資源簡介

5.1.2　導數的概念及其幾何意義
第1課時　導數的概念
[學習目標]　
1.了解導數概念的實際背景.
2.知道導數是關于瞬時變化率的數學表達，體會導數的內涵與思想．
一、導數的概念
問題　瞬時變化率的幾何意義是什么？它的數學意義又是什么？
知識梳理
1．平均變化率
對于函數y＝f(x)，設自變量x從x0變化到x0＋Δx，相應地，函數值y就從f(x0)變化到f(x0＋Δx)．這時，x的變化量為Δx，y的變化量為Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)．我們把比值，即＝____________叫做函數y＝f(x)從x0到x0＋Δx的平均變化率．
2．導數
如果當Δx→0時，平均變化率無限趨近于一個確定的值，即有極限，則稱y＝f(x)在x＝x0處______，并把這個確定的值叫做y＝f(x)在__________處的__________(也稱為瞬時變化率)，記作____________或____________________，即f′(x0)＝ ＝__________________.
例1　已知函數y＝f(x)＝2x2＋1.
(1)求函數f(x)在區間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率；
(2)求函數f(x)在區間[2,2.01]上的平均變化率；
(3)求函數f(x)在x＝2處的瞬時變化率．
反思感悟　求瞬時變化率的主要步驟
(1)先計算函數值的改變量Δy＝f(x2)－f(x1)．
(2)再計算自變量的改變量Δx＝x2－x1.
(3)得平均變化率＝.
(4)得瞬時變化率 .
跟蹤訓練1　已知函數f(x)＝－.
(1)函數f(x)在區間[1,1.5]，[1,1.1]上的平均變化率各是多少？
(2)函數f(x)在x＝1處的瞬時變化率是多少？
二、導數定義的應用
例2　求函數y＝x－在x＝1處的導數．
跟蹤訓練2　(1)f(x)＝x2在x＝1處的導數為(　　)
A．2x B．2
C．2＋Δx D．1
(2)已知f(x)＝，且f′(m)＝－，則m的值等于(　　)
A．－4 B．2
C．－2 D．±2
三、導數在實際問題中的意義
例3　某機械廠生產一種木材旋切機，已知總利潤c(單位：萬元)與產量x(單位：千臺)之間的關系式為c(x)＝－2x2＋7x＋6.求c′(1)與c′(2)，并說明它們的實際意義．
反思感悟　導數的物理意義是：函數y＝f(x)在x＝x0處的導數即為它的瞬時變化率．
跟蹤訓練3　一只昆蟲的爬行路程s(單位：米)是關于時間t(單位：分)的函數：s＝求s′(1)與s′(4)，并解釋它們的實際意義．
1．知識清單：
(1)導數的概念．
(2)導數定義的應用．
(3)導數在實際問題中的意義．
2．方法歸納：定義法．
3．常見誤區：對函數的平均變化率、瞬時變化率及導數概念理解不到位．
1．已知物體做直線運動的方程為s＝s(t)(位移單位：m，時間單位：s)，則s′(4)＝10 m/s表示的意義是(　　)
A．經過4 s后物體向前走了10 m
B．物體在前4 s內的平均速度為10 m/s
C．物體在第4 s內向前走了10 m
D．物體在第4 s末的瞬時速度為10 m/s
2．若函數f(x)可導，則 等于(　　)
A．－2f′(1) B.f′(1)
C．－f′(1) D．f′
3．已知函數f(x)＝2x2－4的圖象上一點(1，－2)及鄰近一點(1＋Δx，－2＋Δy)，則等于(　　)
A．4 B．4x
C．4＋2Δx D．4＋2(Δx)2
4．已知函數f(x)＝，則f′(1)＝________.
5.1.2　導數的概念及其幾何意義
第1課時　導數的概念
問題　瞬時變化率的幾何意義是曲線的切線斜率．實際上，上節課我們通過研究拋物線的切線斜率就大致了解了瞬時變化率在數學中的意義．
知識梳理
1.
2．可導　x＝x0　導數　f′(x0)
例1　解　(1)∵Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)
＝2(x0＋Δx)2＋1－2x－1
＝2Δx(2x0＋Δx)，
∴函數f(x)在區間[x0，x0＋Δx]上的平均變化率為＝＝4x0＋2Δx.
(2)由(1)可知＝4x0＋2Δx，
當x0＝2，Δx＝0.01時，
＝4×2＋2×0.01＝8.02，
即函數f(x)在區間[2,2.01]上的平均變化率為8.02.
(3)Δy＝f(2＋Δx)－f(2)＝2(2＋Δx)2＋1－(2×22＋1)＝2(Δx)2＋8Δx.
∴＝2Δx＋8.
故函數f(x)在x＝2處的瞬時變化率為 ＝ (2Δx＋8)＝8.
跟蹤訓練1　解　(1)∵f(x)＝－，
∴f(1)＝－6，f(1.5)＝－4，
f(1.1)＝－，
∴該函數在區間[1,1.5]上的平均變化率為＝＝4，
在區間[1,1.1]上的平均變化率為＝＝.
(2)函數f(x)在x＝1處的瞬時變化率為
＝
＝ ＝ ＝6.
例2　解　∵Δy＝(1＋Δx)－－
＝Δx＋，
∴＝＝1＋，
∴ ＝ ＝2.
從而y′|x＝1＝2.
跟蹤訓練2　(1)B　[ ＝
＝
＝ (2＋Δx)＝2.]
(2)D　[因為＝
＝＝，
所以f′(m)＝ ＝－，
所以－＝－，m2＝4，
解得m＝±2.]
例3　解　設x＝1時產量的改變量為Δx，
則＝
＝
＝－2Δx＋3，
c′(1)＝ ＝ (－2Δx＋3)＝3，
設x＝2時產量的改變量為Δx，
則＝
＝＝－2Δx－1，
c′(2)＝ ＝ (－2Δx－1)
＝－1.
c′(1)的實際意義：當產量為1 000臺時，多生產1臺旋切機可多獲利3萬元；
c′(2)的實際意義：當產量為2 000臺時，多生產1臺旋切機少獲利1萬元．
跟蹤訓練3　解　當0≤t<3時，
s(t)＝3t2，
＝
＝＝6＋3Δt，
∴s′(1)＝ ＝ (6＋3Δt)＝6.
當t≥3時，s(t)＝15＋3(t－1)2，
＝＝
＝18＋3Δt，
∴s′(4)＝ ＝ (18＋3Δt)＝18.
s′(1)＝6說明在第1分鐘時，該昆蟲的爬行速度為6米/分，s′(4)＝18說明在第4分鐘時，該昆蟲的爬行速度為18米/分．
隨堂演練
1．D　2.C　3.C　4.第2課時　導數的幾何意義
[學習目標]　
1.了解導函數的概念，理解導數的幾何意義.
2.會求簡單函數的導函數.
3.根據導數的幾何意義，會求曲線上某點處的切線方程．
一、導數的幾何意義
問題1　導數f′(x0)的幾何意義是什么？
知識梳理
函數y＝f(x)在x＝x0處的導數的幾何意義是曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的_____________．也就是說，曲線y＝f(x)在點P(x0，f(x0))處的切線的斜率是____________．相應地，切線方程為________________________．
例1　已知曲線y＝x3＋.
(1)求曲線在點P(2,4)處的切線方程；
(2)求曲線過點P(2,4)的切線方程．
反思感悟　求曲線過某點的切線方程，首先應設出切點坐標，然后根據導數的幾何意義列出等式，求出切點坐標，進而求出切線方程．
跟蹤訓練1　求曲線y＝在點處的切線方程．
二、利用導數的幾何意義判斷函數的變化
問題2　函數的單調性和導數有什么關系？
導數值的大小與函數變化的快慢有什么關系？
知識梳理
若f′(x0)＝0，則函數在x＝x0處切線斜率k＝______；
若f′(x0)>0，則函數在x＝x0處切線斜率k______0，且函數在x＝x0附近__________________，且f′(x0)越大，說明函數圖象變化得越快；
若f′(x0)<0，則函數在x＝x0處切線斜率k______0，且函數在x＝x0附近__________________，且越大，說明函數圖象變化得越快．
例2　已知y＝f(x)的圖象如圖所示，則f′(xA)與f′(xB)的大小關系是(　　)
A．f′(xA)>f′(xB)
B．f′(xA)C．f′(xA)＝f′(xB)
D．不能確定
反思感悟　導數的幾何意義就是切線的斜率，所以比較導數大小的問題可以用數形結合思想來解決．
(1)曲線f(x)在x0附近的變化情況可通過x0處的切線刻畫．f′(x0)>0說明曲線在x0處的切線的斜率為正值，從而得出在x0附近曲線是上升的；f′(x0)<0說明在x0附近曲線是下降的．
(2)曲線在某點處的切線斜率的大小反映了曲線在相應點處的變化情況，由切線的傾斜程度，可以判斷出曲線升降的快慢．
跟蹤訓練2　已知函數f(x)在R上可導，其部分圖象如圖所示，設＝a，則下列不等式正確的是(　　)
A．f′(1)C．f′(2)三、導函數(導數)
問題3　如何利用f′(x0)的定義以及函數的概念給出導函數的概念？
知識梳理　
導函數的定義
從求函數f(x)在x＝x0處導數的過程可以看出，當x＝x0時，f′(x0)是一個唯一確定的數．這樣，當x變化時，y＝f′(x)就是x的函數，我們稱它為y＝f(x)的__________(簡稱導數)．y＝f(x)的導函數記作____________或______，即f′(x)＝y′＝________________________.
例3　已知函數f(x)＝x2－x.求：
(1)f′(x)；
(2)f(x)在x＝1處的導數．
跟蹤訓練3　已知函數y＝ax2＋bx＋c，其中a，b，c為常數，求該函數在x＝1和x＝2處的導數．
1．知識清單：
(1)導數的幾何意義．
(2)函數的單調性與導數的關系．
(3)導函數的概念．
2．方法歸納：方程思想、數形結合．
3．常見誤區：切線過某點，這點不一定是切點．
1．已知曲線y＝f(x)在點(1，f(1))處的切線方程為2x－y＋2＝0，則f′(1)等于(　　)
A．4 B．－4 C．－2 D．2
2．已知曲線f(x)＝x2＋x的一條切線的斜率是3，則該切點的橫坐標為(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
3．曲線f(x)＝在點(3,3)處的切線的傾斜角α等于(　　)
A．45° B．60° C．135° D．120°
4．已知曲線y＝2x2＋4x在點P處的切線斜率為16，則P點坐標為________．
第2課時　導數的幾何意義
問題1　我們知道導數f′(x0)表示函數y＝f(x)在x＝x0處的瞬時變化率，反映了函數y＝f(x)在x＝x0附近的變化情況，如下圖．
容易發現，平均變化率＝表示的是割線P0P的斜率，當P點沿著曲線無限趨近于P0點時，割線P0P無限趨近于一個確定的位置，這個確定的位置的直線P0T稱為曲線y＝f(x)在點P0處的切線，因此函數y＝f(x)在x＝x0處的導數f′(x0)就是切線P0T的斜率k0，即k0＝ ＝f′(x0)，這就是導數的幾何意義．
知識梳理
切線的斜率　f′(x0)　y－f(x0)＝f′(x0)(x－x0)
例1　解　(1)∵P(2,4)在曲線y＝x3＋上，
∴曲線在點P(2,4)處切線的斜率為
k＝
＝
＝4.
∴曲線在點P(2,4)處的切線方程為y－4＝4(x－2)，
即4x－y－4＝0.
(2)設曲線y＝x3＋與過點P(2,4)的切線相切于點A，則切線的斜率為
k＝ ＝x，
∴切線方程為y－
＝x(x－x0)，
即y＝x·x－x＋.
∵點P(2,4)在切線上，
∴4＝2x－x＋，
即x－3x＋4＝0.
∴x＋x－4x＋4＝0，
∴x(x0＋1)－4(x0＋1)(x0－1)＝0，
∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，
解得x0＝－1或x0＝2.
故所求的切線方程為x－y＋2＝0，
或4x－y－4＝0.
跟蹤訓練1　解　曲線在點處的切線的斜率k＝ ＝ ＝
－，
由直線的點斜式方程可得切線方程為
y－＝－(x－2)，即x＋4y－4＝0.
問題2　如圖，
當t＝t0時，函數的圖象在t＝t0處的切線l0平行于t軸，即h′(t0)＝0，這時，在t＝t0附近曲線比較平坦，幾乎沒有升降．
當t＝t1時，函數的圖象在t＝t1處的切線l1的斜率h′(t1)<0，這時，在t＝t1附近曲線下降，即函數在t＝t1附近單調遞減．
當t＝t2時，函數的圖象在t＝t2處的切線l2的斜率h′(t2)<0，這時，在t＝t2附近曲線下降，即函數在t＝t2附近單調遞減．
通過研究在t＝t1和t＝t2處的切線l1和l2，發現切線l1的傾斜程度小于切線l2的傾斜程度，這說明函數在t＝t1附近比在t＝t2附近下降得緩慢．
知識梳理
0　>　單調遞增　<　單調遞減
例2　B　[由導數的幾何意義，f′(xA)，f′(xB)分別是切線在點A，B處切線的斜率，由圖象可知f′(xA)跟蹤訓練2　B　[由圖象可知，函數在區間(0，＋∞)上的增長越來越快，
∴f′(1)∴通過作切線與割線可得f′(1)問題3　如果函數y＝f(x)在開區間(a，b)內的每點處都有導數，即任給x0∈(a，b)，總有 ＝f′(x0)，從而對開區間(a，b)內的每一個值x0，都有唯一確定的函數值f′(x0)與x0對應，所以在開區間(a，b)內，f′(x)構成一個新的函數——導函數f′(x)．
知識梳理
導函數　f′(x)　y′
例3　解　(1)∵Δy＝f(x＋Δx)－f(x)
＝(Δx)2＋2x·Δx－Δx，
∴＝2x＋Δx－.
∴f′(x)＝ ＝2x－.
(2)f′(1)＝2×1－＝.
跟蹤訓練3　解?。?br/>＝2ax＋b＋aΔx，
(2ax＋b＋aΔx)＝2ax＋b，
當x＝1時，瞬時變化率為2a＋b，即函數的導數為2a＋b，
當x＝2時，瞬時變化率為4a＋b，即函數的導數為4a＋b，
所以y′|x＝1＝2a＋b，y′|x＝2＝4a＋b.
隨堂演練
1．D　2.D　3.C　4.(3,30)

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