
因為，所以，
又因為，所以，，
故存在點(diǎn)，使得平面平面，.

29．(1)證明見解析
(2)存在，
【分析】（1）根據(jù)線面平行、面面平行的判定定理，結(jié)合面面平行的性質(zhì)定理進(jìn)行證明即可；
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)，結(jié)合正方形的性質(zhì)建立空間直角坐標(biāo)系，根據(jù)空間向量數(shù)量積的運(yùn)算性質(zhì)，結(jié)合面面垂直的判定定理進(jìn)行求解即可.
【詳解】（1）證明：因為，平面，平面，所以平面，
同理，平面，
又，所以平面平面，
因為平面，
所以平面.
（2）因為平面平面，
平面平面，，
平面，所以平面，
又平面，故.
而四邊形是正方形，所以，又，
以為原點(diǎn)，，，所在直線分別為軸，軸，軸，建立空間直
角坐標(biāo)系.
設(shè)，則，，，，，
，，，，
設(shè)平面的一個法向量，則，即，
令，則，所以.
若與重合，則平面的一個法向量，
則，則此時平面與平面不垂直.
若與不重合，如圖：

設(shè)，則，,
設(shè)平面的一個法向量，則，
即，令，則，，
所以，
平面平面等價于，即，
得.
所以，線段上存在點(diǎn)使平面平面，且.
30．(1)證明見解析
(2)存在，且點(diǎn)為棱的中點(diǎn)
【分析】（1）取的中點(diǎn)，連接、、，證明出平面平面，再利用面面平行的性質(zhì)可證得結(jié)論成立；
（2）當(dāng)點(diǎn)為棱的中點(diǎn)時，推導(dǎo)出平面，再結(jié)合面面垂直的判定定理可得出結(jié)論.
【詳解】（1）證明：取的中點(diǎn)，連接、、，
因為且，故四邊形為平行四邊形，所以，且，
因為為的中點(diǎn)，則且，
因為、分別為、的中點(diǎn)，所以，且，
所以，且，故四邊形為平行四邊形，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為、分別為、的中點(diǎn)，所以，，
因為平面，平面，所以，平面，
因為，、平面，所以，平面平面，
因為平面，故平面.
（2）解：當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，平面平面，

因為四邊形為矩形，則，因為，則，
因為四邊形為菱形，則，
因為，則為等邊三角形，
因為為的中點(diǎn)，所以，，
因為，、平面，所以，平面，
因為平面，所以，平面平面，
因此，當(dāng)點(diǎn)為的中點(diǎn)時，平面平面.
31．B
【分析】A. 利用線面的位置關(guān)系判斷；B.由線面垂直的性質(zhì)判斷； C.利用線面的位置關(guān)系判斷； D.利用直線與直線的位置關(guān)系判斷.
【詳解】A. 若，則或，故錯誤；
B. 若且，則，故正確；
C. 若，則或或與相交，故錯誤；
D. 若，則或l與n異面，故錯誤.
故選：B
32．B
【詳解】試題分析：線面垂直，則有該直線和平面內(nèi)所有的直線都垂直，故B正確.
考點(diǎn)：空間點(diǎn)線面位置關(guān)系．
33．A
【分析】利用面面平行的判定推理判斷①；取的中點(diǎn)，證明平面判斷②；證明判斷③；求出梯形與的面積判斷④即可得解.
【詳解】令正方體的棱長為2，連接，交分別于點(diǎn)，連接，
顯然矩形是正方體的對角面，則，
連接，由分別為棱的中點(diǎn)，得，，
于是，而，則四邊形是平行四邊形，有，
又，平面，則平面，
而平面，平面，則平面，
因為平面，因此平面平面，①正確；
取的中點(diǎn)，連接交分別于，有，
則∽，，于是，
即，而，則，又平面平面，
因此，平面，則平面，
又平面，則，而平面，
于是平面，顯然點(diǎn)在線段上，在梯形內(nèi)，②正確；
連接，顯然，即四邊形是平行四邊形，，
因此過可作一個平面，使得平行于這個平面，點(diǎn)到這個平面的距離相等，③正確；
，且有，
，，④正確，
所以正確命題的個數(shù)是4.
故選：A
34．D
【分析】根據(jù)正方體的特征及線面垂直的判定與性質(zhì)、面面垂直的判定可判定A、B選項；利用正方體的特征及面面平行的判定與性質(zhì)可判定C、D選項.
【詳解】
如圖所示，對于選項A，易知，底面，底面，
所以，
又平面，所以平面，
平面，所以，故A正確；
對于選項B，易知，所以平面，
因為平面，所以平面平面，
顯然平面即平面，故B正確；

如上圖所示，對于C項，由正方體的特征可知，
因為平面，平面，所以平面，
同理平面，平面，所以平面，
顯然平面，
所以平面平面，
由平面可得平面，故C正確；
對于D項，顯然時，與不平行，故D不正確.
故選：D
35．BCD
【分析】A選項，判斷和平面關(guān)系可得答案；
B選項，注意到平面，平面，即可判斷選項正誤；
C選項，注意到平面，，則與平面所成的角即為與平面所成的角；
D選項，題目數(shù)據(jù)及勾股定理逆定理可得，后由，可判斷選項正誤.
【詳解】對于，若平面，因為，則平面，或平面，而和平面相交，故A錯；
對于B，因為分別為線段的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面，因為分別為線段的中點(diǎn)，所以平面平面，所以平面平面，平面，所以平面平面，故B正確；
對于C，由于，且，故，而，故平面，而，故與平面所成的角即為與平面所成的角，又AB與AO夾角為，即直線與平面所成的角為，故正確；
對于D，設(shè)，則，顯然，故，由，所以，而，所以，故D正確.
故選：BCD.

36．ACD
【分析】對于A，由當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，結(jié)合線面平行的判定定理即可判斷；對于B，一方面若面，則，結(jié)合即可判斷；對于CD，由線面平行，線面垂直的相關(guān)知識判斷即可.
【詳解】當(dāng)點(diǎn)與點(diǎn)重合時，由，而面，面，可知面，即A正確.
若面，注意到面，則，
以D為原點(diǎn)建立如圖所示的空間直角坐標(biāo)系，設(shè)棱長為1，
，
所以，與矛盾，即B錯誤.
當(dāng)不是的中點(diǎn)時，由，且面，面，可知面，
又直線為面與面的交線，則，又面，面，從而可得面，即C正確.
同上，有，又面，面，所以，
又面，
所以面，則面，即D正確.
故選：ACD.
37．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)中位線定理，可證明，，由面面平行的判定即可證明平面平面．
（2）可證明平面，由，可證明平面平面．
【詳解】（1）因為分別是線段的中點(diǎn)，則，
又因為為正方形，則，可知，
且平面，平面，所以平面，
因為分別是線段的中點(diǎn)，則，
且平面，平面，所以平面，
且，平面，
所以平面平面.
（2）因為平面，平面，則，
又因為是正方形，則，
且，平面，所以平面，
又因為，所以平面，
且平面，所以平面平面.
38．(1)證明見解析
(2)1
【分析】（1）根據(jù)線面垂直的性質(zhì)得到，根據(jù)菱形的性質(zhì)得到，然后根據(jù)線面平行和面面平行的判定定理證明即可；
（2）設(shè)，建立空間直角坐標(biāo)系，然后根據(jù)平面平面的向量表示列方程求解即可.
【詳解】（1）證明：因為平面，平面，所以，
又平面，平面，所以平面.
因為四邊形為菱形，所以，
又平面，平面，所以平面.
因為，平面，
所以平面BCF//平面.
（2）

解：設(shè)交于點(diǎn)O，取中點(diǎn)H，連接，所以，底面.
以為原點(diǎn)，以，，分別為x軸，y軸，軸的正方向建立空間直角坐標(biāo)系，
因為，所以，
設(shè)，則，，，，，.
所以，，
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，得；
，；
設(shè)平面的一個法向量為，
則，
令，得.
因為平面平面，所以，解得，
故的長為1.
39．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）根據(jù)相似可得線線平行，即可由線面平行的判定求證，
（2）根據(jù)面面垂直的性質(zhì)可得線面垂直，進(jìn)而可得線線垂直，即可由線面垂直的判定，進(jìn)而可得線線垂直.
【詳解】（1）連接與相交于,連接，
由于，且,
所以,
又,所以,
平面,平面,所以平面，

（2）過作交于，由于平面平面，且兩平面交線為，平面，
所以平面，平面,故，
又四邊形為直角梯形，故,
是平面內(nèi)的兩相交直線，所以平面，
平面，故.

40．(1)證明見解析
(2)證明見解析
【分析】（1）連接BD和AC交于點(diǎn)O，連接OF，根據(jù)三角形中位線和線面平行判定定理可證；
（2）利用面面垂直的性質(zhì)定理證明平面CDE，然后根據(jù)線面垂直的性質(zhì)結(jié)合正方形性質(zhì)證明平面DAE，然后可證.
【詳解】（1）如圖，連接BD和AC交于點(diǎn)O，連接OF，
為正方形，
為BD的中點(diǎn)，
為DE的中點(diǎn)，
，
平面ACF，平面ACF，
平面ACF．
（2）因為平面平面，平面平面，
且，平面，
所以平面CDE，
平面CDE，
，
為正方形，
，
，AD，平面DAE，
平面DAE，
平面DAE，
．
41．(1)證明見解析
(2)存在，理由見解析
【分析】（1）構(gòu)造三角形的中位線得到線線平行,進(jìn)而得到線面平行;
（2）在棱上存在點(diǎn),為的中點(diǎn)時,平面⊥平面,先猜后證,先證線面垂直,由線面推出面面垂直.
【詳解】（1）連接交于點(diǎn),連接,
因為四邊形是菱形,
所以點(diǎn)為的中點(diǎn).
又因為為的中點(diǎn),
所以.
又因為平面平面,
所以平面.

（2）在棱上存在點(diǎn)為的中點(diǎn)時,平面平面.
證明:連接.
因為為正三角形,為的中點(diǎn),
所以,
又因為平面平面,平面平面平面.
所以平面,又平面,
所以,
因為是菱形,為的中點(diǎn),
所以是正三角形,,
因為,
所以,
因為,平面,平面,
所以平面,又平面,
所以.
因為分別為的中點(diǎn),
所以,
所以,
因為是菱形,,
所以是正三角形.
又因為為的中點(diǎn),
所以,
因為,平面,平面,
所以平面,
因為平面,
所以平面平面.
42．(1)證明見解析
(2)證明見解析
(3)存在為中點(diǎn)，理由見解析
【分析】（1）由題意，又因為平面平面，所以平面，即可得證；
（2）由平面，所以，又，所以平面，得，又，從而平面，即可得結(jié)論；
（3）存在為中點(diǎn)時，平面．取中點(diǎn)為，可得四邊形為平行四邊形，因此，即可證明．
【詳解】（1）因為為中點(diǎn)，所以，
又因為平面平面，平面平面，平面，
所以平面，又平面，
因此．
（2）由（1）知，平面，平面，所以．
在矩形中，，
又因為，平面,所以平面．
平面，所以．
又因為，平面，所以平面．
因為平面，所以平面平面．
（3）存在為中點(diǎn)時，平面．
證明：取中點(diǎn)為，連接，

因為為中點(diǎn)，，且．
在矩形中，為中點(diǎn)，所以，且．
所以，且，所以四邊形為平行四邊形，
因此，又因為面面，
所以面．
答案第1頁，共2頁
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