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微考點6-1 圓錐曲線中的非對稱韋達定理問題（三大題型）
在一些定點、定值、定線問題中，還常出現需要證明類似為定值的情形，通過直線代換可得：，但此時式子并不能完全整理為韋達定理的形式，這種式子一般稱為“非對稱韋達定理”．或者在處理斜率比值的時候：
我們明明求了韋達定理卻無法代入，這時我們就需要通過所求得的韋達定理找到和之間的關系，將其中一個替換，常用手段是把乘法的替換成加法．
這樣的非對稱形式，即韋達定理無法直接代入，可以通過韋達定理構造互化公式，先局部互化，然后可整理成對稱型.
具體辦法：
①聯立方程后得到韋達定理：代入之后進行代換消元解題.
②利用點在橢圓方程上代換
題型一：利用非對稱韋達定理思想解決定點問題
【精選例題】
【例1】
1．已知雙曲線的左頂點為A，右焦點為F，P是直線上一點，且P不在x軸上，以點P為圓心，線段PF的長為半徑的圓弧AF交C的右支于點N．
(1)證明：；
(2)取，若直線PF與C的左、右兩支分別交于E，D兩點，過E作l的垂線，垂足為R，試判斷直線DR是否過定點若是，求出定點的坐標；若不是，請說明理由．
【跟蹤訓練】
2．已知橢圓的中心為坐標原點，對稱軸為坐標軸，且過點，，，為橢圓上關于軸對稱的兩點（不與點B重合），，直線與橢圓交于另一點，直線垂直于直線，為垂足．
(1)求的方程；
(2)證明：（i）直線過定點，（ii）存在定點，使為定值．
3．橢圓C:的一個焦點為，且過點．
(1)求橢圓C的標準方程和離心率；
(2)若過點且斜率不為0的直線與橢圓C交于M，N兩點，點P在直線上，且NP與x軸平行，求直線MP恒過的定點．
題型二：利用非對稱韋達定理思想解決斜率定值問題
【精選例題】
【例1】
4．橢圓的長軸長為4，且橢圓C過點.
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知A、B為橢圓C的左、右頂點，過右焦點F且斜率不為0的直線交橢圓C于點M、N，直線與直線交于點P，記、、的斜率分別為、、，問是否是定值，如果是，求出該定值，如果不是，請說明理由.
【例2】
5．已知橢圓C：＋＝1(a>b>0)的左、右頂點分別為A，B，離心率為，點P為橢圓上一點．
（1）求橢圓C的標準方程；
（2）如圖，過點C(0，1)且斜率大于1的直線l與橢圓交于M，N兩點，記直線AM的斜率為k1，直線BN的斜率為k2，若k1＝2k2，求直線l斜率的值．
【跟蹤訓練】
6．已知點F為橢圓的右焦點，A，B分別為其左、右頂點，過F作直線l與橢圓交于M，N兩點（不與A，B重合），記直線AM與BN的斜率分別為.證明為定值.
7．已知雙曲線：的離心率為，點在雙曲線上.過的左焦點F作直線交的左支于A、B兩點.
(1)求雙曲線C的方程；
(2)若，試問：是否存在直線，使得點M在以為直徑的圓上 請說明理由.
(3)點，直線交直線于點.設直線、的斜率分別、，求證：為定值.
題型三：利用非對稱韋達定理思想解決定直線問題
【精選例題】
【例1】
8．已知為的兩個頂點，為的重心，邊上的兩條中線長度之和為6.
(1)求點的軌跡的方程.
(2)已知點，直線與曲線的另一個公共點為，直線與交于點，試問：當點變化時，點是否恒在一條定直線上？若是，請證明；若不是，請說明理由.
【例2】
9．已知雙曲線C的中心為坐標原點，左焦點為，離心率為．
(1)求C的方程；
(2)記C的左、右頂點分別為，，過點的直線與C的左支交于M，N兩點，M在第二象限，直線與交于點P．證明:點在定直線上.
【跟蹤訓練】
10．已知圓，圓，動圓與圓和圓均相切，且一個內切、一個外切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程．
(2)已知點，過點的直線與軌跡交于兩點，記直線與直線的交點為．試問：點是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請說明理由．
11．已知橢圓：的左、右焦點分別為，，上頂點為，到直線的距離為，且.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)若過且斜率為的直線與橢圓交于，兩點，橢圓的左、右頂點分別為，，證明：直線與的交點在定直線上.
12．已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為A，B，經過點P（1，0）的動直線與橢圓相交于不同的兩點C，D（不與點A，B重合）．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線CB與直線AD相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，說明理由．
13．已知橢圓E的左、右焦點分別為，，點M在橢圓E上，，的周長為，面積為．
(1)求橢圓E的方程．
(2)設橢圓E的左、右頂點分別為A，B，過點的直線l與橢圓E交于C，D兩點（不同于左右頂點），記直線AC的斜率為，直線BD的斜率為，問是否存在實常數，使得，恒成立？若成立，求出的值，若不成立，說明理由．
14．橢圓的左、右頂點分別為A，B，過左焦點的直線與橢圓交于C，D兩點（其中C點位于x軸上方），當CD垂直于x軸時，
(1)求橢圓的方程；
(2)記直線AC，BD的斜率分別為，問；是否為定值，若是，求出該定值；若不是，請說明理由．
15．已知圓，圓，動圓與圓和圓均相切，且一個內切、一個外切．
(1)求動圓圓心的軌跡的方程．
(2)已知點，過點的直線與軌跡交于兩點，記直線與直線的交點為．試問：點是否在一條定直線上？若在，求出該定直線；若不在，請說明理由．
16．已知橢圓的長軸長為4，左、右頂點分別為A，B，經過點P（1，0）的動直線與橢圓相交于不同的兩點C，D（不與點A，B重合）．
(1)求橢圓的方程及離心率；
(2)若直線CB與直線AD相交于點M，判斷點M是否位于一條定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，說明理由．
17．已知橢圓的左、右焦點分別為，，O為坐標原點，點在橢圓C上，且，直線過點且與橢圓C交于A，B兩點．
(1)求橢圓C的標準方程；
(2)已知，，若直線，交于點D，探究：點D是否在某定直線上？若是，求出該直線的方程；若不是，請說明理由．
18．已知橢圓：，為橢圓的右焦點，三點，，中恰有兩點在橢圓上.
(1)求橢圓的標準方程；
(2)設點為橢圓的左右端點，過點作直線交橢圓于，兩點（不同于），求證：直線與直線的交點在定直線上運動，并求出該直線的方程.
19．已知是橢圓的左焦點，為坐標原點，為橢圓上任意一點，橢圓的離心率為，的面積的最大值為.
(1)求橢圓的方程；
(2)，為橢圓的左，右頂點，點，當不與，重合時，射線交橢圓于點，直線，交于點，求的最大值.
20．已知橢圓：的離心率為，右焦點為，，分別為橢圓的左、右頂點.
(1)求橢圓的方程；
(2)過點作斜率不為的直線，直線與橢圓交于，兩點，記直線的斜率為，直線的斜率為，求證：為定值；
(3)在（2）的條件下，直線與直線交于點，求證：點在定直線上.
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．(1)證明見解析
(2)答案見解析
【分析】（1）過N作l的垂線，垂足為H，且與圓弧AF交于點M，則，結合圓的知識可得，，設點，則，由，可得，即得（用雙曲線的第二定義來說明，也可以），由相等弦長所對的圓心角相等，得，進而求解；
（2）設直線PF的方程為，由題意可得，聯立方程組，結合韋達定理可得，，由題知，直線DR的方程為，令，化簡即可求解.
【詳解】（1）證明：過N作l的垂線，垂足為H，且與圓弧AF交于點M，則，
連接AM，PM，NF．因為在圓P中，，所以．
由題易知右焦點，設點，則，整理得．
因為，
所以，所以．
【這里若學生用雙曲線的第二定義來說明，也可以．見下：因為直線為雙曲線的準線，根據雙曲線的第二定義，可知，即，即得．】
在圓P中，由相等弦長所對的圓心角相等，得，
所以．
（2）由題知雙曲線，漸近線為：，右焦點為，
直線PF的斜率不為0，設直線PF的方程為
因為直線PF與C的左，右兩支分別交于E，D兩點，則．
設，
聯立方程組，得，
則．
由題知，直線的方程為，
令，得
，
所以直線DR過定點.
2．(1)；
(2)（i）證明見解析；（ii）證明見解析.
【分析】（1）設方程為，代入點的坐標，得出方程組，求解即得.
（2）（i）設的方程為，與橢圓方程聯立，根據韋達定理表示出坐標關系，得出的方程為，令，整理可得，即可得出定點；（ii）由已知可得，即可得出的軌跡，得出答案.
【詳解】（1）設的方程為，則，解得，
所以的方程為.
（2）（i）依題意，直線的斜率存在且不為0，設的方程為，
設點，，則，
由消去并整理得，則，
，，顯然，
直線的斜率，直線的方程為，
令，則，
所以直線恒過定點.
（ii）令直線過的定點為點，由，在上，得，
則點在以為直徑的圓上，從而的中點為定點，使為定值.

【點睛】思路點睛：設的方程為，與橢圓聯立得出方程，根據韋達定理得出坐標關系.進而整理化簡，即可得出定點坐標.
3．(1)標準方程為C：，離心率為
(2)
【分析】（1）法一：由題意可得，解方程即可求出，可求出橢圓C的標準方程和離心率；法二：由橢圓的定義求出，再結合求出，可求出橢圓C的標準方程和離心率；
（2）設方程為，，，聯立直線MN方程和橢圓的方程可得，表示出直線MP方程，對稱性可知直線MP恒過的定點在x軸上，令，將代入化簡即可得出答案.
【詳解】（1）法一：由題意，可得，
則橢圓C的標準方程為C：，離心率為；
法二：設橢圓的左焦點為，
則由橢圓的定義知，
所以，又，得，則橢圓C的標準方程為C：，
離心率為；
（2）因為直線MN過點且斜率不為0，
所以設直線MN方程為，，，則，
聯立，消去x得，，
所以，所以，
直線MP方程為，由對稱性可知直線MP恒過的定點在x軸上，
所以令，得，且，
所以，
可得，直線MP恒過的定點．

【點睛】方法點睛：求解直線過定點問題常用方法如下：
（1）“特殊探路，一般證明”：即先通過特殊情況確定定點，再轉化為有方向、有目的的一般性證明；
（2）“一般推理，特殊求解”：即設出定點坐標，根據題設條件選擇參數，建立一個直線系或曲線的方程，再根據參數的任意性得到一個關于定點坐標的方程組，以這個方程組的解為坐標的點即為所求點；
（3）求證直線過定點，常利用直線的點斜式方程或截距式來證明.
4．(1)
(2)是定值2，理由見解析
【分析】（1）先求出，將代入求出，得到橢圓方程；
（2）設直線：，聯立橢圓方程，設，得到兩根之和，兩根之積，表達出，，，計算出，將兩根之積代入，化簡得到，再代入兩根之和，得到是定值2.
【詳解】（1）由題意得，解得，
將代入橢圓方程中得，，解得，
故橢圓方程為
（2）因為，，所以，，，
設直線：，
聯立與可得，，
恒成立，
設，則，
直線：，令得，故，
，，，
則
.

為定值2.
【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
5．（1）＋＝1；（2）.
【分析】(1)由橢圓的離心率,和點P在橢圓上求出橢圓的標準方程;
(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1, 設M(x1，y1)，N(x2，y2), 聯立方程組消去y,再將k1＝2k2用坐標表示,利用點在橢圓上和韋達定理求出直線l的斜率.
【詳解】(1)因為橢圓的離心率為，所以a＝2c.
又因為a2＝b2＋c2，所以b＝c.
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
又因為點P為橢圓上一點，所以＋＝1，解得c＝1.
所以橢圓的標準方程為＋＝1.
(2) 由橢圓的對稱性可知直線l的斜率一定存在，設其方程為y＝kx＋1.
設M(x1，y1)，N(x2，y2)．
聯立方程組
消去y可得(3＋4k2)x2＋8kx－8＝0.
所以由根與系數關系可知x1＋x2＝－，x1x2＝－.
因為k1＝，k2＝，且k1＝2k2，所以＝.
即＝.　①
又因為M(x1，y1)，N(x2，y2)在橢圓上，
所以＝ (4－)，＝ (4－)．　②
將②代入①可得：＝，即3x1x2＋10(x1＋x2)＋12＝0.
所以3＋10＋12＝0，即12k2－20k＋3＝0.
解得k＝或k＝，又因為k>1，所以k＝.
【點睛】本題考查直線與橢圓的位置關系,考查橢圓的標準方程和橢圓的幾何性質,考查學生分析解決問題的能力,屬于中檔題.
6．證明見解析
【分析】設出直線的方程并與橢圓方程聯立，化簡寫出根與系數關系，由此化簡，從而證得結論成立.
【詳解】（反設直線）由題，，
設，則， ，
聯立，消x得，
且，則.
（策略一：和積轉換，一般是積轉和）
所以，代入得，
，為定值，得證.
（策略二：配湊半代換）
因此，得證.
7．(1)
(2)不存在，理由見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據題意列式求，進而可得雙曲線方程；
（2）設，，，聯立方程，利用韋達定理可得，結合圓的性質分析判斷；
（3）用兩點坐標表示出直線，得點坐標，表示出，結合韋達定理，證明為定值.
【詳解】（1）由題意，雙曲線的離心率為，且在雙曲線上，
可得，解得，，所以雙曲線的方程為.
（2）雙曲線的左焦點為，
當直線的斜率為0時，此時直線為，與雙曲線左支只有一個交點，舍去；
當直線的斜率不為0時，設，
聯立方程組，消得，易得，
由于過點作直線交的左支于兩點，
設，，則，，
可得，
因為，，
則
，
即，可得與不相互垂直，
所以不存在直線，使得點M在以為直徑的圓上.
（3）由直線，得，
所以，又，
所以
，
因為，所以，且，
所以，即為定值.

【點睛】方法點睛：解答直線與雙曲線的題目時，時常把兩個曲線的方程聯立，消去x(或y)建立一元二次方程，然后借助根與系數的關系，并結合題設條件建立有關參變量的等量關系．涉及到直線方程的設法時，務必考慮全面，不要忽略直線斜率為0或不存在等特殊情形．強化有關直線與雙曲線聯立得出一元二次方程后的運算能力，重視根與系數之間的關系、弦長、斜率、三角形的面積等問題．
8．(1)
(2)是，證明見解析
【分析】（1）依題意，根據橢圓的定義可知的軌跡是以、為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），從而求出橢圓方程；
（2）設直線的方程為：，，，聯立直線與橢圓方程，消元、列出韋達定理，即可得到，再求出直線、的方程，聯立求出交點的橫坐標，整理可得求出定直線方程.
【詳解】（1）解：因為為的重心，且邊上的兩條中線長度之和為6，
所以，
故由橢圓的定義可知的軌跡是以為焦點的橢圓（不包括長軸的端點），
且，所以，
所以的軌跡的方程為；
（2）解：設直線的方程為：，，，
聯立方程得：，
則，，
所以，
又直線的方程為：，
又直線的方程為：，
聯立方程，解得，
把代入上式得：，
所以當點運動時，點恒在定直線上
9．(1)
(2)證明見解析.
【分析】（1）由題意求得的值即可確定雙曲線方程；
（2）設出直線方程，與雙曲線方程聯立，然后由點的坐標分別寫出直線與的方程，聯立直線方程，消去，結合韋達定理計算可得，即交點的橫坐標為定值，據此可證得點在定直線上.
【詳解】（1）設雙曲線方程為，由焦點坐標可知，
則由可得，，
雙曲線方程為.
（2）由(1)可得，設，
顯然直線的斜率不為0，所以設直線的方程為，且，
與聯立可得，且，
則，

直線的方程為，直線的方程為，
聯立直線與直線的方程可得：
，
由可得，即，
據此可得點在定直線上運動.
【點睛】關鍵點點睛:求雙曲線方程的定直線問題，意在考查學生的計算能力，轉化能力和綜合應用能力，其中根據設而不求的思想，利用韋達定理得到根與系數的關系可以簡化運算，是解題的關鍵.
10．(1)
(2)點恒在定直線上
【分析】（1）設動圓的圓心為，利用兩圓外切和內切的關系得到，由橢圓的定義即可得到動點的軌跡，利用待定系數法求出方程即可；
（2）設直線的方程為，直曲聯立，結合韋達定理得到，求出直線與直線的方程，進而得到點滿足的關系式，整理化簡可得點恒在定直線上．
【詳解】（1）設點的坐標為，圓的半徑為．
由已知條件，得．
①當動圓與圓外切，與圓內切時，，
從而．
②當動圓與圓內切，與圓外切時，，
從而．
綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓．
易得圓與圓交于點與，
所以動圓圓心的軌跡的方程為．
（2）設直線的方程為，．
聯立直線與軌跡的方程，得
消去并整理，得．
所以，，
則有．
由已知條件，得直線的方程為，
直線的方程為，
則點的坐標滿足．
又，
所以．
把代入上式，得．
故點恒在定直線上．
11．(1)
(2)證明見解析
【分析】（1）首先求出直線的方程，利用點到直線的距離公式得到，再由，即可求出、，從而求出橢圓方程；
（2）聯立直線與橢圓方程，設，，消元，列出韋達定理，即可得到直線、的方程，設直線與的交點坐標為，求出，即可得解.
【詳解】（1）依題意可得直線的方程為，即，
則到直線的距離為.
又，，故，，
所以橢圓的標準方程為.
（2）由（1）得，所以直線的方程為，
由可得，
設，，顯然，
所以，，故.
由（1）可得，，則直線的方程為，
直線的方程為，
設直線與的交點坐標為，則，
故
，
解得，故直線與的交點在直線上.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
12．(1)橢圓方程為，離心率為；
(2)點在定直線上．
【分析】（1）由長軸長求得得橢圓方程，然后由離心率公式離心率；
（2）設動直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程應用韋達定理得，寫出直線方程，聯立求得點橫坐標，利用直線方程，及韋達定理的結果代入后可得，即為定直線方程．
【詳解】（1）由題意，，所以橢圓方程為，
，，則，離心率為；
（2）由題意設動直線方程為，設，，
由得，
顯然，

直線方程為，直線方程為，
聯立方程組，得
又，代入得，
由，得，即，
所以，
所以點在定直線上．
【點睛】方法點睛：橢圓中的定直線問題，可設出交點坐標為，設出動直線方程代入橢圓方程后應用韋達定理，然后由直線與橢圓的交點坐標求出相關的交點坐標，對這個坐標進行分析得出定直線方程，本題中對橫坐標進行分析，代入交點坐標的關系及韋達定理的結果即得出結論，實際上本題可從對稱性確定定直線與軸垂直，再坐標特殊值（如動直線與軸垂直）求得定直線方程，然后只要驗證一般情形即可（這個尋找過程在解題中還不必反映出來）．
13．(1)
(2)存在實數
【分析】（1）根據焦點三角形面積及周長列方程求出,即可寫出橢圓方程；
（2）先設直線，再和橢圓聯立方程組,結合韋達定理及斜率公式計算化簡求解即可.
【詳解】（1）依題意，得，即，
解得，所以橢圓E的方程為．
（2）
依題意，可設直線l的方程為，
聯立方程，化簡整理，得，
易得恒成立，
設，，由韋達定理，
得，可得，
于是
，
故存在實數，使得恒成立．
14．(1)
(2)是定值，定值為3．
【分析】（1）根據題意結合通徑長即可求出橢圓的標準方程.
（2）設出直線方程，與橢圓方程聯立，得到根與系數關系，將表示出化簡即可.
【詳解】（1）因為橢圓的左焦點為，
所以，將代入，得，
故，所以
解得，所以，
所以橢圓方程為.
（2）
因為直線CD過點， 且點C位于x軸上方，
所以直線CD斜率不為0，設直線CD的方程為，
聯立消去x得，
方程的判別式，
設，由已知，
于是，
所以，
又橢圓的左頂點A的坐標為，右頂點B的坐標為（2，0），
所以，
因為，
所以，
所以
所以定值，定值為3．
15．(1)
(2)點恒在定直線上
【分析】（1）設動圓的圓心為，利用兩圓外切和內切的關系得到，由橢圓的定義即可得到動點的軌跡，利用待定系數法求出方程即可；
（2）設直線的方程為，直曲聯立，結合韋達定理得到，求出直線與直線的方程，進而得到點滿足的關系式，整理化簡可得點恒在定直線上．
【詳解】（1）設點的坐標為，圓的半徑為．
由已知條件，得．
①當動圓與圓外切，與圓內切時，，
從而．
②當動圓與圓內切，與圓外切時，，
從而．
綜上可知，圓心的軌跡是以為焦點，6為長軸長的橢圓．
易得圓與圓交于點與，
所以動圓圓心的軌跡的方程為．
（2）設直線的方程為，．
聯立直線與軌跡的方程，得
消去并整理，得．
所以，，
則有．
由已知條件，得直線的方程為，
直線的方程為，
則點的坐標滿足．
又，
所以．
把代入上式，得．
故點恒在定直線上．
16．(1)橢圓方程為，離心率為；
(2)點在定直線上．
【分析】（1）由長軸長求得得橢圓方程，然后由離心率公式離心率；
（2）設動直線方程為，設，直線方程代入橢圓方程應用韋達定理得，寫出直線方程，聯立求得點橫坐標，利用直線方程，及韋達定理的結果代入后可得，即為定直線方程．
【詳解】（1）由題意，，所以橢圓方程為，
，，則，離心率為；
（2）由題意設動直線方程為，設，，
由得，
顯然，

直線方程為，直線方程為，
聯立方程組，得
又，代入得，
由，得，即，
所以，
所以點在定直線上．
【點睛】方法點睛：橢圓中的定直線問題，可設出交點坐標為，設出動直線方程代入橢圓方程后應用韋達定理，然后由直線與橢圓的交點坐標求出相關的交點坐標，對這個坐標進行分析得出定直線方程，本題中對橫坐標進行分析，代入交點坐標的關系及韋達定理的結果即得出結論，實際上本題可從對稱性確定定直線與軸垂直，再坐標特殊值（如動直線與軸垂直）求得定直線方程，然后只要驗證一般情形即可（這個尋找過程在解題中還不必反映出來）．
17．(1)
(2)點D在直線上．
【分析】（1）利用兩點距離公式可計算焦點坐標，待定系數法計算橢圓方程即可；
（2）由題意先確定M、N位置，設直線與、坐標，聯立直線與橢圓方程利用韋達定理得出、縱坐標關系式，再利用點、坐標表示直線、，法一、求出D點橫坐標化簡計算即可；法二、直接利用直線、方程作比計算為定值，計算即可.
【詳解】（1）設，，，
則，
則，解得（舍去），
則，①
代入點得，②
聯立①②，解得，，
故橢圓C的標準方程為；
（2）
依題意，，，
設直線，聯立，
整理得，
；
設，，
則，，
所以.
可設直線，直線，
法一：聯立
得
，
故點D在直線上．
法二：故，
解得，
故點D在直線上．
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、（或、）的形式；
（5）代入韋達定理求解.
18．(1)
(2)證明見解析，
【分析】（1）由對稱性得到點，在橢圓上，結合焦點坐標，得到方程組，求出，，求出橢圓方程；
（2）設直線的方程為，聯立橢圓方程，設，，，得到兩根之和，兩根之積，由和共線得到方程組，聯立后得到，求出，得到交點在定直線上，并求出該直線的方程.
【詳解】（1）因為為橢圓的右焦點，所以①,
由對稱性得，點，在橢圓上，代入得②,
聯立①②解得，，，
所以橢圓的標準方程為：.
（2）由條件知直線與直線不重合，故直線的斜率不為0，

設直線的方程為，
聯立，可得，
設，，，
則，，，
由（1）可得，，
由共線得：③，
由共線得：④，
由③÷④消去并整理得，，
即，所以，
綜上所述，直線與直線的交點在定直線上運動.
【點睛】定值問題常見方法：（1）從特殊入手，求出定值，再證明這個值與變量無關；
（2）直接推理計算，并在計算推理的過程中消去變量，從而得到定值.
19．(1)
(2)
【分析】（1）根據條件，列出關于的方程，即可求解；（2）首先設直線的方程為，與橢圓方程聯立，得到根與系數的關系，并利用坐標表示直線的方程，并且聯立方程求點的軌跡方程，再利用兩直線的傾斜角表示,利用斜率表示，再利用基本不等式即可求解.
【詳解】（1）由，解得，，所以橢圓的方程為.
（2）由題知不與軸重合，設直線的方程為，
聯立方程組，消整理得，，
設、，則，.
因為的方程為，的方程為
兩直線方程聯立得：
因為.所以，解得.
所以動點的軌跡方程為
由橢圓的對稱性不妨設，直線、的傾斜角為，，
由圖可知，且，因為，則，
因為，，
所以
當且僅當時等號成立，此時，，所以的最大值為.

【點睛】關鍵點點睛：本題考查直線與橢圓的位置關系，動點軌跡，第二問的關鍵是根據韋達定理，聯立兩直線方程可化簡求得點的軌跡，再利用傾斜角表示.
20．(1)
(2)證明見解析
(3)證明見解析
【分析】（1）根據橢圓的幾何性質列出方程組求出，即可得出橢圓的方程；
（2）設，，直線的方程為，與橢圓方程聯立得到，代入的表達式，即可得出為定值；
（3）根據（1）中的結論，設，則，求出直線AP、BQ的方程，聯立即可求出點M的坐標，從而可知其在定直線上．
【詳解】（1）依題可得，解得，所以，
所以橢圓的方程為．
（2）設，，因為直線過點且斜率不為，
所以可設的方程為，代入橢圓方程得，
其判別式，所以，.
兩式相除得，即．
因為分別為橢圓的左、右頂點，所以點的坐標為，點的坐標為，
所以，．
從而．
（3）由（1）知，設，則，
所以直線的方程為，直線的方程為，
聯立可得，
所以直線與直線的交點的坐標為，
所以點在定直線上.
【點睛】方法點睛：利用韋達定理法解決直線與圓錐曲線相交問題的基本步驟如下：
（1）設直線方程，設交點坐標為、；
（2）聯立直線與圓錐曲線的方程，得到關于（或）的一元二次方程，必要時計算；
（3）列出韋達定理；
（4）將所求問題或題中的關系轉化為、的形式；
（5）代入韋達定理求解.
答案第1頁，共2頁
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