資源簡介

專題3-3 解三角形
01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法（四大命題方向+四道高考預測試題，高考必考·（10-17）分）
命題點1 正弦余弦定理基本應用
命題點2 解三角形中三線問題
命題點3 解三角形中周長面積問題
命題點4 解三角形中最值范圍問題
高考猜題
04創新好題·分層訓練（精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升）
解三角形是新高考中必考點，一般以1+1（一道小題一道解答題） 或者是0+1（只出現一道解答）形式出現，往往放在解答題前兩題，相對難度比較小.
真題多維細目表
考點 考向 考題
解三角形 ① 正弦余弦基本應用 ② 解三角形中三線問題 ③ 解三角形中周長面積問題 ④解三角形中最值范圍問題 2023全國乙卷T4 全國乙卷T17 2021 全國甲卷T8 2023新高考甲卷T16 2023新高考Ⅰ卷T17 2023新高考Ⅱ卷T17 全國乙卷T18 甲卷T17 2022乙卷T17 新高考Ⅱ卷T18 2021全國乙卷T15 2021新高考Ⅱ卷T18 2022全國甲卷 2022年新高考Ⅰ卷T18
命題點1 正弦余弦定理基本應用
（2023·全國乙卷）
1．在中，內角的對邊分別是，若，且，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·全國乙卷）
2．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c﹐已知．
(1)若，求C；
(2)證明：
命題點2 三角形中三線問題
（2023·全國甲卷）
3．在中，，的角平分線交BC于D，則 ．
（2023·全國新課標Ι）
4．已知在中，．
(1)求；
(2)設，求邊上的高．
對于解三角形中的出現的角平分線問題 ，方法技巧在于用等面積法進行轉化，或者是采用角平分線定理（角平分線定理屬于二級結論解答題中需要進行證明，小題中可以直接采用），對于求高有關的問題也是采用面積等于底乘以高轉化成三角形中面積公式.對于中線問題，一般思路是向量思想，小題中可以采用激化恒等式去求解.
命題點3 解三角形中周長面積問題
（2023·全國高考乙卷）
5．在中，已知，，.
(1)求；
(2)若D為BC上一點，且，求的面積.
（2022·全國高考乙卷）
6．記的內角的對邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的周長．
命題點4 解三角形中最值范圍問題
（2022·全國·高考甲卷）
7．已知中，點D在邊BC上，．當取得最小值時， ．
（2022·全國新高考Ⅰ）
8．記的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，已知．
(1)若，求B；
(2)求的最小值．
解三角形中求邊長最值問題一般采用設角把邊長轉化成關于角的函數，最后轉化成基本不等式或者是關于二次函數去求解.但是對于銳角三角形中，求長度或者是面積范圍及問題，應采用邊角轉化思想，把邊長問題轉化成角度問題，再利用二次函數或者是輔助角公式去求解.
方法二：對于平面圖形中，如果題目中未指明圖形的一些邊長關系，可采用一般圖形特殊化，通過建立直角坐標系去轉化成坐標運算.
預計2024年高考會出現正弦余弦定理的基本應用及面積最值范圍相關題目
（23·24上·湖南·模擬預測）
9．在中，，，且的面積為，則（ ）
A． B． C． D．
（23·24上·浙江·一模）
10．在中，角，，的對邊分別為，，，且.
(1)求；
(2)若點在邊上，，，，求的面積.
（23·24上·綿陽·模擬預測）
11．在斜三角形中，內角所對的邊分別為，已知．
(1)證明：；
(2)若，求的最小值．
（23·24上·泰州·期中）
12．在銳角中，a，b，c分別是角A，B，C的對邊，已知.
(1)求角A的大小；
(2)若，求面積S的取值范圍.
（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
（2023·湖北黃岡·統考模擬預測）
13．在中，，，，則的面積為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·江蘇徐州·高三?？茧A段練習）
14．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則外接圓的半徑為（ ）
A． B． C． D．
（2023·山東濟寧·統考二模）
15．的內角的對邊分別為，若邊上的高為，則（ ）
A． B． C． D．
二、填空題
（2023上·江蘇淮安·高三江蘇省清浦中學校聯考階段練習）
16．在中，角的對邊分別為為邊中點，若，則面積的最大值為 .
（2023·河南鄭州·統考模擬預測）
17．中，，，，平分線與交于點，則 .
三、解答題
（2023上·湖南·高三湖南省祁東縣第一中學校聯考階段練習）
18．在中，內角A，B，C對應的邊分別是a，b，c，且．
(1)求；
(2)若的面積是，，求的周長．
（2023·河南·校聯考模擬預測）
19．如圖，在四邊形中，的面積為．

(1)求；
(2)證明：．
（2023·山東煙臺·統考二模）
20．已知的內角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且.
(1)求；
(2)求的最小值.
（2023·浙江·校聯考二模）
21．在三角形中，和分別是邊上的高和中線，則（ ）
A．14 B．15 C．16 D．17
（2023·四川宜賓·統考三模）
22．在中，角A，B，C所對邊分別記為a，b，c，若，，則面積的最大值是（ ）
A． B．2 C． D．
（2023·新疆·校聯考二模）
23．在中，角A，B，C所對的過分別為a，b，c，則“”是“”的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·陜西寶雞·統考二模）
24．在銳角△ABC中，角A，B，C的對邊分別為a，b，c，且，，則a的取值范圍為（ ）
A． B．
C． D．
二、填空題
（2023·陜西商洛·鎮安中學?？寄M預測）
25．在中，角的對邊分別為，若，則外接圓的面積為 .
三、解答題
（2023·河南·模擬預測）
26．在中，內角A，B，C的對邊分別是a，b，c，的面積記為S，已知，．
(1)求A；
(2)若BC邊上的中線長為1，AD為角A的角平分線，求CD的長．
（2023·河南·校聯考模擬預測）
27．已知的外心為，點分別在線段上，且恰為的中點．
(1)若，求面積的最大值；
(2)證明：．
（2023上·河北保定·高三校聯考開學考試）
28．在中，角，，的對邊分別為，，，若.
(1)求角的大??；
(2)若為上一點，，，求的最小值.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．C
【分析】首先利用正弦定理邊化角，然后結合誘導公式和兩角和的正弦公式求得的值，最后利用三角形內角和定理可得的值.
【詳解】由題意結合正弦定理可得，
即，
整理可得，由于，故，
據此可得，
則.
故選：C.
2．(1)；
(2)證明見解析．
【分析】（1）根據題意可得，，再結合三角形內角和定理即可解出；
（2）由題意利用兩角差的正弦公式展開得，再根據正弦定理，余弦定理化簡即可證出．
【詳解】（1）由，可得，，而，所以，即有，而，顯然，所以，，而，，所以．
（2）由可得，
，再由正弦定理可得，
，然后根據余弦定理可知，
，化簡得：
，故原等式成立．
3．
【分析】方法一：利用余弦定理求出，再根據等面積法求出；
方法二：利用余弦定理求出，再根據正弦定理求出，即可根據三角形的特征求出．
【詳解】
如圖所示：記，
方法一：由余弦定理可得，，
因為，解得：，
由可得，
，
解得：．
故答案為：．
方法二：由余弦定理可得，，因為，解得：，
由正弦定理可得，，解得：，，
因為，所以，，
又，所以，即．
故答案為：．
【點睛】本題壓軸相對比較簡單，既可以利用三角形的面積公式解決角平分線問題，也可以用角平分定義結合正弦定理、余弦定理求解，知識技能考查常規．
4．(1)
(2)6
【分析】（1）根據角的關系及兩角和差正弦公式，化簡即可得解；
（2）利用同角之間的三角函數基本關系及兩角和的正弦公式求,再由正弦定理求出，根據等面積法求解即可.
【詳解】（1），
，即，
又，
，
，
，
即，所以，
.
（2）由（1）知，，
由，
由正弦定理，，可得，
，
.
5．(1)；
(2).
【分析】(1)首先由余弦定理求得邊長的值為，然后由余弦定理可得，最后由同角三角函數基本關系可得；
(2)由題意可得，則，據此即可求得的面積.
【詳解】（1）由余弦定理可得：
，
則，，
.
（2）由三角形面積公式可得，
則.
6．(1)見解析
(2)14
【分析】（1）利用兩角差的正弦公式化簡，再根據正弦定理和余弦定理化角為邊，從而即可得證；
（2）根據（1）的結論結合余弦定理求出，從而可求得，即可得解.
【詳解】（1）證明：因為，
所以，
所以，
即，
所以；
（2）解：因為，
由（1）得，
由余弦定理可得，
則，
所以，
故，
所以，
所以的周長為.
7．##
【分析】設，利用余弦定理表示出后，結合基本不等式即可得解.
【詳解】[方法一]：余弦定理
設，
則在中，，
在中，，
所以
，
當且僅當即時，等號成立，
所以當取最小值時，.
故答案為：.
[方法二]：建系法
令 BD=t，以D為原點，OC為x軸，建立平面直角坐標系.
則C（2t,0），A（1，），B（-t,0）
[方法三]：余弦定理
設BD=x,CD=2x.由余弦定理得
，，
，，
令，則，
，
，
當且僅當，即時等號成立.
[方法四]：判別式法
設，則
在中，，
在中，，
所以，記，
則
由方程有解得：
即，解得：
所以，此時
所以當取最小值時，，即.

8．(1)；
(2)．
【分析】（1）根據二倍角公式以及兩角差的余弦公式可將化成，再結合，即可求出；
（2）由（1）知，，，再利用正弦定理以及二倍角公式將化成，然后利用基本不等式即可解出．
【詳解】（1）因為，即，
而，所以；
（2）由（1）知，，所以，
而，
所以，即有，所以
所以
．
當且僅當時取等號，所以的最小值為．
9．D
【分析】先利用正弦定理角化邊可得，再由三角形面積公式可得，最后根據余弦定理求解即可.
【詳解】設中角所對的邊分別為，
因為，所以由正弦定理可得，
又解得，
所以由余弦定理可得，
因為，所以，
故選：D
10．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意，由正弦定理的邊角互化進行化簡，再由余弦定理，代入計算，即可得到結果；
（2）根據題意，由可得，結合余弦定理列出方程，即可求得，再由三角形的面積公式，代入計算，即可得到結果.
【詳解】（1）由題意得，
所以，故
因為，.
（2）設，則，
在中，有.
在中，有.
又，所以，
所以有.又，所以.
在中，由余弦定理可得.
又，，，
所以有.
聯立，解得 ，所以，
所以.
11．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）利用三角形內角和化簡三角函數方程，即可證明結論；
（2）由正弦定理求出的表達式，即可得出其最小值.
【詳解】（1）由題意證明如下，
在中，，
，
，
，
又為斜三角形，則，
，
，
∵為的內角，
.
（2）由題意及（1）得，
在中，，，是等腰三角形，
由正弦定理，則，
又，即，
，
，
令， ，
又因為，即，
當即時，取最小值，且，
∴的最小值為．
12．(1)
(2)
【分析】（1）對已知條件變形，代入余弦定理即可；
（2）根據銳角三角形定義確定B的范圍，利用正弦定理表示出c，然后代入面積公式，求三角函數的值域可得答案.
【詳解】（1）因為，
所以，
整理得，
所以，
又，所以.
（2）因為為銳角三角形，
所以，解得，
所以，
由正弦定理可得，
則，
因為，所以，
所以，即面積S的取值范圍為.
13．D
【分析】由正弦定理求出，進而得到，，從而求出，利用三角形面積公式求出答案.
【詳解】由正弦定理得，
因為，，，
所以，故，
則，
因為，
所以，，
故，
故.

故選：D
14．B
【分析】首先求出，再利用正弦定理即可.
【詳解】由題意得，所以，
設外接圓的半徑為，則由正弦定理得，
所以，
故選：B.
15．B
【分析】根據已知，用c表示出a、b，然后由余弦定理可得.
【詳解】如圖，邊上的高為CD,
因為，所以
所以，
由勾股定理可得，
由余弦定理可得.
故選：B
16．
【分析】根據向量模長公式即可，結合基本不等式即可求解，進而根據三角函數的單調性，結合面積公式即可求解.
【詳解】由于為邊中點,所以,平方,
因此,
由于，所以，當且僅當時等號成立，
故，
由于在單調遞減，故當時，最小，且為鈍角，
,
由于在單調遞增，故當取最小值時，此時面積最大，故當時，此時最小，進而最小，故面積最大，
由可得，故面積的最大值為，
故答案為：
17．
【分析】首先利用余弦定理求出、，即可得到，再由正弦定理計算可得.
【詳解】由余弦定理，
，
所以，所以，
因為為的平分線，所以，
所以，
在中由正弦定理，
即，所以.
故答案為：
18．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理邊化角，再結合兩角和的正弦公式求解；
（2）利用面積公式、余弦定理運算求解.
【詳解】（1）由，可得到，
即．
因為，所以，故．
（2）由，可得，
因為，所以，則．
由余弦定理得，即，
所以，故的周長是．
19．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）設，根據面積得到方程，求出，在中，利用余弦定理求出，進而求出，從而求出的值；
（2）在中，由正弦定理得，結合（1）中，由角的范圍得到.
【詳解】（1）設，
因為的面積為，
所以，解得，
所以．
在中，由余弦定理得，
所以．
在中，，所以，
所以；
（2）由（1）可得，
在中，由正弦定理得，
所以，且．
由（1）可得，又，
所以．
20．(1)
(2)
【分析】（1）由余弦定理化簡已知等式可得，結合同角三角函數基本關系式即可求解的值；
（2）由（1）利用余弦定理以及基本不等式即可求解．
【詳解】（1）由余弦定理知，則
所以，
所以，則
又因為，所以，
整理得，
在中，，所以．
（2）由（1）知，所以，
所以，當且僅當時等號成立，
所以的最小值為．
21．C
【分析】將作為基底，用基底表示和 ，根據數量積的規則計算即可.
【詳解】
設 ，則有 ，
由余弦定理得 ，
，
其中 ， ，解得 ，
；
故選：C.
22．C
【分析】由正弦定理和和角公式得到，設出點的坐標，根據，得到點C的軌跡，從而確定面積的最大值.
【詳解】，，，
，，，
由正弦定理得.
設，，，
∵，
∴，
，
化簡得，點C的軌跡是以為圓心，半徑為的圓.
過C作，當CD最大時，有最大值，.
故選：C
23．C
【分析】利用三角恒等變換及正弦定理即可判定.
【詳解】由二倍角公式可化簡得：，而，故，
由正弦定理可得，
反之，也成立，即為充要條件.
故選：C．
24．C
【分析】確定角范圍后，由正弦定理表示出，再利用三角函數性質得結論．
【詳解】因為是銳角三角形，所以，，所以，，
由正弦定理得，所以．
故選：C．
25．
【分析】首先利用正弦定理，邊化角，再結合三角恒等變換，以及余弦定理，求得和角，即可求得三角形外接圓的半徑和面積.
【詳解】由正弦定理得，
因為，所以，即，可得.
因為，所以，得，解得.
，化簡得，
由正弦定理 余弦定理，得，化簡得，
由正弦定理可得，得，因此外接圓的面積為.
故答案為：
26．(1)
(2)
【分析】（1）利用三角形面積公式以及正弦定理即可計算得出，即可得；
（2）利用平面向量可得，再由等面積法即可得，代入計算可求出CD的長．
【詳解】（1）因為，所以，即，
由正弦定理可得，即
所以．
因為，所以．
（2）設AE為BC邊上的中線，可得，
如下圖所示：

則，
所以，解得．
因為，
所以，
所以；由可得，
利用余弦定理可得，
所以．
27．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）運用正弦定理得出的角度，借助基本不等式根據余弦定理得出的最大值，從而得出面積的最大值；
（2）利用余弦定理，由可得出，同理可得，由恰為的中點，可證本題.
【詳解】（1）解：由正弦定理，得，
所以，
又，所以或，
當時，
由余弦定理，得
，
所以，的面積，
當且僅當時，取等號；
當時，
同理可得，的面積，
當且僅當時，取等號．
綜上，面積的最大值為；
（2）證明：設，
由余弦定理知，，
因為，
所以，
化簡整理得，
而，因此，
又因為是外心，故，
同理可知，
因為恰為的中點，
因此，所以．

28．(1)
(2)
【分析】（1）利用正弦定理化簡已知條件，結合余弦定理求得正確答案.
（2）利用三角形的面積公式列方程，結合基本不等式求得的最小值.
【詳解】（1）依題意，，
由正弦定理得，
，所以，
所以是鈍角，所以.
（2），
，所以，
即，
所以，
當且僅當時等號成立.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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