資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
(總課時44)§5.3簡單的軸對稱圖形（3）
A組
1.如圖1，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A，B.若PA＝6，則PB為(　　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，則∠B＝(　　)
A．40° B．30° C．25° D．22.5°
3.如圖3，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，則AC長是(　　)
A．8 B．7 C．6 D．5
4.用直尺和圓規作一個角的平分線如圖4所示，說明∠AOC＝∠BOC的依據是( )．
A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分線上的點到角兩邊距離相等
5.如圖5，AB∥CD，O為∠BAC，∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于點E，
且OE＝3，則AB與CD之間的距離為____.
6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，則點D到AB的距離為_____．
7.如圖6，△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別為40，50，60，其三條角平
分線交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝_____________．
8.如圖7，A，B分別是∠NOP，∠MOP平分線上的點，AB⊥OP于點E，BC⊥MN于點C，AD⊥MN于點D，則以下結論正確的有：________
①AD＋BC＝AB，②∠AOB＝90°
③與∠CBO互余的角有2個，
④點O是CD的中點
9.如圖8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個結論中：①AD上任意一點到B、C兩點的距離相等；②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF；其中正確的有____個；
10.如圖9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三條內角平分線交于點O，OM⊥AB于點M，若OM＝4，S△ABC＝180，則△ABC的周長是 .
11.如圖10，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC交AC的延長線于點F，連接AD，則DE與DF相等嗎？為什么？
12.如圖11,∠1=∠2,P為BN上一點,且PD⊥BC于點D,AB+BC=2BD.試說明:∠BAP+∠BCP=180°.
B組
13.如圖12，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，點P在射線OC上．點E在射線OA上，點F在射線OB上，且∠EPF＝90°．（1）如圖12.1，求證：PE＝PF；
（2）如圖12.2，作點F關于直線EP的對稱點F′，過F′點作FH⊥OF于H，連接EF′，F′H與EP交于點M．連接FM，圖中與∠EFM相等的角共有　____個．
圖2
圖1
圖4
圖3
圖5
圖6
圖9
圖8
圖7
圖10
圖11
圖12.1
圖12.2
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(總課時44)§5.3簡單的軸對稱圖形（3）
A組
1.如圖1，OP平分∠MON，PA⊥OM，PB⊥ON，垂足分別為A，B.若PA＝6，則PB為(　C　)
A．2 B．4 C．6 D．8
2.如圖2，在△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠CAB，DE⊥AB于E，DE平分∠ADB，則∠B＝(　B　)
A．40° B．30° C．25° D．22.5°
3.如圖3，AD是△ABC中∠BAC的平分線，DE⊥AB于點E，DF⊥AC于點F.若S△ABC＝28，DE＝4，AB＝8，則AC長是(　C　)
A．8 B．7 C．6 D．5
4.用直尺和圓規作一個角的平分線如圖4所示，說明∠AOC＝∠BOC的依據是( A )．
A. SSS B. ASA C. AAS D. 角平分線上的點到角兩邊距離相等
5.如圖5，AB∥CD，O為∠BAC，∠ACD的平分線的交點，OE⊥AC于點E，
且OE＝3，則AB與CD之間的距離為6
6.已知Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC交BC于點D，若BC＝32，且BD∶CD＝9∶7，則點D到AB的距離為_14__．
7.如圖6，△ABC的三邊AB，BC，AC的長分別為40，50，60，其三條角平
分線交于點O，則S△ABO∶S△BCO∶S△CAO＝4：5：6__．
8.如圖7，A，B分別是∠NOP，∠MOP平分線上的點，AB⊥OP于點E，BC⊥MN于點C，AD⊥MN于點D，則以下結論正確的有：①②④.
①AD＋BC＝AB，②∠AOB＝90°
③與∠CBO互余的角有2個，
④點O是CD的中點
9.如圖8，在△ABC中，AB=AC，AD是△ABC的角平分線，DE⊥AB，DF⊥AC，垂足分別為E、F，則下列四個結論中：①AD上任意一點到B、C兩點的距離相等；②AD上任意一點到AB、AC的距離相等；③BD=CD，AD⊥BC；④∠BDE=∠CDF；其中正確的有__4___個；
10.如圖9，Rt△ABC中，∠ACB＝90°，△ABC的三條內角平分線交于點O，OM⊥AB于點M，若OM＝4，S△ABC＝180，則△ABC的周長是 90 .
11.如圖10，AB＝AC，BD＝CD，DE⊥AB交AB的延長線于點E，DF⊥AC交AC的延長線于點F，連接AD，則DE與DF相等嗎？為什么？
解：相等．理由如下：在△ABD和△ACD中，
∵AB＝AC，BD＝CD，AD＝AD，∴△ABD≌△ACD(SSS)，
∴∠BAD＝∠CAD.
又DE⊥AB，DF⊥AC，∴DE＝DF．
12.如圖11,∠1=∠2,P為BN上一點,且PD⊥BC于點D,AB+BC=2BD.試說明:∠BAP+∠BCP=180°.
證明：如圖，過點P作PE⊥BA于E.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，∠1=∠2，∴PD=PE.
∵PD⊥BC，PE⊥BM，PD=PE，BP=BP，∴△BPD≌△BPE.
∴BE=BD.
∵AB+BC=2BD，BC=BD+DC，AB=BE-AE，∴AE=CD.
∵PD=PE，CD=AE，∠PDC=∠PEA=90°，∴△PCD≌△PAE，（SAS）∴∠PCB=∠PAE.
∵∠BAP+∠PAE=180°，∴∠BAP+∠PCB=180°.
B組
13.如圖12，已知：∠AOB＝90°，OC平分∠AOB，點P在射線OC上．點E在射線OA上，點F在射線OB上，且∠EPF＝90°．（1）如圖12.1，求證：PE＝PF；
（2）如圖12.2，作點F關于直線EP的對稱點F′，過F′點作FH⊥OF于H，連接EF′，F′H與EP交于點M．連接FM，圖中與∠EFM相等的角共有　4　個．
解：（1）如圖1，過P作PG⊥OB于G，PH⊥AO于H，則∠PGF＝∠PHE＝90°，
∵OC平分∠AOB，PG⊥OB，PH⊥AO，∴PH＝PG，∵∠AOB＝∠EPF＝90°，
∴∠PFG+∠PEO＝180°，又∵∠PEH+∠PEO＝180°，∴∠PEH＝∠PFG，
∴△PEH≌△PFG（AAS），∴PE＝PF；
由軸對稱可得，∠EFM＝∠EF′M，∵F′H⊥OF，AO⊥OB，∴AO∥F′F，
∴∠EF′M＝∠AEF′，∵∠AEF′+∠OEF＝∠OFE+∠OEF＝90°，
∴∠AEF′＝∠OFE，由題可得，P是FF′的中點，EF＝EF′，
∴EP平分∠FEF′，∵PE＝PF，∠EPF＝90°，
∴∠PEF＝45°＝∠PEF′，又∵∠AOP＝∠AOB＝45°，
且∠AEP＝180-∠OEP=180-(180-∠EPO-∠EOP)=∠AOP+∠OPE，
∴∠AEF′+45°＝45°+∠OPE，∴∠AEF′＝∠OPE，
∴與∠EFM相等的角有4個：∠EF′M，∠AEF′，∠EFO，∠EPO．故答案為：4．
圖2
圖1
圖4
圖3
圖5
圖6
圖9
圖8
圖7
圖10
圖11
圖12.1
圖12.2
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(總課時44)§5.3簡單的軸對稱圖形（3）
【學習目標】探索并掌握角平分線的有關性質，能進行簡單應用；會用尺規作角的角平分線．
【學習重難點】能夠運用角的性質解決實際問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1.若OC是∠AOB的平分線,則∠AOC=∠BOC=∠AOB,∠AOB=2∠AOC=2∠BOC.
2.在△OAB中,OA=OB.若OM是△OAB的角平分線，則下列說法正確的有：②③⑤⑥.
①OM是射線；②OM＜OA；③OM垂直平分線段AB；④線段OM是線段AB的垂直平分線；⑤△OAB是軸對稱圖形；⑥線段OM是軸對稱圖形.
二.探究新知
知識點一：角的軸對稱性
取一張長方形紙片，將紙片的一個直角對折。
（1）角的兩邊可以完全重合嗎？能完全重合.由折紙可知，角是軸對稱圖形.
（2）折出來的兩個角是多少度？都是45度.對折一個角，折痕就是角的平分線.
結論1：角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是它的對稱軸.
辨析：可以說“角的平分線是它的對稱軸”嗎？為什么？錯.角平分線是一條射線，對稱軸應是直線.
知識點二：角平分線的性質
（3）如圖1在上面的折紙中的折痕上任取一點C，過點C作兩直角邊的垂線CM和CN，
垂足分別是M，N，再將直角的兩邊重合，CM，CN能重合嗎？改變點C的位置試試.
結論2：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等.
幾何語言：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，
∴CD=CE.
知識點三：用尺規作角的平分線
如圖2，已知∠AOB，在∠AOB內作射線OP，使∠AOP=∠BOP.
1.以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別與射線OA、OB交于M、N；
2.分別以M、N為圓心，以大于 MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點P.
3.作射線OP.則OP就是∠AOB的平分線.
試說明：OP平分∠AOB.
三.典例與練習
例1.如圖3，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，如果DC=5，求DE的值.
解：∵BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，DC⊥BC，
∴DE=DC，
∵DC=5，∴DE=5
練習1.如圖4點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，
則點P到AB的距離是3．
例2.如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線交BC于點D．
若CD=2m，AB=2n，求△ABD的面積.
解：作DH⊥AB于H，如圖3，
∵AD是∠BAC的平分線交BC于點D，
∴DH=DC=2m，∵AB=2n
∴△ABD的面積2mn．
練習2.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，以點A為圓心，小于AC的長為半徑作弧，分別交AB，AC于M，N兩點；再分別以點M，N為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點D．若△ABC的面積為9，求△ACD的面積.
解：作于，如圖，由作法得平分，，
∵AB=2AC，，
．
例3.如圖，△ABC，用尺規作圖作角平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
解：如圖所示：DC即為所求．
練習3：尺規作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：如圖8，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫P，要求油庫P到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫P的位置？(請作出符合條件的一個即可)
解：如圖8所示，點P即為所求．(答案不唯一)
四.課堂小結
1.角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸；
2.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離相等；
3.用尺規作角平分線.
五.分層過關
1.如圖9，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則∠DCE的度數為（　B　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.如圖10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，點D到AB的距離為4，則BC的長是（　C　）
A．4 B．8 C．12 D．16
3.如圖11是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線，這條射線就是角的平分線，在這個操作過程中，運用了三角形全等的判定方法是（　A　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4.如圖12，在Rt△ABC中，∠B=90°，以頂點C為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，BC于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線CP交AB于點D．若BD=3，AC=10，則△ACD的面積是15．
5.如圖13，在四邊形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC與∠ACD的平分線
交于點O，且點O在線段BD上，BD＝4，則點O到邊AC的距離是2
6.如圖14，已知CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，垂足為E，若AC=4，
BC=10，△ABC的面積為14，求DE的長．
解:過點D作DF⊥AC交CA的延長線于點F，如圖14，
∵CD平分∠ACB，DE⊥BC于E，∴DF=DE．
∵△ABC的面積為14，，
，即，．
7.已知，如圖15，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A＋∠C＝180°，BD平分∠ABC．
求證：AD＝CD．
證明：過D點作DE⊥AB，交BA的延長線于E點，作DF⊥BC于點F.
∴∠E=∠DFB=90°
∵∠A＋∠C＝180°，∠EAD+∠DAB=180°∴∠EAD=∠C
∵BD平分∠ABC,∴DE=DF
∴△DAE≌△DCF
∴AD＝CD.
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖8
圖7
圖12
圖11
圖10
圖9
圖13
圖14
圖15
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(總課時44)§5.3簡單的軸對稱圖形（3）
【學習目標】探索并掌握角平分線的有關性質，能進行簡單應用；會用尺規作角的角平分線．
【學習重難點】能夠運用角的性質解決實際問題.
【導學過程】
一.知識回顧
1.若OC是∠AOB的平分線,則∠AOC=∠BOC=________,∠AOB=2________=2________.
2.在△OAB中,OA=OB.若OM是△OAB的角平分線，則下列說法正確的有：____________.
①OM是射線；②OM＜OA；③OM垂直平分線段AB；④線段OM是線段AB的垂直平分線；⑤△OAB是軸對稱圖形；⑥線段OM是軸對稱圖形.
二.探究新知
知識點一：角的軸對稱性
取一張長方形紙片，將紙片的一個直角對折。
（1）角的兩邊可以完全重合嗎？________.由折紙可知，角是________圖形.
（2）折出來的兩個角是多少度？都是___度.對折一個角，折痕就是角的平分線.
結論1：角是軸對稱圖形，角平分線________是它的對稱軸.
辨析：可以說“角的平分線是它的對稱軸”嗎？為什么？____________________________________.
知識點二：角平分線的性質
（3）如圖1在上面的折紙中的折痕上任取一點C，過點C作兩直角邊的垂線CM和CN，
垂足分別是M，N，再將直角的兩邊重合，CM，CN能重合嗎？改變點C的位置試試.
結論2：角的平分線上的點到這個角的兩邊的距離________.
幾何語言：∵OC平分∠AOB，CD⊥OA，CE⊥OB，垂足分別為D、E，
∴____=____.
知識點三：用尺規作角的平分線
如圖2，已知∠AOB，在∠AOB內作射線OP，使∠AOP=∠BOP.
1.以O為圓心，適當長為半徑作弧，分別與射線OA、OB交于M、N；
2.分別以M、N為圓心，以大于 MN的長為半徑作弧，兩弧在∠AOB的內部交于點P.
3.作射線OP.則OP就是∠AOB的平分線.
試說明：OP平分∠AOB.
三.典例與練習
例1.如圖3，在Rt△ABC中，BD是∠ABC的平分線，DE⊥AB，垂足為E，如果DC=5，求DE的值.
練習1.如圖4點P是∠BAC的平分線AD上一點，PE⊥AC于點E．已知PE=3，
則點P到AB的距離是____．
例2.如圖5，在Rt△ABC中，∠C=90°，AD是∠BAC的平分線交BC于點D．
若CD=2m，AB=2n，求△ABD的面積.
練習2.如圖6，在Rt△ABC中，∠C=90°，AB=2AC，以點A為圓心，小于AC的長為半徑作弧，分別交AB，AC于M，N兩點；再分別以點M，N為圓心，大于長為半徑作弧，兩弧交于點P，作射線AP交BC于點D．若△ABC的面積為9，求△ACD的面積.
例3.如圖7，△ABC，用尺規作圖作角平分線．（保留作圖痕跡，不要求寫作法）
練習3：尺規作圖(不寫作法，保留作圖痕跡)：如圖8，三條公路兩兩相交，現計劃修建一個油庫P，要求油庫P到這三條公路的距離都相等，那么如何選擇油庫P的位置？(請作出符合條件的一個即可)
四.課堂小結
1.角是軸對稱圖形，角平分線所在的直線是角的對稱軸；
2.角平分線上的點到這個角的兩邊的距離________；
3.用尺規作角平分線.
五.分層過關
1.如圖9，在△ABC中，BA＝BC，∠B＝80°，觀察圖中尺規作圖的痕跡，則∠DCE的度數為（　　）
A．60° B．65° C．70° D．75°
2.如圖10，在Rt△ABC中，∠C＝90°，AD平分∠BAC，交BC于D，若BD＝2CD，點D到AB的距離為4，則BC的長是（　　）
A．4 B．8 C．12 D．16
3.如圖11是一個平分角的儀器，其中AB＝AD，BC＝DC，將點A放在角的頂點，AB和AD沿著角的兩邊放下，沿AC畫一條射線，這條射線就是角的平分線，在這個操作過程中，運用了三角形全等的判定方法是（　　）
A．SSS B．SAS C．ASA D．AAS
4.如圖12，在Rt△ABC中，∠B=90°，以頂點C為圓心，適當長為半徑畫弧，分別交AC，BC于點E，F，再分別以點E，F為圓心，大于EF的長為半徑畫弧，兩弧交于點P，作射線CP交AB于點D．若BD=3，AC=10，則△ACD的面積是____．
5.如圖13，在四邊形ABDC中，∠B＝∠D＝90°，∠BAC與∠ACD的平分線
交于點O，且點O在線段BD上，BD＝4，則點O到邊AC的距離是____.
6.如圖14，已知CD是△ABC的角平分線，DE⊥BC，垂足為E，若AC=4，
BC=10，△ABC的面積為14，求DE的長．
7.如圖15，已知，在四邊形ABCD中，BC＞BA，∠A＋∠C＝180°，BD平分∠ABC．
求證：AD＝CD．
圖1
圖2
圖3
圖4
圖5
圖6
圖7
圖8
圖12
圖11
圖10
圖9
圖13
圖14
圖15
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