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§4.4*　數學歸納法
[學習目標]　
1.了解數學歸納法的原理.
2.能用數學歸納法證明一些簡單的命題.
一、數學歸納法的理解
問題1　如果你從袋子里拿出5個小球，發現全部都是綠色的，能否判斷袋子里面的小球都是綠色的？
問題2　在多米諾骨牌游戲中，如何保證所有的骨牌全部倒下？
知識梳理　
一般地，證明一個與正整數n有關的命題，可按下列步驟進行：
(1)(歸納奠基)證明當__________時命題成立；
(2)(歸納遞推)以“當______(k∈N*，k≥n0)時命題成立”為條件，推出“當____________時命題也成立”．
只要完成這兩個步驟，就可以斷定命題對從______開始的所有正整數n都成立，這種證明方法稱為數學歸納法．
例1　(1)用數學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應等于________．
(2)用數學歸納法證明1＋2＋22＋…＋2n－1＝2n－1(n∈N*)的過程如下：
①當n＝1時，左邊＝1，右邊＝21－1＝1，等式成立．
②假設當n＝k(k∈N*)時等式成立，即1＋2＋22＋…＋2k－1＝2k－1，則當n＝k＋1時，1＋2＋22＋…＋2k－1＋2k＝＝2k＋1－1，所以當n＝k＋1時等式也成立．由此可知對于任何n∈N*，等式都成立．上述證明，錯誤是__________________．
跟蹤訓練1　對于不等式＜n＋1(n∈N*)，某同學用數學歸納法的證明過程如下：
(1)當n＝1時，＜1＋1，不等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥1且k∈N*)時，不等式成立，即＜k＋1，則當n＝k＋1時，＝
＜
＝＝(k＋1)＋1，
∴當n＝k＋1時，不等式成立，則上述證法(　　)
A．過程全部正確
B．n＝1驗證不正確
C．歸納假設不正確
D．從n＝k到n＝k＋1的推理不正確
二、增加的項的個數問題
例2　用數學歸納法證明“＋＋…＋≥”的過程中，從n＝k(k∈N*)到n＝k＋1時，不等式的左邊增加了(　　)
A.
B.＋－
C.
D.＋＋
跟蹤訓練2　利用數學歸納法證明不等式1＋＋＋…＋A．1項 B．k項 C．2k－1項 D．2k項
三、用數學歸納法證明等式
例3　用數學歸納法證明1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋(n∈N*)．
跟蹤訓練3　設數列{an}滿足a1＝2，an＋1＝a－nan＋1，n＝1,2,3，….
(1)求a2，a3，a4；
(2)猜想出{an}的一個通項公式，并用數學歸納法證明你的結論．
1．知識清單：
(1)數學歸納法的概念．
(2)增加或減少項的個數問題．
(3)用數學歸納法證明等式．
2．方法歸納：數學歸納法．
3．常見誤區：
(1)對n0取值的問題易出錯．
(2)增加或減少的項數易出錯．
1．用數學歸納法證明等式1＋2＋3＋…＋(n＋3)＝(n∈N*)，驗證當n＝1時，左邊應取的項是(　　)
A．1 B．1＋2
C．1＋2＋3 D．1＋2＋3＋4
2．用數學歸納法證明等式(n＋1)(n＋2)·…·(n＋n)＝2n·1×3·…·(2n－1)(n∈N*)，從k到k＋1，左邊需要增乘的代數式為(　　)
A．2k＋1 B．2(2k＋1)
C. D.
3．某個與正整數有關的命題：如果當n＝k(k∈N*)時命題成立，則可以推出當n＝k＋1時該命題也成立．現已知n＝5時命題不成立，那么可以推得(　　)
A．當n＝4時命題不成立
B．當n＝6時命題不成立
C．當n＝4時命題成立
D．當n＝6時命題成立
4．用數學歸納法證明關于n的恒等式，當n＝k時，表達式為1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＝k(k＋1)2，則當n＝k＋1時，表達式為_________________________________.
§4.4*　數學歸納法
問題1　不能．通過考察部分對象，得到一般的結論的方法，叫不完全歸納法．不完全歸納法得到的結論不一定正確．例如，在我們數學上有費馬猜想、哥德巴赫猜想等，他們所用的就是不完全歸納法，至于最終的結論能否成立，只能留給你們了．
問題2　要保證任意相鄰兩塊骨牌，若前一塊骨牌倒下，則一定導致后一塊倒下，這樣的話，只需要第一塊骨牌倒下，就可導致后面所有的骨牌都能倒下．像這樣以一種不同的方式來證明任意一個給定的情形都是正確的推理方法叫做數學歸納法．它是一種完全歸納的方法，雖有“歸納”這兩個字，但其結論是正確的．
知識梳理　
(1)n＝n0(n0∈N*)
(2)n＝k　n＝k＋1　n0
例1　(1)6
解析　由題意，得當n＝1時，21<(1＋1)2；當n＝2時，22<(2＋1)2；當n＝3時，23<(3＋1)2；當n＝4時，24<(4＋1)2；當n＝5時，25<(5＋1)2；當n＝6時，26>(6＋1)2，所以用數學歸納法證明不等式2n>(n＋1)2(n∈N*)時，初始值n0應等于6.
(2)未用歸納假設
解析　本題在由n＝k成立證明n＝k＋1成立時，應用了等比數列的求和公式，而未用上歸納假設，這與數學歸納法的要求不符．
跟蹤訓練1　D　[在n＝k＋1時，沒有應用n＝k時的歸納假設，不是數學歸納法．]
例2　B　[用數學歸納法證明不等式＋＋…＋≥的過程中，
假設n＝k(k∈N*)時不等式成立，
左邊＝＋＋…＋，
則當n＝k＋1時，
左邊＝＋…＋＋＋＋，
∴從n＝k(k∈N*)到n＝k＋1時，
不等式的左邊增加了
＋＋－
＝＋－.]
跟蹤訓練2　D　[增加項為＋＋＋…＋，
共2k項．]
例3　證明　(1)當n＝1時，左邊＝1－＝，右邊＝，等式成立．
(2)假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時，
等式成立，即
1－＋－＋…＋－＝＋＋…＋，
那么當n＝k＋1時，
左邊＝1－＋－＋…＋－＋－＝＋＋…＋＋－
＝＋＋…＋＋
＝＋＋…＋＋.
上式表明當n＝k＋1時，等式也成立．
由(1)(2)知，等式對一切n∈N*均成立．
跟蹤訓練3　解　(1)由a1＝2得a2＝a－a1＋1＝3，
a3＝a－2a2＋1＝4，
a4＝a－3a3＋1＝5.
(2)由此猜想{an}的一個通項公式，
an＝n＋1(n≥1，n∈N*)，
下面用數學歸納法證明如下，
①當n＝1時，a1＝2＝1＋1，
等式成立．
②假設當n＝k(k≥1，k∈N*)時等式成立，
即ak＝k＋1，
那么ak＋1＝a－kak＋1
＝(k＋1)2－k(k＋1)＋1
＝k＋2＝(k＋1)＋1，
也就是說，當n＝k＋1時，
ak＋1＝(k＋1)＋1也成立，
根據①②對于所有n∈N*都有an＝n＋1.
隨堂演練
1．D　2.B　3.A
4．1×4＋2×7＋…＋k(3k＋1)＋(k＋1)(3k＋4)＝(k＋1)(k＋2)2

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