資源簡(jiǎn)介

第2課時(shí)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.構(gòu)造等差數(shù)列求和模型，解決實(shí)際問(wèn)題.
2.能夠利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的函數(shù)性質(zhì)求其前n項(xiàng)和的最值.
3.理解并應(yīng)用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)．
一、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用
問(wèn)題1　請(qǐng)同學(xué)們圍繞身邊的相關(guān)生活背景，發(fā)揮智慧，命制一個(gè)等差數(shù)列求和的應(yīng)用題．
例1　某優(yōu)秀大學(xué)生畢業(yè)團(tuán)隊(duì)響應(yīng)國(guó)家號(hào)召，畢業(yè)后自主創(chuàng)業(yè)，通過(guò)銀行貸款等方式籌措資金，投資72萬(wàn)元生產(chǎn)并經(jīng)營(yíng)共享單車，第一年維護(hù)費(fèi)用為12萬(wàn)元，以后每年都增加4萬(wàn)元，每年收入租金50萬(wàn)元．
(1)若扣除投資和維護(hù)費(fèi)用，則從第幾年開(kāi)始獲取純利潤(rùn)？
(2)若年平均獲利最大時(shí)，該團(tuán)隊(duì)計(jì)劃投資其他項(xiàng)目，問(wèn)應(yīng)在第幾年轉(zhuǎn)投其他項(xiàng)目？
反思感悟　(1)本題屬于與等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的應(yīng)用題，其關(guān)鍵在于構(gòu)造合適的等差數(shù)列．
(2)遇到與正整數(shù)有關(guān)的應(yīng)用題時(shí)，可以考慮與數(shù)列知識(shí)聯(lián)系，抽象出數(shù)列的模型，并用有關(guān)知識(shí)解決相關(guān)的問(wèn)題，是數(shù)學(xué)建模的核心素養(yǎng)的體現(xiàn)．
跟蹤訓(xùn)練1　《張邱建算經(jīng)》卷上第22題為：今有女善織，日益功疾，且從第2天起，每天比前一天多織相同量的布，若第1天織5尺布，現(xiàn)在一月(按30天計(jì))共織390尺布，則每天比前一天多織________尺布(不作近似計(jì)算)．
二、等差數(shù)列中前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題
問(wèn)題2　根據(jù)上節(jié)課所學(xué)，等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式有什么樣的函數(shù)特點(diǎn)？
知識(shí)梳理
等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值
(1)在等差數(shù)列{an}中，
當(dāng)a1>0，d<0時(shí)，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式組____________確定；
當(dāng)a1<0，d>0時(shí)，Sn有最______值，使Sn取得最值的n可由不等式組____________確定．
(2)Sn＝n2＋n，若d≠0，則從二次函數(shù)的角度看：當(dāng)d>0時(shí)，Sn有最____值；當(dāng)d<0時(shí)，Sn有最________值．當(dāng)n取最接近對(duì)稱軸的正整數(shù)時(shí)，Sn取到最值．
例2　在等差數(shù)列{an}中，a1＝25，S8＝S18，求前n項(xiàng)和Sn的最大值．
反思感悟　(1)求等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn最值的方法
①尋找正、負(fù)項(xiàng)的分界點(diǎn)，可利用等差數(shù)列性質(zhì)或利用或來(lái)尋找；
②運(yùn)用二次函數(shù)求最值，注意n∈N*.
(2)已知等差數(shù)列{an}，求{|an|}前n項(xiàng)和的方法根據(jù)(1)①中的方法尋找正、負(fù)項(xiàng)，然后分類討論即可．
跟蹤訓(xùn)練2　(1)(多選)設(shè)數(shù)列{an}是以d為公差的等差數(shù)列，Sn是其前n項(xiàng)和，a1>0，且S6＝S9，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．d<0
B．a(chǎn)8＝0
C．S5>S6
D．S7和S8為Sn的最大值
(2)設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，S4＝－16，S6＝－12.
①求{an}的通項(xiàng)公式an；
②求數(shù)列{|an|}的前n項(xiàng)和Tn.
三、等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)
問(wèn)題3　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，公差為d，你能發(fā)現(xiàn)Sn與S2n的關(guān)系嗎？
知識(shí)梳理
1．設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，Sn為其前n項(xiàng)和，則Sm，S2m－Sm，S3m－S2m，…仍構(gòu)成等差數(shù)列，且公差為m2d.
2．若數(shù)列{an}是公差為d的等差數(shù)列，則數(shù)列也是等差數(shù)列，且公差為_(kāi)_____．
3．在等差數(shù)列中，若Sn＝m，Sm＝n，則Sm＋n＝－(m＋n)．
4．項(xiàng)的個(gè)數(shù)的“奇偶”性質(zhì)：
(1)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n，則S偶－S奇＝nd，＝.
(2)若等差數(shù)列的項(xiàng)數(shù)為2n－1，則S奇－S偶＝an，＝(S奇＝nan，S偶＝(n－1)an)．
5．已知等差數(shù)列{an}和{bn}的前n項(xiàng)和分別為Sn，Tn，則＝，＝·.
例3　(1)已知Sn，Tn分別是等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和，且＝(n＝1,2，…)，則＋等于(　　)
A. B. C. D.
(2)已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，且S10＝100，S100＝10，求S110.
反思感悟　利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)簡(jiǎn)化計(jì)算
(1)在解決等差數(shù)列問(wèn)題時(shí)，先利用已知求出a1，d，再求所求，是基本解法，有時(shí)運(yùn)算量大些．
(2) 等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn的有關(guān)性質(zhì)在解題過(guò)程中，如果運(yùn)用得當(dāng)可以達(dá)到化繁為簡(jiǎn)、化難為易、事半功倍的效果．
(3)設(shè)而不求，整體代換也是很好的解題方法．
跟蹤訓(xùn)練3　(1)等差數(shù)列{an}中，S3＝3，S6＝9，則S12等于(　　)
A．12 B．18 C．24 D．30
(2) 一個(gè)等差數(shù)列前12項(xiàng)的和為354，前12項(xiàng)中偶數(shù)項(xiàng)的和與奇數(shù)項(xiàng)的和的比為32∶27，求公差d.
1．知識(shí)清單：
(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的實(shí)際應(yīng)用．
(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的最值問(wèn)題．
(3)等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)的應(yīng)用．
2．方法歸納：公式法、構(gòu)造法、函數(shù)法、整體代換法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：
(1)忽視最值問(wèn)題中n的個(gè)數(shù)．
(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和性質(zhì)應(yīng)用的前提是等差數(shù)列．
1．已知數(shù)列{an}滿足an＝26－2n，則使其前n項(xiàng)和Sn取最大值的n的值為(　　)
A．11或12 B．12
C．13 D．12或13
2．已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若＝，則等于(　　)
A. B.
C. D.
3．《算法統(tǒng)宗》是中國(guó)古代數(shù)學(xué)名著，由明代數(shù)學(xué)家程大位編著，它對(duì)我國(guó)民間普及珠算和數(shù)學(xué)知識(shí)起到了很大的作用．在這部著作中，許多數(shù)學(xué)問(wèn)題都是以歌訣形式呈現(xiàn)的，“九兒?jiǎn)柤赘琛本褪瞧渲幸皇祝阂粋€(gè)公公九個(gè)兒，若問(wèn)生年總不知，自長(zhǎng)排來(lái)差三歲，共年二百又零七，借問(wèn)長(zhǎng)兒多少歲，各兒歲數(shù)要詳推．在這個(gè)問(wèn)題中，記這位公公的第n個(gè)兒子的年齡為an，則a1等于(　　)
A．35 B．32
C．23 D．38
4．已知Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若a1＝－2，－＝2，則＝____________.
第2課時(shí)　等差數(shù)列前n項(xiàng)和的性質(zhì)及應(yīng)用
問(wèn)題1　我們學(xué)校會(huì)議室里的一排排座位的總和；超市里有規(guī)律擺放的水果的總和；工地上的一堆鋼管的總和等．
例1　解　(1)設(shè)第n年獲取的利潤(rùn)為y萬(wàn)元，則n年共收入租金50n萬(wàn)元，維護(hù)費(fèi)構(gòu)成一個(gè)以12為首項(xiàng)，4為公差的等差數(shù)列，
共12n＋4×＝(2n2＋10n)萬(wàn)元，
因此利潤(rùn)y＝50n－(72＋2n2＋10n)
＝－2n2＋40n－72，
令y>0，解得2因?yàn)閚∈N*，
所以從第3年起開(kāi)始獲取純利潤(rùn)．
(2)年平均獲利為
＝
＝－＋40，
因?yàn)?n＋≥2＝24，
所以－＋40≤－24＋40＝16，
當(dāng)且僅當(dāng)2n＝，即n＝6時(shí)，取等號(hào)，
所以應(yīng)在第6年轉(zhuǎn)投其他項(xiàng)目．
跟蹤訓(xùn)練1　
解析　由題意知，該女每天的織布尺數(shù)構(gòu)成等差數(shù)列{an}，其中a1＝5，S30＝390，設(shè)其公差為d，則S30＝30×5＋d＝390，解得d＝.故該女子織布每天增加尺．
問(wèn)題2　由Sn＝na1＋d，可知Sn＝n2＋n，當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是常數(shù)項(xiàng)為0的二次函數(shù)．該函數(shù)的定義域是n∈N*，公差的符號(hào)決定了該二次函數(shù)的開(kāi)口方向，通常簡(jiǎn)記為Sn＝An2＋Bn(A，B∈R)．
知識(shí)梳理
(1)大　　小　　(2)小　大
例2　解　方法一　因?yàn)镾8＝S18，a1＝25，
所以8×25＋d＝18×25＋d，解得d＝－2.
所以Sn＝25n＋×(－2)＝－n2＋26n
＝－(n－13)2＋169.
所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值為169.
方法二　同方法一，求出公差d＝－2.
所以an＝25＋(n－1)×(－2)＝－2n＋27.
因?yàn)閍1＝25>0，
由
得
又因?yàn)閚∈N*，
所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值為169.
方法三　因?yàn)镾8＝S18，
所以a9＋a10＋…＋a18＝0.
由等差數(shù)列的性質(zhì)得a13＋a14＝0.
因?yàn)閍1>0，所以d<0.
所以a13>0，a14<0.
所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn有最大值．
由a13＋a14＝0，
得a1＋12d＋a1＋13d＝0，
解得d＝－2，
所以S13＝13×25＋×(－2)＝169，
所以Sn的最大值為169.
方法四　設(shè)Sn＝An2＋Bn.
因?yàn)镾8＝S18，a1＝25，
所以二次函數(shù)圖象的對(duì)稱軸為n＝＝13，且開(kāi)口方向向下，
所以當(dāng)n＝13時(shí)，Sn取得最大值．
由題意得
解得
所以Sn＝－n2＋26n，
所以S13＝169，
即Sn的最大值為169.
跟蹤訓(xùn)練2　(1)ABD　[根據(jù)題意可得6a1＋d＝9a1＋d，即a1＋7d＝a8＝0.因?yàn)閍1>0，a8＝0，所以d<0，所以數(shù)列是遞減數(shù)列，故A，B正確；
對(duì)于C，因?yàn)閍8＝0，d<0，所以a6>0，所以S5對(duì)于D，因?yàn)閍8＝0，所以S7＝S8，又為遞減數(shù)列，所以S7和S8為Sn的最大值，故D正確．]
(2)解　①設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)和公差分別為a1和d，
∴即
解得
∴an＝－7＋(n－1)×2＝2n－9，n∈N*.
②由①知Sn＝(－7)n＋n(n－1)×2＝n2－8n.
當(dāng)an≥0時(shí) 2n－9≥0 n≥5；
當(dāng)an<0時(shí) 2n－9<0 n≤4，
當(dāng)0Tn＝|a1|＋|a2|＋…＋|an|
＝－(a1＋a2＋…＋an)＝8n－n2，
當(dāng)n≥5時(shí)，
Tn＝－(a1＋a2＋a3＋a4)＋(a5＋…＋an)
＝Sn－2S4＝n2－8n－2×(－16)
＝n2－8n＋32.
綜上，Tn＝
問(wèn)題3　S2n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋…＋a2n＝Sn＋(a1＋nd)＋(a2＋nd)＋…＋(an＋nd)＝2Sn＋n2d，同樣我們發(fā)現(xiàn)S3n＝3Sn＋3n2d，這里出現(xiàn)了一個(gè)數(shù)列Sn，S2n－Sn＝Sn＋n2d，S3n－S2n＝Sn＋2n2d，…，是一個(gè)公差為n2d的等差數(shù)列．
知識(shí)梳理
2.
例3　(1)B　[因?yàn)閿?shù)列{bn}是等差數(shù)列，所以b3＋b18＝b6＋b15，
所以＋＝，
又因?yàn)镾n，Tn分別是等差數(shù)列{an}與{bn}的前n項(xiàng)和，且＝(n＝1,2，…)，
所以＋＝＝＝＝＝.]
(2)解　方法一　設(shè)等差數(shù)列{an}的首項(xiàng)為a1，公差為d，
∵S10＝100，S100＝10，
∴
解得
∴S110＝110a1＋d
＝110×＋×
＝－110.
方法二　∵S10，S20－S10，S30－S20，…，S100－S90，S110－S100，…成等差數(shù)列，設(shè)公差為d，∴該數(shù)列的前10項(xiàng)和為10×100＋d＝S100＝10，
解得d＝－22，
∴前11項(xiàng)和S110＝11×100＋×(－22)＝－110.
方法三　由也是等差數(shù)列，構(gòu)造新的等差數(shù)列b1＝＝10，
b10＝＝，
則d＝(b10－b1)
＝×＝－，
所以b11＝＝b10＋d＝＋
＝－1，
所以S110＝－110.
方法四　直接利用性質(zhì)Sn＝m，Sm＝n，Sm＋n＝－(m＋n)，可知S110＝－110.
跟蹤訓(xùn)練3　(1)D　[根據(jù)題意，得在等差數(shù)列{an}中，S3，S6－S3，
S9－S6，S12－S9，…也成等差數(shù)列，
又由S3＝3，S6＝9，得S6－S3＝6，
則S9－S6＝9，S12－S9＝12，
則S12＝S3＋(S6－S3)＋(S9－S6)＋(S12－S9)＝3＋6＋9＋12＝30.]
(2) 解　設(shè)首項(xiàng)為a1，公差為d，
則由題意可得
解得
又S偶－S奇＝6d，∴d＝5.
綜上所述，公差為5.
隨堂演練
1．D　2.C　3.A　4.2 0204.2.2　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
第1課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.了解等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程.
2.掌握等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式.
3.熟練掌握等差數(shù)列的五個(gè)量a1，d，n，an，Sn的關(guān)系，能夠由其中三個(gè)求另外兩個(gè)．
一、等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
問(wèn)題1　請(qǐng)同學(xué)們欣賞唐代詩(shī)人張南史的《花》并回答下面的問(wèn)題：
　　　　花，　　　　　　 花．
　 　　深淺，　　　　　 芬葩．
　　凝為雪，　　　　 錯(cuò)為霞．
　 鶯和蝶到，　　　 苑占宮遮．
已迷金谷路，　　 頻駐玉人車．
芳草欲陵芳樹(shù)，　 東家半落西家．
愿得春風(fēng)相伴去， 一攀一折向天涯．
從數(shù)學(xué)的角度來(lái)看，這首詩(shī)有什么特點(diǎn)？這首詩(shī)的內(nèi)容一共有多少個(gè)字？
問(wèn)題2　網(wǎng)絡(luò)時(shí)代與唐代不同的是，寶塔詩(shī)的句數(shù)不受限制，如圖，從第1行到第n行一共有多少個(gè)字？
問(wèn)題3　對(duì)于一般的等差數(shù)列{an}，如何求其前n項(xiàng)和Sn？設(shè)其首項(xiàng)為a1，公差為d.
知識(shí)梳理
等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
已知量 首項(xiàng)、末項(xiàng)與項(xiàng)數(shù) 首項(xiàng)、公差與項(xiàng)數(shù)
求和公式 Sn＝____________ Sn＝____________
例1　在等差數(shù)列{an}中：
(1)已知a6＝10，S5＝5，求a8和S10；
(2)已知a1＝4，S8＝172，求a8和d.
反思感悟　等差數(shù)列中的基本計(jì)算
(1)利用基本量求值：
等差數(shù)列的通項(xiàng)公式和前n項(xiàng)和公式中有五個(gè)量a1，d，n，an和Sn，這五個(gè)量可以“知三求二”．一般是利用公式列出基本量a1和d的方程組，解出a1和d，便可解決問(wèn)題．解題時(shí)注意整體代換的思想．
(2)結(jié)合等差數(shù)列的性質(zhì)解題：
等差數(shù)列的常用性質(zhì)：若m＋n＝p＋q(m，n，p，q∈N*)，則am＋an＝ap＋aq，特別地，m＋n＝2p,2ap＝am＋an常與求和公式Sn＝結(jié)合使用．
跟蹤訓(xùn)練1　在等差數(shù)列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝7，求S9；
(2)a3＋a15＝40，求S17；
(3)a1＝，an＝－，Sn＝－5，求n和d.
二、利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷等差數(shù)列
問(wèn)題4　等差數(shù)列前n項(xiàng)和Sn＝na1＋d是關(guān)于n的二次函數(shù)嗎？它可以寫(xiě)成什么形式？
例2　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列，若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
延伸探究　若數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝2n2－3n－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷數(shù)列{an}是否是等差數(shù)列．若是，請(qǐng)證明；若不是，請(qǐng)說(shuō)明理由．
反思感悟　由Sn求得通項(xiàng)公式an的特點(diǎn)，若Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)，不含常數(shù)項(xiàng)，則由Sn求得an，知數(shù)列{an}是等差數(shù)列；否則an＝數(shù)列{an}不是等差數(shù)列．
跟蹤訓(xùn)練2　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn＝n2＋n－1，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式，并判斷它是不是等差數(shù)列．
1．知識(shí)清單：
(1)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的推導(dǎo)過(guò)程．
(2)等差數(shù)列前n項(xiàng)和有關(guān)的基本運(yùn)算．
(3)利用等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式判斷等差數(shù)列．
2．方法歸納：倒序相加法、公式法、整體代換法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：由Sn求通項(xiàng)公式時(shí)忽略對(duì)n＝1的討論．
1．已知數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2－3n，n∈N*，則{an}的前n項(xiàng)和Sn等于(　　)
A．－n2＋ B．－n2－
C.n2＋ D.n2－
2．設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，若a5，a25是方程x2－4x＋3＝0的兩根，則S29等于(　　)
A．60 B．116 C．29 D．58
3．設(shè)Sn是等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，若＝，則等于(　　)
A. B. C．2 D．3
4．?dāng)?shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn＝－n2＋n，則它的通項(xiàng)公式an＝________.
第1課時(shí)　等差數(shù)列的前n項(xiàng)和公式
問(wèn)題1　詩(shī)中文字有對(duì)稱性；S＝2＋4＋6＋8＋10＋12＋14＝2×(1＋2＋3＋4＋5＋6＋7)，根據(jù)對(duì)稱性，可先取其一半來(lái)研究．其數(shù)的個(gè)數(shù)較少，大家很容易求出答案．
問(wèn)題2　方法一　對(duì)項(xiàng)數(shù)分奇數(shù)、偶數(shù)討論，認(rèn)清當(dāng)項(xiàng)數(shù)為奇數(shù)時(shí)，通過(guò)“落單”中間一項(xiàng)或最后一項(xiàng)，轉(zhuǎn)化成項(xiàng)數(shù)為偶數(shù)來(lái)研究．通過(guò)計(jì)算發(fā)現(xiàn)，無(wú)論項(xiàng)數(shù)是奇數(shù)還是偶數(shù)，結(jié)果都是S＝，可見(jiàn)，結(jié)果與項(xiàng)數(shù)的奇偶無(wú)關(guān)．
方法二　(如圖)在原式的基礎(chǔ)上，再加一遍1＋2＋3＋…＋n，
即S＝1＋2＋3＋…＋n，
S＝n＋(n－1)＋(n－2)＋…＋1，
避免了分類討論，我們把這種求和的方法稱為“倒序相加法”，其本質(zhì)還是配對(duì)，將2n個(gè)數(shù)重新分組配對(duì)求和．
問(wèn)題3　倒序相加法

兩式相加可得2Sn＝n(a1＋an)，即Sn＝，上述過(guò)程實(shí)際上用到了等差數(shù)列性質(zhì)里面的首末“等距離”的兩項(xiàng)的和相等．
知識(shí)梳理
　na1＋d
例1　解　(1)
解得
∴a8＝a6＋2d＝10＋2×3＝16，
S10＝10a1＋d＝10×(－5)＋5×9×3＝85.
(2)由已知得S8＝＝＝172，
解得a8＝39，
又∵a8＝4＋(8－1)d＝39，
∴d＝5.
∴a8＝39，d＝5.
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
則a4＝a1＋3d＝1＋3d＝7，
所以d＝2.
故S9＝9a1＋d＝9＋×2＝81.
(2)S17＝＝＝＝340.
(3)由題意得，Sn＝＝＝－5，
解得n＝15.
又a15＝＋(15－1)d＝－，
解得d＝－，
所以n＝15，d＝－.
問(wèn)題4　當(dāng)d＝0時(shí)，Sn不是關(guān)于n的二次函數(shù)；當(dāng)d≠0時(shí)，Sn是關(guān)于n的二次函數(shù)．Sn＝
n2＋n.
例2　解　當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－2(n－1)2＋3(n－1)＝4n－5，
經(jīng)檢驗(yàn)，當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝－1滿足上式，
故an＝4n－5.
數(shù)列{an}是等差數(shù)列，證明如下：
因?yàn)閍n＋1－an＝4(n＋1)－5－4n＋5＝4，
所以數(shù)列{an}是等差數(shù)列．
延伸探究　解　∵Sn＝2n2－3n－1，①
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝2－3－1＝－2；
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝22－3－1，②
①－②得an＝Sn－Sn－1
＝2n2－3n－1－[22－3－1]
＝4n－5，
經(jīng)檢驗(yàn)當(dāng)n＝1時(shí)，
an＝4n－5不成立，
故an＝
故數(shù)列{an}不是等差數(shù)列，數(shù)列{an}是從第二項(xiàng)起以4為公差的等差數(shù)列．
跟蹤訓(xùn)練2　解　當(dāng)n＝1時(shí)，
a1＝S1＝1；
當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1
＝(n2＋n－1)－[(n－1)2＋(n－1)－1]＝2n.
又a1＝1不滿足an＝2n，
∴數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式是
an＝
∵a2－a1＝4－1＝3≠a3－a2＝2，
∴數(shù)列{an}中前兩項(xiàng)的差與第二、三項(xiàng)的差不是同一個(gè)常數(shù)，
∴{an}不是等差數(shù)列，數(shù)列{an}是從第二項(xiàng)起以2為公差的等差數(shù)列．
隨堂演練
1．A　2.D　3.D　4.－2n＋2

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