資源簡介

第3課時　數列的綜合應用
[學習目標]　
1.能夠把實際問題轉化成數列問題.
2.進一步熟悉通過建立數列模型并應用數列模型解決綜合問題的過程．
一、數列中的構造問題
例1　已知數列{an}中，a1＝1，且an＋1＝an＋1(n∈N*)，正項等比數列{bn}中，b1＝1且2bn＋2＝bn＋1＋3bn(n∈N*)．求數列{an}，{bn}的通項公式．
反思感悟　給出數列的方式有多種，以遞推公式的形式給出是很常見的情況，通常是轉化為等差或等比數列求出通項．常用方法為待定系數法、倒數法等方法．
跟蹤訓練1　(1)已知數列{an}滿足a1＝1，且an＋1＝.則數列{an}的通項公式為an＝________.
(2)已知數列{an}的前n項和為Sn，滿足an＋1＝2an＋1，且a1＋2a2＝a3.求數列{an}的通項公式．
二、數列在實際問題中的應用
例2　小華準備購買一部售價為5 000元的手機，采用分期付款方式，并在一年內將款全部付清．商家提出的付款方式為：購買2個月后第1次付款，再過2個月后第2次付款，…，購買12個月后第6次付款，每次付款金額相同，約定月利率為0.8%，每月利息按復利計算，求小華每期付款金額是多少．(精確到0.1，參考數據：1.00812≈1.10)
反思感悟　(1)解應用問題的核心是建立數學模型．
(2)一般步驟：審題、抓住數量關系、建立數學模型．
(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．
注意：
①解答數列應用題要注意步驟的規范性：設數列，判斷數列，解題完畢要作答．
②在歸納或求通項公式時，一定要將項數n計算準確．
③在數列類型不易分辨時，要注意歸納遞推關系．
④在近似計算時，要注意應用對數方法，且要看清題中對近似程度的要求．
跟蹤訓練2　某地本年度旅游業收入估計為400萬元，由于該地出臺了一系列措施，進一步發展旅游業，預計今后旅游業的收入每年會比上一年增加.(參考數據：lg 6≈0.778，lg ≈0.097)．
(1)求前n年旅游業的總收入(用代數式表示)；
(2)試估計大約從第幾年開始，旅游業的總收入超過8 000萬元．
三、數列在平面幾何中的應用
例3　如圖所示，作邊長為a的正三角形的內切圓，在這個圓內作內接正三角形，然后再作新三角形的內切圓．如此下去，前n個內切圓的面積和為________．
反思感悟　此類幾何問題可以轉化為等比數列模型，利用等比數列的有關知識解決，要注意步驟的規范性．
跟蹤訓練3　畢達哥拉斯學派是古希臘哲學家畢達哥拉斯及其信徒組成的學派，他們常把沙灘上的沙粒或小石子用數表示，并由它們排列而成的形狀對自然數進行研究．如圖，圖形中的圓點數分別為1,5,12,22，…，以此類推，第6個圖形對應的圓點數為________，若這些數構成數列{an}，則a1＋＋＋…＋＝________.
1．知識清單：
(1)數列中的構造問題．
(2)數列在實際問題中的應用．
(3)數列在平面幾何中的應用．
2．方法歸納：構造法、轉化法．
3．常見誤區：在實際問題中首項和項數弄錯．
1．我們知道，償還銀行貸款時，“等額本金還款法”是一種很常見的還款方式，其本質是將本金平均分配到每一期進行償還，每一期的還款金額由兩部分組成，一部分為每期本金，即貸款本金除以還款期數，另一部分是利息，即貸款本金與已還本金總額的差乘以利率．自主創業的大學生張華向銀行貸款的本金為48萬元，張華跟銀行約定，按照等額本金還款法，每個月還一次款，20年還清，貸款月利率為0.4%，設張華第n個月的還款金額為an元，則an等于(　　)
A．2 192 B．3 912－8n
C．3 920－8n D．3 928－8n
2．公元前5世紀，古希臘哲學家芝諾發表了著名的阿基里斯悖論：他提出讓烏龜在阿基里斯前面1 000米處和阿基里斯賽跑，并且假定阿基里斯的速度是烏龜的10倍．當比賽開始后，若阿基里斯跑了1 000米，此時烏龜便領先他100米；當阿基里斯跑完下一個100米時，烏龜領先他10米；當阿基里斯跑完下一個10米時，烏龜仍然領先他1米…所以，阿基里斯永遠追不上烏龜．按照這樣的規律，若阿基里斯和烏龜的距離恰好為10－2米時，烏龜爬行的總距離為(　　)
A.米 B.米
C.米 D.米
3．調查表明，酒后駕駛是導致交通事故的主要原因，交通法規規定：駕駛員在駕駛機動車時血液中酒精含量不得超過0.02 mg/mL.如果某人喝了少量酒后，血液中酒精含量將迅速上升到0.3 mg/mL，在停止喝酒后，血液中酒精含量就以每小時50%的速度減少，則他至少要經過________才可以駕駛機動車(精確到小時)(　　)
A．1小時 B．2小時 C．4小時 D．6小時
4.將n個大小不同的正方體形狀的積木從上到下，從小到大堆成塔狀，平放在桌面上．上面一個正方體積木下底面的四個頂點正好是它下面一個正方體積木的上底面各邊的中點，按此規律不斷堆放．如果最下面的正方體積木的棱長為1，且這些正方體積木露在外面的面積之和為Sn，則Sn＝________.
第3課時　數列的綜合應用
例1　解　由an＋1＝an＋1，
得an＋1－2＝(an－2)，
又a1＝1，即a1－2＝－1≠0，
所以an－2≠0，
從而＝，
所以數列{an－2}是等比數列，首項為－1，公比為，則an－2＝－n－1，
即an＝2－n－1，
設等比數列{bn}的公比為q，
由2bn＋2＝bn＋1＋3bn，得2q2＝q＋3，
解得q＝－1或q＝，
因為bn>0，
所以q>0，從而q＝，又b1＝1，
所以bn＝n－1.
跟蹤訓練1　(1)
解析　因為an＋1＝，
所以＝＝＋1，
即－＝1，
所以數列是首項為1，
公差為1的等差數列，
所以＝n，an＝.
(2)解　an＋1＝2an＋1，
即an＋1＋1＝2an＋2，
＝2，
因為a1＋2a2＝a3，
a3＝2a2＋1，
所以a1＝1，a1＋1＝2，
則數列{an＋1}是以2為首項，
2為公比的等比數列，
所以an＋1＝2n，an＝2n－1.
例2　解　設小華每期付款x元，第k個月末付款后的欠款本利為Ak元，則：
A2＝5 000×(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0082－x，
A4＝A2(1＋0.008)2－x＝5 000×1.0084－1.0082x－x，
…，
A12＝5 000×1.00812－(1.00810＋1.0088＋…＋1.0082＋1)x＝0，
解得x＝
＝≈883.5.
故小華每期付款金額約為883.5元．
跟蹤訓練2　解　(1)設第n年的旅游業收入估計為an萬元，
則a1＝400，
a2＝a1＝a1，
a3＝a2＝a2，…，
an＋1＝an＝an ，
∴＝，
即數列{an}是首項為400，
公比為的等比數列，
∴Sn＝＝
＝1 600×，
即前n年旅游業的總收入為1 600×萬元．
(2)由(1)知Sn＝1 600×，
令Sn>8 000，
即1 600×>8 000，
∴n>6，即lgn>lg 6，
∴n>≈8，
∴大約從第9年開始，旅游業的總收入超過8 000萬元．
例3　π
解析　設第n個正三角形的內切圓的半徑為an，
∵從第二個正三角形開始每一個正三角形的邊長是前一個的，
每一個正三角形的內切圓半徑也是前一個正三角形內切圓半徑的，
∴a1＝atan 30°＝a，a2＝a1，…，an＝an－1，
∴數列{an}是以a為首項，
為公比的等比數列，
∴an＝×n－1a，
設前n個內切圓的面積和為Sn，
則Sn＝π(a＋a＋…＋a)＝
πa
＝πa
＝×π＝π
＝π.
跟蹤訓練3　51　305
解析　根據題意，記第n個圖形的圓點數為an，由題意知a1＝1，a2－a1＝4＝1＋3×1，a3－a2＝1＋3×2，a4－a3＝1＋3×3，…，an－an－1＝1＋3(n－1)，累加得an－a1＝4＋7＋…＋[1＋3(n－1)]＝(3n－1)－1，即an＝(3n－1)，所以a6＝51，又＝，所以a1＋＋＋…＋＝×(2＋5＋8＋…＋59)＝××20＝305.
隨堂演練
1．D　2.B
3．C　[設n個小時后才可以駕車，根據題意可知，每小時酒精下降的量成等比數列，公比為50%，進而可得方程0.3(1－50%)n≤0.02，得n≤，即n≥4，所以至少要經過4小時才可以駕駛機動車．]
4．9－
解析　最底層正方體的棱長為1，則該正方體的除底面外的表面積為5×12＝5；
倒數第2個正方體的棱長為1×＝，
它的側面積為4×2＝4×1，
倒數第3個正方體的棱長為×＝2，它的側面積為4×2×2＝4×2；
…
倒數第n個正方體的棱長為n－1，
它的側面積為4×2(n－1)＝4×n－1，
則它們的表面積為Sn＝
5＋4×
＝5＋4×＝9－＝9－.4.3.2　等比數列的前n項和公式
第1課時　等比數列的前n項和公式
[學習目標]　
1.掌握等比數列的前n項和公式及公式證明思路.
2.會用等比數列的前n項和公式解決有關等比數列的一些簡單問題．
一、等比數列前n項和公式
問題1　若等比數列{an}的首項是a1，公比是q，如何求該等比數列的前n項的和？
問題2　同學們，現在你能幫國王算一下他需要付出多少顆麥粒嗎？如果他無法實現他的諾言，你能幫他解決嗎？
知識梳理　
等比數列的前n項和公式
已知量 首項、公比與項數 首項、公比與末項
求和公式 公式一： Sn＝____________ 公式二： Sn＝____________
例1　(1)在等比數列{an}中，
①a1＝2，q＝－，求S10；
②q＝，S100＝150，求a2＋a4＋a6＋…＋a100的值．
(2)在等比數列{an}中．
①S2＝30，S3＝155，求Sn；
②a1＋a3＝10，a4＋a6＝，求S5；
③a1＋an＝66，a2an－1＝128，Sn＝126，求公比q.
反思感悟　在等比數列{an}的五個量a1，q，an，n，Sn中，a1與q是最基本的，當條件與結論間的聯系不明顯時，均可以用a1與q表示an與Sn，從而列方程組求解．在解方程組時經常用到兩式相除達到整體消元的目的，這是方程思想與整體思想在數列中的具體應用．(注意：q＝1和q≠1的討論)
跟蹤訓練1　(1)在14與之間插入n個數，組成所有項的和為的等比數列，求此數列的項數．
(2)①若a2－a1＝1，a3－a1＝3，求等比數列{an}的前n項和Sn；
②已知S4＝1，S8＝17，求等比數列{an}的通項．
二、利用等比數列前n項和公式判斷等比數列
問題3　你能發現等比數列前n項和公式Sn＝(q≠1)的函數特征嗎？
知識梳理
1．當公比q≠1時，設A＝，等比數列的前n項和公式是Sn＝____________.即Sn是n的指數型函數．
2．當公比q＝1時，因為a1≠0，所以Sn＝______，Sn是n的正比例函數．
例2　數列{an}的前n項和Sn＝3n－2.求{an}的通項公式，并判斷{an}是否是等比數列．
延伸探究　若將本題改為數列{an}是等比數列，且其前n項和為Sn＝3n＋1－2k，則實數k＝________.
反思感悟　(1)已知Sn，通過an＝
求通項公式an，應特別注意當n≥2時，an＝Sn－Sn－1.需驗證當n＝1時是否滿足此式．
(2)若數列{an}的前n項和Sn＝A(qn－1)，其中A≠0，q≠0且q≠1，則{an}是等比數列．
跟蹤訓練2　若數列{an}的前n項和Sn＝tn－1(t∈R)，則此數列是(　　)
A．等差數列
B．等比數列
C．等差數列或等比數列
D．以上說法均不對
1．知識清單：
(1)等比數列前n項和公式的推導．
(2)等比數列前n項和公式的基本運算．
(3)等比數列前n項和公式的結構特點．
2．方法歸納：公式法、錯位相減法．
3．常見誤區：等比數列前n項和公式中項數的判斷易出錯．
1．等比數列1，x，x2，x3，…的前n項和Sn等于(　　)
A.
B.
C.
D.
2．數列{an}中，a1＝2，an＋1＝2an，若ak＋1＋ak＋2＋…＋ak＋10＝215－25，則k等于(　　)
A．2 B．3 C．4 D．5
3．在等比數列{an}中，Sn表示前n項和，若a3＝2S2＋1，a4＝2S3＋1，則公比q＝__________.
4．若各項均為正數的等比數列{an}的前n項和為Sn，滿足S2＝，a5＋a6＝12，則S4＝________.
4.3.2　等比數列的前n項和公式
第1課時　等比數列的前n項和公式
問題1　思路一：因為Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an－1＋an，
所以Sn＝a1＋a1q＋a1q2＋…＋a1qn－2＋a1qn－1，
上式中每一項都乘等比數列的公比可得qSn＝a1q＋a1q2＋a1q3＋…＋a1qn－1＋a1qn，
發現上面兩式中有很多相同的項，兩式相減可得Sn－qSn＝a1－a1qn，
即(1－q)Sn＝a1(1－qn)，當q≠1時，有Sn＝，而當q＝1時，Sn＝na1.上述等比數列求前n項和的方法，我們稱為“錯位相減法”．利用該公式，我們很容易解決一周能向家長要多少零花錢，S7＝2＋22＋23＋…＋27＝＝28－2＝254.
思路二：當q≠1時，由等比數列的定義得＝＝…＝＝q，
根據等比數列的性質，有＝＝q (1－q)Sn＝a1－anq，
所以當q≠1時，Sn＝，該推導方法圍繞基本概念，從等比數列的定義出發，運用等比數列的性質，推導出了公式，通過上述兩種推導方法，我們獲得了等比數列前n項和的兩種形式，而這兩種形式可以利用an＝a1qn－1相互轉化．
思路三：Sn＝a1＋a2＋a3＋…＋an＝a1＋q(a1＋a2＋…＋an－1)，
所以有Sn＝a1＋qSn－1 Sn＝a1＋q(Sn－an) (1－q)Sn＝a1－anq，
所以當q≠1時，Sn＝或Sn＝，顯然方程的思想在本次推導過程中顯示了巨大的威力，在已知量和未知量之間搭起橋梁，使我們不拘泥于課本，又能使問題得到解決．
問題2　S64＝1＋2＋22＋23＋…＋263＝＝264－1
＝18 446 744 073 709 551 615，然而這個數字對國王來說是一個天文數字，顯然國王無法實現他的諾言，國王為了使自己不失信于民，于是他向發明者說：你這個提議很好，你自己去數吧．大家知道嗎，要把這些數完，如果一秒鐘數一粒，大約需要5 800億年．同學們，看來學好數學是多么的重要．
知識梳理　
　
例1　(1)解　①S10＝
＝
＝×＝.
②方法一　S100＝a1＋a2＋a3＋a4＋…＋a99＋a100
＝2(a2＋a4＋…＋a100)＋a2＋a4＋…＋a100
＝3(a2＋a4＋…＋a100)＝150，
∴a2＋a4＋a6＋…＋a100＝50.
方法二　S100＝＝150，
整理得a1＝75，
∴a2＋a4＋…＋a100＝
＝a1＝×75＝50.
(2)解　①由題意知
解得或
從而Sn＝×5n＋1－或
Sn＝.
②方法一　由題意知
解得
從而S5＝＝.
方法二　由a4＋a6＝(a1＋a3)q3，
得q3＝，從而q＝.
又a1＋a3＝a1(1＋q2)＝10，所以a1＝8，
從而S5＝＝.
③因為a2an－1＝a1an＝128，
且a1＋an＝66，
所以a1，an是方程x2－66x＋128＝0的兩個根．
從而或
又Sn＝＝126，所以q＝2或.
跟蹤訓練1　(1)解　設此數列的公比為q(易知q≠1)，
則解得
故此數列共有5項．
(2)解　①設等比數列{an}的公比為q，由已知，
得
解得
∴Sn＝＝2n－1.
②若q＝1，則S8＝2S4，不符合題意，∴q≠1，
∴S4＝＝1，
S8＝＝17，
兩式相除得＝17＝1＋q4，
解得q＝2或q＝－2.
當q＝2時，a1＝；
當q＝－2時，a1＝－，
∴an＝×2n－1或an＝－×(－2)n－1.
問題3　Sn＝＝－qn＋，設A＝－，則Sn＝Aqn－A.
知識梳理
1．Aqn－A
2．na1
例2　解　方法一　當n≥2時，an＝Sn－Sn－1＝(3n－2)－(3n－1－2)＝2×3n－1.
當n＝1時，a1＝S1＝31－2＝1不適合上式．
∴an＝
由于a1＝1，a2＝6，a3＝18，顯然a1，a2，a3不是等比數列，即{an}不是等比數列．
方法二　由等比數列{bn}的公比q≠1時的前n項和Sn＝Aqn＋B滿足的條件為A＝－B，對比可知Sn＝3n－2，2≠1，故{an}不是等比數列．
延伸探究　
解析　∵Sn＝3n＋1－2k＝3×3n－2k，且{an}為等比數列，
∴3－2k＝0，即k＝.
跟蹤訓練2　D　[當n＝1時，
a1＝S1＝t－1，
當n≥2時，
an＝Sn－Sn－1＝tn－tn－1＝tn－1(t－1)，
當t＝1時，an＝0，
所以{an}是等差數列；
當t＝0時，{an}為非等差數列，
非等比數列；
當t≠1，且t≠0時，an＝tn－1(t－1)，
所以{an}是等比數列．]
隨堂演練
1．C　2.C　3.3　4.第2課時　等比數列前n項和的性質及應用
[學習目標]　
1.熟練應用等比數列前n項和公式的性質解題.
2.能在具體的問題情境中，發現數列的等比關系，并解決相應的問題．
一、等比數列前n項和公式的性質
問題1　類比等差數列前n項和性質中的奇數項、偶數項的問題，等比數列是否也有相似的性質？
問題2　你能否用等比數列{an}中的Sm，Sn來表示Sm＋n
問題3　類似于等差數列中的片段和的性質，在等比數列中，你能發現Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…(n為偶數且q＝－1除外)的關系嗎？
知識梳理　
1．若{an}是公比為q的等比數列，S偶，S奇分別是數列的偶數項和與奇數項和，則：
(1)在其前2n項中，＝q.
(2)在其前2n＋1項中，S奇－S偶＝a1－a2＋a3－a4＋…－a2n＋a2n＋1＝＝(q≠－1)；S奇＝a1＋qS偶．
2．若{an}是公比為q的等比數列，則Sn＋m＝Sn＋______(n，m∈N*)．
3．數列{an}為公比不為－1的等比數列(或公比為－1，且n不是偶數)，Sn為其前n項和，則Sn，S2n－Sn，__________仍構成等比數列．
例1　(1)已知等比數列{an}共有2n項，其和為－240，且(a1＋a3＋…＋a2n－1)－(a2＋a4＋…＋a2n)＝80，則公比q＝________.
(2)若等比數列{an}共有奇數項，其首項為1，其偶數項和為170，奇數項和為341，則這個數列的公比為________，項數為______________．
例2　在等比數列{an}中，已知Sn＝48，S2n＝60，求S3n.
反思感悟　處理等比數列前n項和有關問題的常用方法
(1)若等比數列{an}共有2n項，要抓住＝q和S偶＋S奇＝S2n這一隱含特點；若等比數列{an}共有2n＋1項，要抓住S奇＝a1＋qS偶和S偶＋S奇＝S2n＋1這一隱含特點．要注意公比q＝1和q≠1兩種情形，在解有關的方程(組)時，通常用約分或兩式相除的方法進行消元．
(2)靈活運用等比數列前n項和的有關性質．
跟蹤訓練1　(1)已知等比數列{an}的公比q＝，且a1＋a3＋a5＋…＋a99＝90，則a1＋a2＋a3＋…＋a100＝________.
(2)記等比數列{an}的前n項和為Sn，若S4＝3，S8＝9，則S12等于(　　)
A．12 B．18 C．21 D．27
二、等比數列前n項和公式的實際應用
例3　《算法統宗》是中國古代數學名著，程大位著，共17卷，書中有這樣一個問題：“三百七十八里關，初行健步不為難，次日腳痛減一半，六朝才得到其關，要見次日行里數，請公仔細算相還．”大致意思是：有一個人要到距離出發地378里的地方，第一天健步行走，從第二天起因腳痛每天走的路程為前一天的一半，走了6天后到達目的地．那么該人第1天所走路程里數為(　　)
A．96 B．126 C．192 D．252
反思感悟　(1)解應用問題的核心是建立數學模型．
(2)一般步驟：審題、抓住數量關系、建立數學模型．
(3)注意問題是求什么(n，an，Sn)．
跟蹤訓練2　中國三大名樓之一的黃鶴樓因其獨特的建筑結構而聞名，其外觀有五層而實際上內部有九層，隱喻“九五至尊”之意，現打算在黃鶴樓內部掛燈籠進行裝飾，若在黃鶴樓內部九層塔樓共掛1 533盞燈籠，且相鄰的兩層中，下一層的燈籠數是上一層燈籠數的兩倍，則內部塔樓的頂層應掛________盞燈籠．
三、等比數列前n項和公式的綜合應用
例4　螺旋線這個名詞來源于希臘文，它的原意是“旋卷”或“纏卷”，平面螺旋便是以一個固定點開始向外逐圈旋繞而形成的曲線，如圖(1)所示．如圖(2)所示陰影部分也是一個美麗的螺旋線型的圖案，它的畫法是這樣的：正方形ABCD的邊長為4，取正方形ABCD各邊的四等分點E，F，G，H，作第2個正方形EFGH，然后再取正方形EFGH各邊的四等分點M，N，P，Q，作第3個正方形MNPQ，依此方法一直繼續下去，就可以得到陰影部分的圖案．如圖(2)陰影部分，設直角三角形AEH的面積為b1，直角三角形EMQ的面積為b2，后續各直角三角形的面積依次為b3，…，bn，則數列{bn}的前n項和Sn＝________.
反思感悟　解決等比數列前n項和公式有關問題時應注意
(1)首先將題目問題轉化為等比數列問題．
(2)當題中有多個數列出現時，既要研究單一數列項與項之間的關系，又要關注各數列之間的相互聯系．
跟蹤訓練3　如圖，畫一個邊長為2的正方形，再將此正方形各邊的中點相連得到第2個正方形，以此類推，記第n個正方形的面積為an，數列{an}的前n項和為Sn.求{an}的通項公式及S2 023.
1．知識清單：
(1)等比數列前n項和公式的性質．
(2)等比數列前n項和公式的實際應用．
(3)等比數列前n項和公式的綜合應用．
2．方法歸納：公式法、分類討論法、轉化法．
3．常見誤區：應用片段和性質時易忽略其成立的條件．
1．在等比數列{an}中，a1a2a3＝1，a4＝4，則a2＋a4＋a6＋…＋a2n等于(　　)
A．2n－1 B.
C. D.
2．設等比數列{an}的前n項和為Sn，若S10∶S5＝1∶2，則S15∶S5等于(　　)
A．3∶4 B．2∶3
C．1∶2 D．1∶3
3．我國古代著作《莊子·天下篇》引用過一句話：“一尺之棰，日取其半，萬世不竭．”其含義是：一尺長的木棍，每天截去它的一半，永遠也截不完．在這個問題中，記第n天后剩余木棍的長度為an，數列{an}的前n項和為Sn，則使得不等式Sn>成立的正整數n的最小值為(　　)
A．6 B．5 C．4 D．3
4．一個項數為偶數的等比數列{an}，全部項之和為偶數項之和的4倍，前3項之積為64，則數列的通項公式an＝_____________________.
第2課時　等比數列前n項和的性質及應用
問題1　若等比數列{an}的項數有2n項，則
其偶數項和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，
其奇數項和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1，容易發現兩列式子中對應項之間存在聯系，即S偶＝a1q＋a3q＋…＋a2n－1q＝qS奇，所以有＝q.
若等比數列{an}的項數有2n＋1項，則其偶數項和為S偶＝a2＋a4＋…＋a2n，其奇數項和為S奇＝a1＋a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1，從項數上來看，奇數項比偶數項多了一項，于是我們有S奇－a1＝a3＋…＋a2n－1＋a2n＋1＝a2q＋a4q＋…＋a2nq＝qS偶，即S奇＝a1＋qS偶．
問題2　思路一：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋am＋am＋1＋am＋2＋…＋am＋n＝Sm＋a1qm＋a2qm＋…＋anqm＝Sm＋qmSn.
思路二：Sm＋n＝a1＋a2＋…＋an＋an＋1＋an＋2＋…＋an＋m＝Sn＋a1qn＋a2qn＋…＋amqn
＝Sn＋qnSm.
問題3　Sn，S2n－Sn，S3n－S2n…仍成等比數列，證明如下：
思路一：當q＝1時，結論顯然成立；
當q≠1時，Sn＝，
S2n＝，
S3n＝.
S2n－Sn＝－＝，
S3n－S2n＝－
＝，
而2＝2，
Sn(S3n－S2n)＝×，
故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列．
思路二：由性質Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
故有S2n－Sn＝qnSn，
S3n＝S2n＋q2nSn，
故有S3n－S2n＝q2nSn，
故有2＝Sn(S3n－S2n)，
所以Sn，S2n－Sn，S3n－S2n成等比數列．
知識梳理　
2．qnSm　3.S3n－S2n
例1　(1)2
解析　由題意知S奇＋S偶＝－240，S奇－S偶＝80，
∴S奇＝－80，S偶＝－160，
∴q＝＝2.
(2)2　9
解析　由性質S奇＝a1＋qS偶可知341＝1＋170q，所以q＝2，設這個數列共有2n＋1項，則S2n＋1＝＝341＋170＝511，解得n＝4，即這個等比數列的項數為9.
例2　解　方法一　∵S2n≠2Sn，∴q≠1，
由已知得
②÷①得1＋qn＝，
即qn＝， ③
將③代入①得＝64，
∴S3n＝＝64×＝63.
方法二　∵{an}為等比數列，顯然公比不等于－1，
∴Sn，S2n－Sn，S3n－S2n也成等比數列，
∴(S2n－Sn)2＝Sn(S3n－S2n)，
∴S3n＝＋S2n＝＋60＝63.
方法三　由性質Sm＋n＝Sm＋qmSn可知S2n＝Sn＋qnSn，
即60＝48＋48qn，
得qn＝，
∴S3n＝S2n＋q2nSn＝60＋48×2＝63.
跟蹤訓練1　(1)120
解析　因為在等比數列中，若項數為2n，則＝q，
所以a1＋a2＋a3＋…＋a100＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a2＋a4＋a6＋…＋a100)＝(a1＋a3＋a5＋…＋a99)＋(a1＋a3＋a5＋…＋a99)
＝90＋×90＝120.
(2)C　[方法一　因為Sn為等比數列{an}的前n項和，且S4＝3，S8＝9，易知等比數列{an}的公比q≠－1，所以S4，S8－S4，S12－S8成等比數列，所以(S8－S4)2＝S4(S12－S8)，所以62＝3(S12－9)，解得S12＝21.
方法二　由方法一知，S4，S8－S4，S12－S8成等比數列，即3,6,12成等比數列，S12－S8＝12，所以S12＝S8＋12＝9＋12＝21.]
例3　C　[由題意得，該人每天走的路程形成以a1為首項，以為公比的等比數列，
因為該人6天后到達目的地，則有
S6＝＝378，
解得a1＝192，
所以該人第1天所走路程里數為192.]
跟蹤訓練2　3
解析　依題意，各層燈籠數從上到下排成一列構成等比數列{an}(n∈N*，n≤9)，公比q＝2，前9項和為1 533，于是得S9＝＝1 533，解得a1＝3，所以內部塔樓的頂層應掛3盞燈籠．
例4　4－4×n
解析　設由外到內各正方形的邊長依次為a1，a2，a3，…，an，
則a1＝4，a2＝＝a1，
a3＝＝a2＝2a1，
…，
an＝＝an－1
＝，
于是數列{an}是以4為首項，
為公比的等比數列，
則an＝4×n－1.
由題意可得，
S△AHE＝，
即b1＝，b2＝，…，bn＝，
于是bn＝
＝×n－1，所以{bn}是以為首項，為公比的等比數列，
Sn＝×＝4×
＝4－4×n.
跟蹤訓練3　解　記第n個正方形的邊長為bn，
由題意可知b＝2×2＝b，
則an＝an－1，
所以數列{an}是以a1＝4為首項，
以q＝為公比的等比數列，
即an＝4×n－1＝23－n.
S2 023＝
＝8×＝8－.
隨堂演練
1．B　2.A　3.B
4．12×n－1，n∈N*

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