資源簡介

專題4 數列及其應用
01專題網絡·思維腦圖（含基礎知識梳理、常用結論與技巧）
02考情分析·解密高考
03高頻考點·以考定法（五大命題方向+五道高考預測試題，高考必考10-15分）
命題點1 等差數列及性質
命題點2 等比數列及性質
命題點3 等差等比數列綜合
命題點4 數列情景題
命題點5 數列求和
高考猜題
04創新好題·分層訓練（精選8道最新名校模擬試題+8道易錯提升）
一、一般數列性質：
單調性：遞增數列： ；遞減數列： ；常數列：；最大項.
二、等差數列及性質
1．定義式： （遞推公式）
2．等差中項：若成等差數列，則
相鄰三項，
3．通項公式： （累加法）
從函數角度理解：，其中，
推廣：
4．為等差數列，為其前項和
性質1：若，則
特殊的，若，則
性質2：，，，，仍成等差數列.
性質3：，，，仍成等差數列.
5．前項和： （倒序相加法）
從函數角度理解：，其中，
6．單調性：，單調遞增；，單調遞減；，常函數
7．最值問題：
法一： 最值問題可由二次函數求最值的角度考慮.
法二： 若，的最小值為，無最大值；
若，的最大值為項的正負分界處（成立的最大的），無最小值；
若，的最大值為，無最小值；
若，的最小值為項的正負分界處（成立的最大的），無最大值.
法三：解不等式組，（，），即可求得最大值；
解不等式組，（，），即可求得最小值.
8．判斷等差數列的方法：
﹡定義法 ﹡等差中項法 ﹡通項公式法 ﹡前項和公式法
三、等比數列及性質：
1．定義式： （遞推公式）
2．等比中項：若成等比數列，則
相鄰三項，
3．通項公式： （累乘法） 推廣：
4．為等比數列，為其前項和
性質1：若，則
特殊的，若，則
性質2：，，，，仍成等比數列.
性質3：，，，仍成等比數列.
5．前項和： （）（錯位相減法）
（）
6．單調性：
若，單調遞增；
若，單調遞減；
若，單調遞減；
若，單調遞增；
若，常數列；
若，擺動數列.
四、數列綜合問題：
1．求通項公式：
（1）猜想-----證明法
根據條件猜想通項公式，再驗證或證明其符合題意.
（2）與關系法：
由，可根據求通項公式.
（3）累加法：
（4）累乘法：
（5）構造法：
1※構造等比數列※ 形如：
待定系數法 得 即
2※構造等比數列※ 形如：
待定系數法
3※構造等差數列※ 形如：
等式兩邊同時除以，即得
4※構造等比數列※ 形如：
等式兩邊同時除以，得到 ， 即轉化為1※
5※構造等差數列※ 形如：
等式兩邊同時除以，得到
6※構造等比數列※ 形如：
等式兩邊同時取對數，得，即轉化為1※
2．數列求和方法：
（1）公式求和法
﹡等差、等比數列直接用公式求和
（2）倒序相加法
距首位兩端等距的兩項和相等
（3）錯位相減法
差比數列：形如，其中為等差數列，為等比數列.
（4）裂項相消法
形如，其中為等差數列，設公差為
形如，可用分母有理化進行裂項
（5）分組求和法
通項公式有若干個等差數列、等比數列或可求和的數列組成，可分別求和后再相加.如：
（6）并項求和法
形如，可兩兩結合求和的數列.
數列是高考中必考點，一般以1+1或者是2+1形式出現，主要考查等差等比數列及其性質應用
真題多維細目表
考點 考向 考題
等差等比數列應用 ①等差數列性質②等比數列及性質 ③等差等比數列綜合 ④數列情景題 ⑤數列求和 2023新全國Ⅰ卷T7 全國乙T10 全國甲T5 2022 全國乙卷T13 2021 全國甲卷T18 全國ⅡT17 2023 新高考Ⅱ卷85 全國乙卷T15 全國甲卷T13 T5 2022全國乙卷T10 T8 2021Q全國甲卷T7 2023 全國乙卷T10 2022 全國甲卷T18 新高考Ⅱ T17 2021 全國乙卷T19 2022 新高考Ⅱ卷T3 全國乙卷T4 2020 新高考Ⅱ卷T4 2023新高考ⅠT20 新高考ⅡT18 乙卷T18 甲卷T17 2022新高考ⅠT17 2021全國乙卷T19 甲卷T9 T18 新高考ⅠT17 新高考ⅡT17
命題點1 等差數列及其性質
典例01（2023·全國乙卷）
1．已知等差數列的公差為，集合，若，則（ ）
A．－1 B． C．0 D．
典例02（2023·全國·統考甲卷）
2．記為等差數列的前項和．若，則（ ）
A．25 B．22 C．20 D．15
命題點2 等比數列及性質
典例01（2023·全國·統考高考Ⅱ卷）
3．記為等比數列的前n項和，若，，則（ ）．
A．120 B．85 C． D．
典例02（2023·全國·統考高考乙卷）
4．已知為等比數列，，，則 .
命題點3 等差等比數列綜合
典例01（2022·全國·統考高考甲卷）
5．記為數列的前n項和．已知．
(1)證明：是等差數列；
(2)若成等比數列，求的最小值．
典例02（2022·全國新高考Ⅱ卷）
6．已知為等差數列，是公比為2的等比數列，且．
(1)證明：；
(2)求集合中元素個數．
命題點4 數列情景題
典例01（2022·全國·統考Ⅱ）
7．圖1是中國古代建筑中的舉架結構，是桁，相鄰桁的水平距離稱為步，垂直距離稱為舉，圖2是某古代建筑屋頂截面的示意圖．其中是舉，是相等的步，相鄰桁的舉步之比分別為．已知成公差為0.1的等差數列，且直線的斜率為0.725，則（ ）
A．0.75 B．0.8 C．0.85 D．0.9
典例02（2022·全國·統考乙卷題）
8．嫦娥二號衛星在完成探月任務后，繼續進行深空探測，成為我國第一顆環繞太陽飛行的人造行星，為研究嫦娥二號繞日周期與地球繞日周期的比值，用到數列：，，，…，依此類推，其中．則（ ）
A． B． C． D．
命題點5 數列求和
典例01（2023·全國·統考Ⅱ卷）
9．已知為等差數列，，記，分別為數列，的前n項和，，．
(1)求的通項公式；
(2)證明：當時，．
典例02（2023·全國·統考乙卷）
10．記為等差數列的前項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前項和．
典例03（2023·全國·統考甲卷）
11．設為數列的前n項和，已知．
(1)求的通項公式；
(2)求數列的前n項和．
典例04（2022·全國·統考Ⅰ卷）
12．記為數列的前n項和，已知是公差為的等差數列．
(1)求的通項公式；
(2)證明：．
預計2024年高考中數列也會是以等差等比求和的形式出現解答題與小題，小題將是以等差與等比結合的性質，解答題將是數列求和的形式出現
13．設等比數列的前項和為，且，則（ ）
A．3 B．9 C．12 D．15
14．若成等差數列；成等比數列，則等于
A． B． C． D．
15．已知各項均為正數的數列的前n項和為，且，（且）．
(1)求的通項公式；
(2)若，求數列的前n項和．
16．已知正項數列的前n項和為，且，．
(1)求數列的通項公式；
(2)設，若數列滿足，求的前n項和．
17．已知數列的前項和為，，當時，.
(1)求數列的通項公式；
(2)設數列，求數列的前項和.
（★精選8道最新名校模擬考試題+8道易錯提升）
A·新題速遞
一、單選題
（2023上·廣東·高三執信中學校聯考期中）
18．已知等差數列和的前n項和分別為，，若，則（ ）．
A． B． C． D．
（2023上·廣東汕頭·高三汕頭市潮陽實驗學校?？奸_學考試）
19．已知公比為2的等比數列的前n項和為，且，，成等差數列，則（ ）
A．64 B．63 C．126 D．128
（2023·山東濟南·高三山東師范大學附中?？茧A段練習）
20．已知數列滿足且，則（ ）
A．-3 B．3 C． D．
（2023·江西·校聯考模擬預測）
21．在《九章算術》中有一個古典名題“兩鼠穿墻”問題：今有垣厚六尺，兩鼠對穿.大鼠日一尺，小鼠也日一尺.大鼠日自倍，小鼠日自半，問何日相逢？大意是有厚墻六尺，兩只老鼠從墻的兩邊分別打洞穿墻.大老鼠第一天進一尺，以后每天加倍；小老鼠第一天也進一尺，以后每天減半.問幾天后兩鼠相遇？（ ）
A． B． C． D．
二、解答題
（2023上·山西臨汾·高三山西省臨汾市第三中學校校聯考期中）
22．記正項數列的前項和為，已知.
(1)求；
(2)若，數列的前項和為，求的值.
（2023·河南·統考三模）
23．已知數列的前n項和為，，．
(1)求數列的通項；
(2)設，求數列的前n項和．
（2023上·廣東廣州·高三廣州市白云中學?？计谥校?br/>24．已知數列滿足，，記．
(1)證明：數列為等差數列；
(2)設數列的前n項和為，求數列的前n項的和．
（2023上·河北張家口·高三河北省尚義縣第一中學校聯考階段練習）
25．已知數列滿足（，且，．求：
(1)數列的通項公式
(2)數列的前項和．
B·易錯提升
一、單選題
（2023上·廣東肇慶·高三統考階段練習）
26．記為等比數列的前項和，若，，則（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
（2023上·河南三門峽·高三陜州中學?？茧A段練習）
27．已知正項等比數列的前項和為，若，，成等差數列，則的最小值為（ ）
A．8 B．9 C．10 D．12
（2023上·陜西漢中·高三西鄉縣第一中學校聯考期中）
28．在遞增的等差數列中，首項為，若，，依次成等比數列，則的公差為（ ）
A． B． C． D．
（2023上·黑龍江牡丹江·高三牡丹江市第二高級中學?？茧A段練習）
29．已知數列成等差數列，成等比數列，則的值是（ ）
A． B． C．-1 D．1
二、解答題
（2023上·河北邢臺·高三校聯考階段練習）
30．已知數列滿足.
(1)證明：數列是等比數列.
(2)求數列的前項和.
（2023上·上海松江·高三統考期末）
31．已知數列為等差數列，是公比為的等比數列，且．
(1)證明：；
(2)若集合，求集合中的元素個數．
（2023上·黑龍江哈爾濱·高三哈師大附中?？计谥校?br/>32．，是正項等比數列．且，且，
(1)求的通項公式；
(2)設，求數列的前n項和
（2023上·湖南長沙·高三長郡中學校考階段練習）
33．已知等差數列的前項和為，且滿足，數列滿足．
(1)證明：數列是等比數列，并求的通項公式；
(2)已知數列滿足求數列的前項和．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．B
【分析】根據給定的等差數列，寫出通項公式，再結合余弦型函數的周期及集合只有兩個元素分析、推理作答.
【詳解】依題意，等差數列中，，
顯然函數的周期為3，而，即最多3個不同取值，又，
則在中，或，
于是有，即有，解得，
所以，.
故選：B
2．C
【分析】方法一：根據題意直接求出等差數列的公差和首項，再根據前項和公式即可解出；
方法二：根據等差數列的性質求出等差數列的公差，再根據前項和公式的性質即可解出．
【詳解】方法一：設等差數列的公差為，首項為，依題意可得，
，即,
又，解得：，
所以．
故選：C.
方法二：，，所以，，
從而，于是，
所以．
故選：C.
3．C
【分析】方法一：根據等比數列的前n項和公式求出公比，再根據的關系即可解出；
方法二：根據等比數列的前n項和的性質求解．
【詳解】方法一：設等比數列的公比為，首項為，
若，則，與題意不符，所以；
若，則，與題意不符，所以；
由，可得，，①，
由①可得，，解得：，
所以．
故選：C．
方法二：設等比數列的公比為，
因為，，所以，否則，
從而，成等比數列，
所以有，，解得：或，
當時，，即為，
易知，，即；
當時，，
與矛盾，舍去．
故選：C．
【點睛】本題主要考查等比數列的前n項和公式的應用，以及整體思想的應用，解題關鍵是把握的關系，從而減少相關量的求解，簡化運算．
4．
【分析】根據等比數列公式對化簡得，聯立求出，最后得.
【詳解】設的公比為，則，顯然，
則，即，則，因為，則，
則，則，則，
故答案為：.
5．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）依題意可得，根據，作差即可得到，從而得證；
（2）法一：由（1）及等比中項的性質求出，即可得到的通項公式與前項和，再根據二次函數的性質計算可得．
【詳解】（1）因為，即①，
當時，②，
①②得，，
即，
即，所以，且，
所以是以為公差的等差數列．
（2）[方法一]：二次函數的性質
由（1）可得，，，
又，，成等比數列，所以，
即，解得，
所以，所以，
所以，當或時，．
[方法二]：【最優解】鄰項變號法
由（1）可得，，，
又，，成等比數列，所以，
即，解得，
所以，即有.
則當或時，．
【整體點評】（2）法一：根據二次函數的性質求出的最小值，適用于可以求出的表達式；
法二：根據鄰項變號法求最值，計算量小，是該題的最優解．
6．(1)證明見解析；
(2)．
【分析】（1）設數列的公差為，根據題意列出方程組即可證出；
（2）根據題意化簡可得，即可解出．
【詳解】（1）設數列的公差為，所以，，即可解得，，所以原命題得證．
（2）由（1）知，，所以，即，亦即，解得，所以滿足等式的解，故集合中的元素個數為．
7．D
【分析】設，則可得關于的方程，求出其解后可得正確的選項.
【詳解】設，則，
依題意，有，且，
所以，故，
故選：D
8．D
【分析】根據，再利用數列與的關系判斷中各項的大小，即可求解.
【詳解】[方法一]:常規解法
因為，
所以，，得到，
同理，可得，
又因為，
故，；
以此類推，可得，，故A錯誤；
，故B錯誤；
，得，故C錯誤；
，得，故D正確.
[方法二]：特值法
不妨設則
故D正確.
9．(1)；
(2)證明見解析.
【分析】（1）設等差數列的公差為，用表示及，即可求解作答.
（2）方法1，利用（1）的結論求出，，再分奇偶結合分組求和法求出，并與作差比較作答；方法2，利用（1）的結論求出，，再分奇偶借助等差數列前n項和公式求出，并與作差比較作答.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，而，
則，
于是，解得，，
所以數列的通項公式是.
（2）方法1：由（1）知，，，
當為偶數時，，
，
當時，，因此，
當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
方法2：由（1）知，，，
當為偶數時，，
當時，，因此，
當為奇數時，若，則
，顯然滿足上式，因此當為奇數時，，
當時，，因此，
所以當時，.
10．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意列式求解，進而可得結果；
（2）先求，討論的符號去絕對值，結合運算求解.
【詳解】（1）設等差數列的公差為，
由題意可得，即，解得，
所以，
（2）因為，
令，解得，且，
當時，則，可得；
當時，則，可得
；
綜上所述：.
11．(1)
(2)
【分析】（1）根據即可求出；
（2）根據錯位相減法即可解出．
【詳解】（1）因為，
當時，，即；
當時，，即，
當時，，所以，
化簡得：，當時，，即，
當時都滿足上式，所以．
（2）因為，所以，
，
兩式相減得，
，
，即，．
12．(1)
(2)見解析
【分析】（1）利用等差數列的通項公式求得，得到，利用和與項的關系得到當時，,進而得：，利用累乘法求得，檢驗對于也成立，得到的通項公式；
（2）由（1）的結論，利用裂項求和法得到，進而證得.
【詳解】（1）∵，∴,∴,
又∵是公差為的等差數列，
∴,∴,
∴當時，，
∴,
整理得：,
即,
∴
，
顯然對于也成立，
∴的通項公式；
（2）
∴
13．B
【分析】根據條件列出關于首項和公比的方程組，求出首項和公比，然后根據等比數列前n項和公式計算即可求解.
【詳解】由，得，解得，，
所以.
故選：B.
14．A
【分析】利用等差數列以及等比數列的性質求出等差數列的公差，等比數列的公比，然后計算求解即可．
【詳解】若1，a1，a2，4成等差數列，4＝1+3d，d＝1，
∴a1﹣a2＝﹣1．
又1，b1，b2，b3，4成等比數列，b22＝1×4，解得b2＝2，b2＝﹣2舍去（等比數列奇數項的符號相同）．
∴
故答案為A．
【點睛】本題考查等比數列的通項公式，是基礎的計算題，對于等比等差數列的 小題，常用到的方法，其一是化為基本量即首項和公比或者公差，其二是觀察各項間的腳碼關系，即利用數列的基本性質.
15．(1)
(2)．
【分析】（1）利用（）化簡題中條件，可得列是以1為首項，1為公差的等差數列，求得，再根據（），即可求解；（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）當時，，
即，解得．
因為（），
所以（），
又（，），，
所以（），
又，
所以數列是以1為首項，1為公差的等差數列，
所以，所以．
當時，，
當時，，滿足上式，
所以數列的通項公式為．
（2）由（1）知，
所以，
所以，
所以，
所以．
16．(1)
(2)
【分析】（1）根據題意分析可得數列為常數列，則，結合與之間的關系分析求解；
（2）由（1）可得，利用裂項相消法運算求解.
【詳解】（1）因為，且，則，
可知數列為常數列，且，
則，即，
當時，，
且也符合上式，所以.
（2）由（1）可得，則，
設的前n項和為，
則，
所以的前n項和為.
17．(1)
(2)
【分析】（1）根據和的關系，分和兩種情況討論求解即可；
（2）利用裂項相消法求和即可.
【詳解】（1）由題意，當時，，且，
若，則，即，
當時，，
兩式相減得，，
整理得，即，
所以.
綜上所述，.
（2）因為，
設數列的前項和為，
當時，，
當時，
，
此時時適合上式，
所以.
18．C
【分析】根據等差中項與等差數列前項和得出，，即可代入已知得出答案.
【詳解】由等差數列的性質可得：
，，
則，即，
，
故選：C.
19．B
【分析】根據三項成等差數列，利用等比中項列出等量關系，再結合等比數列定義，即可求得首項和公比，代入求和公式即可.
【詳解】由于，，成等差數列，所以，即，
所以，解得，所以.
故選：B.
20．B
【分析】由已知可得數列是以2為公差的等差數列，再，代入可得選項.
【詳解】,∴數列是以2為公差的等差數列，
，
，，，
故選：B.
【點睛】本題考查等差數列的定義，等差數列的項的關系，屬于基礎題.
21．A
【詳解】由于前兩天大鼠打1+2尺,小鼠打1+尺，因此前兩天兩鼠共打3+1.5=4.5.
第三天,大鼠打4尺,小鼠打尺，因此第三天相遇．
設第三天，大鼠打y尺，小鼠打1.5 y尺，
則,解得.
相見時大鼠打了尺長的洞,用了天，
小鼠打了尺長的洞，用了天，
即天后兩鼠相遇.
本題選擇A選項.
22．(1)
(2)
【分析】（1）利用以及等差數列的相關知識可解；
（2）分奇偶進行求和，奇數項可以利用等差數列的前n項和公式求解，偶數項利用裂項相消法求解，再相加即可.
【詳解】（1）因為，所以，
將上述兩式相減得：，由于是正項數列，
當時，，因為，所以或(舍去)，
所以，
所以可得：，故數列是首項為1，公差為2的等差數列，
所以；
（2）因為，結合（1）的結論可得，
.
23．(1)
(2)
【分析】（1）先將題目中的表達式邊同時除以可證得是以為首項，為公差的等差數列，由此求出，再結合，即可得出答案；
（2）先求出，再由裂項相消法求解即可.
【詳解】（1）因為，兩邊同時除以，
所以，所以，
所以是以為首項，為公差的等差數列，
所以，所以，
當時，，
當時，也滿足上式，
所以.
（2）由（1）可得，，
則
.
24．(1)證明見解析
(2)
【分析】（1）根據題意，得到，結合，得出，即可求解；
（2）由（1），求得，得到，分為偶數和為奇數，結合等差數列的求和公式，即可求解.
【詳解】（1）證明：因為數列滿足，，可得，
又因為，即，且，
所以數列表示首項為，公差為的等差數列.
（2）解：由（1），可得數列的通項公式為，可得，
所以
當為偶數時，
；
當為奇數時，
，
所以數列的前項和為：.
25．(1)
(2)．
【分析】（1）利用等比數列定義即可得為等比數列，再由已知條件可解得公比，即可求出的通項公式為；
（2）利用等比數列前項和公式以及分組求和方法可得.
【詳解】（1）數列滿足，
根據等比數列定義可知為等比數列，
又，
設公比為，則，所以
所以，
故．
所以數列的通項公式為
（2）由（1）可得
．
；
所以.
26．C
【分析】根據條件列出關于首項和公比的方程組，求出首項和公比即可求解.
【詳解】由，得，解得，，
.
故選：C.
27．D
【分析】借助等比數列的片段和性質得出與的關系，再借助基本不等式即可得到.
【詳解】根據等比數列的片段和性質有，
由，，成等差數列，有，
即，故有，又因為數列為正項等比數列，則，
即，
當且僅當時，等號成立.
故選：D.
28．C
【分析】運用等比中項性質及等差數列通項公式計算即可.
【詳解】設等差數列的公差為d（），
由題意知，，，
所以，即，
解得或，
因為，
所以.
故選：C.
29．A
【分析】根據給定條件，利用等差數列性質、等比中項的意義列式計算即得.
【詳解】依題意，，所以.
故選：A
30．(1)證明見解析
(2).
【分析】（1）利用等比數列的定義，結合的條件即可證明；
（2）利用錯位相減法求和即可.
【詳解】（1）證明：因為，
所以.
又，所以，
所以數列是等比數列，且首項為4，公比為2.
（2）解：由（1）知，
即，則.
，
，
則
，
所以.
31．(1)證明見解析
(2)6
【分析】（1）借助數列的基本量運算即可得到；
（2）將條件轉換后計算出與的關系，再根據的范圍要求代入計算即可得.
【詳解】（1）證明：設數列的公差為，則，
即，
解得，所以原命題得證.
（2）由（1）知，所以，
因為，所以，解得,
由，，故，即，
所以滿足等式的解．
故集合中的元素個數為6.
32．(1)；
(2).
【分析】（1）利用，和建立方程組，求出，寫出通項公式即可；
（2）表示出數列，在求數列的前n項和時，進行分類討論即可.
【詳解】（1）因為，是正項等比數列．且，
所以，即，所以，
又因為，所以，解得，
所以的通項公式為：.
（2）結合題意: ,得到，
所以 ，
當時，，
;
當時，，
，
綜上所述：.
33．(1)證明見解析；，
(2)
【分析】（1）設數列的公差為，根據題意求得和，得到，得到，再由，得到為等比數列，進而得到數列的通項公式；
（2）由（1）得到，結合分組求和，即可求解.
【詳解】（1）解：依題意，設數列的公差為，
因為，所以，則，
因為，即，所以，
所以，所以，即．
所以，所以，
又因為，所以，故數列是首項為，公比為的等比數列，
所以，所以．
（2）解：由（1）知，，可得，
所以
．
答案第1頁，共2頁
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