資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時43)§5.3簡單的軸對稱圖形（2）
A組：
1.關于線段的垂直平分線有以下說法:
①一條線段的垂直平分線的垂足,也是這條線段的中點;②線段的垂直平分線是一條直線;
③一條線段的垂直平分線是這條線段的一條對稱軸.其中正確的說法有(　　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 0個
2.如圖1所示，C是線段AB的垂直平分線上的一點，垂足為D，則下列結論中正確的有(　　)
①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3.如圖2，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（ ）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4.如圖3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分線交AC于E，交AB于D，則圖中60°的角共有( )
A. 6個 B. 5個 C. 4個 D. 3個
5.如圖4，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分別是AB，AC的垂直平分線，則∠DAE等于（　　）
A. 50° B. 45° C. 30° D. 20°
6.已知點P在線段AB的垂直平分線上，PA＝4cm，則PB＝ cm.
7.如圖5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，∠DBC＝15°，則∠A的度數是______．
8.如圖6，在△ABC中，AC的垂直平分線交AC于E，交BC于D，△ABD的周長是12cm，AC＝5cm，則AB＋BD＋DC＝_____cm；△ABC的周長是_____cm.
9.如圖7，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，且∠BAD：∠CAD=4：1，則∠B＝_____.
10.如圖8,已知線段AB,BC的垂直平分線l1,l2交于點M,則線段AM,CM的大小關系是__________.
11.如圖9，已知AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長．
12.如圖10,已知點P為∠MON內一點,點P與點A關于直線ON對稱,點P與點B關于直線OM對稱.連接AB,交ON于D點,交OM于C點,若AB長為15 cm,求△PCD周長.
B組：
13.在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，MN垂直平分AC，分別交AC，BC于點M，N，連接AE，AN.
(1)如圖11.1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數；
(2)如圖11.2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數；
(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，請直接寫出∠EAN的度數．(用含α的代數式表示)
圖1
圖3
圖4
圖2
圖7
圖5
圖6
圖8
圖9
圖11.1
圖11.2
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(總課時43)§5.3簡單的軸對稱圖形（2）
A組：
1.關于線段的垂直平分線有以下說法:
①一條線段的垂直平分線的垂足,也是這條線段的中點;②線段的垂直平分線是一條直線;
③一條線段的垂直平分線是這條線段的一條對稱軸.其中正確的說法有(　C　)
A. 1個 B. 2個 C. 3個 D. 0個
2.如圖1所示，C是線段AB的垂直平分線上的一點，垂足為D，則下列結論中正確的有(　D　)
①AD＝BD；②AC＝BC；③∠A＝∠B；④∠ACD＝∠BCD；⑤∠ADC＝∠BDC＝90°.
A．2個 B．3個 C．4個 D．5個
3.如圖2，等腰△ABC中，AB=AC，∠A=40°．線段AB的垂直平分線交AB于D，交AC于E，連接BE，則∠CBE等于（ D）
A. 60° B. 50° C. 40° D. 30°
4.如圖3，∠ACB＝90°，∠A＝30°，AC的垂直平分線交AC于E，交AB于D，則圖中60°的角共有( B )
A. 6個 B. 5個 C. 4個 D. 3個
5.如圖4，△ABC中，∠BAC=100°，DF，EG分別是AB，AC的垂直平分線，則∠DAE等于（　D　）
A. 50° B. 45° C. 30° D. 20°
6.已知點P在線段AB的垂直平分線上，PA＝4cm，則PB＝ 4 cm.
7.如圖5，等腰三角形ABC中，AB＝AC，AB的垂直平分線MN交AC于點D，∠DBC＝15°，則∠A的度數是50°．
8.如圖6，在△ABC中，AC的垂直平分線交AC于E，交BC于D，△ABD的周長是12cm，AC＝5cm，則AB＋BD＋DC＝12cm；△ABC的周長是17cm.
9.如圖7，△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，且∠BAD：∠CAD=4：1，則∠B＝40°.
10.如圖8,已知線段AB,BC的垂直平分線l1,l2交于點M,則線段AM,CM的大小關系是AM=CM
11.如圖9，已知AB比AC長2cm，BC的垂直平分線交AB于點D，交BC于點E，△ACD的周長是14cm，求AB和AC的長．
解：∵DE垂直平分BC，∴BD=DC，
∵AB=AD+BD，∴AB=AD+DC.
∵△ADC的周長為15cm，∴AD+DC+AC=15cm，∴AB+AC=15cm.
∵AB比AC長3cm，∴AB-AC=3cm∴AB=9cm ，AC=6cm.
12.如圖10,已知點P為∠MON內一點,點P與點A關于直線ON對稱,點P與點B關于直線OM對稱.連接AB,交ON于D點,交OM于C點,若AB長為15 cm,求△PCD周長.
解：∵點P與點A關于直線ON對稱，點P與點B關于直線OM對稱，
∴ON垂直平分AP，OM垂直平分BP，
∴DA=DP，CP=CB，
∴△PCD的周長=PD+PC+CD=AD+DC+CB=AB=15cm.
B組：
13.在△ABC中，DE垂直平分AB，分別交AB，BC于點D，E，MN垂直平分AC，分別交AC，BC于點M，N，連接AE，AN.
(1)如圖11.1，若∠BAC＝100°，求∠EAN的度數；
(2)如圖11.2，若∠BAC＝70°，求∠EAN的度數；
(3)若∠BAC＝α(α≠90°)，請直接寫出∠EAN的度數．(用含α的代數式表示)
解：(1)∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B.
同理可得∠CAN＝∠C，
∴∠EAN＝∠BAC－∠BAE－∠CAN
＝∠BAC－(∠B＋∠C)．
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝80°，
∴∠EAN＝100°－80°＝20°.
(2)∵DE垂直平分AB，∴AE＝BE，∴∠BAE＝∠B.
同理可得∠CAN＝∠C.∴∠EAN＝∠BAE＋∠CAN－∠BAC＝(∠B＋∠C)－∠BAC.
在△ABC中，∠B＋∠C＝180°－∠BAC＝110°，
∴∠EAN＝110°－70°＝40°.
(3)當0°＜α＜90°時，∠EAN＝180°－2α；當90°<α<180°時，∠EAN＝2α－180°.
圖1
圖3
圖4
圖2
圖7
圖5
圖6
圖8
圖9
圖10
圖11.1
圖11.2
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(總課時43)§5.3簡單的軸對稱圖形（2）
【學習目標】探索線段軸對稱性,掌握線段的垂直平分線的性質．
【學習重難點】能夠運用線段垂直平分線的性質解決實際問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1.等腰三角形是軸對稱圖形,它的頂角的平分線.底邊上的中線.底邊上的高_____,也稱__________,它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸.
2.等邊三角形是軸對稱圖形，一共有____條對稱軸，它的對稱軸是等邊三角形的每條邊上的高__________,或每條邊上的中線__________,或每個角的__________所在的直線.
二.探究新知
知識點一：線段的對稱性
1.按照下面的步驟做一做：
（1）畫一條線段AB，對折AB使點A,B重合，折痕與AB的交點為O； （2）在折痕上任取一點C，沿CA將紙折疊； （3）把紙展開，得到折痕CA和CB.
圖中CO與AB的位置關系是_________；AO與OB的數量關系是_________，CA與CB的數量關系是__________；在折痕上另取一點再試試！
2.歸納：
（1）線段是__________圖形，垂直平分這條線段的直線是它的一條對稱軸.
（2）垂直平分線段的的直線叫做這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）
（3）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離_____.
幾何語言：∵C是線段AB的垂直平分線上的一點（如圖1）
∴CA=CB(__________________________________________________）
你能證明這個結論嗎？
已知：OC⊥AB，O是AB的中點，
求證：AC=BC
證明：
知識點二：利用尺規作線段AB的垂直平分線
已知：如圖2，線段AB.
求作:AB的垂直平分線
作法：1.分別以點A和B為圓心，以大于AB的長度為半徑作弧，兩弧相交于點C和D
2.作直線CD
∴直線CD就是線段AB的垂直平分線.
思考:你能說明這樣作的道理嗎
三.典例與練習
例1.如圖3，在△ABC中，BC=10，邊BC的垂直平分線分別交AB，BC于點E，D，BE=6，求△BCE的周長．
練習1.如圖4,已知△ABC，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC
于點D，已知AC=6cm,BC=8cm,那么△ACD的周長是：_____.
例2.已知：平面內的一點C和一條直線l,
求作：過點C作直線l的垂線
作法：分兩種情況：
第一種情況：點C在直線l上
第二種情況：點C在直線l外
四.課堂小結
1.線段是__________圖形，垂直平分這條線段的直線是它的一條對稱軸.
2.性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離_____.
3.三角形三邊的中垂線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離_____.
4.用尺規作圖：①找出線段的中點②過一點作已知直線的中垂線③作三角形的重心.
五.分層過關
1.如圖5，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分線交另一腰AC于D,若BD+CD=11cm,則AB的長度為（ ）
A.6.5 cm B.6 cm C.8cm D .11cm
2.如圖6，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB=6cm，且△ABD的周長為16cm，則BC的長為(　　)
A．8cm B．10cm C．14cm D．22cm
3.如圖7，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，∠A=40°，則∠CDB=____°,∠CBD=____°
4.如圖8：A,B,C三點表示三個工廠,現要建一供水站,使它到這三個工廠的距離相等,請在圖中標出供水站的位置P,并說明理由.
5.如圖9，在△ABC中，AB=AC，作AB邊的垂直平分線交直線BC于M，交AB于點N．
（1）如圖9（1），若∠A=40°，則∠NMB=_____度；
（2）如圖9（2），若∠A=70°，則∠NMB=_____度；
（3）如圖9（3），若∠A=120°，則∠NMB=_____度；
（4）由（1）（2）（3）問，你能發現∠NMB與∠A有什么關系？寫出猜想，并證明．
圖1
圖2
圖3
圖4
圖6
圖5
圖7
圖8
圖9
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(總課時43)§5.3簡單的軸對稱圖形（2）
【學習目標】探索線段軸對稱性,掌握線段的垂直平分線的性質．
【學習重難點】能夠運用線段垂直平分線的性質解決實際問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1.等腰三角形是軸對稱圖形,它的頂角的平分線.底邊上的中線.底邊上的高重合,也稱三線合一,它們所在的直線都是等腰三角形的對稱軸.
2.等邊三角形是軸對稱圖形，一共有三條對稱軸，它的對稱軸是等邊三角形的每條邊上的高所在的直線,或每條邊上的中線所在的直線,或每個角的平分線所在的直線.
二.探究新知
知識點一：線段的對稱性
1.按照下面的步驟做一做：
（1）畫一條線段AB，對折AB使點A,B重合，折痕與AB的交點為O； （2）在折痕上任取一點C，沿CA將紙折疊； （3）把紙展開，得到折痕CA和CB.
圖中CO與AB的位置關系是CO⊥AB；AO與OB的數量關系是AO=BO，CA與CB的數量關系是CA=CB；在折痕上另取一點再試試！
2.歸納：
（1）線段是軸對稱圖形，垂直平分這條線段的直線是它的一條對稱軸.
（2）垂直平分線段的的直線叫做這條線段的垂直平分線（簡稱中垂線）
（3）線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
幾何語言：∵C是線段AB的垂直平分線上的一點（如圖1）
∴CA=CB(線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等）
你能證明這個結論嗎？
已知：OC⊥AB，O是AB的中點，
求證：AC=BC
證明：∵OC⊥AB，O是AB的中點，
∴∠COA=∠COB=90，OA=OB
∴△AOC≌△BOC(SAS）
∴AC=BC
知識點二：利用尺規作線段AB的垂直平分線
已知：如圖2，線段AB.
求作:AB的垂直平分線
作法：1.分別以點A和B為圓心，以大于AB的長度為半徑作弧，兩弧相交于點C和D
2.作直線CD
∴直線CD就是線段AB的垂直平分線.
思考:你能說明這樣作的道理嗎
三.典例與練習
例1.如圖3，在△ABC中，BC=10，邊BC的垂直平分線分別交AB，BC于點E，D，BE=6，求△BCE的周長．
解：∵ED垂直平分BC，∴CE=BE=6
∵BC=10，
∴△BCE的周長=BE+CE+BC
=6+6+10=22(cm)
練習1.如圖4,已知△ABC，DE是AB的垂直平分線，垂足為E，并交BC
于點D，已知AC=6cm,BC=8cm,那么△ACD的周長是：14cm.
例2.已知：平面內的一點C和一條直線l,
求作：過點C作直線l的垂線
作法：分兩種情況：
第一種情況：點C在直線l上
以C為圓心，任一線段的長為半徑畫弧，交l于A.B兩點，則C是線段AB的中點．因此，過C畫直線l的垂線轉化為畫線段AB的垂直平分線．
第二種情況：點C在直線l外
以點C為圓心，以適當長為半徑畫弧，交直線l于點A.B；
因此，過C畫直線l的垂線轉化為畫線段AB的垂直平分線．
四.課堂小結
1.線段是軸對稱圖形，垂直平分這條線段的直線是它的一條對稱軸.
2.性質：線段垂直平分線上的點到這條線段兩個端點的距離相等.
3.三角形三邊的中垂線相交于一點，這點到三角形三個頂點的距離相等.
4.用尺規作圖：①找出線段的中點②過一點作已知直線的中垂線③作三角形的重心.
五.分層過關
1.如圖5，在△ABC中，AB=AC，腰AB的垂直平分線交另一腰AC于D,若BD+CD=11cm,則AB的長度為（D ）
A.6.5 cm B.6 cm C.8cm D .11cm
2.如圖6，在△ABC中，DE是AC的垂直平分線，AB=6cm，且△ABD的周長為16cm，則BC的長為(　B　)
A．8cm B．10cm C．14cm D．22cm
3.如圖7，在△ABC中，∠C=90°，DE是AB的垂直平分線，∠A=40°，則∠CDB=80°,∠CBD=10°
4.如圖8：A,B,C三點表示三個工廠,現要建一供水站,使它到這三個工廠的距離相等,請在圖中標出供水站的位置P,并說明理由.
解：連接AB，AC，BC，分別作它們的中垂線，三條中垂線相交一點P，
則P點到三頂點的距離相等.
則P點即為所求作
5.如圖9，在△ABC中，AB=AC，作AB邊的垂直平分線交直線BC于M，交AB于點N．
（1）如圖9（1），若∠A=40°，則∠NMB=　20　度；
（2）如圖9（2），若∠A=70°，則∠NMB=35度；
（3）如圖9（3），若∠A=120°，則∠NMB=60度；
（4）由（1）（2）（3）問，你能發現∠NMB與∠A有什么關系？寫出猜想，并證明．
解:（4）結論：．
理由：如圖1中，∵AB=AC，∠B=∠ACB=0.5(180°-∠A).∵MN⊥AB,∴∠MNB=90°,
∴∠NMB=90°-∠B=90°-0.5(180°-∠A)=0.5∠A.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖6
圖5
圖7
圖8
P
圖9
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