資源簡介

第2課時　數列的遞推公式
[學習目標]　
1.理解遞推公式的含義，能根據遞推公式求出數列的前幾項.
2.了解用累加法、累乘法求通項公式.
3.會由數列的前n項和Sn求數列的通項公式．
一、數列通項公式的簡單應用
例1　已知數列{an}的通項公式是an＝2n2－n，n∈N*.
(1)寫出數列的前3項；
(2)判斷45是否為數列{an}中的項，3是否為數列{an}中的項．
反思感悟　(1)利用數列的通項公式求某項的方法
數列的通項公式給出了第n項an與它的序號n之間的關系，只要用序號代替公式中的n，就可以求出數列的相應項．
(2)判斷某數值是否為該數列的項的方法
先假定它是數列中的第n項，然后列出關于n的方程．若方程的解為正整數，則是數列的一項；若方程無解或解不是正整數，則不是該數列的一項．
跟蹤訓練1　已知數列{an}的通項公式為an＝qn，n∈N*，且a4－a2＝72.
(1)求實數q的值；
(2)判斷－81是否為此數列中的項．
二、數列的遞推公式
問題1　觀察如圖所示的鋼管堆放示意圖，你能夠發現上下層之間的關系嗎？你能否用數列的形式寫出上下層之間的關系？
知識梳理
如果一個數列的相鄰兩項或多項之間的關系可以用____________來表示，那么這個式子叫做這個數列的遞推公式．
例2　若數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝，n∈N*，求a6.
延伸探究　在例2的條件下，求a2 024.
反思感悟　遞推公式反映的是相鄰兩項(或n項)之間的關系．要已知首項(或前幾項)，才可依次求得其他的項．若序號很大，則應考慮數列是否具有規律性(周期性)．
跟蹤訓練2　已知數列{an}的首項a1＝1，且滿足an＋1＝an＋，則此數列的第3項是(　　)
A．1 B. C. D.
三、由遞推公式求通項公式
例3　(1)在數列{an}中，a1＝1，an＋1＝an＋－，則an等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知數列{an}滿足a1＝1，an＋1＝an，則an等于(　　)
A．n＋1 B．n C. D.
反思感悟　由遞推公式求通項公式的常用方法
(1)歸納法：根據數列的某項和遞推公式，求出數列的前幾項，歸納出通項公式．(只適用于選擇題、填空題)
(2)迭代法、累加法或累乘法，遞推公式對應的有以下幾類：
①an＋1－an＝常數，或an＋1－an＝f(n)(f(n)是可以求和的)，使用累加法或迭代法．
②an＋1＝pan(p為非零常數)，或an＋1＝f(n)an(f(n)是可以求積的)，使用累乘法或迭代法．
③an＋1＝pan＋q(p，q為非零常數)，適當變形后轉化為第②類解決．
跟蹤訓練3　(1)已知數列{an}滿足a1＝1，an＝an－1＋－(n≥2)，求an.
(2)已知數列{an}滿足a1＝1，ln an－ln an－1＝1(n≥2)，求an.
四、an與Sn的關系
問題2　如果已知數列{an}的前n項和，如何求a4呢？
知識梳理　
1．把數列{an}從第1項起到第n項止的各項之和，稱為數列{an}的前n項和，記作Sn，即Sn＝____________.
2．an＝__________________ .
例4　已知Sn為數列{an}的前n項和，根據條件求{an}的通項公式．
(1)Sn＝3n－1；
(2)Sn＝2n2－30n.
延伸探究　將本例(2)的條件“Sn＝2n2－30n”改為“Sn＝2n2－30n＋1”，其他條件不變，求an.
反思感悟　由Sn求通項公式an的步驟
(1)當n＝1時，a1＝S1.
(2)當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.
(3)驗證a1與an的關系．
①若a1適合an(n≥2)，則an＝Sn－Sn－1.
②若a1不適合an(n≥2)，則an＝
跟蹤訓練4　(1)已知數列{an}的前n項和Sn滿足Sn＝2n2＋3n＋2，求an.
(2)已知數列{an}滿足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，求an.
1．知識清單：
(1)數列通項公式的簡單應用．
(2)數列的遞推公式．
(3)由遞推公式求通項公式．
(4)數列的前n項和Sn與an的關系．
2．方法歸納：歸納法、迭代法、累加法、累乘法．
3．常見誤區：
(1)累加法、累乘法中不注意驗證首項是否符合通項公式．
(2)由Sn求an時忽略驗證n＝1時的情況．
1．已知在數列{an}中，a1＝2，an＋1＝an＋n(n∈N*)，則a4的值為(　　)
A．5 B．6 C．7 D．8
2．設數列{an}的前n項和為Sn，且Sn＝2n－1(n∈N*)，則a5等于(　　)
A．32 B．31 C．16 D．15
3．已知數列{an}中，a1＝1，a2＝2，an＋an＋1＋an＋2＝1，n∈N*，則a2 024等于(　　)
A．－2 B．－1 C．1 D．2
4．323是數列{n(n＋2)}的第________項．
第2課時　數列的遞推公式
例1　解　(1)在通項公式中依次取n＝1,2,3，可得{an}的前3項分別為1,6,15.
(2)令2n2－n＝45，得2n2－n－45＝0，解得n＝5或n＝－(舍去)，故45是數列{an}中的第5項．
令2n2－n＝3，得2n2－n－3＝0，解得n＝－1或n＝，故3不是數列{an}中的項．
跟蹤訓練1　解　(1)由題意知q4－q2＝72，
則q2＝9或q2＝－8(舍去)，
∴q＝±3.
(2)當q＝3時，an＝3n.
顯然－81不是此數列中的項；
當q＝－3時，an＝(－3)n.
令(－3)n＝－81，無解，
∴－81不是此數列中的項．
問題1　自上而下每一層的鋼管數都比上一層的鋼管數多1，即a1＝4，a2＝5＝4＋1＝a1＋1，a3＝6＝5＋1＝a2＋1.依此類推：an＝an－1＋1(2≤n≤7)．
知識梳理
一個式子
例2　解　a2＝＝＝－3，
a3＝＝＝－，
a4＝＝＝，
a5＝＝＝2，
a6＝＝＝－3.
延伸探究　解　由例2知，a5＝a1＝2，a6＝a2＝－3，…，
∴{an}是周期為4的周期數列，
∴a2 024＝a4×505＋4＝a4＝.
跟蹤訓練2　C　[a1＝1，a2＝a1＋＝1，a3＝a2＋＝.]
例3　(1)B　[方法一　(歸納法)　數列的前5項分別為
a1＝1，a2＝1＋1－＝2－＝，
a3＝＋－＝2－＝，
a4＝＋－＝2－＝，
a5＝＋－＝2－＝，
又a1＝1，由此可得數列的一個通項公式為an＝.
方法二　(迭代法)　a2＝a1＋1－，
a3＝a2＋－，…，
an＝an－1＋－(n≥2)，
則an＝a1＋1－＋－＋－＋…＋－＝2－＝(n≥2)．
又a1＝1也適合上式，
所以an＝(n∈N*)．
方法三　(累加法)　an＋1－an＝－，
a1＝1，a2－a1＝1－，
a3－a2＝－，
a4－a3＝－，
…
an－an－1＝－(n≥2)，
以上各項相加得
an＝1＋1－＋－＋…＋－.
所以an＝(n≥2)．
因為a1＝1也適合上式，
所以an＝(n∈N*)．]
(2)D　[由題意，因為數列{an}滿足an＋1＝an，所以＝，
所以當n≥2時，an＝··…···a1＝××…×××1＝.
當n＝1時，a1＝1滿足上式，
所以an＝(n∈N*)．]
跟蹤訓練3　(1)解　因為an＝an－1＋－(n≥2)，
所以an－an－1＝－(n≥2)．
所以當n≥2時，an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1
＝(－)＋(－)＋…＋(－)＋1＝－＋1.
又當n＝1時，a1＝1也符合上式，
所以an＝－＋1，n∈N*.
(2)解　因為ln an－ln an－1＝1，
所以ln＝1，即＝e(n≥2)．
所以an＝··…··a1
＝
＝en－1(n≥2)，
又a1＝1也符合上式，
所以an＝en－1，n∈N*.
問題2　用{an}的前4項和減去前3項和．
知識梳理
1．a1＋a2＋…＋an
2.
例4　解　(1)當n＝1時，a1＝S1＝2，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝3n－1－(3n－1－1)
＝2×3n－1，顯然a1＝2適合上式，
所以an＝2×3n－1(n∈N*)．
(2)因為Sn＝2n2－30n，
所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＝－28，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n－[2(n－1)2－30(n－1)]＝4n－32.
顯然a1＝－28適合上式，
所以an＝4n－32，n∈N*.
延伸探究　解　因為Sn＝2n2－30n＋1，
所以當n＝1時，a1＝S1＝2×12－30×1＋1＝－27，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－30n＋1－[2(n－1)2－30(n－1)＋1]
＝4n－32.
當n＝1時不適合上式．
所以an＝
跟蹤訓練4　(1)解　當n＝1時，
a1＝S1＝7，
當n≥2時，an＝Sn－Sn－1
＝2n2＋3n＋2－[2(n－1)2＋3(n－1)＋2]＝4n＋1，
又a1＝7不適合上式，
所以an＝
(2)解　當n＝1時，
由已知可得a1＝21＝2.
由a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝2n，①
可得當n≥2時，a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1＝2n－1，②
由①－②得nan＝2n－2n－1＝2n－1(n≥2)，∴an＝(n≥2)．顯然a1＝2不適合上式，∴an＝
隨堂演練
1．D　2.C　3.D　4.17

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