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專題強化10　電磁感應中的動量問題
[學習目標]　
1.會用動量定理、動量守恒定律分析電磁感應的有關問題(重難點)。
2.進一步掌握動量定理、動量守恒定律、能量守恒定律等基本規律(重難點)。
一、動量定理在電磁感應中的應用
如圖所示，水平固定且足夠長的光滑U形金屬導軌處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，在導軌上放置金屬棒。定值電阻的阻值為R，金屬棒的電阻為r，導軌寬度為L。若棒分別以初速度v0、2v0向右運動。
(1)請分析棒的運動情況；
(2)兩種情況下，從棒開始運動至棒停止過程中，通過R的電荷量q1、q2之比為多少？
(3)兩種情況下，從棒開始運動至棒停止時的位移x1、x2之比為多少？
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在導體單棒切割磁感線做非勻變速運動時，若牛頓運動定律、能量觀點不能解決問題，可運用動量定理求解。
導體棒或金屬框在感應電流所引起的安培力作用下做非勻變速直線運動時，
安培力的沖量為I安＝BLt＝BLq，
通過導體棒或金屬框的電荷量為q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，
磁通量變化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。
如果安培力是導體棒或金屬框受到的合外力，則I安＝mv2－mv1。
例1　(2022·無錫市江陰高級中學高二月考)如圖所示，水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN和PQ，兩導軌間距為L，導軌電阻均可忽略不計。在M和P之間接有一阻值為R的定值電阻，導體桿ab質量為m、電阻也為R，并與導軌接觸良好。整個裝置處于方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場中。現給ab桿一個初速度v0，使桿向右運動，最終ab桿停在導軌上。下列說法正確的是(　　)
A．在整個過程中，ab桿將做勻減速運動直到靜止
B．ab桿速度減為時，ab桿加速度大小為
C．ab桿速度減為時，通過定值電阻R的電荷量為
D．ab桿速度減為時，ab桿運動的位移為
針對訓練　相距為L＝0.5 m的豎直光滑平行金屬軌道，上端接有一阻值為R＝2 Ω的電阻，導軌間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B＝2 T，一根質量為m＝0.03 kg、長度也為L、電阻r＝1 Ω的金屬桿，從軌道的上端由靜止開始下落，下落過程中始終與導軌接觸良好并保持水平，經過一段時間后金屬桿勻速運動。(不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2)
(1)求金屬桿勻速運動時通過的電流大小；
(2)求金屬桿最終勻速運動的速度大小；
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(3)在金屬桿開始下落至剛好勻速的過程中流過電阻的電荷量為q＝0.033 C，求此過程經歷的時間。
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二、動量守恒定律在電磁感應中的應用
如圖所示，水平面上有足夠長的平行光滑金屬導軌MN和PQ，導軌間距為L，電阻不計，導軌所處空間存在方向豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B。導軌上放有質量均為m、電阻均為R的金屬棒a、b。開始時金屬棒b靜止，金屬棒a獲得向右的初速度v0。
(1)試分析金屬棒a、b的運動情況，兩金屬棒穩定后分別做什么運動？
(2)在運動過程中兩金屬棒受到安培力的沖量有什么關系？把兩棒作為一個系統，該系統的動量怎樣變化？
(3)金屬棒a、b穩定后的速度；
(4)從兩金屬棒開始運動至穩定的過程中產生的焦耳熱。
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在雙金屬棒切割磁感線的系統中，雙金屬棒和導軌構成閉合回路，安培力為系統內力，如果兩安培力等大反向，且它們受到的外力的合力為0，則滿足動量守恒條件，運用動量守恒定律求解比較方便。這類問題可以從以下三個觀點來分析：
(1)動力學觀點：通常情況下一個金屬棒做加速度逐漸減小的加速運動，而另一個金屬棒做加速度逐漸減小的減速運動，最終兩金屬棒以共同的速度做勻速運動。
(2)動量觀點：如果光滑導軌間距恒定，則兩個金屬棒的安培力大小相等，通常情況下系統的動量守恒。
(3)能量觀點：其中一個金屬棒動能的減少量等于另一個金屬棒動能的增加量與回路中產生的焦耳熱之和。
在上面的問題中，求金屬棒a從初速度v0到勻速的過程中，
(1)流過金屬棒a的電荷量q；
(2)a和b距離的增加量Δx。
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例2　(2023·揚州市高二期中)如圖所示，PMN和P′M′N′是兩條足夠長、相距為L的平行金屬軌道，MM′左側圓弧軌道表面光滑，右側水平軌道表面粗糙，并且MM′右側空間存在一方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。在左側圓弧軌道上高為h處垂直軌道放置一導體棒AB，在右側水平軌道上距AB棒足夠遠的地方，垂直軌道放置另一導體棒CD。已知AB棒和CD棒的長均為L，電阻均為R，質量分別為m和2m，AB棒與水平軌道間的動摩擦因數為μ，圓弧軌道與水平軌道平滑連接且電阻不計。現將AB棒由靜止釋放，讓其沿軌道下滑并進入磁場區域，最終運動到距MM′為d處停下，此過程中CD棒因與軌道間存在摩擦而一直處于靜止狀態。重力加速度為g，求：
(1)AB棒剛進入磁場時AB棒兩端的電壓大小；
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(2)整個過程中AB棒上產生的焦耳熱Q；
(3)若水平軌道也光滑，則從AB棒開始運動到最終處于穩定狀態的過程中，通過AB棒的電荷量q為多少？
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電磁感應中不同物理量的求解策略
求加速度：動力學觀點；
求焦耳熱：能量觀點；
系統的初、末速度關系：動量守恒定律；
求電荷量、位移或時間：動量定理。
例3　(2023·南京市六合高級中學校高二期末)如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌固定于同一水平面內，整個導軌處于豎直向下的勻強磁場中，質量均為m＝0.2 kg的導體棒MN、PQ垂直靜止于平行導軌上，與導軌構成矩形閉合回路。某時刻給導體棒MN一個水平向右的瞬時沖量I＝0.4 N·s，則從此時至PQ達到最大速度的過程中，回路中產生的焦耳熱為(　　)
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
專題強化10　電磁感應中的動量問題
[學習目標]　1.會用動量定理、動量守恒定律分析電磁感應的有關問題(重難點)。2.進一步掌握動量定理、動量守恒定律、能量守恒定律等基本規律(重難點)。
一、動量定理在電磁感應中的應用
如圖所示，水平固定且足夠長的光滑U形金屬導軌處于豎直向下的勻強磁場中，磁感應強度大小為B，在導軌上放置金屬棒。定值電阻的阻值為R，金屬棒的電阻為r，導軌寬度為L。若棒分別以初速度v0、2v0向右運動。
(1)請分析棒的運動情況；
(2)兩種情況下，從棒開始運動至棒停止過程中，通過R的電荷量q1、q2之比為多少？
(3)兩種情況下，從棒開始運動至棒停止時的位移x1、x2之比為多少？
答案　(1)金屬棒受到向左的安培力F安＝＝ma，金屬棒速度減小，加速度減小，棒做加速度減小的減速運動，最終靜止。
(2)當棒的初速度為v0時，由動量定理可得－BLt＝0－mv0，q1＝t，解得q1＝，同理可得q2＝，得＝。
(3)q1＝，ΔΦ＝BΔS＝BLx1，可得q1＝，x1＝，同理可得x2＝
得＝＝。
在導體單棒切割磁感線做非勻變速運動時，若牛頓運動定律、能量觀點不能解決問題，可運用動量定理求解。
導體棒或金屬框在感應電流所引起的安培力作用下做非勻變速直線運動時，
安培力的沖量為I安＝BLt＝BLq，
通過導體棒或金屬框的電荷量為q＝Δt＝Δt＝n·Δt＝n，
磁通量變化量：ΔΦ＝BΔS＝BLx。
如果安培力是導體棒或金屬框受到的合外力，則I安＝mv2－mv1。
例1　(2022·無錫市江陰高級中學高二月考)如圖所示，水平面上有兩根足夠長的光滑平行金屬導軌MN和PQ，兩導軌間距為L，導軌電阻均可忽略不計。在M和P之間接有一阻值為R的定值電阻，導體桿ab質量為m、電阻也為R，并與導軌接觸良好。整個裝置處于方向豎直向下、磁感應強度大小為B的勻強磁場中。現給ab桿一個初速度v0，使桿向右運動，最終ab桿停在導軌上。下列說法正確的是(　　)
A．在整個過程中，ab桿將做勻減速運動直到靜止
B．ab桿速度減為時，ab桿加速度大小為
C．ab桿速度減為時，通過定值電阻R的電荷量為
D．ab桿速度減為時，ab桿運動的位移為
答案　D
解析　設導體桿在整個過程中某一時刻的速度為v，ab桿的電流和受力方向如圖所示
感應電動勢為E＝BLv，感應電流為I＝，受到的安培力為F＝BIL＝，ab桿的加速度大小為a＝＝，結合ab桿的初速度和安培力的方向可知，ab桿做加速度逐漸減小的減速運動，A錯誤；ab桿速度減為時，加速度大小為a＝，B錯誤；對ab桿運用動量定理－BLΔt＝mv－mv0，其中＝＝＝，q＝Δt，可得q＝，x＝，ab桿速度v＝時，通過定值電阻R的電荷量為q＝，ab桿運動的位移為x＝，C錯誤，D正確。
針對訓練　相距為L＝0.5 m的豎直光滑平行金屬軌道，上端接有一阻值為R＝2 Ω的電阻，導軌間存在方向垂直于紙面向里的勻強磁場，磁感應強度大小為B＝2 T，一根質量為m＝0.03 kg、長度也為L、電阻r＝1 Ω的金屬桿，從軌道的上端由靜止開始下落，下落過程中始終與導軌接觸良好并保持水平，經過一段時間后金屬桿勻速運動。(不計空氣阻力，重力加速度g取10 m/s2)
(1)求金屬桿勻速運動時通過的電流大小；
(2)求金屬桿最終勻速運動的速度大小；
(3)在金屬桿開始下落至剛好勻速的過程中流過電阻的電荷量為q＝0.033 C，求此過程經歷的時間。
答案　(1)0.3 A　(2)0.9 m/s　(3)0.2 s
解析　(1)由題意可知，當金屬桿所受重力等于安培力的時候，金屬桿做勻速運動，則有mg＝BIL
解得I＝＝0.3 A；
(2)根據BLv＝IR＋Ir，解得v＝0.9 m/s；
(3)對金屬桿，根據動量定理可得mgt－BL·t＝mv－0
又q＝t，代入數據解得t＝0.2 s。
二、動量守恒定律在電磁感應中的應用
如圖所示，水平面上有足夠長的平行光滑金屬導軌MN和PQ，導軌間距為L，電阻不計，導軌所處空間存在方向豎直向下的勻強磁場，磁感應強度大小為B。導軌上放有質量均為m、電阻均為R的金屬棒a、b。開始時金屬棒b靜止，金屬棒a獲得向右的初速度v0。
(1)試分析金屬棒a、b的運動情況，兩金屬棒穩定后分別做什么運動？
(2)在運動過程中兩金屬棒受到安培力的沖量有什么關系？把兩棒作為一個系統，該系統的動量怎樣變化？
(3)金屬棒a、b穩定后的速度；
(4)從兩金屬棒開始運動至穩定的過程中產生的焦耳熱。
答案　(1)金屬棒a向右運動切割磁感線，根據右手定則可知在回路中產生逆時針方向的感應電流，根據左手定則可知，a棒受到向左的安培力，b棒受到向右的安培力，a棒在安培力作用下做減速運動，b棒在安培力作用下做加速運動，b棒切割磁感線產生順時針方向的感應電流；兩棒的速度差減小，總電動勢E＝BL(va－vb)減小，感應電流減小，安培力減小，加速度減小，即a做加速度減小的減速直線運動，b做加速度減小的加速直線運動，兩金屬棒穩定后均做勻速直線運動。
(2)兩金屬棒所受安培力沖量等大反向，系統的合外力為零，兩棒組成的系統動量守恒。
(3)設最終達到的共同速度為v，由動量守恒定律得mv0＝2mv，解得va＝vb＝。
(4)根據能量守恒定律，整個過程產生的焦耳熱Q＝mv02－(2m)·v2＝。
在雙金屬棒切割磁感線的系統中，雙金屬棒和導軌構成閉合回路，安培力為系統內力，如果兩安培力等大反向，且它們受到的外力的合力為0，則滿足動量守恒條件，運用動量守恒定律求解比較方便。這類問題可以從以下三個觀點來分析：
(1)動力學觀點：通常情況下一個金屬棒做加速度逐漸減小的加速運動，而另一個金屬棒做加速度逐漸減小的減速運動，最終兩金屬棒以共同的速度做勻速運動。
(2)動量觀點：如果光滑導軌間距恒定，則兩個金屬棒的安培力大小相等，通常情況下系統的動量守恒。
(3)能量觀點：其中一個金屬棒動能的減少量等于另一個金屬棒動能的增加量與回路中產生的焦耳熱之和。
在上面的問題中，求金屬棒a從初速度v0到勻速的過程中，
(1)流過金屬棒a的電荷量q；
(2)a和b距離的增加量Δx。
答案　(1)由動量定理得－BLΔt＝m－mv0 ，q＝Δt
解得q＝
(2)根據電荷量的推論公式q＝＝，解得a和b距離的增加量Δx＝＝。
例2　(2023·揚州市高二期中)如圖所示，PMN和P′M′N′是兩條足夠長、相距為L的平行金屬軌道，MM′左側圓弧軌道表面光滑，右側水平軌道表面粗糙，并且MM′右側空間存在一方向豎直向上、磁感應強度大小為B的勻強磁場。在左側圓弧軌道上高為h處垂直軌道放置一導體棒AB，在右側水平軌道上距AB棒足夠遠的地方，垂直軌道放置另一導體棒CD。已知AB棒和CD棒的長均為L，電阻均為R，質量分別為m和2m，AB棒與水平軌道間的動摩擦因數為μ，圓弧軌道與水平軌道平滑連接且電阻不計。現將AB棒由靜止釋放，讓其沿軌道下滑并進入磁場區域，最終運動到距MM′為d處停下，此過程中CD棒因與軌道間存在摩擦而一直處于靜止狀態。重力加速度為g，求：
(1)AB棒剛進入磁場時AB棒兩端的電壓大小；
(2)整個過程中AB棒上產生的焦耳熱Q；
(3)若水平軌道也光滑，則從AB棒開始運動到最終處于穩定狀態的過程中，通過AB棒的電荷量q為多少？
答案　(1)BL　(2)mg(h－μd)　(3)
解析　(1)AB棒剛進入磁場時，根據機械能守恒定律得mgh＝mv2
此時感應電動勢為E＝BLv
AB棒兩端的電壓為UAB＝BLv＝BL
(2)AB棒進入磁場后，根據動能定理得
W安－μmgd＝0－mv2
回路中產生的焦耳熱Q總＝－W安
又因兩導體棒電流相等，電阻相同，則AB棒上產生的焦耳熱
Q＝mg(h－μd)
(3)若水平軌道也光滑，根據系統動量守恒得
mv＝(m＋2m)v共
對AB棒，由動量定理可得
－BLΔt＝mv共－mv
又通過AB棒的電荷量
q＝Δt
解得q＝。
電磁感應中不同物理量的求解策略
求加速度：動力學觀點；
求焦耳熱：能量觀點；
系統的初、末速度關系：動量守恒定律；
求電荷量、位移或時間：動量定理。
例3　(2023·南京市六合高級中學校高二期末)如圖所示，兩根足夠長的光滑平行金屬導軌固定于同一水平面內，整個導軌處于豎直向下的勻強磁場中，質量均為m＝0.2 kg的導體棒MN、PQ垂直靜止于平行導軌上，與導軌構成矩形閉合回路。某時刻給導體棒MN一個水平向右的瞬時沖量I＝0.4 N·s，則從此時至PQ達到最大速度的過程中，回路中產生的焦耳熱為(　　)
A．0.1 J B．0.2 J
C．0.3 J D．0.4 J
答案　B
解析　導體棒PQ達到最大速度時，兩棒速度相等，做勻速運動，設速度為v，開始時對導體棒MN由動量定理得I＝mv－0，可得MN棒的初速度為v＝2 m/s，以向右為正方向，以兩棒組成的系統為研究對象，由動量守恒定律得mv＝2mv′，解得PQ的最大速度v′＝1 m/s，回路中產生的焦耳熱等于損失的動能Q＝mv2－×2mv′2，代入數據解得Q＝0.2 J，故選B。

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