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第四章　數　列
§4.1　數列的概念
第1課時　數列的概念及通項公式
[學習目標]　
1.理解數列的有關概念與數列的表示方法.
2.掌握數列的分類，了解數列的單調性.
3.理解數列的通項公式，并會用通項公式寫出數列的任一項.
4.能根據數列的前幾項寫出數列的一個通項公式.5.了解數列是一種特殊函數．
一、數列的概念與分類
問題1　觀察以下幾列數：
(1)古埃及“阿默斯”畫了一個階梯，上面的數字依次為：7,49,343,2 401,16 807；
(2)戰國時期莊周引用過一句話：一尺之棰，日取其半，萬世不竭．這句話中隱藏著一列數：1，，，，，…；
(3)從學號1開始，記下本班的每一個同學參加高考的時間：2 023,2 023，…，2 023；
(4)小明為了記住剛設置的手機密碼，只聽他不停地說：7,0,2,5,7,0,2,5，…；
(5)－的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…依次排成一列數：－，，－，，…；
你能找到上述例子中的共同點和不同點嗎？
知識梳理
1．一般地，我們把按照____________排列的一列數稱為數列，數列中的每一個數叫做這個數列的______．數列的第一個位置上的數叫做這個數列的第______項，常用符號a1表示，第二個位置上的數叫做這個數列的第______項，用a2表示……第n個位置上的數叫做這個數列的第n項，用______表示．其中第1項也叫做______．
2. 數列的一般形式是a1，a2，…，an，…，簡記為____________．
3.
分類標準 名稱 含義
按項的個數 有窮數列 項數______的數列
無窮數列 項數______的數列
按項的變化趨勢 遞增數列 從第2項起，每一項都______它的前一項的數列
遞減數列 從第2項起，每一項都______它的前一項的數列
常數列 各項都______的數列
周期數列 項呈現周期性變化
擺動數列 從第2項起，有些項______它的前一項，有些項____它的前一項
例1　下列數列中哪些是有窮數列？哪些是無窮數列？哪些是遞增數列？哪些是遞減數列？哪些是常數列？哪些是擺動數列？
(1)1,0.84,0.842,0.843，…；
(2)2,4,6,8,10，…；
(3)7,7,7,7，…；
(4)，，，，…；
(5)10,9,8,7,6,5,4,3,2,1；
(6)0，－1,2，－3,4，－5，….
反思感悟　(1)判斷數列是何種數列一定嚴格按照定義進行判斷．
(2)判斷數列的單調性時一定要確保每一項均大于(或均小于)后一項，不能有例外．
跟蹤訓練1　下列數列中哪些是有窮數列？哪些是無窮數列？哪些是遞增數列？哪些是遞減數列？哪些是常數列？哪些是周期數列？
(1)2 017,2 018,2 019,2 020,2 021,2 022,2 023；
(2)0，，，…，，…；
(3)1，，，…，，…；
(4)－，，－，，…；
(5)1,0，－1，…，sin ，…；
(6)9,9,9,9,9,9.
二、數列的通項公式
問題2　我們發現問題1中的(1)(2)(3)(5)，項與項數之間存在某種聯系，你能發現它們的聯系嗎？
知識梳理
如果數列{an}的第n項an與它的________之間的對應關系可以用一個式子來表示，那么這個式子叫做這個數列的____________．
例2　根據數列{an}的通項公式，寫出數列{an}的前5項，并作出它們的圖象．
(1)an＝(－1)n＋2；
(2)an＝.
反思感悟　數列{an}的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數列中相應的項．
例3　寫出下列數列的一個通項公式，使它的前4項分別是下列各數：
(1)－1，，－，；
(2)，2，，8；
(3)0,1,0,1；
(4)9,99,999,9 999.
延伸探究　根據本例中的第(4)題，試寫出前4項為7,77,777,7 777的一個通項公式．
反思感悟　根據數列的前幾項求通項公式的解題思路
(1)先統一項的結構，如都化成分數、根式等．
(2)分析結構中變化的部分與不變的部分，探索變化部分的規律與對應序號間的函數解析式．
(3)對于正負交替出現的情況，可先觀察其絕對值，再用(－1)n或(－1)n＋1處理符號．有時也可用分段形式．
(4)對于周期數列，可考慮拆成幾個簡單數列之和的形式，或者利用周期函數，如三角函數等．
跟蹤訓練2　寫出下列各數列的一個通項公式，它們的前幾項分別是：
(1)1,3,7,15,31，…；
(2)，，，，，…；
(3)－，，－，，－，…；
(4)2×3,3×4,4×5,5×6，….
三、數列與函數的關系
問題3　由例2可知在數列的通項公式中，給定任意的序號n，就會有唯一確定的an與其對應，這種情形與以往學的哪方面的知識有聯系？
知識梳理
通項公式就是數列的函數解析式，以前我們學過的函數的自變量通常是連續變化的，而數列是自變量為離散的數的函數值組成的．
例4　已知數列{an}的通項公式是an＝nn，n∈N*.試問該數列有沒有最大項？若有，求出最大項和最大項的序號；若沒有，請說明理由．
反思感悟　求數列最值的方法
(1)函數的單調性法：令an＝f(n)，通過研究f(n)的單調性來研究最大(小)項．
(2)不等式組法：先假設有最大(小)項．不妨設an最大，則滿足(n≥2)，解不等式組便可得到n的取值范圍，從而確定n的值；求最小項用不等式組(n≥2)求得n的取值范圍，從而確定n的值．
跟蹤訓練3　已知數列an＝－n2＋4n＋2，則該數列中最大項的序號是(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
1．知識清單：
(1)數列的概念與分類．
(2)數列的通項公式．
(3)數列與函數的關系．
2．方法歸納：觀察法、歸納法、猜想法．
3．常見誤區：
(1)歸納法求數列的通項公式時歸納不全面．
(2)不注意用(－1)n進行調節，不注意分子、分母間的聯系．
1．下列說法正確的是(　　)
A．數列中不能重復出現同一個數
B．1,2,3,4與4,3,2,1是同一數列
C．1,1,1,1不是數列
D．若兩個數列的每一項均相同，則這兩個數列相同
2．數列，－，，－，…的通項公式可能是(　　)
A．an＝(－1)n B．an＝(－1)n－1
C．an＝(－1)n D．an＝(－1)n－1
3．在數列{an}中，an＝，則{an}(　　)
A．是常數列
B．不是單調數列
C．是遞增數列
D．是遞減數列
4．將數列{2n－1}與{n2}的公共項從小到大排列得到數列{an}，則a3＝________.
第1課時　數列的概念及通項公式
問題1　共同點：都是按照確定的順序進行排列的．不同點：從項數上來看：(1)(3)項數有限，(2)(4)(5)項數無限；從項的變化上來看：(1)每一項在依次變大，(2)每一項在依次變小，(3)項沒有發生變化，(4)項呈現周期性的變化，(5)項的大小交替變化．
知識梳理
1．確定的順序　項　1　2　an　首項
2. {an}
3．有限　無限　大于　小于　相等
大于　小于
例1　解　(5)是有窮數列；(1)(2)(3)(4)(6)是無窮數列；(2)是遞增數列；(1)(4)(5)是遞減數列；(3)是常數列；(6)是擺動數列．
跟蹤訓練1　解　(1)(6)是有窮數列；(2)(3)(4)(5)是無窮數列；(1)(2)是遞增數列；(3)是遞減數列；(6)是常數列；(5)是周期數列．
問題2　對于(1)，a1＝7，a2＝7×7＝72，a3＝7×7×7＝73，…，于是an＝7n，n∈；
對于(2)，an＝n－1，n∈N*；
對于(3)，an＝2 023，n∈{x|x是本班學生的學號}；
對于(5)，an＝n，n∈N*.
知識梳理
序號n　通項公式
例2　解　(1)數列{an}的前5項依次是1,3,1,3,1，圖象如圖①所示．
(2)數列{an}的前5項依次是2，，，，，圖象如圖②所示．
例3　解　(1)這個數列的前4項的絕對值都是序號的倒數，并且奇數項為負，偶數項為正，所以它的一個通項公式為an＝，n∈N*.
(2)數列中的項，有的是分數，有的是整數，可將各項都統一成分數再觀察：，，，，…，
所以它的一個通項公式為an＝，n∈N*.
(3)這個數列中的項是0與1交替出現，奇數項都是0，偶數項都是1，所以通項公式可以寫成an＝由第(1)題也可以寫成an＝(n∈N*)或an＝(n∈N*)．
(4)各項加1后，變為10,100,1 000,10 000，…，此數列的通項公式為10n，可得原數列的一個通項公式為an＝10n－1，n∈N*.
延伸探究　解　由本例的第(4)題可知，每一項乘即可，
即an＝(10n－1)，n∈N*.
跟蹤訓練2　解　(1)由1＝2－1,3＝22－1,7＝23－1,15＝24－1，31＝25－1，…
可得an＝2n－1.
(2)由＝，＝，＝，＝，＝，…
可得an＝.
(3)由－，，－，，－，…可知奇數項為負數，偶數項為正數，
可得an＝(－1)n×.
(4)由2×3＝×，3×4＝×，4×5＝×，5×6＝×，…
可得an＝(n＋1)(n＋2)．
問題3　函數．
例4　解　根據題意，令
即
解得2≤n≤3.
又n∈N*，則n＝2或n＝3.
故數列{an}有最大項，為第2項和第3項，
且a2＝a3＝2×2＝.
跟蹤訓練3　A　[因為an＝－(n－2)2＋6，n∈N*，
所以當n＝2時，an取得最大值．]
隨堂演練
1．D　2.D　3.D　4.25

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