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3　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.理解帶電粒子初速度方向和磁場方向垂直時，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動。
2.會根據(jù)洛倫茲力提供向心力推導(dǎo)半徑公式和周期公式(重點)。
3.會解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運動的基本問題(難點)。
一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動規(guī)律
如果沿著與磁場垂直的方向發(fā)射一束帶電粒子(不計重力及粒子間的相互作用力)，這束粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動軌跡會是什么樣的呢？
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1．若v∥B，帶電粒子所受洛倫茲力F＝____，所以粒子在磁場中做______________。
2．若v⊥B，此時初速度方向、洛倫茲力的方向均與磁場方向______，粒子在垂直于______方向的平面內(nèi)運動。
(1)洛倫茲力與粒子的運動方向________，只改變粒子速度的________，不改變粒子速度的________。
(2)帶電粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)做________________運動，________________提供向心力。
3．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動的半徑和周期
(1)由qvB＝m，可得r＝____________。
(2)由r＝和T＝，可得T＝________。
(1)運動電荷進(jìn)入磁場后(無其他場)可能做類平拋運動。(　　)
(2)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動時，軌道半徑跟粒子的速率成正比。(　　)
(3)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動的周期與軌道半徑成正比。(　　)
(4)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動的周期隨速度的增大而減小。(　　)
例1　兩個粒子A和B帶有等量的同種電荷，粒子A和B以垂直于磁場的方向射入同一勻強(qiáng)磁場，A、B均不計重力，則下列說法正確的是(　　)
A．如果兩粒子的速度vA＝vB，則兩粒子的半徑RA＝RB
B．如果兩粒子的速度vA＝vB，則兩粒子的周期TA＝TB
C．如果兩粒子的動能EkA＝EkB，則兩粒子的周期TA＝TB
D．如果兩粒子的質(zhì)量與速度的乘積mAvA＝mBvB，則兩粒子的半徑RA＝RB
例2　(2023·北京海淀區(qū)人大附中高二校考期末)圖甲是洛倫茲力演示儀結(jié)構(gòu)圖，玻璃泡內(nèi)充有稀薄的氣體，由電子槍發(fā)射電子束，在電子束通過時能夠顯示電子的徑跡。圖乙是勵磁線圈的原理圖，兩線圈之間產(chǎn)生的磁場近似勻強(qiáng)磁場，線圈中電流越大磁場越強(qiáng)，磁場的方向與兩個線圈中心的連線平行。電子速度的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度可以分別通過電子槍的加速電壓和勵磁線圈的電流來調(diào)節(jié)。若電子槍垂直磁場方向發(fā)射電子，給勵磁線圈通電后，能看到電子束的徑跡呈圓形。關(guān)于電子束的軌道半徑，下列說法正確的是(　　)
A．只增大勵磁線圈中的電流，軌道半徑變小
B．只增大勵磁線圈中的電流，軌道半徑不變
C．只增大電子槍的加速電壓，軌道半徑不變
D．只增大電子槍的加速電壓，軌道半徑變小
二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運動的基本分析思路
1．圓心的確定
圓心位置的確定通常有以下兩種基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向時，可以過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示，P為入射點，M為出射點)。
(2)已知入射方向和出射點的位置時，可以過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作連線的中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖乙所示，P為入射點，M為出射點)。
2．半徑的確定
(1)r＝；(2)幾何關(guān)系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圓弧所對的圓心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如圖)
4．粒子在勻強(qiáng)磁場中運動時間的確定
方法一：周期一定時，由圓心角求：t＝T；
方法二：v一定時，由弧長求：t＝＝。
例3　(2023·鹽城市阜寧中學(xué)高二期中)如圖所示，一個質(zhì)量為m、電荷量為－q、不計重力的帶電粒子從x軸上的P(a,0)點以速度v沿與x軸正方向成60°角的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限，求：
(1)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大??；
(2)在第一象限內(nèi)的運動時間；
(3)粒子射出磁場位置距O點的距離。
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例4　如圖所示，一帶電荷量為2.0×10－9 C、質(zhì)量為1.8×10－16 kg的粒子，從直線上一點O沿與PO方向成30°角的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，經(jīng)過1.5×10－6 s后到達(dá)直線上的P點，求：
(1)粒子做圓周運動的周期；
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(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
(3)若O、P之間的距離為0.1 m，則粒子的運動速度的大小。
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帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動的解題方法
3　帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　1.理解帶電粒子初速度方向和磁場方向垂直時，帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動。2.會根據(jù)洛倫茲力提供向心力推導(dǎo)半徑公式和周期公式(重點)。3.會解決帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運動的基本問題(難點)。
一、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動規(guī)律
如果沿著與磁場垂直的方向發(fā)射一束帶電粒子(不計重力及粒子間的相互作用力)，這束粒子在勻強(qiáng)磁場中的運動軌跡會是什么樣的呢？
答案　洛倫茲力提供向心力，故只在洛倫茲力的作用下，粒子將做勻速圓周運動。
1．若v∥B，帶電粒子所受洛倫茲力F＝0，所以粒子在磁場中做勻速直線運動。
2．若v⊥B，此時初速度方向、洛倫茲力的方向均與磁場方向垂直，粒子在垂直于磁場方向的平面內(nèi)運動。
(1)洛倫茲力與粒子的運動方向垂直，只改變粒子速度的方向，不改變粒子速度的大小。
(2)帶電粒子在垂直于磁場的平面內(nèi)做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力。
3．帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動的半徑和周期
(1)由qvB＝m，可得r＝。
(2)由r＝和T＝，可得T＝。
(1)運動電荷進(jìn)入磁場后(無其他場)可能做類平拋運動。(　×　)
(2)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動時，軌道半徑跟粒子的速率成正比。(　√　)
(3)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動的周期與軌道半徑成正比。(　×　)
(4)帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做圓周運動的周期隨速度的增大而減小。(　×　)
例1　兩個粒子A和B帶有等量的同種電荷，粒子A和B以垂直于磁場的方向射入同一勻強(qiáng)磁場，A、B均不計重力，則下列說法正確的是(　　)
A．如果兩粒子的速度vA＝vB，則兩粒子的半徑RA＝RB
B．如果兩粒子的速度vA＝vB，則兩粒子的周期TA＝TB
C．如果兩粒子的動能EkA＝EkB，則兩粒子的周期TA＝TB
D．如果兩粒子的質(zhì)量與速度的乘積mAvA＝mBvB，則兩粒子的半徑RA＝RB
答案　D
解析　因為粒子在磁場中做勻速圓周運動的半徑r＝，周期T＝，又兩粒子電荷量相等且在同一磁場中，所以q、B相等，r與m、v有關(guān)，T只與m有關(guān)，所以A、B、C錯誤，D正確。
例2　(2023·北京海淀區(qū)人大附中高二?？计谀?圖甲是洛倫茲力演示儀結(jié)構(gòu)圖，玻璃泡內(nèi)充有稀薄的氣體，由電子槍發(fā)射電子束，在電子束通過時能夠顯示電子的徑跡。圖乙是勵磁線圈的原理圖，兩線圈之間產(chǎn)生的磁場近似勻強(qiáng)磁場，線圈中電流越大磁場越強(qiáng)，磁場的方向與兩個線圈中心的連線平行。電子速度的大小和磁感應(yīng)強(qiáng)度可以分別通過電子槍的加速電壓和勵磁線圈的電流來調(diào)節(jié)。若電子槍垂直磁場方向發(fā)射電子，給勵磁線圈通電后，能看到電子束的徑跡呈圓形。關(guān)于電子束的軌道半徑，下列說法正確的是(　　)
A．只增大勵磁線圈中的電流，軌道半徑變小
B．只增大勵磁線圈中的電流，軌道半徑不變
C．只增大電子槍的加速電壓，軌道半徑不變
D．只增大電子槍的加速電壓，軌道半徑變小
答案　A
解析　電子在電子槍中被加速電場加速，由動能定理得：eU＝mv2，電子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得：eBv＝m，解得：r＝。只增大勵磁線圈中的電流，磁感應(yīng)強(qiáng)度B增大，可知軌道半徑r變小，故B錯誤，A正確；
只增大電子槍的加速電壓U，可知軌道半徑變大，故C、D錯誤。
二、帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中運動的基本分析思路
1．圓心的確定
圓心位置的確定通常有以下兩種基本方法：
(1)已知入射方向和出射方向時，可以過入射點和出射點作垂直于入射方向和出射方向的直線，兩條直線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖甲所示，P為入射點，M為出射點)。
(2)已知入射方向和出射點的位置時，可以過入射點作入射方向的垂線，連接入射點和出射點，作連線的中垂線，這兩條垂線的交點就是圓弧軌道的圓心(如圖乙所示，P為入射點，M為出射點)。
2．半徑的確定
(1)r＝；(2)幾何關(guān)系。
3．粒子速度偏向角
速度的偏向角φ＝圓弧所對的圓心角(回旋角)θ＝弦切角α的2倍。(如圖)
4．粒子在勻強(qiáng)磁場中運動時間的確定
方法一：周期一定時，由圓心角求：t＝T；
方法二：v一定時，由弧長求：t＝＝。
例3　(2023·鹽城市阜寧中學(xué)高二期中)如圖所示，一個質(zhì)量為m、電荷量為－q、不計重力的帶電粒子從x軸上的P(a,0)點以速度v沿與x軸正方向成60°角的方向射入第一象限內(nèi)的勻強(qiáng)磁場中，并恰好垂直于y軸射出第一象限，求：
(1)勻強(qiáng)磁場的磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大小；
(2)在第一象限內(nèi)的運動時間；
(3)粒子射出磁場位置距O點的距離。
答案　(1)　(2)　(3)a
解析　(1)作出帶電粒子做圓周運動的圓心和軌跡如圖，由圖中幾何關(guān)系知
Rcos 30°＝a
據(jù)洛倫茲力提供向心力，有qvB＝m
解得B＝＝
(2)帶電粒子在第一象限內(nèi)運動時間
t＝＝
(3)由幾何關(guān)系可得y＝R＋Rsin 30°
解得y＝a
粒子射出磁場位置距O點的距離為a。
例4　如圖所示，一帶電荷量為2.0×10－9 C、質(zhì)量為1.8×10－16 kg的粒子，從直線上一點O沿與PO方向成30°角的方向進(jìn)入磁感應(yīng)強(qiáng)度為B的勻強(qiáng)磁場中，經(jīng)過1.5×10－6 s后到達(dá)直線上的P點，求：
(1)粒子做圓周運動的周期；
(2)磁感應(yīng)強(qiáng)度B的大?。?br/>(3)若O、P之間的距離為0.1 m，則粒子的運動速度的大小。
答案　(1)1.8×10－6 s　(2)0.314 T　(3)3.49×105 m/s
解析　(1)作出粒子的運動軌跡，如圖所示，由圖可知粒子由O到P的大圓弧所對的圓心角為300°，
則＝＝，
周期T＝t＝×1.5×10－6 s＝1.8×10－6 s
(2)由qvB＝，T＝，知
B＝＝ T＝0.314 T
(3)由幾何知識可知，半徑r＝＝0.1 m
由qvB＝得，粒子的運動速度大小為
v＝＝ m/s≈3.49×105 m/s。
帶電粒子在勻強(qiáng)磁場中做勻速圓周運動的解題方法

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