資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
第三章 函數
第九節 一次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一次函數的相關概念 ☆ 一次函數包含的知識內容較多。通常考查的方式有求函數解析式、求交點坐標、比較大小、函數圖像與坐標軸圍成的圖形面積和基本函數與其它知識點的實際應用，題型較豐富，單一知識點的考察則多以選擇題、填空題出現，綜合性強的試題以解答題為主，且常與反比例或者二次函數結合考查，考查難度一般比較大，在廣東的統考中較少獨立考察，但也要以防萬一。復習時注重運用數形結合的數學思想方法，強化數學的建模意識，培養數學的建模能力。
考點2 一次函數的圖象和性質 ☆☆
考點3 一次函數與方程的關系 ☆☆
考點4 一次函數與不等式的關系 ☆☆
考點5 一次函數的應用 ☆☆
考點1 一次函數相關概念
1.一次函數的概念：
一般地，如果___________（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數．
結構特征：①___________；②x的次數是1；③常數項b可以是任意實數．
2.正比例函數的概念：
特別地，當一次函數y=kx+b中的b為___________時，y=kx（k為常數，k≠0）．這時，y叫做x的正比例函數．
結構特征：①k≠0；②x的次數是1；③常數項為___________．
3. 一次函數與正比例函數的聯系：正比例函數是一次函數的特殊形式
考點2 一次函數的圖象和性質
1.正比例函數的圖象：
正比例函數y=kx（常數k≠0）的圖象是一條經過原點（0，0）與點___________的直線．
2.一次函數的圖象：
所有一次函數的圖象都是一條直線；一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象是一條與y軸交于點（0，b），與x軸交于點（___________，0）的直線．
【注意】（1）畫一次函數的圖象，只需過圖象上兩點作直線即可，一般取（0，b），（__，0）兩點．
（2）當___________時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例．
3.一次函數圖象的平移：
直線y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直線y=kx（k≠0）向上或向下平移得到．
當b＞0時，將直線y=kx向___________平移___________個單位長度，得到直線y=kx+b；
當b＜0時，將直線y=kx向___________平移|b|個單位長度，得到直線y=kx+b．
4.正比例函數的性質：
一般地，正比例函數y=kx（k≠0）有下列性質：
（1）當___________時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而___________．
（2）當k<0時，圖象經過第___________象限，y隨x的增大而___________．
5.一次函數的性質：
一般地，一次函數y=kx+b（k≠0，b≠0）有下列性質：
（1）___________時，圖象經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大．
（2）___________時，圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大．
（3）___________時，圖象經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小．
（4）___________時，圖象經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小．
6.一次函數圖象與坐標軸圍成的三角形的面積：
直線y=kx+b與x軸的交點坐標為（，0），與y軸的交點坐標為（0，b）；直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為．
考點3 一次函數與方程的關系
1．確定一次函數解析式的方法：
（1）依據題意中等量關系直接列出解析式；（2）待定系數法．
2．用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：
確定一個正比例函數，需要確定正比例函數解析式y=kx（k≠0）中的___________．
確定一個一次函數，需要確定一次函數解析式y=kx+b（k≠0）中的___________和___________．
解這類問題的一般方法是待定系數法．
（1）設出函數的一般形式．
（2）根據已知條件（自變量與函數的對應值）代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組．
（3）解方程或方程組求出待定系數的值．
（4）將所求得的系數的值代入到一般形式中．
3．確定正比例函數表達式
只需一對x與y的對應值（即已知正比例函數圖象上的一個點即可）；確定一次函數的表達式，只需要兩對x與y的對應值（即已知一次函數圖象上的兩個點即可）．
4．一次函數與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數，且a≠0）的形式．因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線．進一步可知，一個二元一次方程對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線．
從數的角度看，解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標．
考點4 一次函數與不等式的關系
1.由函數圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：
①根據圖象找出交點橫坐標，
②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應交點的___________，則x取其中一邊的范圍。
考點5 一次函數的應用
1．一次函數應用問題的求解思路：
建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答．
利用函數并與方程（組）、不等式（組）聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用．
2．建立函數模型解決實際問題的一般步驟：
（1）審題，設定實際問題中的變量，明確變量x和y；
（2）根據等量關系，建立變量與變量之間的函數關系式，如：一次函數的函數關系式；
（3）確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；
（4）利用函數的性質解決問題；
（5）寫出答案．
3．利用一次函數的圖象解決實際問題的一般步驟：
（1）觀察圖象，獲取有效信息；
（2）對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；
（3）選擇適當的數學工具（如函數、方程、不等式等），通過建模解決問題．
【提示】時刻注意根據實際情況確定___________的取值范圍．
考點1：一次函數的相關概念
◇例題
1．（2023 天心區校級一模）下列函數中，一定是一次函數的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝+3 C．y＝5x2+6 D．y＝﹣kx+1
2．（2023 鹽池縣一模）若函數y＝（m+1）x+1﹣m2是正比例函數，則m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＞1
◆變式訓練
3．（2023 霞山區一模）下列函數中，y是x的正比例函數的是（　　）
A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y＝﹣x D．y＝
4．（2022 金鄉縣二模）若函數y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函數，則m的值為（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
考點2：一次函數的圖象和性質
◇例題
1．（2020 順德區校級模擬）函數y＝kx與y＝﹣kx+k的大致圖象是（　　）
A． B．
C． D．
2．（2023 東莞市校級一模）已知點（﹣1，y1），（3，y2）在一次函數y＝2x+1的圖象上，則y1，y2的大小關系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能確定
3．（2021 饒平縣校級模擬）已知一次函數y＝kx+k，若y隨x的增大而增大，則它的圖象經過第　 象限．
4．（2023 茂南區二模）若直線y1＝ax+b經過第一、二、四象限，則直線y2＝bx+a不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
◆變式訓練
1．（2023 禪城區校級三模）下列函數中，y隨x的增大而增大的函數是（　　）
A．y＝2﹣x B．y＝﹣2x+1 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2
2．（2022 東莞市一模）若k＜0，b＜0，則一次函數y＝kx﹣b的圖象大致是（　　）
A．B．C．D．
3．（2022 海珠區二模）已知一次函數y＝kx﹣3且y隨x的增大而增大，那么它的圖象不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
4．（2021 廣州模擬）已知：函數y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，若x＜，則y1　 y2（填“＞”或＝或“＜”）
考點3：一次函數與方程的關系
◇例題
1．（2023 海珠區校級二模）已知一次函數y＝ax+2的圖象與x軸的交點坐標為（3，0），則一元一次方程ax+2＝0的解為（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a
2．（2021 蕉嶺縣模擬）在平面直角坐標系中，一次函數y＝mx+b（m，b均為常數）與正比例函數y＝nx（n為常數）的圖象如圖所示，則關于x的方程mx＝nx﹣b的解為（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
3．（2023 汕頭二模）如圖，已知函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，則根據圖象可得，關于x、y的二元一次方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 中山市三模）若正比例函數的圖象經過點（3，6），則該函數的解析式為 　 　．
5．（2022 東莞市一模）如圖，已知一次函數y＝kx+3和y＝﹣x+b的圖象交于點P（2，4），則關于x的方程kx+3＝﹣x+b的解是　 　．
6．（2023 增城區一模）如圖，已知直線l1：y＝3x+1和直線l2：y＝mx+n交于點P（1，b），則關于x，y的二元一次方程組的解是 　　．
◆變式訓練
1．（2022 茂南區一模）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與x軸交于點（﹣5，0），下列說法正確的是（　　）
A．k＞0，b＜0
B．直線上兩點（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2，則y1＞y2
C．直線經過第四象限
D．關于x的方程kx+b＝0的解為x＝﹣5
2．（2023 曲江區校級三模）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點的橫坐標為1，則關于x、y的二元一次方程組的解為（　　）
A． B． C． D．
3．（2023 番禺區校級一模）如圖，一次函數y＝kx+b與y＝x+5的圖象相交于點A，則方程組的解為 　 　．
4．（2020 封開縣一模）一次函數的圖象經過點A（1，3）和B（3，1），它的解析式是　 　．
5．（2023 潮南區模擬）如圖，已知A（2，3），B（0，2），在x軸上找一點C，使得|AC﹣BC|的值最大，則此時點C的坐標為 　 　．
考點4：一次函數與不等式的關系
◇例題
1．（2023 英德市二模）如圖，直線y＝kx+3經過點（2，0），則關于x的不等式kx+3＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
2．（2023 海珠區一模）若直線y＝2x和y＝kx﹣2相交于點Q（﹣3，m），則關于x的不等式（2﹣k）x＜﹣2的解集是 　 　．
◆變式訓練
1．（2023 豐順縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝ax+b與兩坐標軸的交點分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
2．（2023 金平區二模）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+4交于點，則關于x的不等式x+b≥kx+4的解集是 　 　．
考點5：一次函數的應用
◇例題
1．（2023 越秀區模擬）《九章算術》記載：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺．問幾何日相逢？（大意是有一道墻，高9尺，上面種一株瓜，瓜蔓向下伸，每天長7寸，地上種著瓠向上長，每天長1尺，問瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如圖是瓜蔓與瓠蔓離地面的高度h（單位：尺）關于生長時間x（單位：日）的函數圖象，則由圖可知兩圖象交點P的橫坐標是（　　）
A．4 B．5 C．5 D．30
2．（2023 郁南縣校級模擬）近年來，預制菜消費持續升溫，它既滿足了消費者的需要，也不斷拓展著飲食行業的發展．某餐飲平臺計劃推出A和B兩種預制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可獲利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可獲利60元．
（1）求每份菜品A、B的利潤；
（2）根據銷售情況，該餐飲平臺每日都能售完A、B兩種菜品共1000份，且菜品A的數量不高于菜品B數量的，應該如何進貨才能使總利潤最高？最高利潤是多少？
◆變式訓練
1．（2023 金平區一模）如圖，甲乙兩人以相同的路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習，圖中L甲，L乙分別表示甲乙兩人前往目的地所走的路程S（千米）隨時間t（分）變化的函數圖象，以下說法：①乙比甲提前12分鐘到達；②甲、乙相遇時，乙走了6千米；③乙出發6分鐘后追上甲．其中正確的是 　．（填序號）
2．（2021 鹽田區二模）隨著疫情形勢穩定向好，“復工復產”成為主旋律．某生產無人機公司統計發現，公司今年2月份生產A型無人機2000架，4月份生產A型無人機達到12500架．
（1）求該公司生產A型無人機每月產量的平均增長率；
（2）該公司還生產B型無人機，已知生產1架A型無人機的成本是200元，生產1架B型無人機的成本是300元，現要生產A、B兩種型號的無人機共100架，其中A型無人機的數量不超過B型無人機數量的3倍，公司生產A、B兩種型號的無人機各多少架時才可能使生產成本最少？
1．（2022 廣州）點（3，﹣5）在正比例函數y＝kx（k≠0）的圖象上，則k的值為（　　）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
2．（2020 廣州）一次函數y＝﹣3x+1的圖象過點（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），則（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
3．（2022 深圳）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣．
（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價．
（2）該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則購買的最低費用是多少．
4．（2023 廣州）因活動需要購買某種水果，數學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用y1（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用y2（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數解析式為y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1與x之間的函數解析式；
（2）現計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？
5．（2023 廣東）綜合運用
如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．
（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）
（2）若點A（4，3），求FC的長；
（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數表達式．
1．（2023 東莞市校級二模）已知點（﹣3，2）在一次函數y＝kx﹣4的圖象上，則k等于（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
2．（2023 東莞市一模）點P在一次函數y＝3x+4的圖象上，則點P不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
3．（2023 茂南區校級模擬）已知正比例函數y＝kx（k≠0）的函數值y隨x的增大而減小，則一次函數y＝x+k的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
4．（2023 越秀區校級三模）在平面直角坐標系中，一次函數y＝（a2+1）x+1的圖象經過P1（﹣1，y1），P2（2，y2）兩點，則（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
5．（2023 曲江區校級三模）已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣2x+4交于點C（m，2），則方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
6．（2023 福田區校級三模）如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為y1＝k1x，y2＝k2x，則關于 k1與k2的關系，正確的是（　　）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＜0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|
7．（2023 荔灣區一模）已知直線y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）個單位后經過點（1，﹣3），則m的值為 　 　．
8．（2023 天河區二模）已知一根彈簧在不掛重物時長6cm，在一定的彈性限度內，每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm．則該彈簧總長y（cm）隨所掛物體質量x（kg）變化的函數關系式為　 　．
9．（2023 潮陽區二模）如圖，函數y＝kx+b（k＜0）的圖象經過點P，則關于x的不等式kx+b＞3的解集為 　 　．
10．（2023 佛山二模）如圖，已知y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，根據圖象可得關于x、y的二元一次方程組的解是　 　．
11．（2023 惠東縣校級三模）如圖，已知直線y＝kx+b經過點A（4，0），B（1，3），交y軸于點D．
（1）直線AB的解析式為 　 　，AD＝　 　；
（2）若直線y＝2x﹣5與直線AB相交于點C，求點C的坐標；
（3）根據圖象，直接寫出關于x的不等式2x﹣5＞kx+b的解集．
12．（2021 陽西縣模擬）某校積極響應國家號召，為落實垃圾“分類回收，科學處理”的政策，準備購買100L和240L兩種型號的垃圾箱若干套．若購買8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元；若購買4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元．
（1）每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？
（2）學校決定購買100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的數量不少于100L垃圾箱數量的，求購買這20套垃圾箱的最少費用．
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第三章 函數
第九節 一次函數
考點分布 考查頻率 命題趨勢
考點1 一次函數的相關概念 ☆ 一次函數包含的知識內容較多。通常考查的方式有求函數解析式、求交點坐標、比較大小、函數圖像與坐標軸圍成的圖形面積和基本函數與其它知識點的實際應用，題型較豐富，單一知識點的考察則多以選擇題、填空題出現，綜合性強的試題以解答題為主，且常與反比例或者二次函數結合考查，考查難度一般比較大，在廣東的統考中較少獨立考察，但也要以防萬一。復習時注重運用數形結合的數學思想方法，強化數學的建模意識，培養數學的建模能力。
考點2 一次函數的圖象和性質 ☆☆
考點3 一次函數與方程的關系 ☆☆
考點4 一次函數與不等式的關系 ☆☆
考點5 一次函數的應用 ☆☆
考點1 一次函數相關概念
1.一次函數的概念：
一般地，如果y=kx+b（k，b是常數，k≠0），那么y叫做x的一次函數．
結構特征：①k≠0；②x的次數是1；③常數項b可以是任意實數．
2.正比例函數的概念：
特別地，當一次函數y=kx+b中的b為0時，y=kx（k為常數，k≠0）．這時，y叫做x的正比例函數．
結構特征：①k≠0；②x的次數是1；③常數項為0．
3. 一次函數與正比例函數的聯系：正比例函數是一次函數的特殊形式
考點2 一次函數的圖象和性質
1.正比例函數的圖象：
正比例函數y=kx（常數k≠0）的圖象是一條經過原點（0，0）與點（1，k）的直線．
2.一次函數的圖象：
所有一次函數的圖象都是一條直線；一次函數y=kx+b（k，b是常數，k≠0）的圖象是一條與y軸交于點（0，b），與x軸交于點（，0）的直線．
【注意】（1）畫一次函數的圖象，只需過圖象上兩點作直線即可，一般取（0，b），（，0）兩點．（2）當b=0時，一次函數變為正比例函數，正比例函數是一次函數的特例．
3.一次函數圖象的平移：
直線y=kx+b（k≠0，b≠0）可由直線y=kx（k≠0）向上或向下平移得到．
當b＞0時，將直線y=kx向上平移b個單位長度，得到直線y=kx+b；
當b＜0時，將直線y=kx向下平移|b|個單位長度，得到直線y=kx+b．
4.正比例函數的性質：
一般地，正比例函數y=kx（k≠0）有下列性質：
（1）當k>0時，圖象經過第一、三象限，y隨x的增大而增大．
（2）當k<0時，圖象經過第二、四象限，y隨x的增大而減小．
5.一次函數的性質：
一般地，一次函數y=kx+b（k≠0，b≠0）有下列性質：
（1）k>0，b>0時，圖象經過一、二、三象限，y隨x的增大而增大．
（2）k>0，b<0時，圖象經過一、三、四象限，y隨x的增大而增大．
（3）k<0，b>0時，圖象經過一、二、四象限，y隨x的增大而減小．
（4）k<0，b<0時，圖象經過二、三、四象限，y隨x的增大而減小．
6.一次函數圖象與坐標軸圍成的三角形的面積：
直線y=kx+b與x軸的交點坐標為（，0），與y軸的交點坐標為（0，b）；直線與兩坐標軸圍成的三角形的面積為．
考點3 一次函數與方程的關系
1．確定一次函數解析式的方法：
（1）依據題意中等量關系直接列出解析式；（2）待定系數法．
2．用待定系數法求一次函數表達式的一般步驟：
確定一個正比例函數，需要確定正比例函數解析式y=kx（k≠0）中的常數k．
確定一個一次函數，需要確定一次函數解析式y=kx+b（k≠0）中的常數k和b．
解這類問題的一般方法是待定系數法．
（1）設出函數的一般形式．
（2）根據已知條件（自變量與函數的對應值）代入表達式得到關于待定系數的方程或方程組．
（3）解方程或方程組求出待定系數的值．
（4）將所求得的系數的值代入到一般形式中．
3．確定正比例函數表達式
只需一對x與y的對應值（即已知正比例函數圖象上的一個點即可）；確定一次函數的表達式，只需要兩對x與y的對應值（即已知一次函數圖象上的兩個點即可）．
4．一次函數與二元一次方程組
一般地，二元一次方程mx+ny=p（m，n，p是常數，且m≠0，n≠0）都能寫成y=ax+b（a，b為常數，且a≠0）的形式．因此，一個二元一次方程對應一個一次函數，又因為一個一次函數對應一條直線，所以一個二元一次方程也對應一條直線．進一步可知，一個二元一次方程對應兩個一次函數，因而也對應兩條直線．
從數的角度看，解二元一次方程組相當于考慮自變量為何值時，兩個函數的值相等，以及這兩個函數值是何值；從形的角度看，解二元一次方程組相當于確定兩條直線的交點坐標，一般地，如果一個二元一次方程組有唯一解，那么這個解就是方程組對應的兩條直線的交點坐標．
考點4 一次函數與不等式的關系
1.由函數圖象直接寫出不等式解集的方法歸納：
①根據圖象找出交點橫坐標，
②不等式中不等號開口朝向的一方，圖象在上方，對應交點的左右，則x取其中一邊的范圍。
考點5 一次函數的應用
1．一次函數應用問題的求解思路：
建立一次函數模型→求出一次函數解析式→結合函數解析式、函數性質作出解答．
利用函數并與方程（組）、不等式（組）聯系在一起解決實際生活中的利率、利潤、租金、生產方案的設計問題以及經濟決策、市場經濟等方面的應用．
2．建立函數模型解決實際問題的一般步驟：
（1）審題，設定實際問題中的變量，明確變量x和y；
（2）根據等量關系，建立變量與變量之間的函數關系式，如：一次函數的函數關系式；
（3）確定自變量x的取值范圍，保證自變量具有實際意義；
（4）利用函數的性質解決問題；
（5）寫出答案．
3．利用一次函數的圖象解決實際問題的一般步驟：
（1）觀察圖象，獲取有效信息；
（2）對獲取的信息進行加工、處理，理清各數量之間的關系；
（3）選擇適當的數學工具（如函數、方程、不等式等），通過建模解決問題．
【提示】時刻注意根據實際情況確定變量的取值范圍．
考點1：一次函數的相關概念
◇例題
1．（2023 天心區校級一模）下列函數中，一定是一次函數的是（　　）
A．y＝﹣8x B．y＝+3 C．y＝5x2+6 D．y＝﹣kx+1
【解答】解：A、∵﹣8≠0，
∴y＝﹣8x是一次函數，A符合題意；
B、∵自變量x的次數為﹣1，
∴y＝+3不是一次函數，B不符合題意；
C、∵自變量x的次數為2，
∴y＝5x2+6不是一次函數，C不符合題意；
D、當k＝0時，函數y＝1為常數函數，不是一次函數，D不符合題意．
故選：A．
2．（2023 鹽池縣一模）若函數y＝（m+1）x+1﹣m2是正比例函數，則m的值是（　　）
A．m＝﹣1 B．m＝1 C．m＝±1 D．m＞1
【解答】解：根據題意知，
解得m＝1，
故選：B．
◆變式訓練
3．（2023 霞山區一模）下列函數中，y是x的正比例函數的是（　　）
A．y＝4x+1 B．y＝2x2 C．y＝﹣x D．y＝
【解答】解：A、y＝4x+1，不符合正比例函數的定義，故本選項錯誤；
B、y＝2x2，自變量次數不為1，故本選項錯誤；
C、y＝﹣x，符合正比例函數的定義，故本選項正確；
D、y＝，自變量次數不為1，故本選項錯誤；
故選：C．
4．（2022 金鄉縣二模）若函數y＝（m﹣1）x|m|﹣5是一次函數，則m的值為（　　）
A．±1 B．﹣1 C．1 D．2
【解答】解：根據題意得，|m|＝1且m﹣1≠0，
解得m＝±1且m≠1，
所以，m＝﹣1．
故選：B．
考點2：一次函數的圖象和性質
◇例題
1．（2020 順德區校級模擬）函數y＝kx與y＝﹣kx+k的大致圖象是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據k的取值范圍，分別討論k＞0和k＜0時的情況，然后根據正比例函數和一次函數圖象的特點進行選擇正確答案．
【解答】解：A、由y＝kx的圖象知k＞0，則﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的圖象經過第一、二、四象限，故本選項不符合題意．
B、由y＝kx的圖象知k＞0，則﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的圖象經過第一、二、四象限，故本選項不符合題意．
C、由y＝kx的圖象知k＜0，則﹣k＞0，所以y＝﹣kx+k的圖象經過第一、三、四象限，故本選項不符合題意．
D、由y＝kx的圖象知k＞0，則﹣k＜0，所以y＝﹣kx+k的圖象經過第一、二、四象限，故本選項符合題意．
故選：D．
2．（2023 東莞市校級一模）已知點（﹣1，y1），（3，y2）在一次函數y＝2x+1的圖象上，則y1，y2的大小關系是（　　）
A．y1＜y2 B．y1＝y2 C．y1＞y2 D．不能確定
【分析】k＝2＞0，利用一次函數的性質，可得出y隨x的增大而增大，結合﹣1＜3，可得出y1＜y2．
【解答】解：∵k＝2＞0，
∴y隨x的增大而增大，
又∵點（﹣1，y1），（3，y2）在一次函數y＝2x+1的圖象上，且﹣1＜3，
∴y1＜y2．
故選：A．
3．（2021 饒平縣校級模擬）已知一次函數y＝kx+k，若y隨x的增大而增大，則它的圖象經過第　 象限．
【分析】根據一次函數y＝kx+k，y隨x的增大而增大，可以得到k＞0，然后即可得到一次函數y＝kx+k的圖象經過哪幾個象限．
【解答】解：∵一次函數y＝kx+k，y隨x的增大而增大，
∴k＞0，
∴一次函數y＝kx+k的圖象經過第一、二、三象限，
故答案為：一、二、三．
4．（2023 茂南區二模）若直線y1＝ax+b經過第一、二、四象限，則直線y2＝bx+a不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據直線y1＝ax+b經過第一、二、四象限，可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到直線y2＝bx+a經過哪個象限，不經過哪個象限．
【解答】解：∵直線y1＝ax+b經過第一、二、四象限，
∴a＜0，b＞0，
∴直線y2＝bx+a經過第一、三、四象限，不經過第二象限，
故選：B．
◆變式訓練
1．（2023 禪城區校級三模）下列函數中，y隨x的增大而增大的函數是（　　）
A．y＝2﹣x B．y＝﹣2x+1 C．y＝x﹣2 D．y＝﹣x﹣2
【分析】四個選項給的都是一次函數，要y隨x的增大而增大，則k＞0，即可找到正確選項．
【解答】解：∵對于一次函數y＝kx+b（k≠0，k，b為常數），
當k＞0，圖象經過第一，三象限，y隨x的增大而增大；
∴A，B，D選項錯，C選項對．
故選：C．
2．（2022 東莞市一模）若k＜0，b＜0，則一次函數y＝kx﹣b的圖象大致是（　　）
A．B．C．D．
【分析】根據一次函數的圖象與系數的關系即可確定．
【解答】解：∵b＜0，
∴﹣b＞0，
∵k＜0，
∴一次函數y＝kx﹣b的圖象經過第一、二、四象限，
故選：C．
3．（2022 海珠區二模）已知一次函數y＝kx﹣3且y隨x的增大而增大，那么它的圖象不經過（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】根據一次函數的性質：k＞0，y隨x的增大而增大，函數從左到右上升；k＜0，y隨x的增大而減小，函數從左到右下降進行分析即可．
【解答】解：∵一次函數y＝kx﹣3且y隨x的增大而增大，
∴它的圖象經過一、三、四象限，
∴不經過第二象限，
故選：B．
4．（2021 廣州模擬）已知：函數y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，若x＜，則y1　 y2（填“＞”或＝或“＜”）
【分析】首先求得兩個函數的交點坐標，根據交點坐標確定答案即可．
【解答】解：聯立y1＝2x﹣1，y2＝﹣x+3，
解得，
所以當x＜時，y1＜y2
故答案為：＜．
考點3：一次函數與方程的關系
◇例題
1．（2023 海珠區校級二模）已知一次函數y＝ax+2的圖象與x軸的交點坐標為（3，0），則一元一次方程ax+2＝0的解為（　　）
A．x＝3 B．x＝0 C．x＝2 D．x＝a
【分析】根據圖象經過點（3，0），即把（3，0）代入函數解析式成立，即方程成立，據此即可判斷．
【解答】解：根據題意當x＝3時，y＝0，即方程ax+2＝0成立，則方程的解是x＝3．
故選：A．
2．（2021 蕉嶺縣模擬）在平面直角坐標系中，一次函數y＝mx+b（m，b均為常數）與正比例函數y＝nx（n為常數）的圖象如圖所示，則關于x的方程mx＝nx﹣b的解為（　　）
A．x＝3 B．x＝﹣3 C．x＝1 D．x＝﹣1
【分析】由圖象可以知道，當x＝3時，兩個函數的函數值是相等的．
【解答】解：∵兩條直線的交點坐標為（3，﹣1），
∴關于x的方程mx＝nx﹣b的解為x＝3，
故選：A．
3．（2023 汕頭二模）如圖，已知函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，則根據圖象可得，關于x、y的二元一次方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據函數圖象可以得到兩個函數交點坐標，從而可以得到兩個函數聯立的二元一次方程組的解．
【解答】解：根據函數圖可知，
函數y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P的坐標是（﹣3，1），
故的解是，
故選：C．
4．（2023 中山市三模）若正比例函數的圖象經過點（3，6），則該函數的解析式為 　 　．
【分析】設該正比例函數的解析式為y＝kx，然后將點（3，6）代入到該解析式并列出關于系數k的方程，通過解方程即可求出k值，從而求出這個函數解析式．
【解答】解：設該正比例函數的解析式為y＝kx，
∵這個正比例函數的圖象經過點（3，6），
∴6＝3k，
∴k＝2．
故答案為：y＝2x．
5．（2022 東莞市一模）如圖，已知一次函數y＝kx+3和y＝﹣x+b的圖象交于點P（2，4），則關于x的方程kx+3＝﹣x+b的解是　 　．
【分析】函數圖象的交點坐標的橫坐標即是方程的解．
【解答】解：∵已知一次函數y＝kx+3和y＝﹣x+b的圖象交于點P（2，4），
∴關于x的方程kx+3＝﹣x+b的解是x＝2，
故答案為：x＝2．
6．（2023 增城區一模）如圖，已知直線l1：y＝3x+1和直線l2：y＝mx+n交于點P（1，b），則關于x，y的二元一次方程組的解是 　　．
【分析】首先把P（1，b）代入直線l1：y＝3x+1即可求出b的值，從而得到P點坐標，再根據兩函數圖象的交點就是兩函數組成的二元一次去方程組的解可得答案．
【解答】解：∵直線y＝3x+1經過點P（1，b），
∴b＝3+1，
解得b＝4，
∴P（1，4），
∴關于x，y的二元一次方程組的解是，
故答案為：．
◆變式訓練
1．（2022 茂南區一模）如圖，直線y＝kx+b（k≠0）與x軸交于點（﹣5，0），下列說法正確的是（　　）
A．k＞0，b＜0
B．直線上兩點（x1，y1），（x2，y2），若x1＜x2，則y1＞y2
C．直線經過第四象限
D．關于x的方程kx+b＝0的解為x＝﹣5
【分析】根據一次函數的性質，一次函數與方程的關系即可判斷．
【解答】解：∵直線y＝kx+b（k≠0）經過一、二、三象限，
∴k＞0，b＞0，故A錯誤；
∵直線y＝kx+b（k≠0）經過一、二、三象限，
∴y隨x的增大而增大，
（x1，y1），（x2，y2）是直線y＝kx+b上的兩點，若x1＜x2，則y1＜y2，故B錯誤；
∴直線y＝kx+b經過一、二、三象限，故C錯誤；
∵直線y＝kx+b（k≠0）與x軸交于點（﹣5，0），
∴當x＝﹣5時，函數y＝kx+b＝0，
∴關于x的方程kx+b＝0的解為x＝﹣5，故D正確；
故選：D．
2．（2023 曲江區校級三模）如圖，直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點的橫坐標為1，則關于x、y的二元一次方程組的解為（　　）
A． B． C． D．
【分析】先求出交點縱坐標再根據一次函數與二元一次方程組的關系求解即可．
【解答】解：根據題意，將x＝1代入直線y＝﹣x+3，
得y＝﹣1+3＝2，
∴直線y＝﹣x+3與y＝mx+n交點坐標為（1，2），
∴關于x、y的二元一次方程組的解為，
故選：C．
3．（2023 番禺區校級一模）如圖，一次函數y＝kx+b與y＝x+5的圖象相交于點A，則方程組的解為 　 　．
【分析】先利用y＝x+5確定A點坐標，然后根據方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標即可求解．
【解答】解：∵y＝x+5經過A（﹣4，a），
∴a＝﹣4+5，
∴a＝1，
∴一次函數y＝kx+b與y＝x+5的圖象相交于點A（﹣4，1），
∴方程組的解為，
故答案為：．
4．（2020 封開縣一模）一次函數的圖象經過點A（1，3）和B（3，1），它的解析式是　 　．
【分析】根據一次函數圖象過A（1，3），B（3，1）． 然后將其代入一次函數的解析式，利用待定系數法求該函數的解析式．
【解答】解：設直線AB的函數 解析式為y＝kx+b（k、b為常數且k≠0）
∵一次函數的圖象經過點A（1，3），B（3，1）．
∴，
解得．
∴直線AB的函數解析式為y＝﹣x+4，
故答案為y＝﹣x+4．
5．（2023 潮南區模擬）如圖，已知A（2，3），B（0，2），在x軸上找一點C，使得|AC﹣BC|的值最大，則此時點C的坐標為 　 　．
【分析】連接AB交x軸于點C，此時＝AB值最大，求出直線AB的解析式，令y＝0，即可找到點C坐標．
【解答】解：如圖所示，連接AB交x軸于點C，此時＝AB值最大，即點C為所求的點．
設直線AB的解析式為y＝kx+b，代入點A（2，3），B（0，2），
得，解得：．
故直線AB解析式為y＝x+2．
令y＝x+2中y＝0，則得x＝﹣4，故點C坐標為（﹣4，0）．
故答案為：（﹣4，0）．
考點4：一次函數與不等式的關系
◇例題
1．（2023 英德市二模）如圖，直線y＝kx+3經過點（2，0），則關于x的不等式kx+3＜0的解集是（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x≤2 D．x≥2
【分析】根據函數圖象即可直接得出結論．
【解答】解：由函數圖象可知，當x＞2時，y＜0，
所以關于x的不等式kx+3＜0的解集是x＞2．
故選：A．
2．（2023 海珠區一模）若直線y＝2x和y＝kx﹣2相交于點Q（﹣3，m），則關于x的不等式（2﹣k）x＜﹣2的解集是 　 　．
【分析】首先求得Q的坐標，不等式（2﹣k）x＜﹣2，即2x＜kx﹣2，根據圖象即可直接求得解集．
【解答】解：把Q（﹣3，m）代入y＝2x得：m＝﹣6，則Q的坐標是（﹣3，﹣6）．
所以2x＝kx﹣2的解是x＝﹣3，
不等式（2﹣k）x＜﹣2即2x＜kx﹣2，
根據圖象，得：不等式的解集是：x＜﹣3．
故答案為：x＜﹣3．
◆變式訓練
1．（2023 豐順縣一模）如圖，在平面直角坐標系中，直線y＝ax+b與兩坐標軸的交點分別為（2，0），（0，3），則不等式ax+b＞0的解為（　　）
A．x＞2 B．x＜2 C．x＞3 D．x＜3
【分析】根據直線y＝ax+b與y軸交于點A（2，0），以及函數的增減性，即可求出不等式ax+b＞0的解集．
【解答】解：∵直線y＝ax+b與兩坐標軸交點分別為（2，0），（0，3），且y隨x的增大而減小，
∴不等式ax+b＞0的解集是x＜2．
故選：B．
2．（2023 金平區二模）如圖，直線y＝x+b與直線y＝kx+4交于點，則關于x的不等式x+b≥kx+4的解集是 　 　．
【分析】寫出直線y＝x+b在直線y＝kx+4上方所對應的自變量的范圍即可．
【解答】解：關于x的不等式x+b≥kx+4的解集是x≥．
故答案為：x≥．
考點5：一次函數的應用
◇例題
1．（2023 越秀區模擬）《九章算術》記載：今有坦高九尺，瓜生其上，蔓日長七寸；瓠生其下，蔓日長一尺．問幾何日相逢？（大意是有一道墻，高9尺，上面種一株瓜，瓜蔓向下伸，每天長7寸，地上種著瓠向上長，每天長1尺，問瓜蔓，瓠蔓要多少天才相遇）．如圖是瓜蔓與瓠蔓離地面的高度h（單位：尺）關于生長時間x（單位：日）的函數圖象，則由圖可知兩圖象交點P的橫坐標是（　　）
A．4 B．5 C．5 D．30
【分析】根據題意和圖象可知，當它們相遇時，它們生長的長度之和為9，然后列出相應的方程，求解即可．
【解答】解：設兩圖象交點P的橫坐標是x，則：
0.7x+x＝9，
解得x＝5，
兩圖象交點P的橫坐標是5，
故選：C．
2．（2023 郁南縣校級模擬）近年來，預制菜消費持續升溫，它既滿足了消費者的需要，也不斷拓展著飲食行業的發展．某餐飲平臺計劃推出A和B兩種預制菜品，已知售出1份菜品A和2份菜品B可獲利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可獲利60元．
（1）求每份菜品A、B的利潤；
（2）根據銷售情況，該餐飲平臺每日都能售完A、B兩種菜品共1000份，且菜品A的數量不高于菜品B數量的，應該如何進貨才能使總利潤最高？最高利潤是多少？
【分析】（1）設每份菜品A的利潤為x元，每份菜品B的利潤為y元，根據售出1份菜品A和2份菜品B可獲利35元，售出2份菜品A和3份菜品B可獲利60元，列二元一次方程組，求解即可；
（2）設購進A菜品m份，總利潤為w元，根據菜品A的數量不高于菜品B數量的，求出m的取值范圍，再表示出w與m的函數關系式，根據一次函數的增減性即可確定最大利潤時進貨方案，進一步求出最大利潤即可．
【解答】解：（1）設每份菜品A的利潤為x元，每份菜品B的利潤為y元，
根據題意得，
解得，
答：每份菜品A的利潤為15元，每份菜品B的利潤為10元；
（2）設購進A菜品m份，總利潤為w元，
根據題意得m≤（1000﹣m），
解得m≤600，
w＝15m+10（1000﹣m）＝5m+10000，
∵5＞0，
∴w隨著m的增大而增大，
當m＝600時，w取得最大值，最大值為13000元，
1000﹣600＝400（份），
答：購進A菜品600份，B菜品400份，所獲利潤最大，最大利潤為13000元．
◆變式訓練
1．（2023 金平區一模）如圖，甲乙兩人以相同的路線前往距離單位10km的培訓中心參加學習，圖中L甲，L乙分別表示甲乙兩人前往目的地所走的路程S（千米）隨時間t（分）變化的函數圖象，以下說法：①乙比甲提前12分鐘到達；②甲、乙相遇時，乙走了6千米；③乙出發6分鐘后追上甲．其中正確的是 　．（填序號）
【分析】觀察函數圖象可知，函數的橫坐標表示時間，縱坐標表示路程，然后根據圖象上特殊點的意義進行解答．
【解答】解：①乙在28分時到達，甲在40分時到達，
所以乙比甲提前了12分鐘到達，
故①正確；
③設乙出發x分鐘后追上甲，則有：，
解得x＝6，
故③正確；
②由③知：乙遇到甲時，所走的距離為：6×（km），
故②正確．
所以正確的結論有三個：①②③，
故答案為：①②③．
2．（2021 鹽田區二模）隨著疫情形勢穩定向好，“復工復產”成為主旋律．某生產無人機公司統計發現，公司今年2月份生產A型無人機2000架，4月份生產A型無人機達到12500架．
（1）求該公司生產A型無人機每月產量的平均增長率；
（2）該公司還生產B型無人機，已知生產1架A型無人機的成本是200元，生產1架B型無人機的成本是300元，現要生產A、B兩種型號的無人機共100架，其中A型無人機的數量不超過B型無人機數量的3倍，公司生產A、B兩種型號的無人機各多少架時才可能使生產成本最少？
【分析】（1）直接利用連續兩次平均增長率求法得出等式求出答案；
（2）根據題意求出a的取值范圍，再利用一次函數增減性得出答案．
【解答】解：（1）設該公司生產A型無人機每月產量的平均增長率為x，根據題意可得：
2000（1+x）2＝12500，
解得：x1＝1.5＝150%，x2＝﹣3.5（不合題意舍去），
答：該公司生產A型無人機每月產量的平均增長率為150%；
（2）設生產A型號無人機a架，則生產B型號無人機（100﹣a）架，需要成本為w元，依據題意可得：
a≤3（100﹣a），
解得：a≤75，
w＝200a+300（100﹣a）＝﹣100a+30000，
∵﹣100＜0，
∴當a的值增大時，w的值減小，
∵a為整數，
∴當a＝75時，w取最小值，此時100﹣75＝25，
w＝﹣100×75+30000＝22500，
∴公司生產A型號無人機75架，生產B型號無人機25架成本最小．
1．（2022 廣州）點（3，﹣5）在正比例函數y＝kx（k≠0）的圖象上，則k的值為（　　）
A．﹣15 B．15 C．﹣ D．﹣
【分析】直接把已知點代入，進而求出k的值．
【解答】解：∵點（3，﹣5）在正比例函數y＝kx（k≠0）的圖象上，
∴﹣5＝3k，
解得：k＝﹣，
故選：D．
2．（2020 廣州）一次函數y＝﹣3x+1的圖象過點（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），則（　　）
A．y1＜y2＜y3 B．y3＜y2＜y1 C．y2＜y1＜y3 D．y3＜y1＜y2
【分析】先根據一次函數的解析式判斷出函數的增減性，再根據x1＜x1+1＜x1+2即可得出結論．
【解答】解：∵一次函數y＝﹣3x+1中，k＝﹣3＜0，
∴y隨著x的增大而減小．
∵一次函數y＝﹣3x+1的圖象過點（x1，y1），（x1+1，y2），（x1+2，y3），且x1＜x1+1＜x1+2，
∴y3＜y2＜y1，
故選：B．
3．（2022 深圳）某學校打算購買甲乙兩種不同類型的筆記本．已知甲種類型的筆記本的單價比乙種類型的要便宜1元，且用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣．
（1）求甲乙兩種類型筆記本的單價．
（2）該學校打算購買甲乙兩種類型筆記本共100件，且購買的乙的數量不超過甲的3倍，則購買的最低費用是多少．
【分析】（1）設甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本單價為（x+1）元，根據用110元購買的甲種類型的數量與用120元購買的乙種類型的數量一樣列方程，從而可解決問題；
（2）設甲類型筆記本購買了a件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了（100﹣a）件，列出w關于a的函數解析式，由一次函數的性質可得答案．
【解答】解：（1）設甲類型的筆記本單價為x元，則乙類型的筆記本單價為（x+1）元，
由題意得，，
解得x＝11，
經檢驗x＝11是原方程的解，且符合題意，
∴乙類型的筆記本單價為x+1＝11+1＝12（元），
答：甲類型的筆記本單價為11元，乙類型的筆記本單價為12元；
（2）設甲類型筆記本購買了a件，費用為w元，則乙類型的筆記本購買了（100﹣a）件，
∵購買的乙的數量不超過甲的3倍，
∴100﹣a≤3a，且100﹣a≥0，
解得25≤a≤100，
根據題意得w＝11a+12（100﹣a）＝11a+1200﹣12a＝﹣a+1200，
∵﹣1＜0，
∴w隨a的增大而減小，
∴a＝100時，w最小值為﹣100+1200＝1100（元），
答：最低費用為1100元．
4．（2023 廣州）因活動需要購買某種水果，數學活動小組的同學通過市場調查得知：在甲商店購買該水果的費用y1（元）與該水果的質量x（千克）之間的關系如圖所示；在乙商店購買該水果的費用y2（元）與該水果的質量x（千克）之間的函數解析式為y2＝10x（x≥0）．
（1）求y1與x之間的函數解析式；
（2）現計劃用600元購買該水果，選甲、乙哪家商店能購買該水果更多一些？
【分析】（1）用待定系數法，分段求出函數解析式即可；
（2）把y＝600分別代入y1，y2解析式，解方程即可．
【解答】解：（1）當0≤x≤5時，設y1與x之間的函數解析式為y1＝kx（k≠0），
把（5，75）代入解析式得：5k＝75，
解得k＝15，
∴y1＝15x；
當x＞5時，設y1與x之間的函數解析式為y1＝mx+n（m≠0），
把（5，75）和（10，120）代入解析式得，
解得，
∴y1＝9x+30，
綜上所述，y1與x之間的函數解析式為y1＝；
（2）在甲商店購買：9x+30＝600，
解得x＝63，
∴在甲商店600元可以購買63千克水果；
在乙商店購買：10x＝600，
解得x＝60，
∴在乙商店600元可以購買60千克，
∵63＞60，
∴在甲商店購買更多一些．
5．（2023 廣東）綜合運用
如圖1，在平面直角坐標系中，正方形OABC的頂點A在x軸的正半軸上．如圖2，將正方形OABC繞點O逆時針旋轉，旋轉角為α（0°＜α＜45°），AB交直線y＝x于點E，BC交y軸于點F．
（1）當旋轉角∠COF為多少度時，OE＝OF；（直接寫出結果，不要求寫解答過程）
（2）若點A（4，3），求FC的長；
（3）如圖3，對角線AC交y軸于點M，交直線y＝x于點N，連接FN．將△OFN與△OCF的面積分別記為S1與S2．設S＝S1﹣S2，AN＝n，求S關于n的函數表達式．
【分析】（1）如圖2中，當OE＝OF時，得到Rt△AOE≌Rt△COF，利用全等三角形的性質以及旋轉的性質解決問題即可；
（2）在圖2中，過點A作AG⊥x軸于點G，利用三角形相似，可得結論；
（3）過點N作直線PQ⊥BC于點P，交OA于點Q，利用四點共圓，得出三角形FON是等腰直角三角形是解決問題的關鍵，結合三角形全等的判定和性質和三角形的面積公式解決問題．
【解答】解：（1）當OE＝OF時，
在Rt△AOE和Rt△COF中，
，
∴Rt△AOE≌Rt△COF（HL），
∴∠AOE＝∠COF（即∠AOE＝旋轉角），
∴2∠AOE＝45°，
∴∠COF＝∠AOE＝22.5°，
∴當旋轉角為22.5°時，OE＝OF；
（2）過點A作AG⊥x軸于點G，則有AG＝3，OG＝4，
∴，
∵四邊形OABC是正方形，
∴OC＝OA＝5，∠AOC＝∠C＝90°，
又∵∠COF+∠FOA＝90°，∠AOG+∠FOA＝90°，
∴∠COF＝∠GOA，
∴Rt△AOG∽Rt△FOC，
∴，
∴，
∴FC的長為；
（3）過點N作直線PQ⊥BC于點P，交OA于點Q，
∵四邊形OABC是正方形，
∴∠BCA＝∠OCA＝45°，BC∥OA，
又∠FON＝45°，
∴∠FCN＝∠FON＝45°，
∴F、C、O、N四點共圓，
∴∠OFN＝∠OCA＝45°，
∴∠OFN＝∠FON＝45°，
∴△FON是等腰直角三角形，
∴FN＝NO，∠FNO＝90°，
∴∠FNP+∠ONQ＝90°，
又∵∠NOQ+∠ONQ＝90°，
∴∠NOQ＝∠FNP，
∴△NOQ≌△FNP（AAS），
∴NP＝OQ，FP＝NQ，
∵四邊形OQPC是矩形，
∴CP＝OQ，OC＝PQ，
∴，
＝，
，
＝，
＝，
＝，
∴，
又∵△ANQ為等腰直角三角形，
∴，
∴，
∴S關于n的函數表達式為．
1．（2023 東莞市校級二模）已知點（﹣3，2）在一次函數y＝kx﹣4的圖象上，則k等于（　　）
A．2 B．3 C．﹣2 D．﹣3
【分析】利用一次函數圖象上點的坐標特征，可得出關于k的一元一次方程，解之即可求出k的值．
【解答】解：∵點（﹣3，2）在一次函數y＝kx﹣4的圖象上，
∴2＝﹣3k﹣4，
解得：k＝﹣2．
故選：C．
2．（2023 東莞市一模）點P在一次函數y＝3x+4的圖象上，則點P不可能在（　　）
A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限
【分析】利用一次函數圖象與系數的關系可得出一次函數y＝3x+4的圖象經過第一、二、三象限，結合點P在一次函數y＝3x+4的圖象上可得出點P不可能在第四象限．
【解答】解：∵k＝3＞0，b＝4＞0，
∴一次函數y＝3x+4的圖象經過第一、二、三象限，
又∵點P在一次函數y＝3x+4的圖象上，
∴點P不可能在第四象限．
故選：D．
3．（2023 茂南區校級模擬）已知正比例函數y＝kx（k≠0）的函數值y隨x的增大而減小，則一次函數y＝x+k的圖象大致是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據自正比例函數的性質得到k＜0，然后根據一次函數的性質得到一次函數y＝x+k的圖象經過第一、三象限，且與y軸的負半軸相交．
【解答】解：∵正比例函數y＝kx（k≠0）的函數值y隨x的增大而減小，
∴k＜0，
∵一次函數y＝x+k的一次項系數大于0，常數項小于0，
∴一次函數y＝x+k的圖象經過第一、三象限，且與y軸的負半軸相交．
故選：B．
4．（2023 越秀區校級三模）在平面直角坐標系中，一次函數y＝（a2+1）x+1的圖象經過P1（﹣1，y1），P2（2，y2）兩點，則（　　）
A．y1＞y2 B．y1＜y2 C．y1＝y2 D．y1≥y2
【分析】利用一次函數的性質可得出y隨x的增大而增大，再結合2＞﹣1，即可得出y1＜y2．
【解答】解：∵一次函數y＝（a2+1）x+1中，a2+1＞0，
∴y隨x的增大而增大．
又∵一次函數y＝（a2+1）x+1的圖象經過P1（﹣1，y1），P2（2，y2）兩點，且﹣1＜2，
∴y1＜y2．
故選：B．
5．（2023 曲江區校級三模）已知直線l1：y＝kx+b與直線l2：y＝﹣2x+4交于點C（m，2），則方程組的解是（　　）
A． B． C． D．
【分析】把C（m，2）代入y＝﹣2x+4求出m得到C點坐標，利用方程組的解就是兩個相應的一次函數圖象的交點坐標求解．
【解答】解：∵點C（m，2）在直線l2：y＝﹣2x+4上，
∴2＝﹣2m+4，解得m＝1，
∴點C的坐標為（1，2），
∴方程組的解為．
故選：A．
6．（2023 福田區校級三模）如圖表示光從空氣進入水中入水前與入水后的光路圖，若按如圖建立坐標系，并設入水與前與入水后光線所在直線的表達式分別為y1＝k1x，y2＝k2x，則關于 k1與k2的關系，正確的是（　　）
A．k1＞0，k2＜0 B．k1＜0，k2＞0 C．|k1|＜|k2| D．|k1|＞|k2|
【分析】利用兩個函數圖象的位置關系取橫坐標相同的點利用縱坐標的大小列出不等式，即可求解．
【解答】解：如圖，在兩個圖象上分別取橫坐標為mm＜0，的兩個點A和B，
則A（m，k1m），B（m，k2m），
∵k1m＜k2m，
∴k1＞k2，
當取橫坐標為正數時，同理可得k1＞k2，
∵k1＜0，k2＜0，
∴|k1|＜|k2|，
故選：C．
7．（2023 荔灣區一模）已知直線y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）個單位后經過點（1，﹣3），則m的值為 　 　．
【分析】根據“上加下減”的平移規律寫出平行后直線解析式，然后將點（1，﹣3）代入求得m的值即可．
【解答】解：將直線y＝﹣2x+1向下平移m（m＞0）個單位后所得直線為：y＝﹣2x+1﹣m．
將點（1，﹣3）代入，得﹣2+1﹣m＝﹣3．
解得m＝2．
故答案為：2．
8．（2023 天河區二模）已知一根彈簧在不掛重物時長6cm，在一定的彈性限度內，每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm．則該彈簧總長y（cm）隨所掛物體質量x（kg）變化的函數關系式為　 　．
【分析】彈簧總長＝掛上xkg的重物時彈簧伸長的長度+彈簧原來的長度，把相關數值代入即可．
【解答】解：∵每掛1kg重物彈簧伸長0.3cm，
∴掛上x kg的物體后，彈簧伸長0.3x cm，
∴彈簧總長y＝0.3x+6．
故答案為：y＝0.3x+6．
9．（2023 潮陽區二模）如圖，函數y＝kx+b（k＜0）的圖象經過點P，則關于x的不等式kx+b＞3的解集為 　 　．
【分析】根據函數圖象中的數據和一次函數的性質，可以寫出等式kx+b＞3的解集．
【解答】解：由圖象可得，
當x＝﹣1時，y＝3，該函數y隨x的增大而減小，
∴不等式kx+b＞3的解集為x＜﹣1，
故答案為：x＜﹣1．
10．（2023 佛山二模）如圖，已知y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P，根據圖象可得關于x、y的二元一次方程組的解是　 　．
【分析】根據函數圖象交點坐標為兩函數解析式組成的方程組的解進行解答．
【解答】解：∵y＝ax+b和y＝kx的圖象交于點P（﹣4，﹣2），
∴方程組的解是．
故答案為．
11．（2023 惠東縣校級三模）如圖，已知直線y＝kx+b經過點A（4，0），B（1，3），交y軸于點D．
（1）直線AB的解析式為 　 　，AD＝　 　；
（2）若直線y＝2x﹣5與直線AB相交于點C，求點C的坐標；
（3）根據圖象，直接寫出關于x的不等式2x﹣5＞kx+b的解集．
【分析】（1）利用待定系數法求出直線AB的解析式，根據解析式求出D點坐標，然后利用勾股定理求出AD；
（2）將兩條直線的解析式聯立組成方程組，解方程組求出點C的坐標；
（3）利用數形結合思想解答．
【解答】解：（1）∵直線y＝kx+b經過點A（4，0），B（1，3），
∴，
解得，
則直線AB的解析式為y＝﹣x+4，
∴當x＝0時，y＝4，
∴D點坐標為（0，4），
∴AD＝＝＝4．
故答案為：y＝﹣x+4，4；
（2）解方程組，
解得，
則點C的坐標為（3，1）；
（3）由圖象可知，關于x的不等式2x﹣5＞kx+b的解集為x＞3．
12．（2021 陽西縣模擬）某校積極響應國家號召，為落實垃圾“分類回收，科學處理”的政策，準備購買100L和240L兩種型號的垃圾箱若干套．若購買8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元；若購買4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元．
（1）每套100L垃圾箱和每套240L垃圾箱各多少元？
（2）學校決定購買100L垃圾箱和240L垃圾箱共20套，且240L垃圾箱的數量不少于100L垃圾箱數量的，求購買這20套垃圾箱的最少費用．
【分析】（1）設每套100L垃圾箱x元，每套240L垃圾箱y元，根據“若購買8套100L垃圾箱和5套240L垃圾箱，共需7200元”和“若購買4套100L垃圾箱和6套240L垃圾箱，共需6400元”列出二元一次方程組，求解即可；
（2）設購買a套240L垃圾箱，則購買（20﹣a）套100L垃圾箱，求出費用為w元與a套240L垃圾箱之間的函數關系式，再根據”240L垃圾箱的數量不少于100L垃圾箱數量的“，列一元一次不等式，求出a的取值范圍，再根據函數關系式求出購買這20套垃圾箱的最少費用．
【解答】解：（1）設每套100L垃圾箱x元，每套240L垃圾箱y元．
依題意，
得，
解得，
∴每套100L垃圾箱400元，每套240L垃圾箱800元；
（2）設購買a套240L垃圾箱，則購買（20﹣a）套100L垃圾箱，
購買這20套垃圾箱的費用為w元．
依題意，
得w＝400（20﹣a）+800a＝400a+8000，
∵400＞0，
∴w隨a的增大而增大，
∵，
∴a≥4，
∴當a＝4時，w有最小值，此時w＝400×4+8000＝9600，
∴購買這20套垃圾箱的最少費用為9600元．
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