資源簡介

第2課時　等比數列的判定與性質
[學習目標]　
1.掌握等比數列的判斷及證明方法.
2.能根據等比數列的定義推出等比數列的性質，并能運用這些性質簡化運算.
3.靈活應用等比數列通項公式的推廣形式及變形．
一、等比數列的判定與證明
問題1　若數列{an}的前三項成等比數列，能說明這個數列是等比數列嗎？
知識梳理　
判定與證明等比數列的方法
(1)定義法：＝______(n∈N*且n≥2，q為不為0的常數)．
(2)等比中項法：a＝____________(n∈N*且n≥2)．
(3)通項公式法：an＝____________＝·qn＝A·qn(A≠0)．
例1　已知數列{an}的前n項和為Sn，Sn＝(an－1)(n∈N*)．
(1)求a1，a2；
(2)求證：數列{an}是等比數列．
反思感悟　判斷一個數列是等比數列的常用方法
(1)定義法：若數列{an}滿足＝q(n∈N*，q為常數且不為零)或＝q(n≥2，且n∈N*，q為常數且不為零)，則數列{an}是等比數列．
(2)通項公式法：若數列{an}的通項公式為an＝a1qn－1(a1≠0，q≠0)，則數列{an}是等比數列．
(3)等比中項法：若a＝anan＋2(n∈N*且an≠0)，則數列{an}為等比數列．
跟蹤訓練1　數列{an}的前n項和記為Sn，已知a1＝1，an＋1＝Sn(n＝1,2,3，…)．證明：數列是等比數列．
二、等比數列中項與項之間的關系
問題2　結合上面的類比，你能把等差數列里面的an＝am＋(n－m)d類比出等比數列中相似的性質嗎？
問題3　結合上面的類比，你能把等差數列里面的am＋an＝ak＋al(m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*)，類比出等比數列中相似的性質嗎？
知識梳理　
1．等比數列通項公式的推廣和變形an＝____________.
2．設數列{an}為等比數列，則：
(1)若k＋l＝m＋n(k，l，m，n∈N*)，則____________．
(2)若m，p，n成等差數列，則____________成等比數列．
例2　(1)在等比數列{an}中：
①已知a3＋a6＝36，a4＋a7＝18，an＝，求n；
②已知a5＝8，a7＝2，an>0，求an.
(2)已知{an}為等比數列．
①若{an}滿足a2a4＝，求a1aa5；
②若an>0，a5a7＋2a6a8＋a6a10＝49，求a6＋a8；
③若an>0，a5a6＝9，求log3a1＋log3a2＋…＋log3a10的值．
(3)有四個實數，前三個數成等比數列，且它們的乘積為216，后三個數成等差數列，且它們的和為12，求這四個數．
反思感悟　(1)應用等比數列的性質可以簡化運算，當性質不能應用時，可以通過基本量法求解．
(2)等比數列中的設元技巧：當三個數成等比數列時，可設為，a，aq；當四個正數(負數)成等比數列時，可設為，，aq，aq3.
跟蹤訓練2　(1)已知等比數列{an}滿足a1＋a5＋a9＝21，a4＋a8＋a12＝42，則a7等于(　　)
A．4 B．8 C．16 D．32
(2)在等比數列{an}中，a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，則的值為(　　)
A. B．3
C．± D．±3
(3)已知有四個數成等比數列，且將這四個數分別減去1,1,4,13后成等差數列，則這四個數的和是________．
三、由等比數列構造新等比數列
問題4　結合我們所學，你能類比等差數列、等比數列的通項公式的結構特點及運算關系嗎？
知識梳理　
1．在等比數列{an}中，每隔k項(k∈N*)取出一項，按原來的順序排列，所得的新數列仍為等比數列．
2．若{an}是等比數列，公比為q，則數列{λan}(λ≠0)，，{a}都是等比數列，且公比分別是____________．
3．若{an}，{bn}是項數相同的等比數列，公比分別是p和q，那么{anbn}與也都是等比數列，公比分別為______和______．
例3　如果數列{an}是等比數列，那么下列數列中不一定是等比數列的是(　　)
A. B.
C. D.
反思感悟　由等比數列構造新的等比數列，一定要檢驗新的數列中是否有為0的項，主要是針對q<0的情況．
跟蹤訓練3　設{an}是各項為正數的無窮數列，Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形面積(i＝1,2，…)，則{An}為等比數列的充要條件為(　　)
A．{an}是等比數列
B．a1，a3，…，a2n－1，…或a2，a4，…，a2n，…是等比數列
C．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列
D．a1，a3，…，a2n－1，…和a2，a4，…，a2n，…均是等比數列，且公比相同
1．知識清單：
(1)等比數列的判定與證明．
(2)等比數列中項與項之間的關系及應用．
(3)由等比數列構造新的等比數列．
2．方法歸納：公式法、類比法、定義法、分類討論法．
3．常見誤區：
(1)構造新的等比數列易忽視有等于0的項．
(2)四個數成等比數列時設成，，aq，aq3，未考慮公比為負的情況．
1．已知{an}，{bn}都是等比數列，那么(　　)
A．{an＋bn}，{anbn}都一定是等比數列
B．{an＋bn}一定是等比數列，但{anbn}不一定是等比數列
C．{an＋bn}不一定是等比數列，但{anbn}一定是等比數列
D．{an＋bn}，{anbn}都不一定是等比數列
2．已知數列{an}為各項都是正數的等比數列，a＝9a1·a9，則等于(　　)
A．3 B.
C. D.
3．等比數列{an}為遞減數列，若a7·a14＝6，a4＋a17＝5，則等于(　　)
A. B. C. D．6
4．有四個數，前三個數成等比數列，后三個數成等差數列，第一個數與第四個數的和為21，中間兩個數的和為18，則這四個數為________．
第2課時　等比數列的判定與性質
問題1　不能，要證明一個數列是等比數列，一定要體現出任意性．
知識梳理　
(1)q　(2)an－1an＋1　(3)a1qn－1
例1　(1)解　由S1＝(a1－1)，
得a1＝(a1－1)，所以a1＝－.
又S2＝(a2－1)，
即a1＋a2＝(a2－1)，得a2＝.
(2)證明　當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1
＝(an－1)－(an－1－1)，
得＝－.又a1＝－，
所以{an}是首項為－，公比為－的等比數列．
跟蹤訓練1　證明　由a1＝1，an＋1＝Sn，
得an>0，Sn>0.
由an＋1＝Sn，an＋1＝Sn＋1－Sn，
得(n＋2)Sn＝n(Sn＋1－Sn)，
整理，得nSn＋1＝2(n＋1)Sn，
所以＝2·，則＝2.
因為＝＝1，所以數列是以1為首項，2為公比的等比數列．
問題2　類比可得an＝amqn－m；由等比數列的定義可知an＝a1qn－1，am＝a1qm－1，兩式相除可得＝＝q(n－1)－(m－1)＝qn－m，即an＝amqn－m.
問題3　類比可得aman＝akal，
其中m＋n＝k＋l，m，n，k，l∈N*.
推導過程：am＝a1qm－1，an＝a1qn－1，ak＝a1qk－1，al＝a1ql－1，
所以aman＝a1qm－1·a1qn－1＝aqm＋n－2，akal＝a1qk－1·a1ql－1＝aqk＋l－2，
因為m＋n＝k＋l，
所以有aman＝akal.
知識梳理　
1．amqn－m
2．(1)ak·al＝am·an　(2)am，ap，an
例2　(1)解　設等比數列{an}的公比為q.
①由
得q＝.
再由a3＋a6＝a3·(1＋q3)＝36得a3＝32，
則an＝a3·qn－3＝32×n－3＝n－8＝，
所以n－8＝1，所以n＝9.
②由a5＝8，a7＝a5·q2＝2，
得q2＝.
因為an>0，所以q＝，
所以an＝a5·qn－5＝8×n－5＝n－8.
(2)解　①在等比數列{an}中，
∵a2a4＝，
∴a＝a1a5＝a2a4＝，
∴a1aa5＝.
②由等比中項，化簡條件得
a＋2a6a8＋a＝49，
即(a6＋a8)2＝49，
∵an>0，
∴a6＋a8＝7.
③由等比數列的性質知a5a6＝a1a10＝a2a9＝a3a8＝a4a7＝9，
∴log3a1＋log3a2＋…＋log3a10＝log3(a1a2·…·a10)＝log3[(a1a10)·(a2a9)(a3a8)(a4a7)(a5a6)]
＝log395＝10.
(3)解　方法一　設前三個數分別為，
a，aq，
則·a·aq＝216，
所以a3＝216.
所以a＝6.
因此前三個數為，6,6q.
由題意知第4個數為12q－6.
所以6＋6q＋12q－6＝12，
解得q＝.
故所求的四個數為9,6,4,2.
方法二　設后三個數為4－d,4,4＋d，
則第一個數為(4－d)2，
由題意知(4－d)2×(4－d)×4＝216，
解得4－d＝6.
所以d＝－2.
故所求的四個數為9,6,4,2.
跟蹤訓練2　(1)B　[設數列{an}的公比為q，
則a4＋a8＋a12＝(a1＋a5＋a9)q3，
即21q3＝42，解得q＝.
因為a1＋a5＋a9＝a1(1＋q4＋q8)＝21a1＝21，
所以a1＝1，則a7＝a1q6＝8.]
(2)B　[因為a1，a13是方程x2－13x＋9＝0的兩根，
所以a1a13＝9，a1＋a13＝13，
所以a1>0，a13>0，
又{an}為等比數列，
則a7＝a1q6>0，
又a1a13＝a2a12＝a＝9，
所以a7＝3或a7＝－3(舍去)，
所以＝a7＝3.]
(3)45
解析　設這四個數分別為a，aq，aq2，aq3，
則a－1，aq－1，aq2－4，aq3－13成等差數列．
即
整理得
解得
因此這四個數分別是3,6,12,24，
其和為45.
問題4　
等差數列 等比數列
定義 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的差都等于同一個常數，那么這個數列就叫做等差數列 如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列叫做等比數列
符號表示 an－an－1＝d(n≥2，n∈N*) ＝q(n≥2，n∈N*)
通項公式 an＝a1＋(n－1)d an＝a1qn－1
類比 差 商；和 積，積 乘方
性質 等差數列首項為a1，公差為d 等比數列首項為a1，公比為q
把等差數列前k項去掉，得到一個以ak＋1為首項，以d為公差的等差數列 把等比數列前k項去掉，得到一個以ak＋1為首項，以q為公比的等比數列
等差數列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公差為md的等差數列 等比數列中，ak，ak＋m，ak＋2m…是公比為qm的等比數列
等差數列中任意一項加上同一個常數，構成一個公差不變的等差數列 等比數列中任意一項同乘一個非零常數，構成一個公比不變的等比數列
兩個等差數列相加，還是一個等差數列 兩個等比數列相乘，還是一個等比數列
知識梳理　
2．q，，q2
3．pq　
例3　D　[取等比數列an＝n，則an＋an＋1＝0，所以{an＋an＋1}不是等比數列，故D錯誤；
對于其他選項，均滿足等比數列通項公式的性質．]
跟蹤訓練3　D　[因為Ai是邊長為ai，ai＋1的矩形面積(i＝1,2，…)，所以Ai＝aiai＋1(i＝1,2,3，…，n，…)，
則數列{An}的通項為An＝anan＋1.根據等比數列的定義，
數列{An}(n＝1,2,3，…)為等比數列的充要條件是＝＝＝q(常數)．]
隨堂演練
1．C　2.D　3.A
4．3,6,12,18或，，，§4.3　等比數列
4.3.1　等比數列的概念
第1課時　等比數列的概念及通項公式
[學習目標]　
1.通過實例，理解等比數列的概念.
2.掌握等比中項的概念并會應用.
3.掌握等比數列的通項公式并了解其推導過程.
4.理解等比數列通項公式與函數的關系．
一、等比數列的概念
問題1　觀察下面幾個問題中的數列，回答下面的問題．
(1)我國古代數學名著《孫子算經》中有一個有趣的問題叫“出門望九堤”：“今有出門望九堤，堤有九木，木有九枝，枝有九巢，巢有九禽，禽有九雛，雛有九毛，毛有九色，問各有幾何？”
構成數列：9,92,93,94,95,96,97,98；
(2)《莊子·天下》中提到：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭”，這句話中隱藏著一列數：
，，，，，…；
(3)－的n次冪按1次冪、2次冪、3次冪…，依次排成一列數：－，，－，，…，
類比等差數列的研究，你認為可以通過怎樣的運算發現以上數列的取值規律？
知識梳理
等比數列的概念
一般地，如果一個數列從第______項起，每一項與它的______一項的________都等于____________常數，那么這個數列叫做等比數列，這個常數叫做等比數列的______，公比通常用字母q表示(顯然q≠0)．
例1　判斷下列數列是否是等比數列，如果是，寫出它的公比．
(1)1，，，，，…；
(2)，2，3，4，…；
(3)1,0,1,0,1,0，…；
(4)1，－4,16，－64,256，…；
(5)a，a，a，a，a….
反思感悟　判斷一個數列是否為等比數列的方法
定義法：如果一個數列從第2項起，每一項與它的前一項的比都等于同一個常數，那么這個數列是等比數列，否則，不是等比數列，且等比數列中任意一項不能為0，對于含參的數列需要分類討論．
跟蹤訓練1　已知數列{an}為等差數列，則下列數列一定為等比數列的是(　　)
A．{2an} B．{lg an} C．{a} D.
二、等比中項
問題2　我們知道，任意兩個實數都有等差中項，那么，任意兩個實數是否也有等比中項？
知識梳理
等比中項：如果在a與b中間插入一個數G，使a，G，b成等比數列，那么G叫做a與b的____________，此時，____________.
例2　－2和＋2的等差中項與等比中項分別為(　　)
A.，±2 B．2，±
C.，±1 D．1，±
反思感悟　(1)由等比中項的定義可知＝ G2＝ab G＝±，所以只有a，b同號時，a，b才有等比中項，且有兩個，異號時，沒有等比中項．
(2)在一個等比數列中，從第二項起，每一項(有窮數列的末項除外)都是它的前一項和后一項的等比中項．
跟蹤訓練2　在等差數列{an}中，a3＝0.如果ak是a6與ak＋6的等比中項，那么k＝________.
三、等比數列的通項公式
問題3　類比等差數列，你能根據等比數列的定義推導它的通項公式嗎？
問題4　觀察等比數列的通項公式，你認為它與我們熟悉的哪一類函數有關？
知識梳理　
1．若等比數列{an}的首項為a1，公比為q，則an＝____________(n∈N*)．
2．等比數列的通項公式與指數型函數的關系
(1)當q>0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是函數f(x)＝·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即____________．
(2)任給函數f(x)＝kax(k，a為常數，k≠0，a>0且a≠1)，則f(1)＝ka，f(2)＝ka2，…，f(n)＝kan，…構成一個等比數列{kan}，其首項為______，公比為______．
例3　在等比數列{an}中：
(1)a1＝1，a4＝8，求an；
(2)an＝625，n＝4，q＝5，求a1；
(3)a2＋a5＝18，a3＋a6＝9，an＝1，求n.
反思感悟　等比數列的通項公式涉及4個量a1，an，n，q，只要知道其中任意三個就能求出另外一個，在這四個量中，a1和q是等比數列的基本量，只要求出這兩個基本量，問題便迎刃而解．
跟蹤訓練3　若等比數列{an}滿足a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，則數列{an}的公比為(　　)
A．－2 B．2 C．－3 D．3
例4　已知數列{an}是等比數列，且公比大于0，則“q>1”是“數列{an}是遞增數列”的(　　)
A．充要條件
B．必要不充分條件
C．充分不必要條件
D．既不充分也不必要條件
延伸探究　若{an}為等比數列，則“a1A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
反思感悟　判斷等比數列的單調性的方法
(1)當q>1，a1>0或0(2)當q>1，a1<0或00時，{an}是遞減數列．
(3)當q＝1時，{an}是常數列；當q<0時，{an}是擺動數列．
跟蹤訓練4　設{an}是等比數列，則“a1A．充分不必要條件
B．必要不充分條件
C．充要條件
D．既不充分也不必要條件
1．知識清單：
(1)等比數列的概念．
(2)等比中項的概念．
(3)等比數列的通項公式及其與函數的關系．
2．方法歸納：方程(組)思想、構造法．
3．常見誤區：x，G，y成等比數列 G2＝xy，但G2＝xy x，G，y成等比數列．
1．(多選)已知a是1,2的等差中項，b是－1，－16的等比中項，則ab等于(　　)
A．6 B．－6
C．－12 D．12
2．在單調遞減的等比數列{an}中，若a3＝1，a2＋a4＝，則a1等于(　　)
A．9 B．3 C. D.
3．寫出一個公比為3，且第三項小于1的等比數列an＝________.
4．已知數列{an}滿足an＋1＝λan＋2，若{an＋3}是等比數列，則公比λ＝________.
4.3.1　等比數列的概念
第1課時　等比數列的概念及通項公式
問題1　我們可以通過除法運算探究以上數列的取值規律．對于(1)我們發現＝9，＝9，＝9，…，也就是說從第二項起，每一項與它的前一項的比都等于9；對于(2)＝，…；對于(3)＝－，…，也有相同的取值規律．
知識梳理
2　前　比　同一個　公比
例1　解　(1)不是等比數列；(2)是等比數列，公比為；(3)不是等比數列；(4)是等比數列，公比為－4；(5)當a＝0時，不是等比數列，當a≠0時，是等比數列，公比為1.
跟蹤訓練1　A　[設{an}的公差是d，即an＋1－an＝d，
顯然≠0，且＝＝2d是常數，{2an}是等比數列；若an＝1，則lg an＝0，則{lg an}不是等比數列；只要d≠0，{a}，都不可能是等比數列，如an＝n，a＝n2，＝.]
問題2　不是，首先，0不能出現在等比數列中，就沒有任意性；其次，假設－1，x,1這三個數成等比數列，則根據定義會有＝，即x2＝－1，該方程無實數解，故符號不同的兩個實數也無等比中項．若1，x,4這三個數成等比數列，由定義可知，x2＝4，即x＝±2；或－1，x，－4這三個數成等比數列，由定義可知，x2＝4，即x＝±2，我們發現，如果兩個實數有等比中項，則會有兩個，且互為相反數．
知識梳理
等比中項　G2＝ab
例2　C　[－2和＋2的等差中項為＝，
－2和＋2的等比中項為±＝±1.]
跟蹤訓練2　9
解析　設等差數列{an}的公差為d，由題意得a3＝a1＋2d＝0，∴a1＝－2d.又∵ak是a6與ak＋6的等比中項，∴a＝a6ak＋6，即[a1＋(k－1)d]2＝(a1＋5d)·[a1＋(k＋5)d]，[(k－3)d]2＝3d·(k＋3)d，解得k＝9或k＝0(舍去)．
問題3　設一個等比數列的首項是a1，公比是q，則由定義可知＝q(n∈N*且n≥2)．
方法一　an＝××…×××a1＝q×q×…×q×q×a1＝a1qn－1，
當n＝1時，上式也成立．
方法二　a2＝a1q，
a3＝a2q＝(a1q)q＝a1q2，
a4＝a3q＝(a1q2)q＝a1q3，
……
由此可得an＝a1qn－1(n≥2)，
當n＝1時，上式也成立．
問題4　由an＝a1qn－1＝·qn可知，當q>0且q≠1時，等比數列{an}的第n項an是函數f(x)＝·qx(x∈R)當x＝n時的函數值，即an＝f(n)．
知識梳理　
1．a1qn－1
2．(1)an＝f(n)　(2)ka　a
例3　解　(1)因為a4＝a1q3，
所以8＝q3，所以q＝2，
所以an＝a1qn－1＝2n－1.
(2)a1＝＝＝5，故a1＝5.
(3) 因為
由，得q＝，從而a1＝32.
又an＝1，
所以32×n－1＝1，
即26－n＝20，故n＝6.
跟蹤訓練3　D　[設等比數列{an}的公比為q，
因為a1＋a2＝3，a4＋a5＝81，
所以
所以＝，
解得q＝3.]
例4　D　[當a1<0，q>1時，數列{an}為遞減數列，即充分性不成立；
當“數列{an}是遞增數列”時，可能是a1<0,0即“q>1”是“數列{an}是遞增數列”的既不充分也不必要條件．]
延伸探究　B　[若等比數列{an}是遞增數列，可得a1反之：例如數列，
此時滿足a1所以“a1跟蹤訓練4　B　[設等比數列{an}的公比為q，
由a10，
解得或
此時數列{an}不一定是遞增數列；
若數列{an}為遞增數列，
可得或
此時a1所以“a1隨堂演練
1．AB　2.A　3.×3n－1(答案不唯一)
4.

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