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專題強化3　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
[學習目標]　
1.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中的運動(重點)。
2.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題(難點)。
3.了解多解的成因，會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題(難點)。
一、帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
1．直線邊界
從某一直線邊界射入的粒子，再從這一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等，如圖所示。
2．平行邊界
3．圓形邊界
(1)在圓形磁場區域內，沿半徑方向射入的粒子，必沿半徑方向射出，如圖甲所示。
(2)在圓形磁場區域內，不沿半徑方向射入的粒子，入射速度方向與半徑的夾角為θ，出射速度方向與半徑的夾角也為θ，如圖乙所示。
4．三角形邊界
如圖所示是等邊三角形ABC區域內某帶正電的粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖，粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例1　(2023·宿遷市高二統考期末)如圖所示，在邊界PQ上方有垂直紙面向里的勻強磁場，一對比荷相同的正、負離子同時從邊界上的O點沿與PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁場中，不計離子重力及離子間的相互作用力，則正、負離子(　　)
A．在磁場中的運動時間相同
B．在磁場中運動的位移相同
C．出邊界時兩者的速度相同
D．正離子出邊界點到O點的距離更大
例2　在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內，存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿－x方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿＋y方向飛出。
(1)請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷；
(2)若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應強度的大小變為B′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°，求磁感應強度B′的大小及此次粒子在磁場中運動所用時間t。
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二、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
解決帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據勻強磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。
(1)剛好穿出或剛好不能穿出勻強磁場的條件是帶電粒子在勻強磁場中運動的軌跡與邊界相切。
(2)當以一定的速率垂直射入勻強磁場時，運動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界勻強磁場中的運動時間越長。
(3)比荷相同的帶電粒子以不同的速率v進入磁場時，圓心角越大，運動時間越長。
例3　如圖所示，真空中狹長區域內的勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，區域寬度為d，邊界為CD和EF，速度為v的電子從邊界CD外側垂直于磁場方向射入磁場，入射方向與CD的夾角為θ，已知電子的質量為m、帶電荷量為e，為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應滿足的條件是(　　)
A．v> B．v<
C．v> D．v<
例4　(2020·全國卷Ⅲ)真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為(　　)
A. B. C. D.
三、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
多解的原因：
(1)磁場方向不確定形成多解；
(2)帶電粒子電性不確定形成多解；
(3)臨界狀態不唯一形成多解；
(4)運動的往復性形成多解。
解決此類問題，首先應畫出粒子的可能軌跡，然后找出圓心、半徑的可能情況。
例5　如圖所示，位于A點的離子源在紙面內沿垂直OQ的方向向上射出一束負離子，重力及離子間的相互作用力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應強度B應滿足(　　)
A．垂直紙面向里，B>
B．垂直紙面向里，B<
C．垂直紙面向外，B>
D．垂直紙面向外，B>
例6　如圖所示，邊長為l的等邊三角形ACD內、外分布著方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為B。頂點A處有一粒子源，能沿∠CAD的角平分線方向發射不同速度的粒子，粒子質量均為m，電荷量均為＋q，不計粒子重力。則粒子以下列哪一速度發射時不能通過D點(　　)
A. B. C. D.
專題強化3　帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
[學習目標]　1.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中的運動(重點)。2.會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題(難點)。3.了解多解的成因，會分析帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題(難點)。
一、帶電粒子在有界勻強磁場中的運動
1．直線邊界
從某一直線邊界射入的粒子，再從這一邊界射出時，速度與邊界的夾角相等，如圖所示。
2．平行邊界
3．圓形邊界
(1)在圓形磁場區域內，沿半徑方向射入的粒子，必沿半徑方向射出，如圖甲所示。
(2)在圓形磁場區域內，不沿半徑方向射入的粒子，入射速度方向與半徑的夾角為θ，出射速度方向與半徑的夾角也為θ，如圖乙所示。
4．三角形邊界
如圖所示是等邊三角形ABC區域內某帶正電的粒子垂直AB方向進入磁場的臨界軌跡示意圖，粒子能從AC間射出的兩個臨界軌跡如圖甲、乙所示。
例1　(2023·宿遷市高二統考期末)如圖所示，在邊界PQ上方有垂直紙面向里的勻強磁場，一對比荷相同的正、負離子同時從邊界上的O點沿與PQ成θ角的方向以相同的速度v射入磁場中，不計離子重力及離子間的相互作用力，則正、負離子(　　)
A．在磁場中的運動時間相同
B．在磁場中運動的位移相同
C．出邊界時兩者的速度相同
D．正離子出邊界點到O點的距離更大
答案　C
解析　兩離子在磁場中運動周期為T＝
則知兩個離子圓周運動的周期相等。根據左手定則分析可知，正離子逆時針偏轉，負離子順時針偏轉，作出兩離子的運動軌跡，如圖所示
兩離子重新回到邊界時，正離子的速度偏向角為2π－2θ，軌跡的圓心角也為2π－2θ，運動時間t1＝T
同理，負離子運動時間t2＝T
正、負離子在磁場中運動時間不相等，故A錯誤；
根據洛倫茲力提供向心力，則有qvB＝
得r＝
由題意可知r相同，根據幾何知識可得，重新回到邊界的位置與O點距離s＝2rsin θ，
r、θ相同，則s相同，故兩離子在磁場中運動的位移大小相同，方向不同，故B、D錯誤；
兩離子在磁場中均做勻速圓周運動，速度沿軌跡的切線方向，根據圓的對稱性可知，重新回到邊界時速度大小與方向均相同，故C正確。
例2　在以坐標原點O為圓心、半徑為r的圓形區域內，存在磁感應強度大小為B、方向垂直于紙面向里的勻強磁場，如圖所示。一個不計重力的帶電粒子從磁場邊界與x軸的交點A處以速度v沿－x方向射入磁場，它恰好從磁場邊界與y軸的交點C處沿＋y方向飛出。
(1)請判斷該粒子帶何種電荷，并求出其比荷；
(2)若磁場的方向和所在空間范圍不變，而磁感應強度的大小變為B′，該粒子仍從A處以相同的速度射入磁場，但飛出磁場時的速度方向相對于入射方向改變了60°，求磁感應強度B′的大小及此次粒子在磁場中運動所用時間t。
答案　(1)負電荷　　(2)B　
解析　(1)由粒子的運動軌跡(如圖)，利用左手定則可知，該粒子帶負電荷。粒子由A點射入，由C點飛出，其速度方向改變了90°，則粒子軌跡半徑R＝r，又qvB＝m，
則粒子的比荷＝。
(2)設粒子從D點飛出磁場，運動軌跡如圖，速度方向改變了60°，故AD弧所對圓心角為60°，由幾何知識可知，粒子做圓周運動的半徑R′＝＝r，又R′＝，所以B′＝B，此次粒子在磁場中運動所用時間t＝T＝×＝。
二、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題
解決帶電粒子在有界勻強磁場中運動的臨界問題的關鍵，通常以題目中的“恰好”“最大”“至少”等為突破口，尋找臨界點，確定臨界狀態，根據勻強磁場邊界和題設條件畫好軌跡，建立幾何關系求解。
(1)剛好穿出或剛好不能穿出勻強磁場的條件是帶電粒子在勻強磁場中運動的軌跡與邊界相切。
(2)當以一定的速率垂直射入勻強磁場時，運動的弧長越長、圓心角越大，則帶電粒子在有界勻強磁場中的運動時間越長。
(3)比荷相同的帶電粒子以不同的速率v進入磁場時，圓心角越大，運動時間越長。
例3　如圖所示，真空中狹長區域內的勻強磁場的磁感應強度為B，方向垂直紙面向里，區域寬度為d，邊界為CD和EF，速度為v的電子從邊界CD外側垂直于磁場方向射入磁場，入射方向與CD的夾角為θ，已知電子的質量為m、帶電荷量為e，為使電子能從另一邊界EF射出，電子的速率應滿足的條件是(　　)
A．v> B．v<
C．v> D．v<
答案　A
解析　由題意可知，電子從邊界EF射出的臨界條件為到達邊界EF時，速度方向與EF平行，即運動軌跡與EF相切，如圖所示。由幾何知識得：
R＋Rcos θ＝d，R＝，
解得v0＝，當v＞v0時，電子能從邊界EF射出，故A正確。
例4　(2020·全國卷Ⅲ)真空中有一勻強磁場，磁場邊界為兩個半徑分別為a和3a的同軸圓柱面，磁場的方向與圓柱軸線平行，其橫截面如圖所示。一速率為v的電子從圓心沿半徑方向進入磁場。已知電子質量為m，電荷量為e，忽略重力。為使該電子的運動被限制在圖中實線圓圍成的區域內，磁場的磁感應強度最小為(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　磁感應強度取最小值時對應的電子的運動軌跡臨界狀態如圖所示，設電子在磁場中做圓周運動的半徑為r，由幾何關系得a2＋r2＝(3a－r)2，根據洛倫茲力提供向心力有evB＝m，聯立解得B＝，故選C。
三、帶電粒子在有界勻強磁場中運動的多解問題
多解的原因：
(1)磁場方向不確定形成多解；
(2)帶電粒子電性不確定形成多解；
(3)臨界狀態不唯一形成多解；
(4)運動的往復性形成多解。
解決此類問題，首先應畫出粒子的可能軌跡，然后找出圓心、半徑的可能情況。
例5　如圖所示，位于A點的離子源在紙面內沿垂直OQ的方向向上射出一束負離子，重力及離子間的相互作用力忽略不計。為把這束負離子約束在OP之下的區域，可加垂直紙面的勻強磁場。已知O、A兩點間的距離為s，負離子的比荷為，速率為v，OP與OQ間的夾角為30°，則所加勻強磁場的磁感應強度B應滿足(　　)
A．垂直紙面向里，B> B．垂直紙面向里，B<
C．垂直紙面向外，B> D．垂直紙面向外，B>
答案　C
解析　當所加勻強磁場方向垂直紙面向里時，由左手定則可知負離子向右偏轉，負離子被約束在OP之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，如圖(大圓弧)，由幾何知識知R2＝OBsin 30°＝OB，而OB＝s＋R2，故R2＝s，所以當離子運動軌跡的半徑小于s時滿足約束條件；由牛頓第二定律可得qvBmin＝，所以應滿足B>，選項A、B錯誤。當所加勻強磁場方向垂直紙面向外時，由左手定則可知負離子向左偏轉，負離子被約束在OP之下的區域的臨界條件是離子的運動軌跡與OP相切，如圖(小圓弧)，由幾何知識知R1＝，所以當離子運動軌跡的半徑小于時滿足約束條件；由牛頓第二定律得qvBmin′＝，所以應滿足B>，選項C正確，D錯誤。
例6　如圖所示，邊長為l的等邊三角形ACD內、外分布著方向相反的勻強磁場，磁感應強度大小均為B。頂點A處有一粒子源，能沿∠CAD的角平分線方向發射不同速度的粒子，粒子質量均為m，電荷量均為＋q，不計粒子重力。則粒子以下列哪一速度發射時不能通過D點(　　)
A. B. C. D.
答案　C
解析　粒子帶正電，且經過D點，其可能的軌跡如圖所示；
所有圓弧所對應的圓心角均為60°，所以粒子運動的半徑為r＝(n＝1,2,3，…)；粒子在勻強磁場中做勻速圓周運動，洛倫茲力提供向心力，由牛頓第二定律得qvB＝m，解得v＝＝(n＝1,2,3，…)，故選C。

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