資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
第三章 函數(shù)
第十節(jié) 二次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的相關(guān)概念 ☆ 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)階段三大函數(shù)里面考點(diǎn)內(nèi)容多，出現(xiàn)頻率最高，考查難度也經(jīng)常比較大的一個(gè)板塊，一直深受中考各地區(qū)命題老師的青睞。此部分知識在考查形式上比較靈活多樣，根據(jù)往年中考情況分析，選擇、填空及解答題均有所考查，有單獨(dú)知識的考查，也有跟其他知識結(jié)合著一起考查，單獨(dú)考查難度一般不會大，難度主要體現(xiàn)在綜合運(yùn)用上，特別是作為最后一題或者倒數(shù)第二題的時(shí)候考查，除第一問會較簡單外，剩余的問答基本都較難，故此在復(fù)習(xí)時(shí)必須特別熟練的掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時(shí)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，通過適當(dāng)訓(xùn)練來提高相關(guān)題型的熟悉度，作為重難點(diǎn)去突破，才能更好的拿高分。
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆☆
考點(diǎn)3 二次函數(shù)與一元二次方程 ☆☆
考點(diǎn)4 二次函數(shù)與不等式 ☆☆
考點(diǎn)5 二次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆
考點(diǎn)6 二次函數(shù)的綜合運(yùn)用 ☆☆☆
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的相關(guān)概念
1.二次函數(shù)的概念：
一般地，如果______（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)．
y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）叫做二次函數(shù)的一般式．
2. 二次函數(shù)的解析式：
二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）______式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
（2）______式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）兩根式（______式）：當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根x1和x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)．如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示．
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.二次函數(shù)的圖象：
二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線．
（1）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)是（，）．當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口______，函數(shù)有最______值；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口______，函數(shù)有最______值．
（2）拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k與y＝ax2形狀相同，位置不同，把拋物線y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k．
2.二次函數(shù)圖象的畫法：
______法：
（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸；
（2）求拋物線y=ax2+bx+c 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A，B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對稱D.將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖象．
3.二次函數(shù)的性質(zhì)：
二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中，a、b、c的含義：
a表示______方向：a＞0時(shí)，拋物線開口向上， a＜0時(shí)，拋物線開口向下；
b與______有關(guān)：對稱軸為；
c表示拋物線與______的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）．
4.二次函數(shù)的最值：
（1）如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，．
（2）如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自變量取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=x2時(shí)，y最大=ax22+bx2+c，當(dāng)x=x1時(shí)，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=x1時(shí)，y最大= ax12+bx1+c ，當(dāng)x=x2時(shí)，y最小= ax22+bx2+c ．
5.圖象的平移
左______右______，上______下______
考點(diǎn)3 二次函數(shù)與一元二次方程
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：
一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
因此一元二次方程中的______=b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖象與x軸是否有交點(diǎn)．
當(dāng)______>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)______=0時(shí)，圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)______<0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn)．
①如果拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根；
②如果拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根；
③如果拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點(diǎn)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0______實(shí)數(shù)根．
拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 判別式b2-4ac的符號 方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)
2個(gè) b2-4ac>0 兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根
1個(gè) b2-4ac=0 兩個(gè)______的實(shí)數(shù)根
沒有 b2-4ac<0 ______實(shí)數(shù)根
考點(diǎn)4 二次函數(shù)與不等式
1.二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）ax2+bx+c<0的解集：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
考點(diǎn)5 二次函數(shù)的應(yīng)用
1.二次函數(shù)的應(yīng)用問題求解思路：
建立 二次函數(shù) 模型→求出二次函數(shù) 解析式 →結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)做出解答．
2.列二次函數(shù)解應(yīng)用題
　 列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．
(2)設(shè)出______變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．
(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．
(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。
(5)檢驗(yàn)所得解是否符合______：即是否為所提問題的答案．
(6)寫出答案．
要點(diǎn)：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
3.建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題
一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．
要點(diǎn)：
(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.
(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問題：
　　①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
　②學(xué)會從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；
　　③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.
考點(diǎn)6 二次函數(shù)的綜合運(yùn)用
1.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
（1）若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c．
（2）若已知拋物線上頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，則可設(shè)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k，其中對稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)．
（3）若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用兩根式（交點(diǎn)式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)．
2.方法指導(dǎo)：
善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
考點(diǎn)1：二次函數(shù)的相關(guān)概念
◇例題
1．（2021 羅湖區(qū)校級模擬）下列函數(shù)，其中圖象為拋物線的是（　　）
A． B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x+3
2．（2021 饒平縣校級模擬）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（　　）
A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠﹣1 C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝±1
3．（2023 遂溪縣三模）把二次函數(shù)y＝x2+2x﹣4配方成頂點(diǎn)式為（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 郁南縣校級模擬）關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣b）x2+1是二次函數(shù)的條件是（　　）
A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠b C．b＝0 D．a(chǎn)＝0
2．（2023 惠城區(qū)校級一模）把二次函數(shù)化為y＝a（x+m）2+n的形式是 　　．
3．（2021 饒平縣校級模擬）已知函數(shù)y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
考點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇例題
1．（2023 惠城區(qū)模擬）拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
2．（2023 龍川縣一模）關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，說法正確的是（　　）
A．最小值為﹣1 B．最小值為3
C．最大值為1 D．最大值為3
3．（2023 濠江區(qū)模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+1與二次函數(shù)y＝x2+k的大致圖象可以是（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 陽西縣一模）已知二次函數(shù)y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）圖象上三點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
5．（2023 大埔縣校級一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，．判斷下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+2b+c＜0；③拋物線與x軸正半軸必有一個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y最小＝3a，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
6．（2023 增城區(qū)二模）拋物線y＝（x﹣2）2+1的對稱軸是直線 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 東莞市校級一模）對于拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2，下列說法中錯(cuò)誤的是（　　）
2．（2023 增城區(qū)一模）函數(shù)y＝ax2﹣a與y＝ax+a（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
3．（2023 平遠(yuǎn)縣校級一模）若（x1，y1），（x2，y2）是拋物線y＝x2+4x+3上兩點(diǎn)，則以下說法正確的是（　　）
A．當(dāng)x1＞x2時(shí)，y1＞y2
B．若x2＝2x1，則y2＝2y1
C．y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1﹣x2+4）
D．當(dāng)x1+x2＝﹣4時(shí)，y1＝y(tǒng)2
4．（2023 惠陽區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：
①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a+b≥x（ax+b）；④3a+c＞0．
其中正確的有（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
5．（2023 福田區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 　．
6．（2023 天河區(qū)校級三模）二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為 　 　．
7．（2022 龍崗區(qū)二模）小明為了探究函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性質(zhì)，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸納得到，并運(yùn)用性質(zhì)解決問題．
（1）完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空．
①列出y與x的幾組對應(yīng)值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 0 1 0 a ﹣8 …
表格中，a＝　 　；
②結(jié)合上表，在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)M的圖象；
③觀察圖象，當(dāng)x＝　 　時(shí)，y有最大值為 　；
（2）求函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，當(dāng)y1＜y2時(shí)，請直接寫出m的取值范圍．
考點(diǎn)3：二次函數(shù)與一元二次方程
◇例題
1．（2022 東莞市校級二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2，
其中正確的結(jié)論有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
2．（2023 開平市二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），則以下五個(gè)結(jié)論中：
①abc＞0，
②2a+b＝0，
③4a+b2＜4ac，
④3a+c＜0，
⑤方程ax2+bx+c+1＝n有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確的結(jié)論有：　 　（寫序號）
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 番禺區(qū)一模）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，則下列說法正確的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．a(chǎn)b＞0
2．（2023 東莞市校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分如圖，以下結(jié)論：①abc＞0；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2；④2a+b＝0．其中正確的是 　 　．（填序號）
考點(diǎn)4：二次函數(shù)與不等式
◇例題
1．（2023 龍崗區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．a(chǎn)＜0，b＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．4a+b＞0
D．0＜x＜5時(shí)，不等式ax2+bx+c＞0一定成立
2．（2023 南山區(qū)校級二模）請閱讀下列解題過程；解一元二次不等式；x2﹣2x﹣3＜0．
解；設(shè)x2﹣2x﹣3＝0，解得；x1＝﹣1，x2＝3．
則拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（3，0）．
畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的大致圖象（如圖1所示）．
由圖象可知；當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)函數(shù)圖象位于x軸下方，
此時(shí)y＜0，即x2﹣2x﹣3＜0．
所以一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為：﹣1＜x＜3．
通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：
（1）用類似的方法解一元二次不等式；﹣x2+4x﹣3＞0．
（2）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下；
①列表；x與y的幾組對應(yīng)值如表，其中m＝　 　．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
②如圖2，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)圖象補(bǔ)畫完整．
③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題；不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集為：　 ．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 香洲區(qū)校級三模）小張用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象時(shí)，部分列表如下：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y t 0 3 4
依據(jù)以上信息，判斷以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）
A．圖象頂點(diǎn)在第一象限
B．點(diǎn)M（m，n）在該圖象上，若0＜m＜4，則﹣5＜n≤4
C．﹣2和4是關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩根
D．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，則p≥3
2．（2023 南山區(qū)一模）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請按要求完成下列各小題．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中m及表格中a，b的值；m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；
（3）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集為 　 　．
考點(diǎn)5：二次函數(shù)的應(yīng)用
◇例題
1．（2023 南海區(qū)模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)；銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為y個(gè)，銷售單價(jià)為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（　　）
A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140
C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）
2．（2023 東莞市校級模擬）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飛機(jī)著陸后滑行多長時(shí)間才能停下來（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
3．（2023 潮安區(qū)一模）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進(jìn)25個(gè)，
（1）求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；
（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
4．（2023 順德區(qū)校級三模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．
（1）某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，則這座橋主橋拱的半徑是 　 　m；
（2）某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN＝10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4m，求橋拱拋物線的解析式；
（3）如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2m，求此時(shí)兩橋的水面寬度．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 羅湖區(qū)校級三模）某暢銷書的售價(jià)為每本30元，每星期可賣出200本，書城準(zhǔn)備開展“讀書節(jié)活動”，決定降價(jià)促銷．經(jīng)調(diào)研，如果調(diào)整書籍的售價(jià)，每降價(jià)2元，每星期可多賣出40本．設(shè)每件商品降價(jià)x元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為y元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為（　　）
A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
2．（2022 南山區(qū)模擬）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
3．（2023 東莞市校級三模）某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會全部住滿．當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用．
（1）若每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，賓館的利潤是多少？
（2）房價(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤取得最大值？
8．（2023 福田區(qū)模擬）【綜合實(shí)踐】
某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，噴出的水柱形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為x米，與湖面的垂直高度為y米．下面的表中記錄了x與y的五組數(shù)據(jù)：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m＝　1.5　，并求y與x函數(shù)表達(dá)式；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從拋物線形水柱下方通過，如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從拋物線形水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
考點(diǎn)6：二次函數(shù)的綜合運(yùn)用
◇例題
1．（2022 惠城區(qū)一模）小甬是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y＝﹣的性質(zhì)時(shí)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)（如圖），對該拋物線，小甬將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A，B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ．
2．（2023 東莞市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線AD的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上時(shí)，連接AD，AP，以AD，AP為鄰邊作平行四邊形APED，設(shè)平行四邊形APED的面積為S，求S的最大值．
3．（2022 東莞市一模）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若點(diǎn)P是線段BC（不與B，C重合）上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM，當(dāng)△PCM和△ABC相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是直線BC（不與B，C重合）上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM，將△PCM沿CM對折，如果點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 羅湖區(qū)校級二模）如圖，拋物線y＝的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，D，頂點(diǎn)為E，以AB為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點(diǎn)C，圓心為M，P是半圓上的一動點(diǎn)，連接EP．
①點(diǎn)E在⊙M的內(nèi)部；②CD的長為；③若P與C重合，則∠DPE＝15°；④在P的運(yùn)動過程中，若AP＝，則PE＝⑤N是PE的中點(diǎn)，當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長是2π．以上5個(gè)結(jié)論正確的是 　 　；（填寫序號）
2．（2023 三水區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x+c與x軸交于兩點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)D是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BD，當(dāng)以點(diǎn)B，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)G落在拋物線上時(shí)，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
3．（2023 番禺區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣ax+6分別交x軸、y軸于A、C、B三點(diǎn)，OB＝OA．
（1）求a的值；
（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上，其橫坐標(biāo)為t，連接AB、PB、PA，設(shè)△PBA的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出t的取值范圍）
（3）如圖2，在（2）的條件下，直線PD交x軸于D，交y軸于E，交AB于點(diǎn)R，點(diǎn)F在OA上，連接FE，使∠PEF＝∠DEO，點(diǎn)K在ED上，連接FK，使∠FKP＝45°，作TR∥y軸，連接TE交x軸于N，使FK＝TE，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)拋物線上，QG⊥PD于G，連接FQ，使∠AFQ＝∠PEF，若FE﹣FN＝2ON，BE+AF＝FE，求QG的長．
1．（2020 廣東）把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向右平移1個(gè)單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
2．（2021 深圳）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　　）
A．B．C．D．
3．（2022 廣州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝﹣2，下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)＜0 B．c＞0
C．當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小 D．當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小
4．（2021 廣東）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（　　）
A． B．4 C．2 D．5
5．（2020 廣東）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，正確的有（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
6．（2023 廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
7．（2021 廣東）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線y＝x2上的兩個(gè)動點(diǎn)，且OA⊥OB．連接點(diǎn)A、B，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值（　　）
A． B． C． D．1
8．（2021 廣東）把拋物線y＝2x2+1向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為 　 　．
9．（2023 廣州）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1　 　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
10．（2021 深圳）某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價(jià)x（萬元）與銷售量y（件）的關(guān)系如表所示：
x（萬元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，有最大利潤，最大利潤為多少？
11．（2021 廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒．
（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；
（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．
12．（2023 深圳）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．
如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．
請回答下列問題：
（1）如圖2，拋物線AED的頂點(diǎn)E（0，4），求拋物線的解析式；
（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長；
（3）如圖4，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為CK，求CK的長．
13．（2022 廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
14．（2021 廣東）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），且對任意實(shí)數(shù)x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)．問在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
15．（2023 廣州）已知點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．
①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；
②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)m+n≠0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
16．（2022 廣州）已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）在直線l上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，﹣3），且開口向下．
①求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)Q′也在G上時(shí)，求G在≤x≤+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
17．（2021 廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；
（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
18．（2020 廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C，D，BC＝CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直線BD的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上．當(dāng)△ABD與△BPQ相似時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
1．（2023 越秀區(qū)校級一模）下列二次函數(shù)中，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1）的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
2．（2022 東莞市校級一模）將二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到的二次函數(shù)解析式是
（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
3．（2023 霞山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（　　）
A． B． C． D．
4．（2023 東莞市模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，n），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)在（0，1）和（0，2）之間．下列結(jié)論：
①abc＞0；②﹣1＜；③（a+c）2﹣b2＝0；④b＝﹣4a中，正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
5．（2022 武江區(qū)校級一模）若直線y＝3x+m經(jīng)過第一、三、四象限，則二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+1的圖象頂點(diǎn)必在第 　 　象限．
6．（2023 越秀區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為 　 　．（用“＜”表示）
7．（2023 寶安區(qū)校級三模）如圖，拋物線y＝（x﹣2）2﹣2的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，則直線AB的表達(dá)式為 　 　．
8．（2021 大埔縣模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（0，1），點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，若△PCD是以CD為底的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　．
9．（2023 蓬江區(qū)一模）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，對于下列說法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，其中正確的有 　 　（填序號）．
10．（2023 南海區(qū)模擬）今年以來，我省接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為5萬人，五月份為7.2萬人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；
（2）該景區(qū)的門票價(jià)格為100元/人，依據(jù)往年數(shù)據(jù)，六月份購票人數(shù)約2萬，門票價(jià)格每降低2元，游客人數(shù)增加500人，問當(dāng)票價(jià)定為多少元時(shí)，可以使得門票收入最高？
11．（2023 天河區(qū)二模）已知函數(shù)和函數(shù)y2＝（n+2）x﹣2n﹣3，其中，m，n為常數(shù)，且n≠﹣2，記函數(shù)y1的頂點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)P恰好在函數(shù)y2的圖象上，求n的值；
（2）隨著m的變化，點(diǎn)P是否都在某一條拋物線上？如果是，求出該拋物線的解析式，如果不是，請說明理由；
（3）當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，總有y2＜y1，求m﹣n的取值范圍．
12．（2023 東莞市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣1，m），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
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第三章 函數(shù)
第十節(jié) 二次函數(shù)
考點(diǎn)分布 考查頻率 命題趨勢
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的相關(guān)概念 ☆ 二次函數(shù)是初中數(shù)學(xué)階段三大函數(shù)里面考點(diǎn)內(nèi)容多，出現(xiàn)頻率最高，考查難度也經(jīng)常比較大的一個(gè)板塊，一直深受中考各地區(qū)命題老師的青睞。此部分知識在考查形式上比較靈活多樣，根據(jù)往年中考情況分析，選擇、填空及解答題均有所考查，有單獨(dú)知識的考查，也有跟其他知識結(jié)合著一起考查，單獨(dú)考查難度一般不會大，難度主要體現(xiàn)在綜合運(yùn)用上，特別是作為最后一題或者倒數(shù)第二題的時(shí)候考查，除第一問會較簡單外，剩余的問答基本都較難，故此在復(fù)習(xí)時(shí)必須特別熟練的掌握二次函數(shù)的圖像與性質(zhì)，同時(shí)強(qiáng)化數(shù)形結(jié)合思想，通過適當(dāng)訓(xùn)練來提高相關(guān)題型的熟悉度，作為重難點(diǎn)去突破，才能更好的拿高分。
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì) ☆☆☆
考點(diǎn)3 二次函數(shù)與一元二次方程 ☆☆
考點(diǎn)4 二次函數(shù)與不等式 ☆☆
考點(diǎn)5 二次函數(shù)的應(yīng)用 ☆☆
考點(diǎn)6 二次函數(shù)的綜合運(yùn)用 ☆☆☆
考點(diǎn)1 二次函數(shù)的相關(guān)概念
1.二次函數(shù)的概念：
一般地，如果y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0），那么y叫做x 的二次函數(shù)．
y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）叫做二次函數(shù)的一般式．
2. 二次函數(shù)的解析式：
二次函數(shù)的解析式有三種形式：
（1）一般式：y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）
（2）頂點(diǎn)式：y=a(x-h)2+k（a，h，k是常數(shù)，a≠0）
（3）兩根式（交點(diǎn)式）：當(dāng)拋物線y=ax2+bx+c與x軸有交點(diǎn)時(shí)，即對應(yīng)二次方程ax2+bx+c=0有實(shí)根x1和x2存在時(shí)，根據(jù)二次三項(xiàng)式的分解因式ax2+bx+c= a(x-x1)(x-x2)，二次函數(shù)y=ax2+bx+c可轉(zhuǎn)化為兩根式y(tǒng)=a(x-x1)(x-x2)．如果沒有交點(diǎn)，則不能這樣表示．
考點(diǎn)2 二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
1.二次函數(shù)的圖象：
二次函數(shù)的圖象是一條關(guān)于對稱的曲線，這條曲線叫拋物線．
（1）二次函數(shù)y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的圖象是拋物線，拋物線的對稱軸是直線，頂點(diǎn)是（，）．當(dāng)a>0時(shí)，拋物線的開口向上，函數(shù)有最小值；當(dāng)a<0時(shí)，拋物線開口向下，函數(shù)有最大值．
（2）拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k與y＝ax2形狀相同，位置不同，把拋物線y＝ax2向上（下）向左（右）平移，可以得到拋物線y＝a(x－h(huán))2＋k．
2.二次函數(shù)圖象的畫法：
五點(diǎn)法：
（1）先根據(jù)函數(shù)解析式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，在平面直角坐標(biāo)系中描出頂點(diǎn)M，并用虛線畫出對稱軸；
（2）求拋物線y=ax2+bx+c 與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)：
當(dāng)拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)時(shí)，描出這兩個(gè)交點(diǎn)A，B及拋物線與y軸的交點(diǎn)C，再找到點(diǎn)C的對稱D.將這五個(gè)點(diǎn)按從左到右的順序連接起來，并向上或向下延伸，就得到二次函數(shù)的圖象．
3.二次函數(shù)的性質(zhì)：
二次函數(shù)y=ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）中，a、b、c的含義：
a表示開口方向：a＞0時(shí)，拋物線開口向上， a＜0時(shí)，拋物線開口向下；
b與對稱軸有關(guān)：對稱軸為；
c表示拋物線與y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)：（0，c）．
4.二次函數(shù)的最值：
（1）如果自變量的取值范圍是全體實(shí)數(shù)，那么函數(shù)在頂點(diǎn)處取得最大值（或最小值），即當(dāng)時(shí)，．
（2）如果自變量的取值范圍是x1≤x≤x2，那么，首先要看是否在自變量取值范圍x1≤x≤x2內(nèi)，若在此范圍內(nèi)，則當(dāng)時(shí)，；若不在此范圍內(nèi)，則需要考慮函數(shù)在x1≤x≤x2范圍內(nèi)的增減性，如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而增大，則當(dāng)x=x2時(shí)，y最大=ax22+bx2+c，當(dāng)x=x1時(shí)，y最小=ax12+bx1+c ；如果在此范圍內(nèi)，y隨x的增大而減小，則當(dāng)x=x1時(shí)，y最大= ax12+bx1+c ，當(dāng)x=x2時(shí)，y最小= ax22+bx2+c ．
5.圖象的平移
左加右減，上加下減
考點(diǎn)3 二次函數(shù)與一元二次方程
1.二次函數(shù)與一元二次方程的關(guān)系：
一元二次方程的解是其對應(yīng)的二次函數(shù)的圖象與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)．
因此一元二次方程中的=b2-4ac，在二次函數(shù)中表示圖象與x軸是否有交點(diǎn)．
當(dāng)>0時(shí)，圖象與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)=0時(shí)，圖象與x軸有一個(gè)交點(diǎn)；當(dāng)<0時(shí)，圖象與x軸沒有交點(diǎn)．
①如果拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根；
②如果拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸只有一個(gè)交點(diǎn)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0有兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根；
③如果拋物線y＝ax2＋bx＋c(a≠0)與x軸沒有交點(diǎn)，則一元二次方程ax2＋bx＋c＝0 沒有實(shí)數(shù)根．
拋物線y=ax2+bx+c與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù) 判別式b2-4ac的符號 方程ax2+bx+c=0的實(shí)數(shù)根個(gè)數(shù)
2個(gè) b2-4ac>0 兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根
1個(gè) b2-4ac=0 兩個(gè)相等的實(shí)數(shù)根
沒有 b2-4ac<0 沒有實(shí)數(shù)根
考點(diǎn)4 二次函數(shù)與不等式
1.二次函數(shù)與不等式的關(guān)系:
（1）ax2+bx+c>0的解集：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸上方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍；
（2）ax2+bx+c<0的解集：函數(shù)y=ax2+bx+c的圖象位于x軸下方對應(yīng)的點(diǎn)的橫坐標(biāo)的取值范圍．
考點(diǎn)5 二次函數(shù)的應(yīng)用
1.二次函數(shù)的應(yīng)用問題求解思路：
建立 二次函數(shù) 模型→求出二次函數(shù) 解析式 →結(jié)合函數(shù)解析式、函數(shù)性質(zhì)做出解答．
2.列二次函數(shù)解應(yīng)用題
　 列二次函數(shù)解應(yīng)用題與列整式方程解應(yīng)用題的思路和方法是一致的，不同的是，學(xué)習(xí)了二次函數(shù)后，表示量與量的關(guān)系的代數(shù)式是含有兩個(gè)變量的等式．對于應(yīng)用題要注意以下步驟：
(1)審清題意，弄清題中涉及哪些量，已知量有幾個(gè)，已知量與變量之間的基本關(guān)系是什么，找出等量關(guān)系(即函數(shù)關(guān)系)．
(2)設(shè)出兩個(gè)變量，注意分清自變量和因變量，同時(shí)還要注意所設(shè)變量的單位要準(zhǔn)確．
(3)列函數(shù)表達(dá)式，抓住題中含有等量關(guān)系的語句，將此語句抽象為含變量的等式，這就是二次函數(shù)．
(4)按題目要求，結(jié)合二次函數(shù)的性質(zhì)解答相應(yīng)的問題。
(5)檢驗(yàn)所得解是否符合實(shí)際：即是否為所提問題的答案．
(6)寫出答案．
要點(diǎn)：
常見的問題：求最大(小)值(如求最大利潤、最大面積、最小周長等)、涵洞、橋梁、拋物體、拋物線的模型問題等.解決這些實(shí)際問題關(guān)鍵是找等量關(guān)系，把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為函數(shù)問題，列出相關(guān)的函數(shù)關(guān)系式.
3.建立二次函數(shù)模型求解實(shí)際問題
一般步驟：(1)恰當(dāng)?shù)亟⒅苯亲鴺?biāo)系；(2)將已知條件轉(zhuǎn)化為點(diǎn)的坐標(biāo)；(3)合理地設(shè)出所求函數(shù)關(guān)系式；(4)代入已知條件或點(diǎn)的坐標(biāo)，求出關(guān)系式；(5)利用關(guān)系式求解問題．
要點(diǎn)：
(1)利用二次函數(shù)解決實(shí)際問題，要建立數(shù)學(xué)模型，即把實(shí)際問題轉(zhuǎn)化為二次函數(shù)問題，利用題中存在的公式、內(nèi)含的規(guī)律等相等關(guān)系，建立函數(shù)關(guān)系式，再利用函數(shù)的圖象及性質(zhì)去研究問題.在研究實(shí)際問題時(shí)要注意自變量的取值范圍應(yīng)具有實(shí)際意義.
(2)對于本節(jié)的學(xué)習(xí)，應(yīng)由低到高處理好如下三個(gè)方面的問題：
　　①首先必須了解二次函數(shù)的基本性質(zhì)；
　②學(xué)會從實(shí)際問題中建立二次函數(shù)的模型；
　　③借助二次函數(shù)的性質(zhì)來解決實(shí)際問題.
考點(diǎn)6 二次函數(shù)的綜合運(yùn)用
1.用待定系數(shù)法求二次函數(shù)的解析式：
（1）若已知拋物線上三點(diǎn)坐標(biāo)，可設(shè)二次函數(shù)表達(dá)式為y＝ax2＋bx＋c．
（2）若已知拋物線上頂點(diǎn)坐標(biāo)或?qū)ΨQ軸方程，則可設(shè)頂點(diǎn)式：y＝a(x－h(huán))2＋k，其中對稱軸為x＝h，頂點(diǎn)坐標(biāo)為(h，k)．
（3）若已知拋物線與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)或交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，則可采用兩根式（交點(diǎn)式）：y＝a(x－x1)(x－x2)，其中與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為(x1，0)，(x2，0)．
2.方法指導(dǎo)：
善于將函數(shù)問題轉(zhuǎn)化為方程問題，善于利用幾何圖形的有關(guān)性質(zhì)、定理和二次函數(shù)的知識，并注意挖掘題目中的一些隱含條件．
考點(diǎn)1：二次函數(shù)的相關(guān)概念
◇例題
1．（2021 羅湖區(qū)校級模擬）下列函數(shù)，其中圖象為拋物線的是（　　）
A． B．y＝2x C．y＝x2 D．y＝2x+3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義求解即可．
【解答】解：由二次函數(shù)的定義：一般地，形如y＝ax2+bx+c（a、b、c是常數(shù)，a≠0）的函數(shù)，叫做二次函數(shù)可知選項(xiàng)C符合題意，
故選：C．
2．（2021 饒平縣校級模擬）若函數(shù)y＝（a﹣1）x2+2x+a2﹣1是關(guān)于x的二次函數(shù)，則（　　）
A．a(chǎn)≠1 B．a(chǎn)≠﹣1 C．a(chǎn)＝1 D．a(chǎn)＝±1
【分析】利用二次函數(shù)定義進(jìn)行解答即可．
【解答】解：由題意得：a﹣1≠0，
解得：a≠1，
故選：A．
3．（2023 遂溪縣三模）把二次函數(shù)y＝x2+2x﹣4配方成頂點(diǎn)式為（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x+1）2﹣5
C．y＝（x+2）2﹣4 D．y＝（x﹣3）2+5
【分析】由于二次項(xiàng)系數(shù)是1，直接加上一次項(xiàng)系數(shù)的一半的平方來湊完全平方式，把一般式轉(zhuǎn)化為頂點(diǎn)式．
【解答】解：y＝x2+2x﹣4＝（x2+2x+1）﹣4﹣1＝（x+1）2﹣5．
故選：B．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 郁南縣校級模擬）關(guān)于x的函數(shù)y＝（a﹣b）x2+1是二次函數(shù)的條件是（　　）
A．a(chǎn)≠0 B．a(chǎn)≠b C．b＝0 D．a(chǎn)＝0
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的定義（形如y＝ax2+bx+c這樣的函數(shù)是二次函數(shù)，其中a、b、c是常數(shù)且a≠0）解決此題．
【解答】解：當(dāng)a﹣b≠0，即a≠b，則y＝（a﹣b）x2+1是二次函數(shù)．
故選：B．
2．（2023 惠城區(qū)校級一模）把二次函數(shù)化為y＝a（x+m）2+n的形式是 　　．
【分析】利用配方法計(jì)算即可．
【解答】解：因?yàn)椋?br/>故答案為：．
3．（2021 饒平縣校級模擬）已知函數(shù)y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函數(shù)．
（1）求m的值；
（2）寫出這個(gè)二次函數(shù)圖象的對稱軸和頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)二次函數(shù)的定義：y＝ax2+bx+c是二次函數(shù)，可得答案；
（2）根據(jù)y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝﹣，頂點(diǎn)坐標(biāo)是（﹣，），可得答案．
【解答】解：（1）由y＝（m﹣1）+4x﹣5是二次函數(shù)，得
m2+1＝2且m﹣1≠0．
解得m＝﹣1；
（2）當(dāng)m＝﹣1時(shí)，二次函數(shù)為y＝﹣2x2+4x﹣5，
a＝﹣2，b＝4，c＝﹣5，
對稱軸為直線x＝﹣＝1，
頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，﹣3）．
考點(diǎn)2：二次函數(shù)的圖象與性質(zhì)
◇例題
1．（2023 惠城區(qū)模擬）拋物線y＝（x﹣2）2﹣3的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（　　）
A．（2，﹣3） B．（﹣2，3） C．（2，3） D．（﹣2，﹣3）
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式可以直接寫出該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)，本題得以解決．
【解答】解：∵拋物線y＝（x﹣2）2﹣3，
∴該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣3），
故選：A．
2．（2023 龍川縣一模）關(guān)于二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最值，說法正確的是（　　）
A．最小值為﹣1 B．最小值為3
C．最大值為1 D．最大值為3
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式可確定出其開口方向和頂點(diǎn)坐標(biāo)，進(jìn)而可得出結(jié)論．
【解答】解：二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3中，
∵a＝﹣1＜0，
∴函數(shù)圖象開口向下，
∴函數(shù)有最大值，
∵函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，3），
∴二次函數(shù)y＝﹣（x﹣1）2+3的最大值為3．
故選：D．
3．（2023 濠江區(qū)模擬）在同一平面直角坐標(biāo)系中，一次函數(shù)y＝kx+1與二次函數(shù)y＝x2+k的大致圖象可以是（　　）
A． B． C． D．
【分析】二次函數(shù)圖象與y軸交點(diǎn)的位置可確定k的正負(fù)，再利用一次函數(shù)圖象與系數(shù)的關(guān)系可找出一次函數(shù)y＝kx+1經(jīng)過的象限，對比后即可得出結(jié)論．
【解答】解：由y＝x2+k可知拋物線的開口向上，故B不合題意；
∵二次函數(shù)y＝x2+k與y軸交于負(fù)半軸，則k＜0，
∴一次函數(shù)y＝kx+1的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，A、D選項(xiàng)不符合題意，C符合題意；
故選：C．
4．（2023 陽西縣一模）已知二次函數(shù)y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0）圖象上三點(diǎn)A（﹣1，y1）、B（1，y2）、C（2，y3），則y1，y2，y3的大小關(guān)系為（　　）
A．y1＜y3＜y2 B．y3＜y1＜y2 C．y1＜y2＜y3 D．y2＜y1＜y3
【分析】由解析式得到拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷．
【解答】解：∵y＝﹣2ax2+ax﹣4（a＞0），
∴拋物線的開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＝，
∴當(dāng)x＞時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵點(diǎn)A（﹣1，y1）關(guān)于對稱軸的對稱點(diǎn)是（，0），而1＜＜2，
∴y3＜y1＜y2．
故選：B．
5．（2023 大埔縣校級一模）已知拋物線y＝ax2+bx+c（a＞0），且a+b+c＝﹣，．判斷下列結(jié)論：①abc＜0；②2a+2b+c＜0；③拋物線與x軸正半軸必有一個(gè)交點(diǎn)；④當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y最小＝3a，其中正確結(jié)論的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1個(gè) B．2個(gè) C．3個(gè) D．4個(gè)
【分析】由題意易知b＝，c＝﹣1﹣a，則有c＜0，進(jìn)而可判定①②；當(dāng)x＝1時(shí)，則y＝a+b+c＝﹣，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，則有y＝a﹣b+c＝﹣，然后可判定③；由題意可知拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＜0，則有當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，故可得④．
【解答】解：∵a+b+c＝﹣，a﹣b+c＝﹣，
∴兩式相減得b＝，兩式相加得c＝﹣1﹣a，
∴c＜0，
∵a＞0，b＞0，c＜0，
∴abc＜0，故①正確；
∴2a+2b+c＝2a+2×﹣1﹣a＝a＞0，故②錯(cuò)誤；
∵當(dāng)x＝1時(shí)，則y＝a+b+c＝﹣，當(dāng)x＝﹣1時(shí)，則有y＝a﹣b+c＝﹣，
∴當(dāng)y＝0時(shí)，則方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根一個(gè)小于﹣1，一個(gè)根大于1，
∴拋物線與x軸正半軸必有一個(gè)交點(diǎn)，故③正確；
由題意知拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣＜0，
∴當(dāng)2≤x≤3時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝2時(shí)，有最小值，即為y＝4a+2b+c＝4a+1﹣1﹣a＝3a，故④正確；
∴正確的個(gè)數(shù)有3個(gè)．
故選：C．
6．（2023 增城區(qū)二模）拋物線y＝（x﹣2）2+1的對稱軸是直線 ．
【分析】已知拋物線解析式為頂點(diǎn)式，可確定拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)及對稱軸．
【解答】解：由y＝（x﹣2）2+1可知，拋物線對稱軸為直線x＝2．
故答案為：x＝2．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 東莞市校級一模）對于拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2，下列說法中錯(cuò)誤的是（　　）
A．對稱軸是直線x＝1
B．頂點(diǎn)坐標(biāo)是（1，2）
C．當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小
D．當(dāng)x＝1時(shí)，函數(shù)y的最小值為2
【分析】首先判斷出二次函數(shù)的圖象開口向下，對稱軸為x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），據(jù)此選擇正確答案．
【解答】解：∵拋物線y＝﹣（x﹣1）2+2，
∴a＝﹣1，對稱軸為直線x＝1，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
當(dāng)x＞1時(shí)，y隨x的增大而減小，
當(dāng)x＝1時(shí)，拋物線有最大值為2，D選項(xiàng)錯(cuò)誤．
故選：D．
2．（2023 增城區(qū)一模）函數(shù)y＝ax2﹣a與y＝ax+a（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是（　　）
A． B．
C． D．
【分析】根據(jù)題目中的函數(shù)解析式、二次函數(shù)的性質(zhì)和一次函數(shù)的性質(zhì)，利用分類討論的方法可以得到函數(shù)y＝ax2﹣a與y＝ax+a（a≠0）在同一坐標(biāo)系中的圖象可能是哪個(gè)選項(xiàng)中的圖象．
【解答】解：當(dāng)a＞0時(shí)，函數(shù)y＝ax2﹣a的圖象開口向上，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過第一、二、三象限，故選項(xiàng)A、D錯(cuò)誤；
當(dāng)a＜0時(shí)，函數(shù)y＝ax2﹣a的圖象開口向下，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣a），y＝ax+a（a≠0）的圖象經(jīng)過第二、三、四象限，故選項(xiàng)B錯(cuò)誤，選項(xiàng)C正確；
故選：C．
3．（2023 平遠(yuǎn)縣校級一模）若（x1，y1），（x2，y2）是拋物線y＝x2+4x+3上兩點(diǎn)，則以下說法正確的是（　　）
A．當(dāng)x1＞x2時(shí)，y1＞y2
B．若x2＝2x1，則y2＝2y1
C．y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1﹣x2+4）
D．當(dāng)x1+x2＝﹣4時(shí)，y1＝y(tǒng)2
【分析】利用作差法即可求解．
【解答】解：∵y1＝+4x1+3，y2＝+4x2+3，
∴y1﹣y2＝+4x1+3﹣（+4x2+3）
＝（﹣）+4（x1﹣x2）
＝（x1+x2）（x1﹣x2）+4（x1﹣x2）
＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），
A、若x1＞x2時(shí)，
∴x1﹣x2＞0，
當(dāng)（x1+x2+4）＞0時(shí)，y1＞y2，當(dāng)（x1+x2+4）＜0時(shí)，y1＜y2，故A說法錯(cuò)誤，不合題意；
B、若x2＝2x1，
則y1＝+4x1+3，y2＝4+8x1+3，
∴y2≠2y1，故B說法錯(cuò)誤，不合題意；
C、y1﹣y2＝（x1﹣x2）（x1+x2+4），故C說法錯(cuò)誤，不合題意；
D、當(dāng)x1+x2＝﹣4時(shí)，y1﹣y2＝0，
∴y1＝y(tǒng)2，故D說法正確，符合題意．
故選：D．
4．（2023 惠陽區(qū)一模）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，有下列結(jié)論：
①abc＞0；②4a+2b+c＜0；③a+b≥x（ax+b）；④3a+c＞0．
其中正確的有（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】由拋物線的開口方向、與y軸交點(diǎn)以及對稱軸的位置可判斷a、b、c的符號，由此可判斷①正確；
由拋物線的對稱軸為x＝1，可知x＝2時(shí)和x＝0時(shí)的y值相等可判斷②正確；
由圖知x＝1時(shí)二次函數(shù)有最小值，可判斷③錯(cuò)誤：
由拋物線的對稱軸為x＝1可得b＝﹣2a，因此y＝ax2﹣2ax+c，根據(jù)圖象可判斷④正確．
【解答】解：①∵拋物線的開口向上，
∴a＞0．
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在y軸的負(fù)半軸上，
∴c＜0．
由得，b＜0，
∴abc＞0，
故①正確．
②由拋物線的對稱軸為x＝1，可知x＝2時(shí)和x＝0時(shí)的y值相等．
由圖知x＝0時(shí)，y＜0，
∴x＝2時(shí)，y＜0．
即4a+2b+c＜0．
故②正確．
③由圖知x＝1時(shí)二次函數(shù)有最小值，
∴a+b+c≤ax2+bx+c，
∴a+b≤ax2+bxa+b≤x（ax+b），
故③錯(cuò)誤．
④由拋物線的對稱軸為x＝1可得，
∴b＝﹣2a，
∴y＝ax2﹣2ax+c，
當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a+2a+c＝3a+c．
由圖知x＝﹣1時(shí)y＞0，
∴3a+c＞0．
故④正確．
綜上所述：正確的是①②④．
故選：B．
5．（2023 福田區(qū)模擬）二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為　 　．
【分析】直接根據(jù)二次函數(shù)的頂點(diǎn)式即可求得頂點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣1的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，﹣1）．
故答案為（﹣1，﹣1）．
6．（2023 天河區(qū)校級三模）二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為 　 　．
【分析】根據(jù)函數(shù)關(guān)系式，求出頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)開口向下，求出最大值．
【解答】解：在二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2中，
∵頂點(diǎn)坐標(biāo)為（0，﹣2），
且a＝﹣3＜0，
∴拋物線開口向下，
∴二次函數(shù)y＝﹣3x2﹣2的最大值為﹣2．
故答案為：﹣2．
7．（2022 龍崗區(qū)二模）小明為了探究函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3的性質(zhì)，他想先畫出它的圖象，然后再觀察、歸納得到，并運(yùn)用性質(zhì)解決問題．
（1）完成函數(shù)圖象的作圖，并完成填空．
①列出y與x的幾組對應(yīng)值如表：
x … ﹣5 ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … ﹣8 ﹣3 0 1 0 ﹣3 0 1 0 a ﹣8 …
表格中，a＝　 　；
②結(jié)合上表，在下圖所示的平面直角坐標(biāo)系xOy中，畫出當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)M的圖象；
③觀察圖象，當(dāng)x＝　 　時(shí)，y有最大值為 　；
（2）求函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）已知P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，當(dāng)y1＜y2時(shí)，請直接寫出m的取值范圍．
【分析】（1）①把x＝4代入函數(shù)表達(dá)式即可求解；
②描點(diǎn)、連線，畫出當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)M的圖象；
③觀察圖象即可求得；
（2）解解析式構(gòu)成的方程組即可求得；
（3）根據(jù)函數(shù)圖象即可求解．
【解答】解：（1）①把x＝4代入y＝﹣x2+4|x|﹣3得：y＝﹣16+16﹣3＝﹣3，
∴a＝﹣3，
故答案為：﹣3；
②畫出當(dāng)x＞0時(shí)函數(shù)M的圖象如下：
③觀察圖象，當(dāng)x＝﹣2或2時(shí)，y有最大值為1；
故答案為：﹣2或2，1；
（2）由解得或，
由解得或，
∴函數(shù)M：y＝﹣x2+4|x|﹣3與直線l：y＝2x﹣3的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣6，﹣15）、（0，﹣3）、（2，1）；
（3）∵P（m，y1），Q（m+1，y2）兩點(diǎn)在函數(shù)M的圖象上，且y1＜y2，
∴m的取值范圍m＜﹣2.5或﹣0.5＜m＜1.5．
考點(diǎn)3：二次函數(shù)與一元二次方程
◇例題
1．（2022 東莞市校級二模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，有下列5個(gè)結(jié)論：
①abc＞0；
②b2＜4ac；
③2c＜3b；
④a+2b＞m（am+b）（m≠1）；
⑤若方程|ax2+bx+c|＝1有四個(gè)根，則這四個(gè)根的和為2，
其中正確的結(jié)論有（　　）
A．2個(gè) B．3個(gè) C．4個(gè) D．5個(gè)
【分析】由拋物線開口方向，對稱軸位置，拋物線與y軸交點(diǎn)位置可判斷①，由拋物線與x軸交點(diǎn)個(gè)數(shù)可判斷②，由b＝﹣2a，x＝﹣1時(shí)y＜0可判斷③，由x＝1時(shí)函數(shù)取最大值可判斷④，由函數(shù)y＝ax2+bx+c與直線y＝1及直線y＝﹣1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為方程|ax2+bx+c|＝1的解及拋物線的對稱軸為直線x＝1可判斷⑤．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∵拋物線與y軸交點(diǎn)在x軸上方，
∴c＞0，
∴abc＜0，①錯(cuò)誤．
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，
∴b2＞4ac，②錯(cuò)誤．
∵x＝﹣1時(shí)，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵b＝﹣2a，
∴a＝﹣，
∴﹣b+c＜0，
∴2c＜3b，③正確．
∵x＝1時(shí)，y＝a+b+c為函數(shù)最大值，
∴a+b+c＞m（am+b）+c（m≠1），
∴a+b＞m（am+b）（m≠1），
∵b＞0，
∴a+2b＞a+b＞m（am+b）（m≠1），④正確．
方程|ax2+bx+c|＝1的四個(gè)根分別為ax2+bx+c＝1和ax2+bx+c＝﹣1的根，
∵拋物線y＝ax2+bx+c關(guān)于直線x＝1對稱，
∴拋物線與直線y＝1的交點(diǎn)的橫坐標(biāo)為之和為2，
拋物線與直線y＝﹣1的交點(diǎn)橫坐標(biāo)為之和為2，
∴方程|ax2+bx+c|＝1的四個(gè)根的和為4，⑤錯(cuò)誤．
故選：A．
2．（2023 開平市二模）如圖，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，n），則以下五個(gè)結(jié)論中：
①abc＞0，
②2a+b＝0，
③4a+b2＜4ac，
④3a+c＜0，
⑤方程ax2+bx+c+1＝n有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根．
其中正確的結(jié)論有：　 　（寫序號）
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象和性質(zhì)，即拋物線的開口方向，對稱軸，與x軸、y軸的交點(diǎn)坐標(biāo)以及最大值（最小值）逐項(xiàng)進(jìn)行判斷即可．
【解答】解：拋物線開口向下，因此a＜0，
對稱軸x＝1＞0，a、b異號，因此b＞0，
拋物線與y軸交于正半軸，因此c＞0，
所以abc＜0，因此①錯(cuò)誤；
對稱軸為x＝1，即﹣＝1，即2a+b＝0，因此②正確；
由拋物線的頂點(diǎn)的位置可知，＞1，而a＜0，
所以4ac﹣b2＜4a，即b2+4a＞4ac，因此③錯(cuò)誤；
因?yàn)楫?dāng)x＝﹣1時(shí)，y＜0，
∴a﹣b+c＜0，
∵2a+b＝0，
∴3a+c＜0，因此④正確；
由圖可知，二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象開口向下，函數(shù)有最大值，最大值為n，
∴拋物線y＝ax2+bx+c與直線y＝n﹣1有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴關(guān)于x的方程ax2+bx+c+1＝n有兩個(gè)不相等的實(shí)數(shù)根，故⑤正確．
綜上所述，正確的有②④⑤．
故答案為：②④⑤．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 番禺區(qū)一模）已知y＝ax2+bx+c（a≠0）的圖象如圖所示，對稱軸為直線x＝2．若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0（a≠0）的兩個(gè)根，且x1＜x2，﹣1＜x1＜0，則下列說法正確的是（　　）
A．x1+x2＜0 B．4＜x2＜5 C．b2﹣4ac＜0 D．a(chǎn)b＞0
【分析】利用函數(shù)圖象分別得出拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)的關(guān)系，進(jìn)而判斷四個(gè)結(jié)論得出答案．
【解答】解：∵x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c＝0的兩個(gè)根，
∴x1、x2是拋物線與x軸交點(diǎn)的橫坐標(biāo)，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴＝2，即x1+x2＝4＞0，故選項(xiàng)A錯(cuò)誤；
∵x1＜x2，﹣1＜x1＜0，
∴﹣1＜4﹣x2＜0，
解得：4＜x2＜5，故選項(xiàng)B正確；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，故選項(xiàng)C錯(cuò)誤；
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝2，
∴﹣＝2，
∴b＝﹣4a＞0，
∴ab＜0，故選項(xiàng)D錯(cuò)誤；
故選：B．
2．（2023 東莞市校級模擬）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a≠0）圖象的一部分如圖，以下結(jié)論：①abc＞0；②當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值；③方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣2；④2a+b＝0．其中正確的是 　 　．（填序號）
【分析】利用拋物線開口方向確定a＜0，利用拋物線的對稱軸得到b＝2a＜0，利用拋物線與y軸的交點(diǎn)位置確定c＞0，從而可對①進(jìn)行判斷；根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可對②進(jìn)行判斷；利用拋物線的對稱性得到拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），則根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)問題可對③進(jìn)行判斷；然后利用b＝2a可對④進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣＝﹣1，
∴b＝2a＜0，
∵拋物線與y軸的交點(diǎn)在y軸的正半軸，
∴c＞0，
∴abc＞0，所以①正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線開口向下，
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，函數(shù)有最大值，所以②正確；
∵拋物線的對稱軸為直線x＝﹣1，拋物線與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為（1，0），
∴拋物線與x軸的另一個(gè)交點(diǎn)為（﹣3，0），
∴方程ax2+bx+c＝0的解是x1＝1，x2＝﹣3，所以③錯(cuò)誤；
∵b＝2a，
∴2a﹣b＝0，所以④錯(cuò)誤．
故答案為：①②．
考點(diǎn)4：二次函數(shù)與不等式
◇例題
1．（2023 龍崗區(qū)校級模擬）二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象如圖所示，下列說法正確的是（　　）
A．a(chǎn)＜0，b＜0
B．b2﹣4ac＜0
C．4a+b＞0
D．0＜x＜5時(shí)，不等式ax2+bx+c＞0一定成立
【分析】根據(jù)拋物線開口方向和拋物線的對稱軸位置對①進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)個(gè)數(shù)對②進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線對稱軸對③進(jìn)行判斷；根據(jù)拋物線與x軸的交點(diǎn)的坐標(biāo)對④進(jìn)行判斷．
【解答】解：∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∵拋物線的對稱軸在y軸右側(cè)，
∴﹣＞0，
∴b＞0，所以A不符合題意；
∵拋物線與x軸有2個(gè)交點(diǎn)，
∴Δ＝b2﹣4ac＞0，所以B不符合題意；
由圖可知：拋物線的對稱軸是直線x＝2，
∴﹣＝2，
∴4a+b＝0，所以C不符合題意；
由對稱可知：拋物線與x軸的交點(diǎn)為：（﹣1，0），（5，0），
∴當(dāng)﹣1＜x＜5時(shí)，不等式ax2+bx+c＞0一定成立，所以D符合題意；
故選：D．
2．（2023 南山區(qū)校級二模）請閱讀下列解題過程；解一元二次不等式；x2﹣2x﹣3＜0．
解；設(shè)x2﹣2x﹣3＝0，解得；x1＝﹣1，x2＝3．
則拋物線y＝x2﹣2x﹣3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）和（3，0）．
畫出二次函數(shù)y＝x2﹣2x﹣3的大致圖象（如圖1所示）．
由圖象可知；當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)函數(shù)圖象位于x軸下方，
此時(shí)y＜0，即x2﹣2x﹣3＜0．
所以一元二次不等式x2﹣2x﹣3＜0的解集為：﹣1＜x＜3．
通過對上述解題過程的學(xué)習(xí)，按其解題的思路和方法解答下列問題：
（1）用類似的方法解一元二次不等式；﹣x2+4x﹣3＞0．
（2）某“數(shù)學(xué)興趣小組”根據(jù)以上的經(jīng)驗(yàn)，對函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的圖象和性質(zhì)進(jìn)行了探究，探究過程如下；
①列表；x與y的幾組對應(yīng)值如表，其中m＝　 　．
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣3 m ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
②如圖2，在直角坐標(biāo)系中畫出了函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的部分圖象，用描點(diǎn)法將這個(gè)圖象補(bǔ)畫完整．
③結(jié)合函數(shù)圖象，解決下列問題；不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集為：　 ．
【分析】（1）依照例題，先求得﹣x2+4x﹣3＝0的解，再畫出y＝﹣x2+4x﹣3的草圖，觀察圖象即可求解；
（2）①當(dāng)x＝﹣1時(shí)，代入數(shù)據(jù)求解即可；
②描點(diǎn)，連線，即可畫出函數(shù)圖象；
③觀察圖象即可求解．
【解答】解：（1）設(shè)﹣x2+4x﹣3＝0，
解得；x1＝1，x2＝3，
則拋物線y＝﹣x2+4x﹣3與x軸的交點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）和（3，0），
畫出二次函數(shù)y＝﹣x2+4x﹣3的大致圖象（如圖所示），
由圖象可知；當(dāng)1＜x＜3時(shí)函數(shù)圖象位于x軸上方，
此時(shí)y＞0，即﹣x2+4x﹣3＞0，
所以一元二次不等式﹣x2+4x﹣3＞0的解集為：1＜x＜3；
（2）①當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）＝﹣（﹣1﹣1）（|﹣1|﹣3）＝﹣4，即m＝﹣4
列表；
x … ﹣4 ﹣3 ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 …
y … 5 0 ﹣3 ﹣4 ﹣3 0 1 0 ﹣3 …
故答案為：﹣4；
②描點(diǎn)，連線，函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）圖象如圖：
③由圖象可知；由圖象可知：當(dāng)﹣3≤x≤1或3≤x≤4.3時(shí)函數(shù)y＝﹣（x﹣1）（|x|﹣3）的圖象位于﹣4與0之間，此時(shí)﹣4≤y≤0，即﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0．
一元二次不等式﹣4≤﹣（x﹣1）（|x|﹣3）≤0的解集為：﹣3≤x≤1或3≤x≤4.3．
故答案為：﹣3≤x≤1或3≤x≤4.3．
◆變式訓(xùn)練
1．（2023 香洲區(qū)校級三模）小張用描點(diǎn)法畫二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象時(shí)，部分列表如下：
x ﹣2 ﹣1 0 1
y t 0 3 4
依據(jù)以上信息，判斷以下結(jié)論中錯(cuò)誤的是（　　）
A．圖象頂點(diǎn)在第一象限
B．點(diǎn)M（m，n）在該圖象上，若0＜m＜4，則﹣5＜n≤4
C．﹣2和4是關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩根
D．若ax2+bx+c＜2x+p恒成立，則p≥3
【分析】利用待定系數(shù)法求出函數(shù)解析式，逐項(xiàng)判斷即可．
【解答】解：把x＝1，y＝4；x＝0，y＝3；x＝﹣1，y＝0代入y＝ax2+bx+c得，，
解得，，
拋物線解析式為y＝﹣x2+2x+3；
化成頂點(diǎn)式為y＝﹣（x﹣1）2+4，頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，4），在第一象限，A正確；
當(dāng)x＝0時(shí)，y＝3，當(dāng)x＝4時(shí)，y＝﹣5，拋物線開口向下，頂點(diǎn)縱坐標(biāo)為最大值，
所以0＜m＜4，則﹣5＜n≤4，B正確；
當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＝t，
因?yàn)閽佄锞€的對稱軸是直線x＝1，
所以當(dāng)x＝4時(shí)，y＝t，故﹣2和4是關(guān)于x的方程ax2+bx+c＝t的兩根，C正確；
當(dāng)ax2+bx+c＜2x+p時(shí)，即﹣x2+2x+3＜2x+p，
﹣x2+3＜p，
因?yàn)椹亁2+3的最大值是3，故p＞3，D不正確；
故選：D．
2．（2023 南山區(qū)一模）探究函數(shù)性質(zhì)時(shí)，我們經(jīng)歷了列表、描點(diǎn)、連線畫函數(shù)圖象，觀察分析圖象特征，概括函數(shù)性質(zhì)的過程，以下是我們研究函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m性質(zhì)及其應(yīng)用的部分過程，請按要求完成下列各小題．
x … ﹣2 ﹣1 0 1 2 3 4 5 …
y … 6 5 4 a 2 1 b 7 …
（1）寫出函數(shù)關(guān)系式中m及表格中a，b的值；m＝　 　，a＝　 　，b＝　 　；
（2）根據(jù)表格中的數(shù)據(jù)在所給的平面直角坐標(biāo)系中畫出該函數(shù)的圖象；
（3）已知函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8的圖象如圖所示，結(jié)合你所畫的函數(shù)圖象，不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集為 　 　．
【分析】（1）將表格中的已知數(shù)據(jù)任意選擇一組代入到解析式中，即可求出m，然后得到完整解析式，即可求解；
（2）根據(jù)表格所給數(shù)據(jù)描點(diǎn)、連線即可；
（3）結(jié)合函數(shù)圖象與不等式之間的聯(lián)系，利用數(shù)形結(jié)合思想求解．
【解答】解：（1）由表格可知，點(diǎn)（3，1）在該函數(shù)圖象上，
∴將點(diǎn)（3，1）代入函數(shù)解析式可得：1＝3+|﹣2×3+6|+m，
解得：m＝﹣2，
∴原函數(shù)的解析式為：y＝x+|﹣2x+6|﹣2；
當(dāng)x＝1時(shí)，y＝3；
當(dāng)x＝4時(shí)，y＝4；
∴m＝﹣2，a＝3，b＝4，
故答案為：﹣2，3，4；
（2）通過列表—描點(diǎn)—連線的方法作圖，如圖所示；
（3）要求不等式x+|﹣2x+6|+m＞﹣（x﹣2）2+8的解集，
實(shí)際上求出函數(shù)y＝x+|﹣2x+6|+m的圖象位于函數(shù)y＝﹣（x﹣2）2+8圖象上方的自變量的范圍，
∴由圖象可知，當(dāng)x＜0或x＞4時(shí)，滿足條件，
故答案為：x＜0或x＞4．
考點(diǎn)5：二次函數(shù)的應(yīng)用
◇例題
1．（2023 南海區(qū)模擬）某特許零售店“冰墩墩”的銷售日益火爆，每個(gè)紀(jì)念品進(jìn)價(jià)40元，銷售期間發(fā)現(xiàn)，當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)；銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)．現(xiàn)商家決定提價(jià)銷售，設(shè)每天銷售量為y個(gè)，銷售單價(jià)為x元（x＞44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w元，則下列等式正確的是（　　）
A．y＝10x+740 B．y＝10x﹣140
C．w＝（﹣10x+700）（x﹣40） D．w＝（﹣10x+740）（x﹣40）
【分析】利用每天的銷售量＝300﹣10×銷售單價(jià)上升的錢數(shù)，可找出y關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式，再利用商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤＝每個(gè)的銷售利潤×每天的銷售量，即可得出w關(guān)于x的函數(shù)關(guān)系式．
【解答】解：當(dāng)銷售單價(jià)定為44元時(shí)，每天可售出300個(gè)；銷售單價(jià)每上漲1元，每天銷量減少10個(gè)，
∴銷售單價(jià)為x元時(shí)，每天的銷售量y＝300﹣10（x﹣44），商家每天銷售紀(jì)念品獲得的利潤w＝（x﹣40）y，
∴y＝﹣10x+740，w＝（﹣10x+740）（x﹣40）．
故選：D．
2．（2023 東莞市校級模擬）飛機(jī)著陸后滑行的距離s（單位：m）與滑行的時(shí)間t（單位：s）的函數(shù)解析式是s＝﹣1.5t2+60t，那么飛機(jī)著陸后滑行多長時(shí)間才能停下來（　　）
A．10s B．20s C．30s D．40s
【分析】根據(jù)飛機(jī)從滑行到停止的路程就是滑行的最大路程，即是求函數(shù)的最大值此時(shí)t＝﹣，進(jìn)而得出答案．
【解答】解：∵a＝﹣1.5＜0，
∴函數(shù)有最大值，
當(dāng)t＝﹣＝﹣＝20（秒），
即飛機(jī)著陸后滑行20秒能停下來，
故選：B．
3．（2023 潮安區(qū)一模）某超市采購了兩批同樣的冰墩墩掛件，第一批花了3300元，第二批花了4000元，第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)是第二批的1.1倍，且第二批比第一批多購進(jìn)25個(gè)，
（1）求第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)；
（2）兩批掛件售完后，該超市以第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)又采購一批同樣的掛件，經(jīng)市場調(diào)查發(fā)現(xiàn)，當(dāng)售價(jià)為每個(gè)60元時(shí)，每周能賣出40個(gè)，若每降價(jià)1元，每周多賣10個(gè)，由于貨源緊缺，每周最多能賣90個(gè)，求每個(gè)掛件售價(jià)定為多少元時(shí)，每周可獲得最大利潤，最大利潤是多少？
【分析】（1）設(shè)第二批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為x元，則第一批每個(gè)掛件的進(jìn)價(jià)為1.1x元，根據(jù)題意列出方程，求解即可；
（2）設(shè)每個(gè)售價(jià)定為m元，每周所獲利潤為W元，則可列出W關(guān)于m的函數(shù)關(guān)系式，再根據(jù)“每周最多能賣90個(gè)”得出m的取值范圍，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)可得出結(jié)論．
【解答】解：（1）設(shè)第二批每個(gè)掛件進(jìn)價(jià)是每個(gè)x元，
根據(jù)題意得＝﹣25，
解得x＝40，
經(jīng)檢驗(yàn)，x＝40是原方程的解，也符合題意，
∴x＝40，
答：第二批每個(gè)掛件進(jìn)價(jià)是每個(gè)40元；
（2）設(shè)每個(gè)掛件售價(jià)定為m元，每周可獲得利潤W元，
∵每周最多能賣90個(gè)，
∴40+10×≤90，
解得m≥55，
根據(jù)題意得W＝（m﹣40）（40+10×）＝﹣10（m﹣52）2+1440，
∵﹣10＜0，
∴當(dāng)m≥52時(shí)，y隨x的增大而減小，
∵m≥55，
∴當(dāng)m＝55時(shí)，W取最大，此時(shí)W＝﹣10×（55﹣52）2+1440＝1350．
∴當(dāng)每個(gè)掛件售價(jià)定為55元時(shí)，每周可獲得最大利潤，最大利潤是1350元．
4．（2023 順德區(qū)校級三模）古往今來，橋給人們的生活帶來便利，解決跨水或者越谷的交通，便于運(yùn)輸工具或行人在橋上暢通無阻，中國橋梁的橋拱線大多采用圓弧形、拋物線形和懸鏈形，坐落在河北省趙縣汶河上的趙州橋建于隋朝，距今已有約1400年的歷史，是當(dāng)今世界上現(xiàn)存最早、保存最完整的古代敞肩石拱橋，趙州橋的主橋拱便是圓弧形．
（1）某橋A主橋拱是圓弧形（如圖①中），已知跨度AC＝40m，拱高BD＝10m，則這座橋主橋拱的半徑是 　 　m；
（2）某橋B的主橋拱是拋物線形（如圖②），若水面寬MN＝10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4m，求橋拱拋物線的解析式；
（3）如圖③，某時(shí)橋A和橋B的橋下水位均上升了2m，求此時(shí)兩橋的水面寬度．
【分析】（1）設(shè)主橋拱的半徑是r m，根據(jù)勾股定理可得202+（r﹣10）2＝r2，即可解得答案；
（2）以P為原點(diǎn)，平行水面的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，設(shè)橋拱拋物線的解析式為y＝ax2，用待定系數(shù)法可得橋拱拋物線的解析式為y＝﹣x2；
（3）橋A的橋下水位上升了2m，用勾股定理可得橋A的水面寬度為8m；橋B的橋下水位上升了2m，在y＝﹣x2中，令y＝﹣2得x＝或x＝﹣，即可得此時(shí)橋B的水面寬度為5m．
【解答】解：（1）設(shè)主橋拱所在的圓弧形圓心為O，連接OD，如圖：
由拱高的定義可知，B，D，O共線，設(shè)主橋拱的半徑是r m，
在Rt△ADO中，AD＝AC＝20m，DO＝BO﹣BD＝（r﹣10）m，
∵AD2+DO2＝AO2，
∴202+（r﹣10）2＝r2，
解得r＝25，
故答案為：25；
（2）以P為原點(diǎn)，平行水面的直線為x軸，建立直角坐標(biāo)系，如圖：
設(shè)橋拱拋物線的解析式為y＝ax2，
∵水面寬MN＝10m，拱頂P（拋物線頂點(diǎn)）距離水面4m，
∴M（﹣5，﹣4），
∴﹣4＝25a，
解得a＝﹣，
∴橋拱拋物線的解析式為y＝﹣x2；
（3）橋A的橋下水位上升了2m，如圖：
根據(jù)題意，OF＝25m，OE＝OB﹣BE＝25﹣（10﹣2）＝17，
∴EF＝＝＝4（m）；
∴此時(shí)橋A的水面寬度為8m；
橋B的橋下水位上升了2m，
在y＝﹣x2中，令y＝﹣2得：﹣2＝﹣x2，
解得x＝或x＝﹣，
∵﹣（﹣）＝5，
∴此時(shí)橋B的水面寬度為5m．
◆變式訓(xùn)練
1．（2022 羅湖區(qū)校級三模）某暢銷書的售價(jià)為每本30元，每星期可賣出200本，書城準(zhǔn)備開展“讀書節(jié)活動”，決定降價(jià)促銷．經(jīng)調(diào)研，如果調(diào)整書籍的售價(jià)，每降價(jià)2元，每星期可多賣出40本．設(shè)每件商品降價(jià)x元后，每星期售出此暢銷書的總銷售額為y元，則y與x之間的函數(shù)關(guān)系為（　　）
A．y＝（30﹣x）（200+40x） B．y＝（30﹣x）（200+20x）
C．y＝（30﹣x）（200﹣40x） D．y＝（30﹣x）（200﹣20x）
【分析】根據(jù)降價(jià)x元，則售價(jià)為（30﹣x）元，銷售量為（200+20x）本，由題意可得等量關(guān)系：總銷售額為y＝銷量×售價(jià)，根據(jù)等量關(guān)系列出函數(shù)解析式即可．
【解答】解：設(shè)每本降價(jià)x元，則售價(jià)為（30﹣x）元，銷售量為（200+20x）本，
根據(jù)題意得，y＝（30﹣x）（200+20x），
故選：B．
2．（2022 南山區(qū)模擬）某商品現(xiàn)在的售價(jià)為每件35元，每天可賣出50件．市場調(diào)查反映：如果調(diào)整價(jià)格，每降價(jià)1元，每天可多賣出2件．請你幫助分析，當(dāng)每件商品降價(jià)多少元時(shí)，可使每天的銷售額最大，最大銷售額是（　　）
A．2500元 B．2000元 C．1800元 D．2200元
【分析】設(shè)每件商品降價(jià)x元，每天的銷售額為y元，由題意可得到y(tǒng)和x的二次函數(shù)關(guān)系，利用配方法可求最值．
【解答】解：設(shè)每件商品降價(jià)x元，每天的銷售額為y元．
依題意有：y＝（35﹣x）（50+2x）＝﹣2x2+20x+1750＝﹣2（x﹣5）2+1800，
∵﹣2＜0，
∴當(dāng)x＝5時(shí)，y最大，最大值為1800，
∴最大銷售額為1800元．
故選：C．
3．（2023 東莞市校級三模）某賓館有50個(gè)房間供游客居住，當(dāng)每個(gè)房間的定價(jià)為每天180元時(shí)，房間會全部住滿．當(dāng)每個(gè)房間每天的定價(jià)每增加10元時(shí)，就會有一個(gè)房間空閑．如果游客居住房間，賓館需對每個(gè)房間每天支出20元的各種費(fèi)用．
（1）若每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，賓館的利潤是多少？
（2）房價(jià)定為多少時(shí)，賓館利潤取得最大值？
【分析】（1）根據(jù)題意列式計(jì)算即可得到答案；
（2）設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加x元，根據(jù)題意，得出利潤的關(guān)系式，再根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)，即可得到答案．
【解答】解：（1）依題意得：元，
即每個(gè)房間的定價(jià)為每天200元時(shí)，賓館的利潤是8640元；
（2）設(shè)每個(gè)房間定價(jià)增加x元，
依題意得：所獲利潤＝，
∴當(dāng)x＝170元時(shí)，利潤最大，
∴180+170＝350（元），
即房價(jià)定為350元時(shí)，賓館利潤取得最大值．
8．（2023 福田區(qū)模擬）【綜合實(shí)踐】
某公園在人工湖里安裝一個(gè)噴泉，在湖心處豎直安裝一根水管，在水管的頂端安一個(gè)噴水頭，噴出的水柱形狀可以看作是拋物線的一部分．若記水柱上某一位置與水管的水平距離為x米，與湖面的垂直高度為y米．下面的表中記錄了x與y的五組數(shù)據(jù)：
x（米） 0 1 2 3 4
y（米） 0.5 1.25 1.5 1.25 0.5
（1）在下面網(wǎng)格（圖1）中建立適當(dāng)?shù)钠矫嬷苯亲鴺?biāo)系，并根據(jù)表中所給數(shù)據(jù)畫出表示y與x函數(shù)關(guān)系的圖象；
（2）若水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為m米，則m＝　1.5　，并求y與x函數(shù)表達(dá)式；
（3）現(xiàn)公園想通過噴泉設(shè)立新的游玩項(xiàng)目，準(zhǔn)備通過只調(diào)節(jié)水管露出湖面的高度，使得游船能從拋物線形水柱下方通過，如圖2所示，為避免游船被噴泉淋到，要求游船從拋物線形水柱下方中間通過時(shí)，頂棚上任意一點(diǎn)到水柱的豎直距離均不小于0.5米，已知游船頂棚寬度為3米，頂棚到湖面的高度為2米，那么公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到多少米才能符合要求？請通過計(jì)算說明理由（結(jié)果保留一位小數(shù)）．
【分析】（1）建立坐標(biāo)系，描點(diǎn)．用平滑的曲線連接即可；
（2）設(shè)函數(shù)表達(dá)式為y＝a（x﹣k）2+h，先由圖1得到函數(shù)頂點(diǎn)為（2，1.5），再將（0，0.5）代入計(jì)算即可；
（3）根據(jù)二次函數(shù)圖象解析式設(shè)出二次函數(shù)圖象平移后的解析式，根據(jù)題意求解即可
【解答】解：（1）以噴泉與湖面的交點(diǎn)為原點(diǎn)，噴泉所在的直線為縱軸建立平面直角坐標(biāo)系，
如圖1所示：
（2）由圖1可得函數(shù)頂點(diǎn)為（2，1.5），
∴水柱最高點(diǎn)距離湖面的高度為1.5米，
∴m＝1.5
根據(jù)圖象可設(shè)二次函數(shù)的解析式為：y＝a（x﹣2）2+1.5，
將（0，0.5）代入y＝a（x﹣2）2+1.5，
解得，
∴拋物線的解析式為：；
（3）設(shè)調(diào)節(jié)后的水管噴出的拋物線的解析式為：，
由題意可知，當(dāng)橫坐標(biāo)為時(shí)，縱坐標(biāo)的值不小于2+0.5＝2.5，
∴，
解得，
∴水管高度至少向上調(diào)節(jié)米，
∴（米），
∴公園應(yīng)將水管露出湖面的高度（噴水頭忽略不計(jì)）至少調(diào)節(jié)到約2.1米才能符合要求．
考點(diǎn)6：二次函數(shù)的綜合運(yùn)用
◇例題
1．（2022 惠城區(qū)一模）小甬是一個(gè)喜歡探究鉆研的同學(xué)，他在和同學(xué)們一起研究某條拋物線y＝﹣的性質(zhì)時(shí)，將一個(gè)直角三角板的直角頂點(diǎn)置于平面直角坐標(biāo)系的原點(diǎn)O，兩直角邊與該拋物線交于A，B兩點(diǎn)（如圖），對該拋物線，小甬將三角板繞點(diǎn)O旋轉(zhuǎn)任意角度時(shí)驚奇地發(fā)現(xiàn)，交點(diǎn)A，B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)，則該點(diǎn)的坐標(biāo)是　 ．
【分析】設(shè)A（﹣m，﹣m2）（m＞0），B（n，﹣n2）（n＞0），易知△AEO∽△OFB，根據(jù)相似三角形的性質(zhì)可知交點(diǎn)A、B的連線段總經(jīng)過一個(gè)固定的點(diǎn)（0，﹣2）．
【解答】解：如圖，作垂線AE⊥x軸，BF⊥x軸，垂足分別是E、F．
設(shè)A（﹣m，﹣m2）（m＞0），B（n，﹣n2）（n＞0），
設(shè)直線AB的解析式為：y＝kx+b，則，
①×n+②×m得，（m+n）b＝﹣（m2n+mn2）＝﹣mn（m+n），
∴b＝﹣mn．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE＝∠OBF（同角的余角相等），
又∵∠AEO＝∠OFB＝90°，
∴△AEO∽△OFB，
∴＝，
∴＝，
∴mn＝4，
∴b＝﹣×4＝﹣2．
由此可知不論k為何值，直線AB恒過點(diǎn)（0，﹣2）．
故答案為：（0，﹣2）．
2．（2023 東莞市一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，二次函數(shù)y＝﹣x2+bx+c的圖象與坐標(biāo)軸交于A，B，C三點(diǎn)，其中點(diǎn)B的坐標(biāo)為（1，0），點(diǎn)C的坐標(biāo)為（0，4），點(diǎn)D的坐標(biāo)為（0，2），點(diǎn)P為二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)．
（1）求二次函數(shù)的解析式和直線AD的解析式；
（2）當(dāng)點(diǎn)P位于第二象限內(nèi)二次函數(shù)的圖象上時(shí)，連接AD，AP，以AD，AP為鄰邊作平行四邊形APED，設(shè)平行四邊形APED的面積為S，求S的最大值．
【分析】（1）將B（1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中，即可求拋物線解析式；再將點(diǎn)A與點(diǎn)D代入y＝kx+m，即可求直線DA的解析式；
（2）連接PD，過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，S△PAD的面積最大，則平行四邊形APED的面積就最大，設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），則G（t，t+2），則S＝﹣4（t+）2+，所以當(dāng)t＝﹣時(shí)，S的最大值．
【解答】解：（1）將B（1，0），C（0，4）代入y＝﹣x2+bx+c中，
∴，
∴，
∴y＝﹣x2﹣3x+4，
令y＝0，則x＝1或x＝﹣4，
∴A（﹣4，0），
設(shè)直線AD的解析式為y＝kx+m，
∴，
∴，
∴y＝x+2；
（2）連接PD，過點(diǎn)P作x軸的垂線交x軸于點(diǎn)H，交AD于點(diǎn)G，
∵平行四邊形APED，
∴S△PAD＝S△PED，
∴S△PAD的面積最大，則平行四邊形APED的面積就最大，
設(shè)P（t，﹣t2﹣3t+4），則G（t，t+2），
∴PG＝﹣t2﹣3t+4﹣t﹣2＝﹣t2﹣t+2＝﹣（t+）2+，
∴S＝2××（﹣t2﹣t+2）×4＝﹣4（t+）2+，
∴當(dāng)t＝﹣時(shí)，S的最大值．
3．（2022 東莞市一模）如圖，拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）與x軸交于A，B兩點(diǎn)（點(diǎn)A在點(diǎn)B的左邊），與y軸交于點(diǎn)C，且OB＝OC．
（1）求拋物線的解析式；
（2）如圖，若點(diǎn)P是線段BC（不與B，C重合）上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM，當(dāng)△PCM和△ABC相似時(shí)，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
（3）若點(diǎn)P是直線BC（不與B，C重合）上一動點(diǎn)，過點(diǎn)P作x軸的垂線交拋物線于M點(diǎn)，連接CM，將△PCM沿CM對折，如果點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，求此時(shí)點(diǎn)P的坐標(biāo)；
【分析】（1）在拋物線y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，令y＝0，得出點(diǎn)A、B坐標(biāo)，再根據(jù)OB＝OC，建立方程求a的值即可求出函數(shù)的關(guān)系式；
（2）分△CPM∽△CBA、△CPM∽△ABC兩種情況，由相似三角形的性質(zhì)分別求解即可；
（3）分兩種情況情況，由等腰三角形的性質(zhì)及折疊的性質(zhì)可得出答案．
【解答】解：（1）在y＝ax2﹣2ax﹣3a（a＞0）中，
令y＝0，得：ax2﹣2ax﹣3a＝0，
解得：x1＝3，x2＝﹣1，
∴A（﹣1，0），B（3，0），
∴OB＝3，
∵OB＝OC，
∴OC＝3，
∴C（0，﹣3），
∴﹣3a＝﹣3，
∴a＝1，
∴拋物線解析式為：y＝x2﹣2x﹣3；
（2）設(shè)直線BC解析式為y＝kx+b，
∵B（3，0），C（0，﹣3），
∴，解得：，
∴直線BC解析式為：y＝x﹣3，
設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），
∵PM⊥x軸，
∴P（m，m﹣3），
∴PM＝m﹣3﹣（m2﹣2m﹣3）＝﹣m2+3m，
∵OB＝OC，∠BOC＝90°，
∴CB＝OB，
∴CP＝m，
∵A（﹣1，0），B（3，0），C（0，﹣3），
∴OB＝OC，AC＝，BC＝3，
∴∠PBA＝∠OCB＝45°＝∠MPC，
若△PCM和△ABC相似，分兩種情況：
①當(dāng)△CPM∽△CBA，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
②當(dāng)△CPM∽△ABC，
∴，即，
解得：m＝，
∴P（，﹣）；
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（，﹣）或（，﹣）；
（3）設(shè)M點(diǎn)坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），
當(dāng)點(diǎn)P在M的上方時(shí)，由（2）知PM＝﹣m2+3m，CP＝m，
∵△PCM沿CM對折，點(diǎn)P的對應(yīng)點(diǎn)N恰好落在y軸上，
∴∠PCM＝∠NCM，
∵PM∥y軸，
∴∠NCM＝∠PMC，
∴∠PCM＝∠PMC，
∴PC＝PM，
∴m＝﹣m2+3m，
整理得：m2+（﹣3）m＝0，
解得：m1＝0（舍去），m2＝3﹣，
∴當(dāng)m＝3﹣時(shí)，m﹣3＝﹣，
∴P（3﹣，﹣）．
當(dāng)點(diǎn)P在M點(diǎn)下方時(shí)，PM＝m2﹣3m，
同理可得m＝m2﹣3m，
解得m1＝0（舍去），m2＝3+，
∴P（3+，），
綜上所述，點(diǎn)P的坐標(biāo)為（3﹣，﹣）或（3+，）．
◆變式訓(xùn)練
1．（2021 羅湖區(qū)校級二模）如圖，拋物線y＝的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，D，頂點(diǎn)為E，以AB為直徑畫半圓交y軸正半軸交于點(diǎn)C，圓心為M，P是半圓上的一動點(diǎn)，連接EP．
①點(diǎn)E在⊙M的內(nèi)部；
②CD的長為；
③若P與C重合，則∠DPE＝15°；
④在P的運(yùn)動過程中，若AP＝，則PE＝
⑤N是PE的中點(diǎn)，當(dāng)P沿半圓從點(diǎn)A運(yùn)動至點(diǎn)B時(shí)，點(diǎn)N運(yùn)動的路徑長是2π．
以上5個(gè)結(jié)論正確的是 　 　；（填寫序號）
【分析】①M(fèi)E＝2＝AM，∴E應(yīng)該在⊙M上，即可求解；
②C是圓M與y軸交點(diǎn)，圓M半徑為2，M（1，0）由勾股定理得OC＝，CD＝2×＝3，即可求解；
③CO＝，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，EM∥y軸，則∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，即可求解；
④AK＝AEsinα＝2×＝，同理EK＝，則PK＝，即可求解；
⑤點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡為以R為圓心的半圓，則N運(yùn)動的路徑長＝×2πr＝π，即可求解；
【解答】解：拋物線y＝的圖象與坐標(biāo)軸交于點(diǎn)A，B，D，
則點(diǎn)A、B、D的坐標(biāo)分別為：（﹣1，0）、（3，0）、（0，﹣），則點(diǎn)M（1，0），
頂點(diǎn)E的坐標(biāo)為：（1，﹣2），AB＝4，CO＝，OD＝，故點(diǎn)D不在⊙M上；
①M(fèi)E＝2＝AM，∴E應(yīng)該在⊙M上，故不符合題；
②C是圓M與y軸交點(diǎn)，圓M半徑為2，M（1，0）由勾股定理得OC＝，而OD＝，
故CD的長為，符合題意；
③如圖1，連接PM、PE，點(diǎn)E（1，﹣2），故點(diǎn)E在圓上，
CO＝，OM＝1，PM＝2，故∠OPM＝30°，
EM∥y軸，則∠MEP＝∠EPC，而∠MEP＝∠MPE，
∴∠DPE＝∠DPM＝15°，符合題意；
④如圖2，連接PB、PA、AE，
∵點(diǎn)B、E均在圓上，則∠ABP＝∠AEP＝α，
sin∠AEP＝sin∠ABP＝＝＝sinα，則cosα＝，
過點(diǎn)A作AK垂直于PE于K，
則AK＝AEsinα＝2×＝，EK＝AEcosα＝，則PK＝AK＝，
故則PE＝，符合題意；
⑤如圖3，圖中實(shí)點(diǎn)G、N、M、F是點(diǎn)N運(yùn)動中所處的位置，
則GF是等腰直角三角形的中位線，GF＝AB＝2，ME交GF于點(diǎn)R，則四邊形GEFM為正方形，
當(dāng)點(diǎn)P在半圓任意位置時(shí)，中點(diǎn)為N，連接MN，則MN⊥PE，連接NR，
則NR＝ME＝MR＝RE＝RG＝RF＝GF＝1，則點(diǎn)N的運(yùn)動軌跡為以R為圓心的半圓，
則N運(yùn)動的路徑長＝×2πr＝π，故不符合題意；
故答案為：②③④．
2．（2023 三水區(qū)校級一模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系中，拋物線y＝ax2﹣x+c與x軸交于兩點(diǎn)A（1，0）和點(diǎn)B（3，0），與y軸交于點(diǎn)C，連接AC，BC．點(diǎn)D是拋物線對稱軸上一點(diǎn)，對稱軸與x軸交于點(diǎn)E，與直線BC交于點(diǎn)F．
（1）求拋物線的解析式；
（2）連接BD，當(dāng)以點(diǎn)B，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似時(shí)，求點(diǎn)D的坐標(biāo)；
（3）當(dāng)點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)G落在拋物線上時(shí)，直接寫出點(diǎn)G的坐標(biāo)．
【分析】（1）將A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，用待定系數(shù)法即可得答案；
（2）根據(jù)題中隱含條件可得∠ACO＝30°，要使點(diǎn)B，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，只需Rt△BDE中有一個(gè)銳角是30°，分兩種情況：①當(dāng)∠DBE＝30°時(shí)，可得點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣）或（2，）；②當(dāng)∠BDE＝30°時(shí)，可得（2，）或（2，﹣）；
（3）由∠OBC＝30°，可得∠GFB＝2∠OBC＝60°＝∠DFB，即知直線AF與直線EF關(guān)于直線BC成軸對稱，點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，而EF＝EB＝，得F（2，），設(shè)直線AF的解析式為y＝kx+b，用待定系數(shù)法可得直線AF的解析式為y＝x﹣，解即得G坐標(biāo)為（1，0）或（4，）．
【解答】解：（1）將A（1，0），B（3，0）代入y＝ax2﹣x+c，
得，解得，
∴拋物線的解析式為：y＝x2﹣x+；
（2）由y＝x2﹣x+＝（x﹣2）2﹣，得拋物線的對稱軸是直線x＝2，
∴E（2，0），
在y＝x2﹣x+中令x＝0，得y＝，
∴C（0，），
而A（1，0），B（3，0），
∴OC＝，OA＝1，AC＝2，
∴OA＝AC，
∴∠ACO＝30°，∠CAO＝60°，
∴△OAC是含30°的直角三角形，
要使點(diǎn)B，D，E為頂點(diǎn)的三角形與△OAC相似，只需Rt△BDE中有一個(gè)銳角是30°，
①當(dāng)∠DBE＝30°時(shí)，如圖：
∵B（3，0），E（2，0），
∴BE＝1，
在Rt△BDE中，DE＝BE＝，
∴D（2，﹣），
由對稱性知，D'（2，）也滿足題意，
∴點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣）或（2，）；
②當(dāng)∠BDE＝30°時(shí)，如圖：
∵DE＝BE＝，
∴D（2，﹣），
由對稱性D'（2，）也符合題意，
綜上所述，點(diǎn)D的坐標(biāo)為（2，﹣）或（2，）或（2，）或（2，﹣）；
（3）作直線AF交拋物線于G，如圖：
∵C（0，），B（3，0），
∴OB＝3，OC＝，
∴tan∠OBC＝＝，
∴∠OBC＝30°，
∵EF是拋物線的對稱軸，
∴∠FAB＝∠FBA＝30°，
∴∠GFB＝2∠OBC＝60°＝∠DFB，
∴直線AF與直線EF關(guān)于直線BC成軸對稱，
∴點(diǎn)G是點(diǎn)D關(guān)于直線BC的對稱點(diǎn)，
∵EF＝EB＝，
∴F（2，），
設(shè)直線AF的解析式為y＝kx+b，將A（1，0），F(xiàn)（2，）代入得：
∴，解得，
∴直線AF的解析式為y＝x﹣，
由，得，，
∴G坐標(biāo)為（1，0）或（4，）．
3．（2023 番禺區(qū)校級一模）在平面直角坐標(biāo)系中，O為坐標(biāo)原點(diǎn)，拋物線y＝ax2﹣ax+6分別交x軸、y軸于A、C、B三點(diǎn)，OB＝OA．
（1）求a的值；
（2）如圖1，點(diǎn)P在第一象限內(nèi)拋物線上，其橫坐標(biāo)為t，連接AB、PB、PA，設(shè)△PBA的面積為S，求S與t的函數(shù)關(guān)系式；（不要求寫出t的取值范圍）
（3）如圖2，在（2）的條件下，直線PD交x軸于D，交y軸于E，交AB于點(diǎn)R，點(diǎn)F在OA上，連接FE，使∠PEF＝∠DEO，點(diǎn)K在ED上，連接FK，使∠FKP＝45°，作TR∥y軸，連接TE交x軸于N，使FK＝TE，點(diǎn)Q在第一象限內(nèi)拋物線上，QG⊥PD于G，連接FQ，使∠AFQ＝∠PEF，若FE﹣FN＝2ON，BE+AF＝FE，求QG的長．
【分析】（1）根據(jù)題意可求得A、B兩點(diǎn)坐標(biāo)，根據(jù)OB＝OA可列出方程，即可求解．
（2）作出輔助線，證得四邊形PTOW為矩形，設(shè)出點(diǎn)P的坐標(biāo)，求得PT、PW的值，進(jìn)而求得S△PBA＝S△BOP+S△AOP﹣S△AOB，計(jì)算即可求解．
（3）作出輔助線，證得FE＝FM，設(shè)∠DFK＝α，證得△KEF≌△KMF（SAS），△EKM是等腰直角三角形，根據(jù)矩形及正方形的判定及性質(zhì)，證得四邊形KINZ是正方形，求出BE，OE的長，利用勾股定理求出OF的長，再利用三角函數(shù)及勾股定理即可求解．
【解答】解：（1）∵拋物線y＝ax2﹣ax+6分別交x軸、y軸于A、C、B三點(diǎn)，
∴當(dāng)x＝0時(shí)，y＝6，
∴B（0，6），OB＝OA＝6，A（6，0），
∴0＝62×a﹣6a+6，
解得，
即．
答：a的值為﹣．
（2）如圖，連接OP，過P分別作x，y軸的垂線，垂足為T，W，
∴∠BOA＝∠PNO＝∠PTO＝90°，
∴四邊形PTOW為矩形，
設(shè)P（t，﹣），
∴，
∴S△PBA＝S△BOP+S△AOP﹣S△AOB
＝
＝
＝3×
＝﹣．
答：S與t的函數(shù)關(guān)系式為：S＝﹣．
（3）如圖，截取OM＝ON，
∵FE﹣FN＝2ON，
∴FE＝2ON+FN，
∴FE＝FM，
設(shè)∠DFK＝α，
∵∠FKE＝45°，
∴∠KDF＝45°﹣α，
則∠PEF＝∠DEO＝∠BEG＝45°+α，∠OEF＝90°﹣2α，∠EFO＝2α，
∴FK平分∠EFO，
∴∠EFK＝∠MFK，
∴△KEF≌△KMF（SAS），
∴KE＝KM，∠EKF＝∠MKF＝45°，連接EM，
∴EM⊥KF，
∴△EKM是等腰直角三角形，
∴∠MEF＝90°﹣α，
∴∠MEO＝90°﹣α﹣（90°﹣2α）＝α＝∠NEO，
作TV⊥y軸于V，作KI⊥x軸于I，作RH⊥y軸于H，
∴四邊形HRTV是矩形，
∵KF＝TE，∠KIF＝∠TVE＝90°，
∴△KIF≌△TVE（AAS），
∴KI＝TV＝RH，
作KZ⊥y軸于Z，
∴四邊形KIOZ是矩形，
∴∠KIM＝∠KZE＝90°，
∴△KZE≌KIM（HL），
∴KI＝KZ＝RH，
∴四邊形KINZ是正方形，連接OK，
∴OK平分∠EOD，
∴∠KOE＝∠KOD＝45°
∴△KZE≌△RHE（AAS），
∴KE＝RE，
，
∴E（3，0），
∵BE+AF＝EF，AF＝OA﹣OF＝6﹣OF，
∴3+6﹣OF＝EF，
∴EF＝9﹣OF，
在Rt△EOF中，OF2+OE2＝EF2，
∴OF2+9＝（9﹣OF）2，
解得OF＝4，
∴EF＝MF＝5，OM＝ON＝MF﹣OF＝1，
在Rt△EOM中，，
則，tan∠QFA＝tan（45°+α）＝2，
作QL⊥x軸于L，
設(shè)FL＝m，則QL＝2m，Q（4+m，2m），
代入解析式，得2m＝﹣，
整理得m2+17m﹣18＝0，
解得m1＝1，m2＝﹣18（舍去），
∴Q（5，2），
∴QL＝KI＝2，
連接KQ，
∴四邊形KILQ是平行四邊形，
∴KQ＝7，
在Rt△KGQ中，，
∴，即KG＝2GQ，
∴GQ2＝KQ2﹣KG2＝49﹣4GQ2，
整理得GQ2＝，
解得，（負(fù)值舍去）．
答：GQ的值為．
1．（2020 廣東）把函數(shù)y＝（x﹣1）2+2圖象向右平移1個(gè)單位長度，平移后圖象的函數(shù)解析式為（　　）
A．y＝x2+2 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x﹣2）2+2 D．y＝（x﹣1）2+3
【分析】先求出y＝（x﹣1）2+2的頂點(diǎn)坐標(biāo)，再根據(jù)向右平移橫坐標(biāo)加，求出平移后的二次函數(shù)圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后利用頂點(diǎn)式解析式寫出即可．
【解答】解：二次函數(shù)y＝（x﹣1）2+2的圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（1，2），
∴向右平移1個(gè)單位長度后的函數(shù)圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，2），
∴所得的圖象解析式為y＝（x﹣2）2+2．
故選：C．
2．（2021 深圳）二次函數(shù)y＝ax2+bx+1的圖象與一次函數(shù)y＝2ax+b在同一平面直角坐標(biāo)系中的圖象可能是（　　）
A．B．C．D．
【分析】由二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象得到字母系數(shù)的正負(fù)以及對稱軸，與一次函數(shù)y＝2ax+b的圖象得到的字母系數(shù)的正負(fù)以及與x軸的交點(diǎn)相比較看是否一致．
【解答】解：A、由拋物線可知，a＞0，b＜0，c＝1，對稱軸為直線x＝﹣，由直線可知，a＞0，b＜0，直線經(jīng)過點(diǎn)（﹣，0），故本選項(xiàng)符合題意；
B、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣，0），故本選項(xiàng)不符合題意；
C、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣，0），故本選項(xiàng)不符合題意；
D、由拋物線可知，對稱軸為直線x＝﹣，直線不經(jīng)過點(diǎn)（﹣，0），故本選項(xiàng)不符合題意；
故選：A．
3．（2022 廣州）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸為x＝﹣2，下列結(jié)論正確的是（　　）
A．a(chǎn)＜0
B．c＞0
C．當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小
D．當(dāng)x＞﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小
【分析】根據(jù)圖象得出a，c的符號即可判斷A、B，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可判斷C、D．
【解答】解：∵圖象開口向上，
∴a＞0，故A不正確；
∵圖象與y軸交于負(fù)半軸，
∴c＜0，故B不正確；
∵拋物線開口向上，對稱軸為直線x＝﹣2，
∴當(dāng)x＜﹣2時(shí)，y隨x的增大而減小，x＞﹣2時(shí)，y隨x的增大而增大，
故C正確，D不正確；
故選：C．
4．（2021 廣東）我國南宋時(shí)期數(shù)學(xué)家秦九韶曾提出利用三角形的三邊求面積的公式，此公式與古希臘幾何學(xué)家海倫提出的公式如出一轍，即三角形的三邊長分別為a，b，c，記p＝，則其面積S＝．這個(gè)公式也被稱為海倫﹣秦九韶公式．若p＝5，c＝4，則此三角形面積的最大值為（　　）
A． B．4 C．2 D．5
【分析】根據(jù)公式算出a+b的值，代入公式即可求出解．
【解答】解：∵p＝，p＝5，c＝4，
∴5＝，
∴a+b＝6，
∴a＝6﹣b，
∴S＝
＝
＝
＝
＝
＝
＝，
當(dāng)b＝3時(shí)，S有最大值為＝2．
故選：C．
5．（2020 廣東）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c的對稱軸是直線x＝1，下列結(jié)論：
①abc＞0；②b2﹣4ac＞0；③8a+c＜0；④5a+b+2c＞0，
正確的有（　　）
A．4個(gè) B．3個(gè) C．2個(gè) D．1個(gè)
【分析】根據(jù)拋物線的開口方向、對稱軸、與坐標(biāo)軸的交點(diǎn)判定系數(shù)符號及運(yùn)用一些特殊點(diǎn)解答問題．
【解答】解：由拋物線的開口向下可得：a＜0，
根據(jù)拋物線的對稱軸在y軸右邊可得：a，b異號，所以b＞0，
根據(jù)拋物線與y軸的交點(diǎn)在正半軸可得：c＞0，
∴abc＜0，故①錯(cuò)誤；
∵拋物線與x軸有兩個(gè)交點(diǎn)，
∴b2﹣4ac＞0，故②正確；
∵直線x＝1是拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的對稱軸，所以﹣＝1，可得b＝﹣2a，
由圖象可知，當(dāng)x＝﹣2時(shí)，y＜0，即4a﹣2b+c＜0，
∴4a﹣2×（﹣2a）+c＜0，
即8a+c＜0，故③正確；
由圖象可知，當(dāng)x＝2時(shí)，y＝4a+2b+c＞0；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＞0，
兩式相加得，5a+b+2c＞0，故④正確；
∴結(jié)論正確的是②③④3個(gè)，
故選：B．
6．（2023 廣東）如圖，拋物線y＝ax2+c經(jīng)過正方形OABC的三個(gè)頂點(diǎn)A，B，C，點(diǎn)B在y軸上，則ac的值為（　　）
A．﹣1 B．﹣2 C．﹣3 D．﹣4
【分析】過A作AH⊥x軸于H，根據(jù)正方形的性質(zhì)得到∠AOB＝45°，得到AH＝OH，利用待定系數(shù)法求得a、c的值，即可求得結(jié)論．
【解答】解：過A作AH⊥x軸于H，
∵四邊形ABCO是正方形，
∴∠AOB＝45°，
∴∠AOH＝45°，
∴AH＝OH，
設(shè)A（m，m），則B（0，2m），
∴，
解得am＝﹣1，m＝，
∴ac的值為﹣2，
故選：B．
7．（2021 廣東）設(shè)O為坐標(biāo)原點(diǎn)，點(diǎn)A、B為拋物線y＝x2上的兩個(gè)動點(diǎn)，且OA⊥OB．連接點(diǎn)A、B，過O作OC⊥AB于點(diǎn)C，則點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離的最大值（　　）
A． B． C． D．1
【分析】分別作AE、BF垂直于x軸于點(diǎn)E、F，設(shè)OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式可得AE＝a2，BF＝b2，作AH⊥BH于H，交y軸于點(diǎn)G，連接AB交y軸于點(diǎn)D，設(shè)點(diǎn)D（0，m），易證△ADG∽△ABH，所以，即．可得m＝ab．再證明△AEO∽△OFB，所以，即，可得ab＝1．即得點(diǎn)D為定點(diǎn)，坐標(biāo)為（0，1），得DO＝1．進(jìn)而可推出點(diǎn)C是在以DO為直徑的圓上運(yùn)動，則當(dāng)點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離為此圓的直徑的一半，即時(shí)最大．
【解答】解：如圖，分別作AE、BF垂直于x軸于點(diǎn)E、F，
設(shè)OE＝a，OF＝b，由拋物線解析式為y＝x2，
則AE＝a2，BF＝b2，
作AH⊥BF于H，交y軸于點(diǎn)G，連接AB交y軸于點(diǎn)D，
設(shè)點(diǎn)D（0，m），
∵DG∥BH，
∴△ADG∽△ABH，
∴，即．
化簡得：m＝ab．
∵∠AOB＝90°，
∴∠AOE+∠BOF＝90°，
又∠AOE+∠EAO＝90°，
∴∠BOF＝∠EAO，
又∠AEO＝∠BFO＝90°，
∴△AEO∽△OFB．
∴，
即，
化簡得ab＝1．
則m＝ab＝1，說明直線AB過定點(diǎn)D，D點(diǎn)坐標(biāo)為（0，1）．
∵∠DCO＝90°，DO＝1，
∴點(diǎn)C是在以DO為直徑的圓上運(yùn)動，
∴當(dāng)點(diǎn)C到y(tǒng)軸距離為＝時(shí)，點(diǎn)C到y(tǒng)軸的距離最大．
故選：A．
8．（2021 廣東）把拋物線y＝2x2+1向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為 　 　．
【分析】可根據(jù)二次函數(shù)圖象左加右減，上加下減的平移規(guī)律進(jìn)行解答．
【解答】解：把拋物線y＝2x2+1向左平移1個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度，得到的拋物線的解析式為：y＝2（x+1）2+1﹣3，即y＝2x2+4x
故答案為y＝2x2+4x．
9．（2023 廣州）已知點(diǎn)A（x1，y1），B（x2，y2）在拋物線y＝x2﹣3上，且0＜x1＜x2，則y1　 　y2.（填“＜”或“＞”或“＝”）
【分析】依據(jù)題意，求出拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，從而由二次函數(shù)的性質(zhì)，根據(jù)拋物線開口向下，故當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而減小，進(jìn)而判斷得解．
【解答】解：由題意得拋物線y＝x2﹣3的對稱軸x＝0，
又a＝1＞0，
∴拋物線y＝x2﹣3開口向上．
∴當(dāng)x＞0時(shí)y隨x的增大而增大．
∴對于A、B當(dāng)0＜x1＜x2時(shí)，y1＜y2．
故答案為：＜．
10．（2021 深圳）某科技公司銷售高新科技產(chǎn)品，該產(chǎn)品成本為8萬元，銷售單價(jià)x（萬元）與銷售量y（件）的關(guān)系如表所示：
x（萬元） 10 12 14 16
y（件） 40 30 20 10
（1）求y與x的函數(shù)關(guān)系式；
（2）當(dāng)銷售單價(jià)為多少時(shí)，有最大利潤，最大利潤為多少？
【分析】（1）通過表格數(shù)據(jù)可以判斷y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，設(shè)出函數(shù)解析式用待定系數(shù)法求函數(shù)解析式即可；
（2）根據(jù)銷售利潤等于單件的利潤與銷售件數(shù)的乘積列出函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)求最值即可．
【解答】解：（1）由表格中數(shù)據(jù)可知，y與x之間的函數(shù)關(guān)系式為一次函數(shù)關(guān)系，
設(shè)y＝kx+b（k≠0），
則，
解得：，
∴y與x的函數(shù)關(guān)系式y(tǒng)＝﹣5x+90；
（2）設(shè)該產(chǎn)品的銷售利潤為w，
由題意得：w＝y(tǒng)（x﹣8）＝（﹣5x+90）（x﹣8）＝﹣5x2+130x﹣720＝﹣5（x﹣13）2+125，
∵﹣5＜0，
∴當(dāng)x＝13時(shí)，w最大，最大值為125（萬元），
答：當(dāng)銷售單價(jià)為13萬元時(shí)，有最大利潤，最大利潤為125萬元．
11．（2021 廣東）端午節(jié)是我國入選世界非物質(zhì)文化遺產(chǎn)的傳統(tǒng)節(jié)日，端午節(jié)吃粽子是中華民族的傳統(tǒng)習(xí)俗．市場上豆沙粽的進(jìn)價(jià)比豬肉粽的進(jìn)價(jià)每盒便宜10元，某商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同．在銷售中，該商家發(fā)現(xiàn)豬肉粽每盒售價(jià)50元時(shí)，每天可售出100盒；每盒售價(jià)提高1元時(shí)，每天少售出2盒．
（1）求豬肉粽和豆沙粽每盒的進(jìn)價(jià)；
（2）設(shè)豬肉粽每盒售價(jià)x元（50≤x≤65），y表示該商家每天銷售豬肉粽的利潤（單位：元），求y關(guān)于x的函數(shù)解析式并求最大利潤．
【分析】（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)（a﹣10）元，根據(jù)商家用8000元購進(jìn)的豬肉粽和用6000元購進(jìn)的豆沙粽盒數(shù)相同列出方程，解方程即可；
（2）由題意得，當(dāng)x＝50時(shí)，每天可售出100盒，當(dāng)豬肉粽每盒售價(jià)x元（50≤x≤65）時(shí)，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，列出每天銷售豬肉粽的利潤y與豬肉粽每盒售價(jià)x元的函數(shù)關(guān)系式，根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)及x的取值范圍求利潤的最大值．
【解答】解：（1）設(shè)豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)a元，則豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)（a﹣10）元，
則，
解得：a＝40，經(jīng)檢驗(yàn)a＝40是方程的解，
∴豬肉粽每盒進(jìn)價(jià)40元，豆沙粽每盒進(jìn)價(jià)30元，
（2）由題意得，當(dāng)x＝50時(shí)，每天可售出100盒，
當(dāng)豬肉粽每盒售價(jià)x元（50≤x≤65）時(shí)，每天可售[100﹣2（x﹣50）]盒，
∴y＝x[100﹣2（x﹣50）]﹣40×[100﹣2（x﹣50）]＝﹣2x2+280x﹣8000，
配方，得：y＝﹣2（x﹣70）2+1800，
∵x＜70時(shí)，y隨x的增大而增大，
∴當(dāng)x＝65時(shí)，y取最大值，最大值為：﹣2×（65﹣70）2+1800＝1750（元）．
答：y關(guān)于x的函數(shù)解析式為y＝﹣2x2+280x﹣8000（50≤x≤65），且最大利潤為1750元．
12．（2023 深圳）蔬菜大棚是一種具有出色的保溫性能的框架覆膜結(jié)構(gòu)，它出現(xiàn)使得人們可以吃到反季節(jié)蔬菜．一般蔬菜大棚使用竹結(jié)構(gòu)或者鋼結(jié)構(gòu)的骨架，上面覆上一層或多層保溫塑料膜，這樣就形成了一個(gè)溫室空間．
如圖1，某個(gè)溫室大棚的橫截面可以看作矩形ABCD和拋物線AED構(gòu)成，其中AB＝3m，BC＝4m，取BC中點(diǎn)O，過點(diǎn)O作線段BC的垂直平分線OE交拋物線AED于點(diǎn)E，若以O(shè)點(diǎn)為原點(diǎn)，BC所在直線為x軸，OE為y軸建立如圖所示平面直角坐標(biāo)系．
請回答下列問題：
（1）如圖2，拋物線AED的頂點(diǎn)E（0，4），求拋物線的解析式；
（2）如圖3，為了保證蔬菜大棚的通風(fēng)性，該大棚要安裝兩個(gè)正方形孔的排氣裝置LFGT，SMNR，若FL＝NR＝0.75m，求兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長；
（3）如圖4，在某一時(shí)刻，太陽光線透過A點(diǎn)恰好照射到C點(diǎn)，此時(shí)大棚截面的陰影為CK，求CK的長．
【分析】（1）利用待定系數(shù)法即可求解．
（2）設(shè)出G，L，根據(jù)題意列出方程求解即可．
（3）取最右側(cè)光線與拋物線切點(diǎn)為F，根據(jù)題意求出直線FK的解析式，由BK＝OB+OK求解即可．
【解答】解：（1）∵AB＝3m，AD＝BC＝4m，E（0，4），
∴A（﹣2，3），B（﹣2，0），C（2，0），D（2，3），
設(shè)拋物線表達(dá)式為y＝ax2+bx+c，
將A、D、E三點(diǎn)坐標(biāo)代入表達(dá)式，
得，
解得．
∴拋物線表達(dá)式為．
答：拋物線表達(dá)式為．
（2）設(shè)G（﹣t，3），則L（﹣t﹣），
∴，
解得（負(fù)值舍去），
∴GM＝2t＝．
答：兩個(gè)正方形裝置的間距GM的長為m．
（3）取最右側(cè)光線與拋物線切點(diǎn)為F，如圖4，
設(shè)直線AC的解析式為y＝kx+b，
∴，
解得，
∴直線AC的解析式為y＝﹣x+，
∵FK∥AC，
設(shè)，
∴，
得，
∴，
解得m＝，
∴直線FK的解析式為，
令y＝0，得x＝，
∴．
∴CK＝BK﹣BC＝＝
答：CK的長為m．
13．（2022 廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，點(diǎn)P為線段AB上的動點(diǎn)，過P作PQ∥BC交AC于點(diǎn)Q．
（1）求該拋物線的解析式；
（2）求△CPQ面積的最大值，并求此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)．
【分析】（1）根據(jù)A（1，0），AB＝4求出B（﹣3，0），把A、B的坐標(biāo)代入拋物線y＝x2+bx+c，即可求解；
（2）過Q作QE⊥x軸于E，設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，易證△PQA∽△BCA，利用相似三角形的性質(zhì)即可求出QE的長，又因?yàn)镾△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA，進(jìn)而得到△CPQ面積和m的二次函數(shù)關(guān)系式，利用二次函數(shù)的性質(zhì)即可求出面積最大值．
【解答】（1）∵拋物線y＝x2+bx+c（b，c是常數(shù)）的頂點(diǎn)為C，與x軸交于A，B兩點(diǎn)，A（1，0），AB＝4，
∴B（﹣3，0），
∴，
解得，
∴拋物線的解析式為y＝x2+2x﹣3；
（2）過Q作QE⊥x軸于E，過C作CF⊥x軸于F，
設(shè)P（m，0），則PA＝1﹣m，
∵y＝x2+2x﹣3＝（x+1）2﹣4，
∴C（﹣1，﹣4），
∴CF＝4，
∵PQ∥BC，
∴△PQA∽△BCA，
∴，即，
∴QE＝1﹣m，
∴S△CPQ＝S△PCA﹣S△PQA
＝PA CF﹣PA QE
＝（1﹣m）×4﹣（1﹣m）（1﹣m）
＝﹣（m+1）2+2，
∵﹣3≤m≤1，
∴當(dāng)m＝﹣1時(shí) S△CPQ有最大值2，
∴△CPQ面積的最大值為2，此時(shí)P點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣1，0）．
14．（2021 廣東）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx+c的圖象過點(diǎn)（﹣1，0），且對任意實(shí)數(shù)x，都有4x﹣12≤ax2+bx+c≤2x2﹣8x+6．
（1）求該二次函數(shù)的解析式；
（2）若（1）中二次函數(shù)圖象與x軸的正半軸交點(diǎn)為A，與y軸交點(diǎn)為C；點(diǎn)M是（1）中二次函數(shù)圖象上的動點(diǎn)．問在x軸上是否存在點(diǎn)N，使得以A、C、M、N為頂點(diǎn)的四邊形是平行四邊形．若存在，求出所有滿足條件的點(diǎn)N的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解之可得交點(diǎn)為（3，0），則二次函數(shù)圖象必過（3，0），又過（﹣1，0），則把兩點(diǎn)坐標(biāo)代入解析式可得y＝ax2﹣2ax﹣3a，又ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，整理可得ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，所以a＞0且Δ＝0，則可得a＝1，從而求得二次函數(shù)解析式；
（2）由題意可得A（3，0），C（0，﹣3），設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0）．根據(jù)對角線的不同可分三類情況建立方程組討論求解即可：①AC為對角線則有；②AM為對角線則有；③AN為對角線則有．
【解答】解：（1）不妨令4x﹣12＝2x2﹣8x+6，解得：x1＝x2＝3，
當(dāng)x＝3時(shí)，4x﹣12＝2x2﹣8x+6＝0．
∴y＝ax2+bx+c必過（3，0），
又∵y＝ax2+bx+c過（﹣1，0），
∴，解得：，
∴y＝ax2﹣2ax﹣3a，
又∵ax2﹣2ax﹣3a≥4x﹣12，
∴ax2﹣2ax﹣3a﹣4x+12≥0，
整理得：ax2﹣2ax﹣4x+12﹣3a≥0，
∴a＞0且Δ＝0，
∴（2a+4）2﹣4a（12﹣3a）＝0，
∴（a﹣1）2＝0，
∴a＝1，b＝﹣2，c＝﹣3．
∴該二次函數(shù)解析式為y＝x2﹣2x﹣3．
（2）存在，理由如下：
令y＝x2﹣2x﹣3中y＝0，得x＝3，則A點(diǎn)坐標(biāo)為（3，0）；
令x＝0，得y＝﹣3，則點(diǎn)C坐標(biāo)為（0，﹣3）．
設(shè)點(diǎn)M坐標(biāo)為（m，m2﹣2m﹣3），N（n，0），
根據(jù)平行四邊形對角線性質(zhì)以及中點(diǎn)坐標(biāo)公式可得：
①當(dāng)AC為對角線時(shí)，，
即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝1，即N1（1，0）．
②當(dāng)AM為對角線時(shí)，，
即，解得：m1＝0（舍去），m2＝2，
∴n＝5，即N2（5，0）．
③當(dāng)AN為對角線時(shí)，，
即，解得：m1＝1+，m2＝1﹣，
∴n＝或﹣2﹣，
∴N3（，0），N4（﹣2﹣，0）．
綜上所述，N點(diǎn)坐標(biāo)為（1，0）或（5，0）或（，0）或（﹣2﹣，0）．
15．（2023 廣州）已知點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上．
（1）若m＝﹣2，求n的值；
（2）拋物線y＝（x﹣m）（x﹣n）與x軸交于兩點(diǎn)M，N（M在N的左邊），與y軸交于點(diǎn)G，記拋物線的頂點(diǎn)為E．
①m為何值時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；
②設(shè)△GMN的外接圓圓心為C，⊙C與y軸的另一個(gè)交點(diǎn)為F，當(dāng)m+n≠0時(shí)，是否存在四邊形FGEC為平行四邊形？若存在，求此時(shí)頂點(diǎn)E的坐標(biāo)；若不存在，請說明理由．
【分析】（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1，即可求解；
（2）①x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，即可求解；
②求出直線TS的表達(dá)式為：y＝﹣m（x﹣m）﹣1，得到點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，﹣）；由垂徑定理知，點(diǎn)C在FG的中垂線上，則FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3；由四邊形FGEC為平行四邊形，則CE＝FG＝3＝y(tǒng)C﹣yE＝﹣﹣yE，求出yE＝﹣，進(jìn)而求解．
【解答】解：（1）把m＝﹣2代入y＝﹣（x＜0）得n＝﹣＝1；
故n的值為1；
（2）①在y＝（x﹣m）（x﹣n）中，令y＝0，則（x﹣m）（x﹣n）＝0，
解得x＝m或x＝n，
∴M（m，0），N（n，0），
∵點(diǎn)P（m，n）在函數(shù)y＝﹣（x＜0）的圖象上，
∴mn＝﹣2，
令x＝，得y＝（x﹣m）（x﹣n）＝﹣（m﹣n）2＝﹣2﹣（m+n）2≤﹣2，
即當(dāng)m+n＝0，且mn＝﹣2，
則m2＝2，解得：m＝﹣（正值已舍去），
即m＝﹣時(shí)，點(diǎn)E到達(dá)最高處；
②假設(shè)存在，理由：
對于y＝（x﹣m）（x﹣n），當(dāng)x＝0時(shí)，y＝mn＝﹣2，即點(diǎn)G（0，﹣2），
由①得M（m，0），N（n，0），G（0，﹣2），E（，﹣（m﹣n）2 ），對稱軸為直線x＝，
由點(diǎn)M（m，0）、G（0，﹣2）的坐標(biāo)知，tan∠OMG＝＝，
作MG的中垂線交MG于點(diǎn)T，交y軸于點(diǎn)S，交x軸于點(diǎn)K，則點(diǎn)T（m，﹣1），
則tan∠MKT＝﹣m，
則直線TS的表達(dá)式為：y＝﹣m（x﹣m）﹣1．
當(dāng)x＝時(shí)，y＝﹣m（x﹣m）﹣1＝﹣，
則點(diǎn)C的坐標(biāo)為：（，﹣）．
由垂徑定理知，點(diǎn)C在FG的中垂線上，則FG＝2（yC﹣yG）＝2×（﹣+2）＝3．
∵四邊形FGEC為平行四邊形，
則CE＝FG＝3＝y(tǒng)C﹣yE＝﹣﹣yE，
解得：yE＝﹣，
即﹣（m﹣n）2＝﹣，且mn＝﹣2，
則m+n＝，
∴E（﹣，﹣），或（，﹣）．
16．（2022 廣州）已知直線l：y＝kx+b經(jīng)過點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）．
（1）求直線l的解析式；
（2）若點(diǎn)P（m，n）在直線l上，以P為頂點(diǎn)的拋物線G過點(diǎn)（0，﹣3），且開口向下．
①求m的取值范圍；
②設(shè)拋物線G與直線l的另一個(gè)交點(diǎn)為Q，當(dāng)點(diǎn)Q向左平移1個(gè)單位長度后得到的點(diǎn)Q′也在G上時(shí)，求G在≤x≤+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)．
【分析】（1）用待定系數(shù)法求解析式即可；
（2）①設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，將點(diǎn)（0，﹣3）代入可得am2+7﹣m＝﹣3，再由a＝＜0，求m的取值即可；
②由題意求出Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m+，聯(lián)立方程組，整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，根據(jù)根與系數(shù)的關(guān)系可得m+m+＝2m﹣，可求a＝﹣2，從而可求m＝2或m＝﹣，確定拋物線的解析式后即可求解．
【解答】解：（1）將點(diǎn)（0，7）和點(diǎn)（1，6）代入y＝kx+b，
∴，
解得，
∴y＝﹣x+7；
（2）①∵點(diǎn)P（m，n）在直線l上，
∴n＝﹣m+7，
設(shè)拋物線的解析式為y＝a（x﹣m）2+7﹣m，
∵拋物線經(jīng)過點(diǎn)（0，﹣3），
∴am2+7﹣m＝﹣3，
∴a＝，
∵拋物線開口向下，
∴a＜0，
∴a＝＜0，
∴m＜10且m≠0；
②∵拋物線的對稱軸為直線x＝m，
∴Q點(diǎn)與Q'關(guān)于x＝m對稱，
∴Q點(diǎn)的橫坐標(biāo)為m+，
聯(lián)立方程組，
整理得ax2+（1﹣2ma）x+am2﹣m＝0，
∵P點(diǎn)和Q點(diǎn)是直線l與拋物線G的交點(diǎn)，
∴m+m+＝2m﹣，
∴a＝﹣2，
∴y＝﹣2（x﹣m）2+7﹣m，
∴﹣2m2+7﹣m＝﹣3，
解得m＝2或m＝﹣，
當(dāng)m＝2時(shí)，y＝﹣2（x﹣2）2+5，
此時(shí)拋物線的對稱軸為直線x＝2，
圖象在≤x≤上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（2，5）；
當(dāng)m＝﹣時(shí)，y＝﹣2（x+）2+，
此時(shí)拋物線的對稱軸為直線x＝﹣，
圖象在﹣2≤x≤﹣1上的最高點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，9）；
綜上所述：G在≤x≤+1的圖象的最高點(diǎn)的坐標(biāo)為（﹣2，9）或（2，5）．
17．（2021 廣州）已知拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，請判斷點(diǎn)（2，4）是否在該拋物線上；
（2）該拋物線的頂點(diǎn)隨著m的變化而移動，當(dāng)頂點(diǎn)移動到最高處時(shí)，求該拋物線的頂點(diǎn)坐標(biāo)；
（3）已知點(diǎn)E（﹣1，﹣1）、F（3，7），若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，求該拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)的取值范圍．
【分析】（1）當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線為y＝x2﹣x+3，將x＝2代入得y＝5，故點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；
（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點(diǎn)為（，），而＝﹣（m﹣3）2+5，即得m＝3時(shí)，縱坐標(biāo)最大，此時(shí)頂點(diǎn)移動到了最高處，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，5）；
（3）求出直線EF的解析式為y＝2x+1，由得直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），因（2，5）在線段EF上，由已知可得（m+1，2m+3）不在線段EF上，即是m+1＜﹣1或m+1＞3，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，可得拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)＝＜﹣或x頂點(diǎn)＝＞或x頂點(diǎn)＝1．
【解答】解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，拋物線為y＝x2﹣x+3，
將x＝2代入得y＝4﹣2+3＝5，
∴點(diǎn)（2，4）不在拋物線上；
（2）拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的頂點(diǎn)為（，），
化簡得（，），
頂點(diǎn)移動到最高處，即是頂點(diǎn)縱坐標(biāo)最大，
而＝﹣（m﹣3）2+5，
∴m＝3時(shí)，縱坐標(biāo)最大，即是頂點(diǎn)移動到了最高處，
此時(shí)該拋物線解析式為y＝x2﹣4x+9，頂點(diǎn)坐標(biāo)為：（2，5）；
（3）設(shè)直線EF解析式為y＝kx+b，將E（﹣1，﹣1）、F（3，7）代入得：
，解得，
∴直線EF的解析式為y＝2x+1，
由得：或，
∴直線y＝2x+1與拋物線y＝x2﹣（m+1）x+2m+3的交點(diǎn)為：（2，5）和（m+1，2m+3），
而（2，5）在線段EF上，
∴若該拋物線與線段EF只有一個(gè)交點(diǎn)，則（m+1，2m+3）不在線段EF上，或（2，5）與（m+1，2m+3）重合，
∴m+1＜﹣1或m+1＞3或m+1＝2（此時(shí)2m+3＝5），
∴此時(shí)拋物線頂點(diǎn)橫坐標(biāo)x頂點(diǎn)＝＜﹣或x頂點(diǎn)＝＞或x頂點(diǎn)＝＝＝1．
18．（2020 廣東）如圖，拋物線y＝x2+bx+c與x軸交于A，B兩點(diǎn)，點(diǎn)A，B分別位于原點(diǎn)的左、右兩側(cè)，BO＝3AO＝3，過點(diǎn)B的直線與y軸正半軸和拋物線的交點(diǎn)分別為C，D，BC＝CD．
（1）求b，c的值；
（2）求直線BD的函數(shù)解析式；
（3）點(diǎn)P在拋物線的對稱軸上且在x軸下方，點(diǎn)Q在射線BA上．當(dāng)△ABD與△BPQ相似時(shí)，請直接寫出所有滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)．
【分析】（1）先求出點(diǎn)A，點(diǎn)B坐標(biāo)，代入交點(diǎn)式，可求拋物線解析式，即可求解；
（2）過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，由平行線分線段成比例可求OE＝，可求點(diǎn)D坐標(biāo)，利用待定系數(shù)法可求解析式；
（3）利用兩點(diǎn)距離公式可求AD，AB，BD的長，利用銳角三角函數(shù)和直角三角形的性質(zhì)可求∠ABD＝30°，∠ADB＝45°，分∠ABP＝30°或∠ABP＝45°兩種情況討論，利用相似三角形的性質(zhì)可求解．
【解答】解：（1）∵BO＝3AO＝3，
∴點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（﹣1，0），
∴拋物線解析式為：y＝（x+1）（x﹣3）＝x2﹣x﹣，
∴b＝﹣，c＝﹣；
（2）如圖1，過點(diǎn)D作DE⊥AB于E，
∴CO∥DE，
∴，
∵BC＝CD，BO＝3，
∴＝，
∴OE＝，
∴點(diǎn)D橫坐標(biāo)為﹣，
∴點(diǎn)D坐標(biāo)為（﹣，+1），
設(shè)直線BD的函數(shù)解析式為：y＝kx+m，
由題意可得：，
解得：，
∴直線BD的函數(shù)解析式為y＝﹣x+；
（3）∵點(diǎn)B（3，0），點(diǎn)A（﹣1，0），點(diǎn)D（﹣，+1），
∴AB＝4，AD＝2，BD＝2+2，對稱軸為直線x＝1，
∵直線BD：y＝﹣x+與y軸交于點(diǎn)C，
∴點(diǎn)C（0，），
∴OC＝，
∵tan∠CBO＝＝，
∴∠CBO＝30°，
如圖2，過點(diǎn)A作AK⊥BD于K，
∴AK＝AB＝2，
∴DK＝＝＝2，
∴DK＝AK，
∴∠ADB＝45°，
如圖，設(shè)對稱軸與x軸的交點(diǎn)為N，即點(diǎn)N（1，0），
若∠CBO＝∠PBO＝30°，
∴BN＝PN＝2，BP＝2PN，
∴PN＝，BP＝，
當(dāng)△BAD∽△BPQ，
∴，
∴BQ＝＝2+，
∴點(diǎn)Q（1﹣，0）；
當(dāng)△BAD∽△BQP，
∴，
∴BQ＝＝4﹣，
∴點(diǎn)Q（﹣1+，0）；
若∠PBO＝∠ADB＝45°，
∴BN＝PN＝2，BP＝BN＝2，
當(dāng)△DAB∽△BPQ，
∴，
∴，
∴BQ＝2+2
∴點(diǎn)Q（1﹣2，0）；
當(dāng)△BAD∽△PQB，
∴，
∴BQ＝＝2﹣2，
∴點(diǎn)Q（5﹣2，0）；
綜上所述：滿足條件的點(diǎn)Q的坐標(biāo)為（1﹣，0）或（﹣1+，0）或（1﹣2，0）或（5﹣2，0）．
1．（2023 越秀區(qū)校級一模）下列二次函數(shù)中，其圖象的頂點(diǎn)坐標(biāo)是（2，﹣1）的是（　　）
A．y＝（x﹣2）2+1 B．y＝（x+2）2+1
C．y＝（x﹣2）2﹣1 D．y＝（x+2）2﹣1
【分析】利用二次函數(shù)的頂點(diǎn)式寫出各個(gè)函數(shù)的頂點(diǎn)坐標(biāo)，然后判斷即可．
【解答】解：A、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，1），不符合題意；
B、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，1），不符合題意；
C、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（2，﹣1），符合題意；
D、頂點(diǎn)坐標(biāo)為（﹣2，﹣1），不符合題意，
故選：C．
2．（2022 東莞市校級一模）將二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到的二次函數(shù)解析式是
（　　）
A．y＝（x﹣1）2﹣5 B．y＝（x﹣1）2+1
C．y＝（x+3）2+1 D．y＝（x+3）2﹣5
【分析】按照“左加右減，上加下減”的規(guī)律進(jìn)而求出即可．
【解答】解：將二次函數(shù)y＝（x+1）2﹣2的圖象向右平移2個(gè)單位長度，再向下平移3個(gè)單位長度得到的二次函數(shù)解析式是y＝（x+1﹣2）2﹣2﹣3，即y＝（x﹣1）2﹣5．
故選：A．
3．（2023 霞山區(qū)一模）已知二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象如圖所示，則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象大致為（　　）
A． B． C． D．
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象可以得到a＜0，b＞0，然后即可得到一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過哪幾個(gè)象限．
【解答】解：由二次函數(shù)y＝ax2+bx（a≠0）的圖象，可知：a＜0，b＞0，
則一次函數(shù)y＝ax+b（a≠0）的圖象經(jīng)過第一、二、四象限，
故選：C．
4．（2023 東莞市模擬）如圖，拋物線y＝ax2+bx+c（a≠0）的頂點(diǎn)為（1，n），與x軸的一個(gè)交點(diǎn)為A（3，0），與y軸的交點(diǎn)在（0，1）和（0，2）之間．下列結(jié)論：
①abc＞0；②﹣1＜；③（a+c）2﹣b2＝0；④b＝﹣4a中，正確的個(gè)數(shù)為（　　）
A．1 B．2 C．3 D．4
【分析】根據(jù)二次函數(shù)的圖象與系數(shù)的關(guān)系，逐項(xiàng)分析判斷即可．
【解答】解：①∵函數(shù)圖象開口向下，
∴a＜0，
∵對稱軸在y軸右側(cè)，a與b異號，
∴b＞0，
∵函數(shù)與y軸正半軸相交，
∴c＞0，
故abc＜0，①不正確；
②∵頂點(diǎn)為（1，n），對稱軸x＝﹣＝1，
∴b＝﹣2a＞0，
∴A點(diǎn)（3，0）關(guān)于對稱軸x＝1的對稱點(diǎn)為（﹣1，0），
∴當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，得c＝﹣3a，
∵1＜c＜2，
∴1＜﹣3a＜2，
∴﹣＞a＞﹣，故②不正確；
③當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＝0，
（a+c）2﹣b2＝（a+b+c）（a﹣b+c）＝0，故③正確；
④由②的推理可知b＝﹣2a，故④不正確．
正確的有③，
故選：A．
5．（2022 武江區(qū)校級一模）若直線y＝3x+m經(jīng)過第一、三、四象限，則二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+1的圖象頂點(diǎn)必在第 　 　象限．
【分析】先根據(jù)一次函數(shù)經(jīng)過的象限得到m＜0，再由二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+1的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，1）即可得到答案．
【解答】解：∵直線y＝3x+m經(jīng)過第一、三、四象限，
∴m＜0，
∵二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+1的圖象頂點(diǎn)坐標(biāo)為（m，1），
∴二次函數(shù)y＝（x﹣m）2+1的圖象頂點(diǎn)在第二象限，
故答案為：二．
6．（2023 越秀區(qū)校級二模）在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知點(diǎn)（n﹣2，y1），（n﹣1，y2），（n+1，y3）在拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0）上，若0＜n＜1，則y1，y2，y3的大小關(guān)系為 　 　．（用“＜”表示）
【分析】求得拋物線的開口方向和對稱軸，然后根據(jù)點(diǎn)到對稱軸的距離的大小判斷即可．
【解答】解：∵拋物線y＝ax2﹣2ax﹣2（a＜0），
∴拋物線開口向下，對稱軸為直線x＝﹣＝1，
∵0＜n＜1，
∴﹣2＜n﹣2＜﹣1，﹣1＜n﹣1＜0，1＜n+1＜2，
∴點(diǎn)（n﹣2，y1）到對稱軸的距離最大，（n+1，y3）到對稱軸距離最短，
∴y1＜y2＜y3，
故答案為：y1＜y2＜y3．
7．（2023 寶安區(qū)校級三模）如圖，拋物線y＝（x﹣2）2﹣2的頂點(diǎn)為A，與y軸交于點(diǎn)B，則直線AB的表達(dá)式為 　 　．
【分析】求出A、B點(diǎn)的坐標(biāo)，用待定系數(shù)法求直線AB的解析式即可；
【解答】解：∵y＝（x﹣2）2﹣2，
∴頂點(diǎn)A的坐標(biāo)為（2，﹣2），
令x＝0，則y＝（﹣2）2﹣2＝2，
∴B的坐標(biāo)為（0，2），
設(shè)直線AB的解析式為y＝kx+b，
則，
解得，
∴直線AB的表達(dá)式為y＝﹣2x+2，
故答案為：y＝﹣2x+2．
8．（2021 大埔縣模擬）如圖，拋物線y＝﹣x2+2x+3與y軸交于點(diǎn)C，點(diǎn)D（0，1），點(diǎn)P是拋物線上的動點(diǎn)，若△PCD是以CD為底的等腰三角形，則點(diǎn)P的坐標(biāo)為 　．
【分析】先計(jì)算出自變量為0時(shí)所對應(yīng)的二次函數(shù)值得到C點(diǎn)坐標(biāo)，則過CD中點(diǎn)與x軸平行的直線為y＝2，再利用等腰三角形的性質(zhì)得點(diǎn)P為直線y＝2與拋物線y＝﹣x2+2x+3的交點(diǎn)，然后解方程﹣x2+2x+3＝2即可確定P點(diǎn)坐標(biāo)．
【解答】解：當(dāng)x＝0時(shí)，y＝﹣x2+2x+3＝3，則C（0，3），
∵△PCD是以CD為底的等腰三角形，
∴點(diǎn)P為直線y＝2與拋物線y＝﹣x2+2x+3的交點(diǎn)，
當(dāng)y＝2時(shí)，﹣x2+2x+3＝2，解得x1＝1+，x2＝1﹣，
∴P點(diǎn)坐標(biāo)為（1+，2）或（1﹣，2）．
故答案為（1+，2）或（1﹣，2）．
9．（2023 蓬江區(qū)一模）如圖是二次函數(shù)y＝ax2+bx+c（a，b，c是常數(shù)，a≠0）圖象的一部分，與x軸的交點(diǎn)A在點(diǎn)（2，0）和（3，0）之間，對稱軸是直線x＝1，對于下列說法：①；②2a+b＝0；③3a+c＞0；④a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）；⑤當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y＞0，其中正確的有 　 　（填序號）．
【分析】由拋物線的開口方向判斷a與0的關(guān)系，然后根據(jù)對稱軸判定b與0的關(guān)系以及2a+b＝0；當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c；然后由圖象確定當(dāng)x取何值時(shí)，y＞0．
【解答】解：①∵頂點(diǎn)在x軸的上方，
∴，即，故正確；
②∵對稱軸x＝﹣＝1，
∴2a+b＝0；故正確；
③∵2a+b＝0，
∴b＝﹣2a，
∵當(dāng)x＝﹣1時(shí)，y＝a﹣b+c＜0，
∴a﹣（﹣2a）+c＝3a+c＜0，故錯(cuò)誤；
④根據(jù)圖示知，當(dāng)x＝1時(shí)，有最大值；
當(dāng)m≠1時(shí)，有am2+bm+c＜a+b+c，
所以a+b≥m（am+b）（m為實(shí)數(shù)）．
故正確；
⑤如圖，當(dāng)﹣1＜x＜3時(shí)，y不只是大于0．
故錯(cuò)誤．
故答案為：①②④．
10．（2023 南海區(qū)模擬）今年以來，我省接待的游客人數(shù)逐月增加，據(jù)統(tǒng)計(jì)，某景區(qū)的游客人數(shù)三月份為5萬人，五月份為7.2萬人．
（1）求四月和五月這兩個(gè)月中，該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長百分之幾；
（2）該景區(qū)的門票價(jià)格為100元/人，依據(jù)往年數(shù)據(jù)，六月份購票人數(shù)約2萬，門票價(jià)格每降低2元，游客人數(shù)增加500人，問當(dāng)票價(jià)定為多少元時(shí)，可以使得門票收入最高？
【分析】（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為x，根據(jù)增長率問題應(yīng)用題列出方程，解之即可；
（2）設(shè)丙種門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，由題意可得W＝（100﹣m）×（20000+），然后根據(jù)二次函數(shù)的性質(zhì)即可得結(jié)果．
【解答】解：（1）設(shè)四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為x，
由題意，得5（1+x）2＝7.2，
解這個(gè)方程，得x1＝0.2，x2＝﹣2.2（舍去），
答：四月和五月這兩個(gè)月中該景區(qū)游客人數(shù)平均每月增長率為20%；
（2）設(shè)門票價(jià)格降低m元，景區(qū)六月份的門票總收入為W萬元，
由題意，得
W＝（100﹣m）×（20000+），
化簡，得W＝﹣250m2+5000m+2000000
＝﹣250（m﹣10）2+2025000，
∵﹣25＜0，
∴當(dāng)m＝10時(shí)，W取最大值，為2025000萬元．
票價(jià)定為100﹣10＝90元時(shí)，可以使得門票收入最高．
答：當(dāng)票價(jià)定為90元時(shí)，可以使得門票收入最高．
11．（2023 天河區(qū)二模）已知函數(shù)和函數(shù)y2＝（n+2）x﹣2n﹣3，其中，m，n為常數(shù)，且n≠﹣2，記函數(shù)y1的頂點(diǎn)為P．
（1）當(dāng)m＝0時(shí)，點(diǎn)P恰好在函數(shù)y2的圖象上，求n的值；
（2）隨著m的變化，點(diǎn)P是否都在某一條拋物線上？如果是，求出該拋物線的解析式，如果不是，請說明理由；
（3）當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，總有y2＜y1，求m﹣n的取值范圍．
【分析】（1）把m＝0代入得＝﹣（x﹣1）2+2，則P（1，2），再將點(diǎn)P的坐標(biāo)代入函數(shù)y2的解析式中即可求解；
（2）將函數(shù)y1化為頂點(diǎn)式得y1＝，在P，設(shè)a＝，則m＝2a﹣2，將其代入中即可求解；
（3）由y2＜y1可得（n+2）x﹣2n﹣3＜﹣x2+（m+2）x﹣2m+1，化簡得x+2＞m﹣n，根據(jù)總有y2＜y1可得m﹣n小于x+2的最小值，以此即可求解
【解答】解：（1）當(dāng)m＝0時(shí)，＝﹣（x﹣1）2+2，
∴此時(shí)，頂點(diǎn)P的坐標(biāo)為（1，2），
∵點(diǎn)P在函數(shù)y2的圖象上，
∴n+2﹣2n﹣3＝2，
解得：n＝﹣3；
（2）∵＝，
∴P，
設(shè)a＝，則m＝2a﹣2，
∴yP＝＝a2﹣4a+5，
∴點(diǎn)P是在拋物線y＝x2﹣4x+5上運(yùn)動；
（3）∵y2＜y1，
∴（n+2）x﹣2n﹣3＜﹣x2+（m+2）x﹣2m+1，
整理得：x2﹣4＜（m﹣n）（x﹣2），
∴（x+2）（x﹣2）＜（m﹣n）（x﹣2），
∵﹣1＜x＜2，
∴x﹣2＜0，
∴x+2＞m﹣n，
∵當(dāng)﹣1＜x＜2時(shí)，總有y2＜y1，
∴m﹣n小于x+2的最小值，∵x+2＞1
∴m﹣n≤1．
12．（2023 東莞市二模）如圖，在平面直角坐標(biāo)系xOy中，已知拋物線y＝x2+bx經(jīng)過點(diǎn)A（2，0）和點(diǎn)B（﹣1，m），頂點(diǎn)為點(diǎn)D．
（1）求直線AB的表達(dá)式；
（2）求tan∠ABD的值；
（3）設(shè)線段BD與x軸交于點(diǎn)P，如果點(diǎn)C在x軸上，且△ABC與△ABP相似，求點(diǎn)C的坐標(biāo)．
【分析】（1）將A（2，0）代入y＝x2+bx，求出拋物線解析式，再將B（﹣1，m）代入y＝x2﹣2x，求出m的值，然后用待定系數(shù)法求直線AB的解析式即可；
（2）利用勾股定理判定△ABD是直角三角形，即可求解；
（3）求出P點(diǎn)坐標(biāo)（，0），設(shè)C（t，0），當(dāng)∠ABC＝∠APB時(shí)，△AB

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