資源簡介

§4.2　等差數列
4.2.1　等差數列的概念
第1課時　等差數列的概念及通項公式
[學習目標]　
1.理解等差數列、等差中項的概念.
2.掌握等差數列的通項公式，并能運用通項公式解決一些簡單的問題.
3.體會等差數列與一元一次函數的關系．
一、等差數列的概念
問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題．
(1)近5屆冬奧會舉辦的時間：2006,2010,2014,2018,2022；
(2)我國確定鞋號的腳長值以毫米為單位來表示，常用的中國鞋號按從大到小的順序可排列為：45,44,43,42,41,40，…；
(3)為增強體質，學校增加了體育訓練的項目，下面記錄了某班內5名男生1分鐘內引體向上的個數：10,10,10,10,10.
以上數列有什么共同特征？
知識梳理
一般地，如果一個數列從第______項起，每一項與它的前一項的______都等于____________，那么這個數列就叫做等差數列，這個常數叫做等差數列的______，公差通常用字母______表示．
例1　判斷下列各組數列是不是等差數列．如果是，寫出首項a1和公差d.
(1)1,3,5,7,9，…；
(2)9,6,3,0，－3，…；
(3)1,3,4,5,6，…；
(4)7,7,7,7,7，…；
(5)1，，，，，….
反思感悟　利用定義法判斷等差數列：從第2項起，檢驗每一項與它的前一項的差是否都等于同一個常數，若是同一個常數，則是等差數列，否則不是等差數列．
跟蹤訓練1　(多選)下列數列是等差數列的是(　　)
A．1,1,1,1,1 B．4,7,10,13,16
C.，，1，， D．－3，－2，－1,1,2
二、等差中項
問題2　由等差數列的定義可知，如果1，x,3這三個數是等差數列，你能求出x的值嗎？
知識梳理
由三個數a，A，b組成的等差數列可以看成是最簡單的等差數列．這時，A叫做a與b的____________，且2A＝____________.
例2　(1)若a＝，b＝，則a，b的等差中項為(　　)
A. B. C. D.
(2)在－1與7之間順次插入三個數a，b，c，使這五個數成等差數列，求此數列．
反思感悟　若a，A，b成等差數列，則A＝；反之，由A＝也可得到a，A，b成等差數列，所以A是a，b的等差中項 A＝.
跟蹤訓練2　已知m和2n的等差中項是4,2m和n的等差中項是5，則2m－n和2n－m的等差中項是(　　)
A．8 B．6 C．4.5 D．3
三、等差數列的通項公式
問題3　你能根據等差數列的定義推導它的通項公式嗎？
問題4　觀察等差數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？
知識梳理
1．首項為a1，公差為d的等差數列{an}的通項公式為an＝____________.
2．若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，
則an＝f(n)＝a1＋(n－1)d＝nd＋(a1－d)．
(1)點(n，an)落在直線y＝dx＋(a1－d)上，這條直線的斜率為______，在y軸上的截距為____________；
(2)這些點的橫坐標每增加1，函數值增加______．
例3　在等差數列{an}中，
(1)已知a5＝－1，a8＝2，求a1與d；
(2)已知a1＋a6＝12，a4＝7，求an.
延伸探究　若等差數列{an}的前三項和為24，第二項與第三項之積為40，求數列{an}的前三項，并寫出通項公式．
反思感悟　等差數列{an}的通項公式an＝a1＋(n－1)d中共含有四個量，即a1，d，n，an，如果知道了其中的任意三個量，那么就可以求出第四個量，在這四個量中，a1和d是等差數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．
跟蹤訓練3　在等差數列{an}中，求解下列各題：
(1)已知公差d＝－，a7＝8，則a1＝____________.
(2)已知a3＝0，a7－2a4＝－1，則公差d＝__________.
(3)已知{an}的前3項依次為2,6,10，則a15＝________.
例4　下面是關于公差d>0的等差數列{an}的四個結論：p1：數列{an}是遞增數列；p2：數列{nan}是遞增數列；p3：數列是遞增數列；p4：數列{an＋3nd}是遞增數列．其中正確的為(　　)
A．p1，p2 B．p3，p4 C．p2，p3 D．p1，p4
反思感悟　熟練掌握等差數列是關于n的一次函數型這一結構特征，并且公差d是一次項系數，它的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列{an}為遞增數列，d＝0時，數列{an}為常數列，d<0時，數列{an}為遞減數列．
跟蹤訓練4　等差數列20,17,14,11，…中第一個負數項是(　　)
A．第7項 B．第8項
C．第9項 D．第10項
1．知識清單：
(1)等差數列的有關概念．
(2)等差數列的通項公式．
(3)等差數列通項公式與函數的關系．
2．方法歸納：列方程組法、迭代法、構造法．
3．常見誤區：
(1)在具體應用問題中項數不清．
(2)忽略等差數列通項公式與函數關系中d＝0的情況．
1．(多選)下列數列中，是等差數列的是(　　)
A．1,4,7,10
B．lg 2，lg 4，lg 8，lg 16
C．25,24,23,22
D．10,8,6,4,2
2．已知等差數列{an}的前三項分別為a－1，a＋1，2a＋1，則該數列的通項公式為(　　)
A．an＝2n－5 B．an＝2n－3
C．an＝2n－1 D．an＝2n＋1
3．若5，x，y，z,21成等差數列，則x＋y＋z的值為(　　)
A．26 B．29 C．39 D．52
4．寫出一個具有下列性質①②的數列{an}的通項公式an＝________，①am＋n＝am＋an(m，n∈N*)；②{an}單調遞增．
4.2.1　等差數列的概念
第1課時　等差數列的概念及通項公式
問題1　對于(1)，我們發現2010－2006＝4,2014－2010＝4,2018－2014＝4,2022－2018＝4，也就是說該數列從第二項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數．對于(2)有44－45＝－1,43－44＝－1，….對于(3)，10－10＝0，有同樣的取值規律．
知識梳理
2　差　同一個常數　公差　d
例1　解　(1)是，a1＝1，d＝2；(2)是，a1＝9，d＝－3；(3)不是；(4)是，a1＝7，d＝0；(5)不是．
跟蹤訓練1　ABC　[由等差數列的定義得，
A項d＝0，故是等差數列；
B項d＝3，故是等差數列；
C項d＝，故是等差數列；
D項每一項與前一項的差不是同一個常數，故不是等差數列．]
問題2　由定義可知x－1＝3－x，即2x＝1＋3，x＝2.
知識梳理
等差中項　a＋b
例2　(1)A　[由題意知a，b的等差中項為
×＝×(－＋＋)＝.]
(2)解　因為－1，a，b，c,7成等差數列，
所以b是－1與7的等差中項，
則b＝＝3，
又a是－1與3的等差中項，
所以a＝＝1.
又c是3與7的等差中項，
所以c＝＝5.
所以該數列為－1,1,3,5,7.
跟蹤訓練2　D　[∵m＋2n＝8,2m＋n＝10，
∴3m＋3n＝18，∴m＋n＝6，
∴2m－n和2n－m的等差中項是
＝＝3.]
問題3　設一個等差數列的首項為a1，公差為d，
由等差數列的定義可知，an－an－1＝d(n≥2)，
思路一：an＝an－1＋d，故有a2＝a1＋d，a3＝a2＋d＝a1＋2d，a4＝a3＋d＝a1＋3d，…
歸納可得，an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
思路二：a2－a1＝d，
a3－a2＝d，
a4－a3＝d，
…
an－an－1＝d，
左右兩邊分別相加可得，an－a1＝(n－1)d，即an＝a1＋(n－1)d(n≥2)．
問題4　由于an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，故an是函數f(x)＝dx＋(a1－d)當x＝n時的函數值，即an＝f(n)，點(n，an)則是函數f(x)＝dx＋(a1－d)圖象上的均勻分布的孤立的點，而d是直線f(x)＝dx＋(a1－d)的斜率，記為d＝(n≥2)，實際上，如果已知直線上任意兩點(n，an)，(m，am)，由斜率的公式可知d＝，公差d的符號決定了數列的單調性，d>0時，數列{an}為遞增數列，d＝0時，數列{an}為常數列，d<0時，數列{an}為遞減數列．
知識梳理
1．a1＋(n－1)d
2．(1)d　a1－d 　(2)d
例3　解　(1)由題意知
解得
(2)設等差數列{an}的公差為d，
由題意知
解得
所以an＝a1＋(n－1)d＝1＋(n－1)×2＝2n－1，n∈N*.
延伸探究　解　設等差數列{an}的公差為d，
由題可得
解得
∴a2＝a1＋d＝8，a3＝a1＋2d＝5.
數列{an}的通項公式為an＝11＋(n－1)×(－3)＝－3n＋14.
跟蹤訓練3　(1)10　(2)－　(3)58
解析　(1)由a7＝a1＋6d，
得8＝a1＋6×，
故a1＝10.
(2)設首項為a1，公差為d，
則
解得
(3)由題意得，d＝6－2＝4，
把a1＝2，d＝4代入an＝a1＋(n－1)d，
得an＝2＋(n－1)×4＝4n－2，
∴a15＝4×15－2＝58.
例4　D　[設等差數列的首項為a1，則an＝a1＋(n－1)d＝dn＋(a1－d)，∵d>0，∴數列{an}遞增，p1正確；
nan＝dn2＋(a1－d)n，當n<時，不遞增，p2錯誤；
＝d＋，當a1－d>0時，不遞增，p3錯誤；
[an＋1＋3(n＋1)d]－(an＋3nd)＝an＋1－an＋3d＝4d>0，{an＋3nd}遞增，p4正確，故選D.]
跟蹤訓練4　B　[∵a1＝20，d＝－3，
∴an＝20＋(n－1)×(－3)＝23－3n，
∴a7＝2>0，a8＝－1<0.
∴數列中第一個負數項是第8項．]
隨堂演練
1．ABD　2.C　3.C　4.n(答案不唯一)第2課時　等差數列的判定與性質
[學習目標]　
1.掌握等差數列的判定與證明的方法.
2.掌握等差數列的性質及應用.
3.能根據實例抽象出等差數列進行簡單的應用．
一、等差數列的判定與證明
問題1　如果一個數列的前有限項是等差數列，那么這個數列是等差數列嗎？
知識梳理
證明或判定等差數列的方法
(1)定義法：an＋1－an＝d(n∈N*)．
(2)等差中項法：2an＝an－1＋an＋1(n≥2)．
(3)通項公式法：an＝a1＋(n－1)d＝pn＋q(p，q為常數)．
例1　已知數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝.
(1)數列是否為等差數列？說明理由；
(2)求an.
延伸探究　將本例中的條件“a1＝2，an＋1＝”換為“a1＝4，an＝4－(n>1)，記bn＝”．
(1)試證明數列{bn}為等差數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
反思感悟　(1)通項公式法不能作為證明方法．
(2)若an＋1－an為常數，則該常數為等差數列{an}的公差；若an＋1－an＝an－an－1(n≥2，n∈N*)成立，則無法確定等差數列{an}的公差．
(3)若數列的前有限項成等差數列，則該數列未必是等差數列；而要否定一個數列是等差數列，只要說明其中連續三項不成等差數列即可．
跟蹤訓練1　已知數列{an}滿足(an＋1－1)·(an－1)＝3(an－an＋1)，a1＝2，令bn＝.
(1)證明：數列{bn}是等差數列；
(2)求數列{an}的通項公式．
二、等差數列的性質
問題2　如果{an}是等差數列，a3＝5，d＝2，不求首項，你能求數列的通項公式嗎？
問題3　若數列{an}是等差數列，公差為d，m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am，an，ap，aq這四項之間有什么樣的關系？
知識梳理
1．設等差數列{an}的首項為a1，公差為d，則
(1)an＝dn＋(a1－d)(n∈N*)；
(2)an＝am＋____________(m，n∈N*)；
(3)d＝__________(m，n∈N*，且m≠n)．
2．下標性質：在等差數列{an}中，若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝________________________________________________________________________.
特別地，若m＋n＝2p(m，n，p∈N*)，則有am＋an＝____________.
例2　(1)已知{an}為等差數列，a15＝8，a60＝20，求a75.
(2)已知數列{an}是等差數列，若a1－a9＋a17＝7，則a3＋a15等于(　　)
A．7 B．14
C．21 D．7(n－1)
延伸探究　在等差數列{an}中，a3＋a7＋2a15＝40，求a10.
反思感悟　(1)靈活利用等差數列的性質，可以減少運算．令m＝1，an＝am＋(n－m)d即變為an＝a1＋(n－1)d，可以減少記憶負擔．
(2)等差數列運算的兩種常用思路
①基本量法：根據已知條件，列出關于a1，d的方程(組)，確定a1，d，然后求其他量．
②巧用性質法：觀察等差數列中項的序號，若滿足m＋n＝p＋q＝2r(m，n，p，q，r∈N*)，
則am＋an＝ap＋aq＝2ar.
跟蹤訓練2　(1)已知{bn}為等差數列，若b3＝－2，b10＝12，則b8＝________.
(2)數列{an}滿足3＋an＝an＋1且a2＋a4＋a6＝9，則log6(a5＋a7＋a9)的值是(　　)
A．－2 B．－ C．2 D.
三、由等差數列構造新數列
問題4　若數列{an}是等差數列，首項為a1，公差為d，在{an}中每相鄰兩項之間都插入4個數，若要使之構成一個新的等差數列，你能求出它的公差嗎？
知識梳理　
若{an}，{bn}分別是公差為d，d′的等差數列，則有
數列 結論
{c＋an} 公差為d的等差數列(c為任一常數)
{c·an} 公差為cd的等差數列(c為任一常數)
{an＋an＋k} 公差為2d的等差數列(k為常數，k∈N*)
{pan＋qbn} 公差為pd＋qd′的等差數列(p，q為常數)
例3　在無窮等差數列{an}中，首項a1＝3，公差d＝－5，依次取出序號能被4除余3的項組成數列{bn}．
(1)求b1和b2；
(2)求數列{bn}的通項公式．
(3)數列{bn}中的第503項是{an}中的第幾項？
延伸探究　有兩個等差數列2,6,10，…，190和2,8,14，…，200，由這兩個等差數列的公共項按從小到大的順序組成一個新數列，則這個新數列的項數為(　　)
A．15 B．16 C．17 D．18
反思感悟　對于任何形式的構造數列，判斷是否為等差數列，一般從兩個方面進行判斷：(1)定義：an－an－1(n≥2)是否為常數；(2)其通項公式是否為關于n的一次函數．
跟蹤訓練3　已知兩個等差數列{an}：5,8,11，…，與{bn}：3,7,11，…，它們的公共項組成數列{cn}，則數列{cn}的通項公式cn＝________；若數列{an}和{bn}的項數均為100，則{cn}的項數是________．
1．知識清單：
(1)證明等差數列的方法．
(2)等差數列的項與項之間的性質及應用．
(3)由等差數列構造新的數列．
2．方法歸納：定義法、公式法、構造法、解方程組法．
3．常見誤區：
(1)不注意運用性質而出錯或解法煩瑣．
(2)實際問題中項數的確定．
1．(多選)下列命題正確的是(　　)
A．給出數列的有限項就可以唯一確定這個數列的通項公式
B．若等差數列{an}的公差d>0，則{an}是遞增數列
C．若a，b，c成等差數列，則，，可能成等差數列
D．若數列{an}是等差數列，則數列{an＋2an＋1}不一定是等差數列
2．在等差數列{an}中，若a2＋a6＝6，a5＝8，則a10等于(　　)
A．20 B．25 C．30 D．33
3．已知等差數列{am}滿足am－1＋am＋1－a－1＝0，且m>1，則a1＋a2m－1＝________.
4．已知等差數列{an}滿足a5＝2，a11＝11，則a－a＝________.
第2課時　等差數列的判定與性質
問題1　不一定，證明一個數列是等差數列，一定要體現出任意性．
例1　解　(1)數列是等差數列，理由如下：
∵a1＝2，an＋1＝，
∴＝＝＋，
∴－＝，
即是首項為＝，
公差為d＝的等差數列．
(2)由(1)可知＝＋(n－1)d＝，
∴an＝，n∈N*.
延伸探究　(1)證明　bn＋1－bn＝－
＝－
＝－
＝＝.
又b1＝＝，
∴數列{bn}是首項為，公差為的等差數列．
(2)解　由(1)知bn＝＋(n－1)×＝.
∵bn＝，
∴an＝＋2＝＋2.
∴數列{an}的通項公式為an＝＋2，
n∈N*.
跟蹤訓練1　(1)證明　∵－
＝＝，
∴bn＋1－bn＝，又b1＝＝1，
∴{bn}是首項為1，公差為的等差數列．
(2)解　由(1)知bn＝n＋，
∴an－1＝，
∴an＝，n∈N*.
問題2　由定義可知a3＝a1＋2d，an＝a1＋(n－1)d，兩式相減得an－a3＝(n－3)d，即an＝a3＋(n－3)d.所以an＝2n－1.
問題3　由等差數列的定義可知，am＝a1＋(m－1)d，an＝a1＋(n－1)d，ap＝a1＋(p－1)d，aq＝a1＋(q－1)d，容易發現am＋an＝2a1＋(m＋n－2)d，ap＋aq＝2a1＋(p＋q－2)d，因為m＋n＝p＋q，故有am＋an＝ap＋aq.
知識梳理
1．(2)(n－m)d　(3)
2．ap＋aq　2ap
例2　(1)解　方法一　(利用an＝am＋(n－m)d)
設數列 {an}的公差為d，
則a60＝a15＋(60－15)d＝8＋45d＝20，
所以d＝＝＝，
所以a75＝a60＋(75－60)d＝20＋15×＝24.
方法二　(利用隔項成等差數列)
因為{an}為等差數列，
所以a15，a30，a45，a60，a75也成等差數列，
設其公差為d，a15為首項，
則a60為第四項，
所以a60＝a15＋3d，解得d＝4，
所以a75＝a60＋d＝24.
(2)B　[因為a1－a9＋a17＝(a1＋a17)－a9＝2a9－a9＝a9＝7，
所以a3＋a15＝2a9＝2×7＝14.]
延伸探究　解　方法一　設數列{an}的公差為d.
則a3＋a7＋2a15＝a1＋2d＋a1＋6d＋2(a1＋14d)
＝4a1＋36d＝4(a1＋9d)
＝4a10＝40，
∴a10＝10.
方法二　∵a3＋a7＋2a15＝a3＋a7＋a15＋a15＝a10＋a10＋a10＋a10＝40，∴a10＝10.
跟蹤訓練2　(1)8
解析　方法一　∵{bn}為等差數列，∴可設其公差為d，
則d＝＝＝2，
∴bn＝b3＋(n－3)d＝2n－8.
∴b8＝2×8－8＝8.
方法二　由＝＝d，
得b8＝×5＋b3＝2×5＋(－2)＝8.
(2)C　[由3＋an＝an＋1，
得an＋1－an＝3.
所以{an}是公差為3的等差數列．
又a2＋a4＋a6＝9，
且a2＋a6＝2a4，
所以3a4＝9，
則a4＝3，
所以a7＝a4＋3d＝3＋3×3＝12，
故log6(a5＋a7＋a9)＝log6(3a7)＝log636＝2.]
問題4　設新數列為，公差為d′，則有b1＝a1，b6＝a2，所以b6－b1＝a2－a1＝d，故有5d′＝d，
所以d′＝d.
例3　解　(1)∵a1＝3，d＝－5，
∴an＝3＋(n－1)×(－5)＝8－5n.
數列{an}中序號被4除余3的項是{an}中的第3項，第7項，第11項，…，∴b1＝a3＝－7，b2＝a7＝－27.
(2)設數列{an}中的第m項是數列{bn}中的第n項，即bn＝am，則m＝3＋4(n－1)＝4n－1，∴bn＝am＝a4n－1＝8－5×(4n－1)＝13－20n，即數列{bn}的通項公式為bn＝13－20n.
(3)3＋4×(503－1)＝2 011，∴數列{bn}中的第503項是數列{an}中的第2011項．
延伸探究　B　[易知，第一個數列的公差為4，第二個數列的公差為6，故新數列的公差為具有相同首項的兩個數列公差的最小公倍數，其公差為12，首項為2，
所以通項公式為an＝12n－10，
所以12n－10≤190，解得n≤，
而n∈N*，所以n的最大值為16，即這個新數列的項數為16.]
跟蹤訓練3　12n－1　25
解析　由于數列{an}和{bn}都是等差數列，所以{cn}也是等差數列，且公差為3×4＝12，又c1＝11，故cn＝11＋12(n－1)＝12n－1.又a100＝302，b100＝399，所以11≤12n－1≤302，
解得1≤n≤25.25，
又n∈N*，故{cn}的項數為25.
隨堂演練
1．BC　2.D　3.2　4.36

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