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專題強化4　帶電粒子在組合場中的運動
[學習目標]　
1.進一步掌握帶電粒子在電場、磁場中運動的特點及分析方法(重點)。
2.掌握帶電粒子在組合場中運動問題的分析方法(重點)。
3.會根據(jù)電場知識和磁場知識分析帶電粒子在組合場中的運動規(guī)律(難點)。
一、帶電粒子在電場和磁場中運動的動力學分析
(1)洛倫茲力只改變帶電粒子速度方向，不改變帶電粒子速度大小。(　　)
(2)靜電力只改變帶電粒子速度大小，不改變帶電粒子速度方向。(　　)
(3)帶電粒子垂直勻強磁場入射，一定做勻速圓周運動。(　　)
(4)帶電粒子垂直勻強電場入射，也可能做勻速圓周運動。(　　)
二、帶電粒子在組合場中的運動
1．從電場進入磁場
例1　在半導體離子注放工藝中，初速度可忽略的離子P＋和P3＋，經(jīng)電壓為U的電場加速后，垂直進入磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里，有一定的寬度的勻強磁場區(qū)域，如圖所示。已知離子P＋在磁場中轉(zhuǎn)過θ＝30°后從磁場右邊界射出。在電場和磁場中運動時，離子P＋和P3＋(　　)
A．在磁場中運動的半徑之比為3∶1
B．在電場中的加速度之比為1∶1
C．在磁場中轉(zhuǎn)過的角度之比為1∶2
D．離開磁場區(qū)域時的動能之比為1∶
例2　(2023·南京師范大學附屬揚子中學高二期末)如圖所示，在y>0的空間中存在勻強電場，場強沿y軸負方向；在y<0的空間中，存在勻強磁場，磁場方向垂直xOy平面(紙面)向外。一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，經(jīng)過y軸上y＝h處的點P1時速率為v0，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x＝2h處的P2點進入磁場，并經(jīng)過y軸上y＝－2h的P3點。不計重力。求：
(1)電場強度的大小；
(2)粒子到達P2時速度的大小和方向；
(3)磁感應強度的大小。
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帶電粒子從電場射出的末速度是進入磁場的初速度，要特別注意求解進入磁場時速度的大小和方向，這是正確求解的關鍵。
例3　如圖，在空間直角坐標系O－xyz中，界面 Ⅰ 與Oyz平面重疊，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相鄰界面的間距均為L，與x軸的交點分別為O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ間有沿y軸負方向的勻強電場，在界面Ⅱ、Ⅲ間有沿z軸正方向的勻強磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子，從y軸上距O點處的P點，以速度v0沿x軸正方向射入電場區(qū)域，該粒子剛好從點O1進入磁場區(qū)域。粒子重力不計。求：
(1)勻強電場的電場強度的大小E；
(2)要讓粒子剛好不從界面Ⅲ飛出，勻強磁場的磁感應強度B應多大。
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此題看題圖是立體空間，但是帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)和磁場中的圓周運動是在同一個平面內(nèi)完成的，即帶電粒子的運動軌跡在同一個平面內(nèi)。解此類題可以先把立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖，然后畫出帶電粒子的運動軌跡，再運用帶電粒子在電場、磁場中運動的規(guī)律列方程求解。
2、從磁場進入電場
例4　(2023·昆山市文峰高級中學高二校考期末)如圖所示，直角坐標系中的第Ⅰ象限中存在沿y軸負方向的勻強電場，在第Ⅱ象限中存在垂直紙面向外的勻強磁場。一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，在x軸上的a點以與x軸負方向成60°角的速度v0射入磁場，從y＝L處的b點沿垂直于y軸方向進入電場，并經(jīng)過x軸上x＝2L處的c點。不計粒子重力。求：
(1)磁感應強度B的大?。?br/>(2)電場強度E的大??；
(3)帶電粒子在磁場和電場中的運動時間之比。
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3、多次進出電場和磁場
例5　(2023·如皋市第一中學高二期末)如圖所示，y軸上M點的坐標為(0，L)，MN與x軸平行，MN與x軸之間有勻強磁場區(qū)域，磁場垂直紙面向里。在y>L的區(qū)域存在沿－y方向的勻強電場，電場強度大小為E，在坐標原點O處有一帶正電粒子以速率v0沿＋x方向射入磁場，粒子穿出磁場進入電場，速度減小到0后又返回磁場。已知粒子的比荷為，粒子重力不計。求：
(1)勻強磁場的磁感應強度的大??；
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(2)該粒子第一次上升到最高點的坐標；
(3)從原點出發(fā)后經(jīng)過多長時間，帶電粒子第一次回到x軸。
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專題強化4　帶電粒子在組合場中的運動
[學習目標]　1.進一步掌握帶電粒子在電場、磁場中運動的特點及分析方法(重點)。2.掌握帶電粒子在組合場中運動問題的分析方法(重點)。3.會根據(jù)電場知識和磁場知識分析帶電粒子在組合場中的運動規(guī)律(難點)。
一、帶電粒子在電場和磁場中運動的動力學分析
(1)洛倫茲力只改變帶電粒子速度方向，不改變帶電粒子速度大小。(　√　)
(2)靜電力只改變帶電粒子速度大小，不改變帶電粒子速度方向。(　×　)
(3)帶電粒子垂直勻強磁場入射，一定做勻速圓周運動。(　√　)
(4)帶電粒子垂直勻強電場入射，也可能做勻速圓周運動。(　×　)
二、帶電粒子在組合場中的運動
1．從電場進入磁場
例1　在半導體離子注放工藝中，初速度可忽略的離子P＋和P3＋，經(jīng)電壓為U的電場加速后，垂直進入磁感應強度大小為B、方向垂直紙面向里，有一定的寬度的勻強磁場區(qū)域，如圖所示。已知離子P＋在磁場中轉(zhuǎn)過θ＝30°后從磁場右邊界射出。在電場和磁場中運動時，離子P＋和P3＋(　　)
A．在磁場中運動的半徑之比為3∶1
B．在電場中的加速度之比為1∶1
C．在磁場中轉(zhuǎn)過的角度之比為1∶2
D．離開磁場區(qū)域時的動能之比為1∶
答案　C
解析　兩個離子的質(zhì)量相同，其帶電荷量之比是1∶3的關系，所以由牛頓第二定律有q＝ma，得a＝，可知二者在電場中的加速度之比是1∶3，故選項B錯誤；
離子在離開電場時有Uq＝mv2，即v＝，可知其速度之比為1∶，又由qvB＝m，知r＝，所以其半徑之比為∶1，故選項A錯誤；
由選項A分析可知，離子在磁場中運動的半徑之比為∶1，設磁場寬度為L，離子通過磁場轉(zhuǎn)過的角度等于其圓心角，所以有sin θ＝，則可知轉(zhuǎn)過角度的正弦值之比為1∶，又P＋轉(zhuǎn)過的角度為30°，可知P3＋轉(zhuǎn)過的角度為60°，即在磁場中轉(zhuǎn)過的角度之比為1∶2，故選項C正確；
由電場加速后有qU＝mv2，在磁場中洛倫茲力不做功，可知，兩離子離開磁場的動能之比為1∶3，故選項D錯誤。
例2　(2023·南京師范大學附屬揚子中學高二期末)如圖所示，在y>0的空間中存在勻強電場，場強沿y軸負方向；在y<0的空間中，存在勻強磁場，磁場方向垂直xOy平面(紙面)向外。一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電的粒子，經(jīng)過y軸上y＝h處的點P1時速率為v0，方向沿x軸正方向；然后，經(jīng)過x軸上x＝2h處的P2點進入磁場，并經(jīng)過y軸上y＝－2h的P3點。不計重力。求：
(1)電場強度的大??；
(2)粒子到達P2時速度的大小和方向；
(3)磁感應強度的大小。
答案　(1)　(2)v0　方向與x軸夾角為45°，斜向右下方　(3)
解析　(1)粒子在電場和磁場中的運動軌跡如圖所示
設粒子從P1運動到P2的時間為t，電場強度的大小為E，粒子在電場中的加速度為a，由牛頓第二定律qE＝ma
根據(jù)運動學公式有
v0t＝2h
h＝at2
聯(lián)立以上公式解得E＝
(2)粒子到達P2時速度沿x方向速度分量為v0，沿y方向速度分量的大小為v1，v表示速度的大小，θ表示速度與x軸的夾角，則有
v12＝2ah
v＝
聯(lián)立以上各式解得v＝v0
cos θ＝＝，則θ＝45°
方向與x軸夾角為45°，斜向右下方。
(3)設磁場的磁感應強度為B，在洛倫茲力作用下粒子做勻速圓周運動，由牛頓第二定律可得
qvB＝m
r是圓周運動的半徑，與x軸、y軸的交點為P2、P3，因為OP2＝OP3，θ＝45°
由幾何關系可知，連線P2P3為圓周的直徑，求得r＝h
聯(lián)立解得B＝。
帶電粒子從電場射出的末速度是進入磁場的初速度，要特別注意求解進入磁場時速度的大小和方向，這是正確求解的關鍵。
例3　如圖，在空間直角坐標系O－xyz中，界面Ⅰ與Oyz平面重疊，界面Ⅰ、Ⅱ、Ⅲ相互平行，且相鄰界面的間距均為L，與x軸的交點分別為O、O1、O2；在界面Ⅰ、Ⅱ間有沿y軸負方向的勻強電場，在界面Ⅱ、Ⅲ間有沿z軸正方向的勻強磁場。一質(zhì)量為m、電荷量為＋q的粒子，從y軸上距O點處的P點，以速度v0沿x軸正方向射入電場區(qū)域，該粒子剛好從點O1進入磁場區(qū)域。粒子重力不計。求：
(1)勻強電場的電場強度的大小E；
(2)要讓粒子剛好不從界面Ⅲ飛出，勻強磁場的磁感應強度B應多大。
答案　(1)　(2)
解析　畫出平面圖如圖所示：
(1)粒子在電場區(qū)域內(nèi)做類平拋運動，設電場中粒子加速度大小為a，沿z軸正方向看，如圖所示
粒子從O1點進入右邊磁場，則
L＝v0t
＝at2
qE＝ma
聯(lián)立解得E＝
(2)設粒子到O1點時的速度大小為v，與x軸正方向夾角為θ，如圖所示，則
vy＝at，v＝
tan θ＝
故tan θ＝1
即有θ＝45°，v＝v0
在磁場區(qū)域，粒子做勻速圓周運動，則qvB＝m，粒子剛好不從界面Ⅲ飛出，根據(jù)幾何關系有R＋Rcos 45°＝L
解得B＝。
此題看題圖是立體空間，但是帶電粒子在電場中的偏轉(zhuǎn)和磁場中的圓周運動是在同一個平面內(nèi)完成的，即帶電粒子的運動軌跡在同一個平面內(nèi)。解此類題可以先把立體圖轉(zhuǎn)化為平面圖，然后畫出帶電粒子的運動軌跡，再運用帶電粒子在電場、磁場中運動的規(guī)律列方程求解。
2、從磁場進入電場
例4　(2023·昆山市文峰高級中學高二?？计谀?如圖所示，直角坐標系中的第Ⅰ象限中存在沿y軸負方向的勻強電場，在第Ⅱ象限中存在垂直紙面向外的勻強磁場。一電荷量為q、質(zhì)量為m的帶正電粒子，在x軸上的a點以與x軸負方向成60°角的速度v0射入磁場，從y＝L處的b點沿垂直于y軸方向進入電場，并經(jīng)過x軸上x＝2L處的c點。不計粒子重力。求：
(1)磁感應強度B的大?。?br/>(2)電場強度E的大?。?br/>(3)帶電粒子在磁場和電場中的運動時間之比。
答案　(1)　(2)　(3)
解析　(1)帶電粒子的運動軌跡如圖
由幾何關系可知
r＋rcos 60°＝L
解得r＝L
又因為qv0B＝m
解得B＝
(2)帶電粒子在電場中運動時，沿x軸有2L＝v0t2
沿y軸有L＝at22
又因為qE＝ma
解得E＝
(3)帶電粒子在磁場中運動時間為
t1＝T＝·＝
帶電粒子在電場中運動時間為t2＝，
所以帶電粒子在磁場和電場中運動時間之比為
＝。
3、多次進出電場和磁場
例5　(2023·如皋市第一中學高二期末)如圖所示，y軸上M點的坐標為(0，L)，MN與x軸平行，MN與x軸之間有勻強磁場區(qū)域，磁場垂直紙面向里。在y>L的區(qū)域存在沿－y方向的勻強電場，電場強度大小為E，在坐標原點O處有一帶正電粒子以速率v0沿＋x方向射入磁場，粒子穿出磁場進入電場，速度減小到0后又返回磁場。已知粒子的比荷為，粒子重力不計。求：
(1)勻強磁場的磁感應強度的大小；
(2)該粒子第一次上升到最高點的坐標；
(3)從原點出發(fā)后經(jīng)過多長時間，帶電粒子第一次回到x軸。
答案　(1)　(2)(L，L＋)　(3)＋
解析　(1)粒子穿出磁場進入電場，速度減小到0后又返回磁場，則粒子進電場時的速度方向沿y軸正方向，所以粒子在組合場中軌跡如圖
由幾何關系知，粒子在磁場中做圓周運動的半徑為
r＝L
根據(jù)洛倫茲力提供向心力得qv0B＝m
解得B＝
(2)粒子穿出磁場進入電場，當速度減小到0時粒子第一次上升到最高點，根據(jù)牛頓第二定律有a＝
根據(jù)運動學公式得粒子沿y軸正方向做勻減速直線運動的距離
y＝＝
粒子第一次上升到最高點的橫坐標x＝r＝L
粒子第一次上升到最高點的縱坐標
y′＝r＋y＝L＋
粒子第一次上升到最高點的坐標為(L，L＋)
(3)粒子在磁場中運動的時間為t1＝
粒子在電場中運動的時間t2＝
又a＝
解得t2＝
從原點出發(fā)后到帶電粒子第一次回到x軸所用的時間t＝t1＋t2＝＋。

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