資源簡介

第2課時　函數的最大(小)值
[學習目標]　
1.理解函數最值的概念，了解其與函數極值的區別與聯系.
2.會求某閉區間上函數的最值．
一、極值與最值的關系
問題1　如圖是y＝f(x)在區間[a，b]上的函數圖象．顯然f(x1)，f(x3)，f(x5)為極大值，f(x2)，f(x4)，f(x6)為極小值．你能找到函數的最大值和最小值嗎？
問題2　開區間上的連續函數有最值嗎？
知識梳理
函數最值的定義
(1)一般地，如果在區間[a，b]上函數y＝f(x)的圖象是一條連續不斷的曲線，那么它必有最大值和最小值．
(2)對于函數f(x)，給定區間I，若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≥f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)在區間I上的最小值；若對任意x∈I，存在x0∈I，使得f(x)≤f(x0)，則稱f(x0)為函數f(x)在區間I上的最大值．
例1　如圖是函數y＝f(x)在區間[a，b]上的圖象，寫出函數的極大值、極小值、最大值和最小值．
反思感悟　最值與極值的區別與聯系
(1)極值是對某一點附近(即局部)而言，最值是對函數的定義區間的整體而言．
(2)在函數的定義區間內，極大(小)值可能有多個，但最大(小)值只有一個(或者沒有)．
(3)函數f(x)的極值點在定義域內，但不能是區間的端點，而最值點可以是區間的端點．
(4)對于可導函數，函數的最大(小)值必在極大(小)值點或區間端點處取得．
跟蹤訓練1　設f(x)是區間[a，b]上的連續函數，且在(a，b)內可導，則下列結論中正確的是(　　)
A．f(x)的極值點一定是最值點
B．f(x)的最值點一定是極值點
C．f(x)在區間[a，b]上可能沒有極值點
D．f(x)在區間[a，b]上可能沒有最值點
二、求函數的最值
例2　求下列函數的最值：
(1)f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]；
(2)f(x)＝x＋sin x，x∈[0,2π]．
反思感悟　求函數y＝f(x)在區間[a，b]上的最值的步驟
(1)求在(a，b)內方程f′(x)＝0的所有根；
(2)計算(1)中所有根對應的函數值；
(3)把(2)中計算的函數值與f(a)，f(b)比較，其中最大的一個是最大值，最小的一個是最小值．
跟蹤訓練2　求下列函數的最值：
(1)f(x)＝2x3－6x2＋3，x∈[－2,4]；
(2)f(x)＝.
三、利用最值證明不等式
例3　已知函數f(x)＝ex－e(ln x＋1)，求證：f(x)≥0恒成立．
反思感悟　證不等式恒成立，用導數的方法求出函數的最值，進而可求出結果；有時也可根據不等式直接構成函數，利用導數的方法，通過分類討論研究函數的最值，即可得到結果．
跟蹤訓練3　已知函數f(x)＝x2＋ln x．求證：在區間(1，＋∞)上，函數f(x)的圖象在函數g(x)＝x3的圖象的下方．
1．知識清單：
(1)函數最值的定義．
(2)求函數的最值．
(3)函數最值的應用．
2．方法歸納：轉化化歸、分類討論．
3．常見誤區：忽視函數的最值與極值的區別與聯系．
1．下列結論正確的是(　　)
A．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極大值一定是[a，b]上的最大值
B．若f(x)在[a，b]上有極小值，則極小值一定是[a，b]上的最小值
C．若f(x)在[a，b]上有極大值，則極小值一定是在x＝a和x＝b處取得
D．若f(x)在[a，b]上連續，則f(x)在[a，b]上存在最大值和最小值
2．函數y＝x－sin x，x∈的最大值是(　　)
A．π－1 B.－1 C．π D．π＋1
3．函數f(x)＝x3－3x(|x|＜1)(　　)
A．有最值，但無極值
B．有最值，也有極值
C．既無最值，也無極值
D．無最值，但有極值
4．函數f(x)＝(x＋1)ex的最小值是_______________________．
第2課時　函數的最大(小)值
問題1　最大值y＝M＝f(x3)＝f(b)分別在x＝x3及x＝b處取得，最小值y＝m＝f(x4)在x＝x4處取得．顯然函數的最值是函數的整體性質，且要求函數是連續不斷的，而最值不同于極值，如果有最大(小)值，則唯一存在．
問題2　如圖．
容易發現，開區間上的連續函數不一定有最大值和最小值，若有最值，則一定是在極值點處取到．
例1　解　由題圖可知，y＝f(x)在x1，x3處取得極小值，在x2處取得極大值，所以極小值為f，f，極大值為f；比較極值和端點值可知函數的最小值是f，最大值在b處取得，最大值為f(b)．
跟蹤訓練1　C　[根據函數的極值與最值的概念知，f(x)的極值點不一定是最值點，f(x)的最值點不一定是極值點．可能是區間的端點，連續可導函數在閉區間上一定有最值，所以選項A，B，D都不正確，若函數f(x)在區間[a，b]上單調，則函數f(x)在區間[a，b]上沒有極值點，所以C正確．]
例2　解　(1)因為f(x)＝2x3－12x，x∈[－2,3]，
所以f′(x)＝6x2－12
＝6(x＋)(x－)，
令f′(x)＝0，
解得x＝－ 或x＝.
因為f(－2)＝8，f(3)＝18，
f()＝－8，f(－)＝8，
所以當x＝時，
f(x)取得最小值－8；
當x＝3時，
f(x)取得最大值18.
(2)f′(x)＝＋cos x，令f′(x)＝0，
又x∈[0,2π]，
解得x＝或x＝.
因為f(0)＝0，f(2π)＝π，
f ＝＋，
f ＝－.
所以當x＝0時，f(x)有最小值f(0)＝0；
當x＝2π時，f(x)有最大值f(2π)＝π.
跟蹤訓練2　解　(1)f′(x)＝6x2－12x＝6x(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝0或x＝2.
又f(0)＝3，f(2)＝－5，f(4)＝35，
f(－2)＝－37，
∴當x＝4時，f(x)取最大值35.
當x＝－2時，f(x)取最小值－37.
即f(x)的最大值為35，最小值為－37.
(2)函數f(x)＝的定義域為R.
f′(x)＝＝，
當f′(x)＝0時，x＝2，
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如表所示．
x (－∞，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 －
f(x) 單調遞增 單調遞減
∴f(x)在(－∞，2)上單調遞增，
在(2，＋∞)上單調遞減，
∴f(x)無最小值，且當x＝2時，
f(x)max＝f(2)＝.
例3　證明　由題意知f′(x)＝ex－＝，
設F＝xex－e，
則F(x)在(0，＋∞)上單調遞增，
且F＝0.
當x∈時，F<0，
∴f′＝<0，f單調遞減，
當x∈時，F>0，
∴f′＝>0，
f單調遞增．
f的最小值為fmin＝f＝0，
∴f≥0恒成立．
跟蹤訓練3　證明　設F(x)＝g(x)－f(x)，
即F(x)＝x3－x2－ln x，
則F′(x)＝2x2－x－
＝.
當x>1時，F′(x)＝>0，
從而F(x)在(1，＋∞)上單調遞增，
∴F(x)>F(1)＝>0.
∴當x>1時，g(x)－f(x)>0，
即f(x)隨堂演練
1．D　2.C　3.C　4.－5.3.2　函數的極值與最大(小)值
第1課時　函數的極值
[學習目標]　
1.了解函數極值的概念，會從幾何方面直觀理解函數的極值與導數的關系.
2.掌握函數極值的判定及求法.
3.掌握函數在某一點取得極值的條件．
一、函數極值的概念
問題1　如圖是某處群山的截面圖，你能指出山峰、山谷嗎？
問題2　你能描述一下在各個山峰、山谷附近的特點嗎？
知識梳理
極值點與極值的概念
(1)極小值點與極小值
函數y＝f(x)在點x＝a處的函數值f(a)比它在點x＝a附近其他點處的函數值都小，f′(a)＝0；而且在點x＝a附近的左側______________，右側__________________，則把a叫做函數y＝f(x)的__________________，f(a)叫做函數y＝f(x)的____________．
(2)極大值點與極大值
函數y＝f(x)在點x＝b處的函數值f(b)比它在點x＝b附近其他點處的函數值都大，f′(b)＝0；而且在點x＝b附近的左側______________，右側____________，則把b叫做函數y＝f(x)的____________，f(b)叫做函數y＝f(x)的____________．
(3)極大值點、極小值點統稱為__________，極大值和極小值統稱為____________．
例1　函數y＝f(x)的導函數的圖象如圖所示，給出下列判斷：
①函數y＝f(x)在區間(3,5)上單調遞增；
②函數y＝f(x)在區間上單調遞減；
③函數y＝f(x)在區間(－2,2)上單調遞增；
④當x＝－時，函數y＝f(x)有極大值；
⑤當x＝2時，函數y＝f(x)有極大值．
則上述判斷中正確的序號是________．
反思感悟　解答此類問題要先搞清楚所給的圖象是原函數還是導函數的，對于導函數的圖象，重點考查在哪個區間上為正，哪個區間上為負，在哪個點處與x軸相交，在該點附近的導數值是如何變化的，若是由正值變為負值，則在該點處取得極大值；若是由負值變為正值，則在該點處取得極小值．
跟蹤訓練1　已知函數y＝f的導函數y＝f′的圖象如圖所示，則函數y＝f在區間上的極小值點的個數為(　　)
A．1 B．2
C．3 D．4
二、求函數的極值
例2　求下列函數的極值：
(1)f(x)＝x3－3x2－9x＋5；
(2)f(x)＝x－aln x(a∈R)．
反思感悟　函數極值和極值點的求解步驟
(1)確定函數的定義域．
(2)求方程f′(x)＝0的根．
(3)用方程f′(x)＝0的根順次將函數的定義域分成若干個小開區間，并列成表格．
(4)由f′(x)在方程f′(x)＝0的根左右的符號，來判斷f(x)在這個根處取極值的情況．
跟蹤訓練2　求下列函數的極值：
(1)f(x)＝x3－x；
(2)f(x)＝x2e－x.
三、由極值求參數的值或范圍
例3　(1)若函數f(x)＝x3＋ax2＋bx＋a2在x＝1處取得極值10，則a＝____________，b＝________.
(2)已知函數f(x)＝x3－(m＋3)x2＋(m＋6)x(x∈R，m為常數)，在區間(1，＋∞)上有兩個極值點，求實數m的取值范圍．
反思感悟　已知函數的極值求參數的方法
(1)對于已知可導函數的極值求參數的問題，解題的切入點是極值存在的條件：極值點處的導數值為0，極值點兩側的導數值異號．
注意：求出參數后，一定要驗證是否滿足題目的條件．
(2)對于函數無極值的問題，往往轉化為其導函數的值非負或非正在某區間內恒成立的問題，即轉化為f′(x)≥0或f′(x)≤0在某區間內恒成立的問題，此時需注意不等式中的等號是否成立．
跟蹤訓練3　若函數f(x)＝x3－4x＋4的圖象與直線y＝a恰有三個不同的交點，則實數a的取值范圍是________．
1．知識清單：
(1)函數極值的概念．
(2)函數極值的判定及求法．
(3)函數極值的應用．
2．方法歸納：方程思想、分類討論．
3．常見誤區：導數值等于零不是此點為極值點的充要條件．
1．已知函數f(x)的定義域為R，它的導函數y＝f′(x)的部分圖象如圖所示，則下列結論錯誤的是(　　)
A．函數f(x)在(1,2)上單調遞增
B．函數f(x)在(3,4)上單調遞減
C．函數f(x)在(1,3)上有極大值
D．x＝3是函數f(x)在區間[1,5]上的極小值點
2．(多選)已知函數f(x)＝2x3＋ax2＋36x－24在x＝2處有極值，則該函數的一個單調遞增區間是(　　)
A．(－∞，2) B．(3，＋∞)
C．(2，＋∞) D．(－∞，3)
3．設函數f(x)＝xex，則(　　)
A．x＝1為f(x)的極大值點 B．x＝1為f(x)的極小值點
C．x＝－1為f(x)的極大值點 D．x＝－1為f(x)的極小值點
4．已知曲線f(x)＝x3＋ax2＋bx＋1在點(1，f(1))處的切線斜率為3，且x＝是y＝f(x)的極值點，則a＝________， b＝____________.
5.3.2　函數的極值與最大(小)值
第1課時　函數的極值
問題1　在x1，x3，x5處是山峰，在x2，x4處是山谷．
問題2　以山峰x＝x1處為例來研究，在x＝x1處，它附近的函數值都比它小，且在x＝x1處的左側函數是單調遞增的，且有f′(x)>0，在x＝x1處的右側函數是單調遞減的，且有f′(x)<0，函數圖象是連續不斷的，f′(x)的變化也是連續不斷的，并且有f′(x1)＝0.
知識梳理
(1)f′(x)＜0　f′(x)＞0　極小值點
極小值　(2)f′(x)＞0　f′(x)＜0　極大值點　極大值　(3)極值點　極值
例1　③⑤
解析　對于①，當x∈(3,4)時，
f′(x)<0，f(x)單調遞減，
當x∈(4,5)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以①錯誤；
對于②，當x∈時，
f′(x)>0，f(x)單調遞增，
當x∈(2,3)時，f′(x)<0，f(x)單調遞減，所以②錯誤；
對于③，當x∈(－2,2)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，所以③正確；
對于④，當x∈(－2,2)時，f′(x)>0，f(x)單調遞增，故當x＝－時，
f 不是極大值，所以④錯誤；
對于⑤，由②知當x＝2時，函數y＝f(x)取得極大值，所以⑤正確．
跟蹤訓練1　A　[由圖象，設y＝f′(x)的圖象與x軸負半軸的兩個交點的橫坐標分別為c，d，其中c所以此時函數f(x)在(－∞，c)，(d，b)上單調遞增，
在(c，d)上，f′(x)<0，
此時f(x)在(c，d)上單調遞減，
所以x＝c時，函數取得極大值，x＝d時，函數取得極小值．
則函數y＝f(x)的極小值點的個數為1.]
例2　解　(1)函數f(x)的定義域為R.
f′(x)＝3x2－6x－9，
令f′(x)＝0，
即3x2－6x－9＝0，
解得x1＝－1，x2＝3.
當x變化時，f(x)，
f′(x)的變化情況如下表：
x (－∞，－1) －1 (－1,3) 3 (3，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
故當x＝－1時，
函數y＝f(x)有極大值，
且f(－1)＝10；
當x＝3時，函數y＝f(x)有極小值，
且f(3)＝－22.
(2)f(x)＝x－aln x的定義域為(0，＋∞)，
由f′(x)＝1－＝，x>0，知
①當a≤0時，f′(x)>0，函數f(x)為(0，＋∞)上單調遞增，函數f(x)無極值；
②當a>0時，由f′(x)＝0，
解得x＝a.
又當x∈(0，a)時，f′(x)<0，
當x∈(a，＋∞)時，f′(x)>0，
從而函數f(x)在x＝a處取得極小值，且極小值為f(a)＝a－aln a，無極大值．
綜上，當a≤0時，函數f(x)無極值；
當a>0時，函數f(x)在x＝a處取得極小值a－aln a，無極大值．
跟蹤訓練2　解　(1)函數f(x)的定義域為R.
令f′(x)＝0，得3x2－1＝0，
解得x＝－或x＝.
當x變化時，f(x)和f′(x)變化情況如下表：
x －
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 單調遞增 單調遞減 － 單調遞增
所以f(x)在x＝－處取得極大值，在x＝處取得極小值－.
(2)函數f(x)的定義域為R，
f′(x)＝2xe－x＋x2·e－x·(－x)′＝2xe－x－x2·e－x＝x(2－x)e－x.
令f′(x)＝0，得x(2－x)·e－x＝0，
解得x＝0或x＝2.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，0) 0 (0,2) 2 (2，＋∞)
f′(x) － 0 ＋ 0 －
f(x) 單調遞減 0 單調遞增 4e－2 單調遞減
因此當x＝0時，f(x)取得極小值，且極小值為f(0)＝0；
當x＝2時，f(x)取得極大值，
且極大值為f(2)＝4e－2＝.
例3　(1)4　－11
解析　f′(x)＝3x2＋2ax＋b，
依題意得
即
解得或
但由于當a＝－3，b＝3時，
f′(x)＝3x2－6x＋3＝3(x－1)2≥0，
故f(x)在R上單調遞增，不可能在x＝1處取得極值，
所以不符合題意，應舍去．
而當a＝4，b＝－11時，經檢驗知符合題意，
故a，b的值分別為4，－11.
(2)解　f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6.
因為函數f(x)在(1，＋∞)上有兩個極值點，
所以f′(x)＝x2－(m＋3)x＋m＋6在(1，＋∞)上與x軸有兩個不同的交點，如圖所示．
所以
解得m>3.
故實數m的取值范圍是(3，＋∞)．
跟蹤訓練3　
解析　∵f(x)＝x3－4x＋4，
∴f′(x)＝x2－4＝(x＋2)(x－2)．
令f′(x)＝0，得x＝2或x＝－2.
當x變化時，f′(x)，f(x)的變化情況如下表：
x (－∞，－2) －2 (－2，2) 2 (2，＋∞)
f′(x) ＋ 0 － 0 ＋
f(x) 單調遞增 極大值 單調遞減 極小值 單調遞增
∴當x＝－2時，函數取得極大值f(－2)＝；
當x＝2時，
函數取得極小值f(2)＝－.
且f(x)在(－∞，－2)上單調遞增，在(－2,2)上單調遞減，在(2，＋∞)上單調遞增．
根據函數單調性、極值的情況，它的圖象大致如圖所示，
結合圖象知－隨堂演練
1．D　2.AB　3.D　4.2　－4

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