資源簡介

專題3-4 平面向量及其應(yīng)用
01專題網(wǎng)絡(luò)·思維腦圖（含基礎(chǔ)知識梳理、常用結(jié)論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法（三大命題方向+四道高考預(yù)測試題，高考必考·5分）
命題點1 平面向量的數(shù)量積運算
命題點2 平面向量的線性運算
命題點3 平面向量綜合應(yīng)用
高考猜題
04創(chuàng)新好題·分層訓(xùn)練（精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升）
解三角形是新高考中必考點，一般以一道小題 形式出現(xiàn)，一般作為選擇題或者是填空題的形式出現(xiàn)，難度不大.
真題多維細(xì)目表
考點 考向 考題
解三角形 ①平面向量的數(shù)量積運算②平面向量的線性運算 ③平面向量綜合應(yīng)用 2023新全國Ⅰ卷T3 新高考Ⅱ卷T13 全國乙卷（文）T6 全國甲（文）T3 (理) T4 2022 新高考Ⅱ卷T4 全國乙卷T3 全國甲T13 2021 新高考Ⅱ卷T15 新全國Ⅰ卷T10（多選） 全國乙卷（文）T13 （理）T14 全國甲（文）T13 （理）T14 2022 新全國Ⅰ卷T3 2023乙卷（理）T12
命題點1 平面向量數(shù)量積運算
典例01
（2023·全國新課標(biāo)Ⅰ卷）
1．已知向量，若，則（ ）
A． B．
C． D．
典例02
（2021·全國高考Ⅰ卷）
2．已知為坐標(biāo)原點，點，，，，則（ ）
A． B．
C． D．
命題點2 平面向量的線性運算
典例01
（2022·全國新高考Ⅰ卷）
3．在中，點D在邊AB上，．記，則（ ）
A． B． C． D．
典例02
（2020·新高考Ⅱ卷）
4．在中，D是AB邊上的中點，則=（ ）
A． B． C． D．
命題點3 平面向量綜合應(yīng)用
典例01
（2023·全國高考乙卷）
5．已知的半徑為1，直線PA與相切于點A，直線PB與交于B，C兩點，D為BC的中點，若，則的最大值為（ ）
A． B．
C． D．
預(yù)計2024年高考會向量數(shù)量積運算問題，并以單選或者是多選的形式出現(xiàn)
一、單選題
6．若是夾角為的兩個單位向量，與垂直，則（ ）
A． B． C． D．
7．如圖，在平行四邊形ABCD中，E是對角線AC上靠近點的三等分點，點F在BE上且為中點，若，則（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
8．已知向量，，，則下列命題正確的是（ ）
A．若，則 B．存在，使得
C．向量是與共線的單位向量 D．在上的投影向量為
（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
（2022上·山西運城·高三統(tǒng)考期中）
9．已知向量，且，則等于（ ）
A．5 B． C． D．
（2023·海南海口·海南華僑中學(xué)校考二模）
10．如圖，在中，是的中點，與交于點，則（ ）

A． B． C． D．
（2023·杭州·模擬預(yù)測）
11．已知向量，若，則向量在向量上的投影向量為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·山東煙臺·高三統(tǒng)考期中）
12．在平行四邊形ABCD中， ，則 （ ）
A．2 B． C． D．4
（2023·河北滄州·校考三模）
13．在中，若，，，則的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
二、多選題
（2023上·云南楚雄·高三統(tǒng)考期中）
14．設(shè)非零向量，滿足，，則（ ）
A． B．
C． D．
（2023上·福建莆田·高三莆田第十中學(xué)校考期中）
15．已知平面向量滿足：，且，，則下列結(jié)論正確的是（ ）
A．平面向量的夾角為
B．與向量共線的單位向量為
C．
D．的最大值為
（2023上·安徽·高三安徽省宿松中學(xué)校聯(lián)考開學(xué)考試）
16．已知，，，A，B兩點不重合，則（ ）
A．的最大值為2
B．的最大值為2
C．若，最大值為
D．若，最大值為4
一、單選題
（2023·福建漳州·福建省漳州第一中學(xué)統(tǒng)考模擬預(yù)測）
17．已知，，均為單位向量，且滿足，則（ ）
A． B． C． D．
（2023·山西晉城·統(tǒng)考三模）
18．已知向量，則是的（ ）
A．充分不必要條件 B．必要不充分條件
C．充要條件 D．既不充分也不必要條件
（2023·河北·聯(lián)考模擬預(yù)測）
19．在菱形中，，，設(shè)，則（ ）
A． B． C． D．0
（2023·河北唐山·高三階段練習(xí)）
20．若平面向量兩兩夾角相等， 且， 則= （ ）
A．2 B．5 C．2或5 D． 或
（2023·湖北武漢·武漢二中校聯(lián)考模擬預(yù)測）
21．如圖，已知是半徑為2，圓心角為的扇形，點分別在上，且，點是圓弧上的動點（包括端點），則的最小值為（ ）

A． B． C． D．
二、多選題
（2023·廣東珠海·珠海市第一中學(xué)校考模擬預(yù)測）
22．已知，下列結(jié)論正確的是（ ）
A．與向量垂直且模長是2的向量是和
B．與向量反向共線的單位向量是
C．向量在向量上的投影向量是
D．向量與向量所成的角是銳角，則的取值范圍是
（2023·安徽淮南·統(tǒng)考二模）
23．已知單位向量，則下列命題正確的是（ ）
A．向量不共線，則
B．若，且，則
C．若，記向量，的夾角為，則的最小值為
D．若，則向量在向量上的投影向量是
（2023·浙江·統(tǒng)考一模）
24．已知O為坐標(biāo)原點，點，，，則（ ）
A． B．
C． D．
試卷第2頁，共2頁
試卷第1頁，共1頁
參考答案：
1．D
【分析】根據(jù)向量的坐標(biāo)運算求出，，再根據(jù)向量垂直的坐標(biāo)表示即可求出．
【詳解】因為，所以，，
由可得，，
即，整理得：．
故選：D．
2．AC
【分析】A、B寫出，、，的坐標(biāo)，利用坐標(biāo)公式求模，即可判斷正誤；C、D根據(jù)向量的坐標(biāo)，應(yīng)用向量數(shù)量積的坐標(biāo)表示及兩角和差公式化簡，即可判斷正誤.
【詳解】A：，，所以，，故，正確；
B：，，所以，同理，故不一定相等，錯誤；
C：由題意得：，，正確；
D：由題意得：，
，故一般來說故錯誤；
故選：AC
3．B
【分析】根據(jù)幾何條件以及平面向量的線性運算即可解出．
【詳解】因為點D在邊AB上，，所以，即，
所以．
故選：B．
4．C
【分析】根據(jù)向量的加減法運算法則算出即可.
【詳解】
故選：C
【點睛】本題考查的是向量的加減法，較簡單.
5．A
【分析】由題意作出示意圖，然后分類討論，利用平面向量的數(shù)量積定義可得，或然后結(jié)合三角函數(shù)的性質(zhì)即可確定的最大值.
【詳解】如圖所示，，則由題意可知:，
由勾股定理可得

當(dāng)點位于直線異側(cè)時或PB為直徑時，設(shè)，
則：
，則
當(dāng)時，有最大值.

當(dāng)點位于直線同側(cè)時，設(shè)，
則：
，
，則
當(dāng)時，有最大值.
綜上可得，的最大值為.
故選：A.
【點睛】本題的核心在于能夠正確作出示意圖，然后將數(shù)量積的問題轉(zhuǎn)化為三角函數(shù)求最值的問題，考查了學(xué)生對于知識的綜合掌握程度和靈活處理問題的能力.
6．B
【分析】由題意先分別算出的值，然后將“與垂直”等價轉(zhuǎn)換為，從而即可求解.
【詳解】由題意有，
又因為與垂直，
所以，
整理得，解得.
故選：B.
7．A
【分析】利用向量加減法的幾何意義即三角形法則與平行四邊形法則，進(jìn)行運算即可.
【詳解】點F在BE上且為中點，且E是對角線AC上靠近點的三等分點，
則
，
故選：A.
8．BCD
【分析】根據(jù)向量關(guān)系依次計算判斷即可.
【詳解】對A，若，則，則，故A錯誤；
對B，要使，則，則，因為，所以，故存在，使得，故B正確；
對C，因為，所以，又，所以向量是與共線的單位向量，故C正確；
對D，因為為單位向量，則在上的投影向量為，故D正確.
故選：BCD.
9．A
【分析】根據(jù)得到，再計算即可.
【詳解】因為，，
所以，解得.
所以，，.
故選：A
10．A
【分析】根據(jù)向量之間的共線關(guān)系，結(jié)合共線定理的推論，利用不同的基底，表示向量，建立方程，可得答案.
【詳解】在中，設(shè)，由，可得，故．
又是的中點，，所以，所以．
由點三點共線，可得，解得，
故．
故選：A．
11．D
【分析】根據(jù)向量垂直求出后，利用向量的坐標(biāo)運算寫出的坐標(biāo)，再根據(jù)投影向量的概念即可求解.
【詳解】依題意得，所以，解得，
所以，所以，
則向量在向量上的投影向量為．
故選：D．
12．A
【分析】根據(jù)題意，將與都用與表示，再求數(shù)量積即可.
【詳解】在平行四邊形ABCD中，如圖所示：

因為，所以是的中點，即，
，,
因為，所以，
因此，.
故選：A.
13．B
【分析】根據(jù)三角形外心的性質(zhì)，結(jié)合正弦定理、平面向量數(shù)量積的定義、圓的幾何性質(zhì)進(jìn)行求解即可.
【詳解】因為，
所以為的外心，且為外接圓上一動點，
又，，
所以外接圓的半徑.
如圖，作，垂足為，則.
所以，當(dāng)與圓相切時，取最值，即在處取最大值6，
在處取最小值，
故選：B

【點睛】關(guān)鍵點睛：本題的關(guān)鍵是由確定點的軌跡.
14．BC
【分析】根據(jù)得到，即可判斷AB選項；根據(jù)數(shù)量積的運算律得到，即可判斷CD選項.
【詳解】因為，所以，
即，所以，A錯誤，B正確.
因為，所以，所以，C正確，D錯誤.
故選：BC.
15．AC
【分析】根據(jù)條件，得到，再對各個選項逐一分析判斷即可求出結(jié)果.
【詳解】因為，所以，又，得到，
對于選項A，因為，又，所以，所以選項A正確；
對于選項B，因為，所以與向量共線的單位向量為，所以選項B錯誤；
對于選項C，因為，得到，所以選項C正確；
對于選項D，，所以選項D錯誤，
故選：AC.
16．AD
【分析】A選項，由幾何意義可得A，B為單位圓上任意兩點，從而得到；B選項，取中點，得到，數(shù)形結(jié)合得到，進(jìn)而求出；C選項，；D選項，分兩種情況，得到.
【詳解】A選項，由已知A，B為單位圓上任意兩點，，，A正確；

B選項，設(shè)D為的中點，則，
由于A，B兩點不重合，所以，則，故B錯誤；
C選項，當(dāng)P，A，B共線時，，故C錯誤；
D選項，當(dāng)P，A，B共線時，若坐標(biāo)分別為與或與時，
兩點重合，此時，
若坐標(biāo)不同時為與時，此時⊥，則，

故，故D正確.
故選：AD
17．C
【分析】利用平面向量數(shù)量積的性質(zhì)進(jìn)行運算即可．
【詳解】，，則，即，則
故選：C
18．A
【分析】利用向量平行的坐標(biāo)公式計算，得出，進(jìn)而利用充分不必要條件的定義判斷即可．
【詳解】若，則，解得或，則是的充分不必要條件；
故選：A
19．B
【分析】作出菱形的草圖，根據(jù)圖形和已知條件，可知各向量之間夾角，再利用向量的數(shù)量積公式，及可求出結(jié)果.
【詳解】如圖，
由于在菱形中，，
所以，,，，且；
所以；；；.
所以.
故選：B.
20．C
【分析】根據(jù)給定條件，分情況結(jié)合數(shù)量積定義求解即得.
【詳解】平面向量兩兩夾角相等，則或，
當(dāng)時，即向量同向共線，則，
當(dāng)時，
.
故選：C
21．A
【分析】以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系，設(shè)，則，利用平面向量的坐標(biāo)運算得，結(jié)合基本不等式即可求得最值.
【詳解】如圖，以為原點，所在直線為軸建立平面直角坐標(biāo)系

則，設(shè)，則，
所以，
因為，所以，又，則，所以，當(dāng)且僅當(dāng)時，等號成立
則的最大值為，所以的最大值為，即的最小值為.
故選：A.
22．BC
【分析】利用平面向量的運算性質(zhì)即可求得結(jié)果.
【詳解】對于A，向量的模不符合，故A不正確.
對于B，向量的相反向量為，與相反向量同向的單位向量是，故B正確.
對于C，向量在向量上的投影為，
與向量同向的單位向量，所以向量在向量上的投影向量是，故C正確.
對于D，時，向量與同向共線，夾角為0，不是銳角，故D不正確.
故選：BC.
23．C
【分析】根據(jù)共線向量、向量的模、夾角、投影向量等知識對選項進(jìn)行分析，從而確定正確答案.
【詳解】A選項，是單位向量，方向可能相同或相反，所以可能共線，A選項錯誤；
B選項，，
而，或，且，
或， B選項錯誤；
C選項，，
，且，，
的最小值為，C選項正確；
D選項，在上的投影向量為，D選項錯誤.
故選：C
24．ABC
【分析】利用平面向量的坐標(biāo)表示與旋轉(zhuǎn)角的定義推得是正三角形，從而對選項逐一分析判斷即可.
【詳解】對于A，因為，，，
所以，，
故是正三角形，則，故A正確；
對于B，因為是正三角形，是的外心，
所以是的重心，故，即，故B正確；
對于C，，故C正確；
對于D，因為，則，
所以，故D錯誤.
故選：ABC．
.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑