資源簡介

5.2.3　簡單復合函數的導數
[學習目標]　
1.進一步運用導數公式和導數運算法則求函數的導數.
2.了解復合函數的概念，掌握復合函數的求導法則．
一、復合函數的概念
問題1　函數y＝ln(2x－1)是如何構成的？
知識梳理
復合函數的概念
一般地，對于兩個函數y＝f(u)和u＝g(x)，如果通過中間變量u，y可以表示成x的函數，那么稱這個函數為函數y＝f(u)和u＝g(x)的復合函數，記作y＝____________.
例1　(多選)下列哪些函數是復合函數(　　)
A．y＝xln x B．y＝(3x＋6)2
C．y＝esin x D．y＝sin
反思感悟　若f(x)與g(x)均為基本初等函數，則函數y＝f(g(x))或函數y＝g(f(x))均為復合函數．
跟蹤訓練1　(多選)下列哪些函數是復合函數(　　)
A．y＝log2(2x＋1) B．y＝2x2－
C．y＝2ln x D．y＝cos
二、復合函數的導數
問題2　如何求函數y＝sin 2x的導數？
知識梳理
復合函數的求導法則
一般地，對于由函數y＝f(u)和u＝g(x)復合而成的函數y＝f(g(x))，它的導數與函數y＝f(u)，u＝g(x)的導數間的關系為y′x＝____________，即y對x的導數等于__________________．
例2　求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝cos(x2)；
(3)y＝log2(2x＋1)；
(4)y＝e3x＋2.
反思感悟　(1)求復合函數的導數的步驟
(2)求復合函數的導數的注意點：①分解的函數通常為基本初等函數；②求導時分清是對哪個變量求導；③計算結果盡量簡潔．
跟蹤訓練2　求下列函數的導數：
(1)y＝；
(2)y＝5log2(1－x)；
(3)y＝sin.
三、復合函數的導數的應用
例3　某港口在一天24小時內潮水的高度近似滿足關系式s(t)＝3sin(0≤t≤24)，其中s的單位是m，t的單位是h，求函數在t＝18時的導數，并解釋它的實際意義．
反思感悟　將復合函數的求導與導數的實際意義結合，函數在某點處的導數反映了函數在該點的瞬時變化率，體現導數揭示物體在某時刻的變化狀況．
跟蹤訓練3　我國魏晉時期的科學家劉徽創立了“割圓術”，實施“以直代曲”的近似計算，用正n邊形進行“內外夾逼”的辦法求出了圓周率π的精度較高的近似值，這是我國最優秀的傳統科學文化之一．借用“以直代曲”的近似計算方法，在切點附近，可以用函數圖象的切線近似代替在切點附近的曲線來近似計算．設f(x)＝ex2，則f′(x)＝______，其在點(0,1)處的切線方程為________．
1．知識清單：
(1)復合函數的概念．
(2)復合函數的求導法則．
(3)復合函數的導數的應用．
2.方法歸納：轉化法．
3.常見誤區：求復合函數的導數時不能正確分解函數；求導時不能分清是對哪個變量求導；計算結果復雜化．
1．(多選)函數y＝(x2－1)n的復合過程正確的是(　　)
A．y＝un，u＝x2－1
B．y＝(u－1)n，u＝x2
C．y＝tn，t＝(x2－1)n
D. t＝x2－1, y＝tn
2．函數y＝(2 023－8x)3的導數y′等于(　　)
A．3(2 023－8x)2 B．－24x
C．－24(2 023－8x)2 D．24(2 023－8x)2
3．設f(x)＝ln(3x＋2)－3x2，則f′(0)等于(　　)
A．1 B. C．－1 D．－2
4．設曲線y＝eax在點(0,1)處的切線與直線x＋2y＋1＝0垂直，則a＝________.
5.2.3　簡單復合函數的導數
問題1　y＝ln(2x－1)，其中的2x－1“占據”了對數函數y＝ln x中x的位置，f(x)＝ln x，而f(2x－1)＝ln(2x－1)，這里有代入、代換的思想，則函數y＝ln(2x－1)是由內層函數為冪函數的線性組合和外層函數為對數函數復合而成，是復合函數，而函數y＝(2x－1)ln x不是復合函數，它只是兩個函數相乘的關系，沒有代入、代換的意思．
知識梳理
f(g(x))
例1　BCD　[A不是復合函數；BCD都是復合函數．]
跟蹤訓練1　ACD
問題2　y＝sin 2x＝2sin xcos x，由兩個函數相乘的求導法則可知：y′x＝2cos2x－2sin2x＝2cos 2x；從整體上來看，外層函數是基本初等函數y＝sin u，它的導數y′u＝cos u，內層函數是冪函數的線性組合u＝2x，它的導數是u′x＝2，發現y′x＝y′u·u′x.
知識梳理
y′u·u′x　y對u的導數與u對x的導數的乘積
例2　解　(1)令u＝1－3x，
則y＝＝u－4，
所以y′u＝－4u－5，u′x＝－3.
所以y′x＝y′u·u′x
＝12u－5＝.
(2)令u＝x2，則y＝cos u，
所以y′x＝y′u·u′x＝－sin u·2x＝－2xsin(x2).
(3)設y＝log2u，u＝2x＋1，
則y′x＝y′u·u′x＝＝.
(4)設y＝eu，u＝3x＋2，
則y′x＝(eu)′·(3x＋2)′＝3eu＝3e3x＋2.
跟蹤訓練2　解　(1)y＝，
設y＝，u＝1－2x，
則y′x＝(1－2x)′
＝ ·(－2)
＝.
(2)函數y＝5log2(1－x)可看作函數y＝5log2u和u＝1－x的復合函數，
所以y′x＝y′u·u′x＝5(log2u)′·(1－x)′
＝＝.
(3) 設y＝sin u，u＝2x＋，
則y′x＝(sin u)′′
＝cos u·2＝2cos.
例3　解　設f(x)＝3sin x，
x＝φ(t)＝t＋，
所以s′(t)＝f′(x)φ′(t)＝3cos x·
＝cos，
將t＝18代入s′(t)，
得s′(18)＝cos ＝(m/h)．
s′(18)表示當t＝18 h時，潮水的高度上升的速度為 m/h.
跟蹤訓練3　　y＝1
解析　∵f(x)＝，故f′(x)＝(x2)′＝，則f′(0)＝0.故曲線y＝f(x)在點(0,1)處的切線方程為y＝1.
隨堂演練
1．AD　2.C　3.B　4.2

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