資源簡介

第五章　一元函數的導數及其應用
5.1.1　變化率問題
[學習目標]　
1.通過實例分析，經歷由平均速度過渡到瞬時速度的過程.
2.理解割線的斜率與切線的斜率之間的關系.
3.體會極限思想．
一、平均速度
問題1　在一次跳水中，運動員相對于水面的高度h(單位：m)與起跳后的時間t(單位：s)存在函數關系h(t)＝－4.9t2＋2.8t＋11，根據上述探究，你能求該運動員在0≤t≤0.2,1≤t≤1.5，0≤t≤內的平均速度嗎？
例1　某物體運動的位移s與時間t之間的函數關系式為s(t)＝sin t，t∈.
(1)分別求s(t)在區間和上的平均速度；
(2)比較(1)中兩個平均速度的大小，說明其幾何意義．
反思感悟　求物體運動的平均速度的主要步驟
(1)先計算位移的改變量s(t2)－s(t1)，
(2)再計算時間的改變量t2－t1，
(3)得平均速度＝.
跟蹤訓練1　一質點按運動方程s(t)＝作直線運動，則其從t1＝1到t2＝2的平均速度為(　　)
A．－1 B．－ C．－2 D．2
二、瞬時速度
問題2　我們也發現了高速路上區間測速的弊端，因為如果某人發現超速了，他只需踩下剎車，讓車輛低速行駛一段時間即可，你認為，我們應該如何改進高速路上的區間測速問題？
知識梳理
1．瞬時速度：物體在__________________的速度稱為瞬時速度．
2．瞬時速度與平均速度的關系：從物理角度看，當時間間隔|Δt|無限趨近于0時，平均速度就無限趨近于t＝t0時的瞬時速度．
3．瞬時速度的計算：設物體運動的時間與位移的函數關系式為y＝h(t)，則物體在t0時刻的瞬時速度為________________________．
例2　某物體的運動路程s(單位：m)與時間t(單位：s)的關系可用函數s(t)＝t2＋t＋1表示，求物體在t＝1 s時的瞬時速度．
延伸探究　若本例中的條件不變，試求物體的初速度．
跟蹤訓練2　一質點M按運動方程s(t)＝at2＋1做直線運動(位移單位：m，時間單位：s)，若質點M在t＝2時的瞬時速度為8 m/s，求常數a的值．
三、拋物線的切線的斜率
問題3　在點P0(1,1)的附近任取一點P(x，x2)，考察拋物線f(x)＝x2的割線P0P有什么變化趨勢？
知識梳理
1．拋物線的切線：設P0是拋物線上一定點，P是拋物線上的動點，當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定位置的直線P0T稱為拋物線在點P0處的切線．
2．切線的斜率與割線的斜率的關系：從幾何圖形上看，當橫坐標間隔|Δx|無限變小時，點P無限趨近于點P0，于是割線PP0無限趨近于點P0處的切線P0T，這時，割線PP0的斜率k無限趨近于點P0處的切線P0T的斜率k0.
例3　求拋物線f(x)＝x2－2x＋3在點(1,2)處的切線方程．
延伸探究　本例函數不變，求與2x－y＋4＝0平行的該曲線的切線方程．
跟蹤訓練3　求拋物線f(x)＝x2－x在點(2,2)處的切線方程．
1．知識清單：
(1)平均速度．
(2)瞬時速度．
(3)曲線在某點處的切線方程．
2．方法歸納：無限趨近法、定義法．
3．常見誤區：對割線的斜率與切線的斜率之間的關系理解不到位．
1．某質點的運動方程為s(t)＝1－t2，則該物體在[1,2]內的平均速度為(　　)
A．2 B．3 C．－2 D．－3
2．一個物體做直線運動，位移s與時間t之間的函數關系式為s(t)＝t2＋2t＋3，則該物體在t＝2時的瞬時速度為(　　)
A．4 B．5 C．6 D．7
3．物體自由落體的運動方程為s(t)＝gt2，g＝9.8 m/s2.若v＝ ＝9.8 m/s，那么下列說法中正確的是(　　)
A．9.8 m/s是物體從0 s到1 s這段時間內的速度
B．9.8 m/s是1 s到(1＋Δt)s這段時間內的速度
C．9.8 m/s是物體在t＝1 s這一時刻的瞬時速度
D．9.8 m/s是物體從1 s到(1＋Δt)s這段時間內的平均速度
4．拋物線y＝x2＋4在點(1,5)處的切線的斜率為________．
§5.1　導數的概念及其意義
5.1.1　變化率問題
問題1　提示　當0≤t≤0.2時，
＝＝1.82(m/s)；
當1≤t≤1.5時，＝＝－9.45(m/s)；
當0≤t≤時，＝＝0(m/s)；
雖然運動員在0≤t≤這段時間里的平均速度是0 m/s，但實際情況是，該運動員仍在運動，可以說明平均速度不能精確描述運動員的運動狀態．
例1　解　(1)物體在區間上的平均速度為
1＝＝＝＝.
物體在區間上的平均速度為
2＝＝＝.
(2)由(1)可知1－2＝>0，所以2<1.作出函數s(t)＝sin t在上的圖象，如圖所示，可以發現，s(t)＝sin t在上隨著t的增大，函數值s(t)變化得越來越慢．
跟蹤訓練1　B　[＝＝－1＝－.]
問題2　由＝可知，我們可以減小路程區間的長度，在最小路程下，看所用的時間，或者在較少的相同時間內，看汽車所經過的路程，這樣似乎都不可避免違法行為的產生，于是，我們有了一個大膽的想法，如果我們能測量汽車的瞬時速度就好了．我們把函數值的增量f(t2)－f(t1)記為Δy，即Δy＝f(t2)－f(t1)，自變量的增量t2－t1記為Δt，即Δt＝t2－t1，這里的Δt可以看成是t1的一個增量，可用t1＋Δt來表示t2，則平均速度可記為＝＝，我們發現如果時間的增量Δt無限小，此時在極短的時間內的平均速度就可近似等于在時間t＝t1的瞬時速度，這就需要用到我們數學中的“極限”思想，意思就是讓Δt無限趨近于0.
知識梳理
1．某一時刻
3．
例2　解　∵＝
＝
＝3＋Δt，
∴ ＝ (3＋Δt)＝3.
即物體在t＝1 s時的瞬時速度為3 m/s.
延伸探究　解　求物體的初速度，即求物體在t＝0時的瞬時速度，
∵＝
＝
＝1＋Δt，
∴ (1＋Δt)＝1.
即物體的初速度為1 m/s.
跟蹤訓練2　解　∵質點M在t＝2附近的平均變化率為
＝＝＝4a＋aΔt，
又質點M在t＝2時的瞬時速度為8 m/s，
∴ ＝4a＝8，
即a＝2.
問題3　當點P無限趨近于點P0時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置．
例3　解　由
＝＝Δx，
可得切線的斜率為k＝Δx＝0.
所以切線的方程為y－2＝0×(x－1)，
即y＝2.
延伸探究　解　設切點(x0，x－2x0＋3)，
故
＝
＝2x0－2＋Δx，
所以k＝ (2x0－2＋Δx)＝2x0－2，
故有2x0－2＝2，解得x0＝2，所以切點為(2,3)，
所求切線方程為2x－y－1＝0.
跟蹤訓練3　解　f(2＋Δx)－f(2)＝(2＋Δx)2－(2＋Δx)－2
＝3Δx＋(Δx)2，
所以切線的斜率
k＝
＝ ＝ (3＋Δx)＝3.
則切線方程為y－2＝3(x－2)，
即3x－y－4＝0.
隨堂演練
1．D　2.C　3.C　4.2

展開更多......

收起↑