資源簡(jiǎn)介

習(xí)題課　數(shù)列求和(一)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.熟練掌握等差數(shù)列和等比數(shù)列的求和公式.
2.掌握分組求和、倒序相加法求和、并項(xiàng)求和、裂項(xiàng)相消法求和等數(shù)列求和的方法．
一、分組求和與倒序相加法求和
例1　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，a1＝t，點(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上．
(1)當(dāng)實(shí)數(shù)t為何值時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列？
(2)在(1)的結(jié)論下，設(shè)bn＝log4an＋1，cn＝an＋bn，Tn是數(shù)列{cn}的前n項(xiàng)和，求Tn.
反思感悟　分組求和的適用題型
一般情況下形如cn＝an±bn，其中數(shù)列{an}與一個(gè)是等差數(shù)列，另一個(gè)是等比數(shù)列，求數(shù)列的前n項(xiàng)和，分別利用等差數(shù)列和等比數(shù)列的前n項(xiàng)和公式求和即可．
跟蹤訓(xùn)練1　設(shè)等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，等比數(shù)列{bn}的各項(xiàng)都為正數(shù)，且滿足a1＝b1＝2，a3＝b1＋b2，S3＝b3＋4.
(1)求{an}，{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記cn＝(k∈N*)，求數(shù)列{cn}的前21項(xiàng)的和．(答案可保留指數(shù)冪的形式)
例2　已知函數(shù)f(x)對(duì)任意的x∈R，都有f(x)＋f(1－x)＝1，若數(shù)列{an}滿足an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)，求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式．
反思感悟　倒序相加法求和適合的題型
一般情況下，數(shù)列項(xiàng)數(shù)較多，且距首末等距離的項(xiàng)之間隱含某種關(guān)系，需要結(jié)合題意主動(dòng)發(fā)現(xiàn)這種關(guān)系，利用推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和公式的方法，倒序相加求和．
跟蹤訓(xùn)練2　德國(guó)數(shù)學(xué)家高斯是近代數(shù)學(xué)奠基者之一，有“數(shù)學(xué)王子”之稱，在歷史上有很大的影響．他幼年時(shí)就表現(xiàn)出超人的數(shù)學(xué)天賦，10歲時(shí)，他在進(jìn)行1＋2＋3＋…＋100的求和運(yùn)算時(shí)，就提出了倒序相加法的原理，該原理基于所給數(shù)據(jù)前后對(duì)應(yīng)項(xiàng)的和呈現(xiàn)一定的規(guī)律生成，因此，此方法也稱為高斯算法．已知數(shù)列an＝，則a1＋a2＋…＋a98等于(　　)
A．96 B．97 C．98 D．99
二、拆項(xiàng)、并項(xiàng)求和
例3　已知數(shù)列an＝(－1)nn，求數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和Sn.
反思感悟　并項(xiàng)求和法適用的題型
一般地，對(duì)于擺動(dòng)數(shù)列適用于并項(xiàng)求和，此類問(wèn)題需要對(duì)項(xiàng)數(shù)的奇偶性進(jìn)行分類討論，有些擺動(dòng)型的數(shù)列也可采用分組求和．若擺動(dòng)數(shù)列為等比數(shù)列，也可用等比數(shù)列求和公式．
跟蹤訓(xùn)練3　已知數(shù)列{an}滿足an＝(－1)nn2，則a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1等于(　　)
A．－(n＋1)(2n＋1) B．(n＋1)(2n＋1)
C．－n(n＋1) D．n(n＋1)
三、裂項(xiàng)相消法求和
知識(shí)梳理　
常見(jiàn)的裂項(xiàng)求和的形式：
(1)＝；
(2)＝；
(3)＝－；
(4)＝；
(5)＝－；
(6)ln＝ln(n＋1)－ln n；
(7)＝；
(8)(－1)nlog3[n(n＋1)]＝(－1)n[log3n＋log3(n＋1)]；
(9)＝(－1)n.
例4　已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，滿足S2＝2，S4＝16，{an＋1}是等比數(shù)列．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)若an>0，設(shè)bn＝log2(3an＋3)，求數(shù)列的前n項(xiàng)和．
反思感悟　(1)把數(shù)列的每一項(xiàng)拆成兩項(xiàng)之差，求和時(shí)有些部分可以相互抵消，從而達(dá)到求和的目的．
(2)裂項(xiàng)原則：一般是前邊裂幾項(xiàng)，后邊就裂幾項(xiàng)直到發(fā)現(xiàn)被消去項(xiàng)的規(guī)律為止．
(3)消項(xiàng)規(guī)律：消項(xiàng)后前邊剩幾項(xiàng)，后邊就剩幾項(xiàng)，前邊剩第幾項(xiàng)，后邊就剩倒數(shù)第幾項(xiàng)．
跟蹤訓(xùn)練4　已知數(shù)列{an}滿足a1＝1，an＋1＝2an＋1(n∈N*)．
(1)記bn＝an＋1，證明：數(shù)列{bn}為等比數(shù)列，并求數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式；
(2)記數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和為Tn，證明：＋＋…＋<.
1．知識(shí)清單：
(1)分組求和．
(2)倒序相加求和．
(3)并項(xiàng)求和．
(4)裂項(xiàng)相消求和．
2．方法歸納：公式法、分類討論法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：
(1)并項(xiàng)求和易忽略總項(xiàng)數(shù)的奇偶．
(2)裂項(xiàng)相消求和易忽略正負(fù)項(xiàng)個(gè)數(shù)是否相同．
1．冬春季節(jié)是流感多發(fā)期，某地醫(yī)院近30天每天入院治療流感的人數(shù)依次構(gòu)成數(shù)列{an}，已知a1＝1，a2＝2，且滿足an＋2－an＝1＋n(n∈N*)，則該醫(yī)院30天入院治療流感的共有(　　)
A．225人 B．255人
C．365人 D．465人
2．設(shè)Sn為數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和，an＝1＋2＋22＋…＋2n－1，則Sn的值為(　　)
A．2n－1 B．2n－1－1
C．2n－n－1 D．2n＋1－n－2
3．已知數(shù)列{an}滿足a1＋3a2＋…＋(2n－1)an＝2n，則數(shù)列的前10項(xiàng)和為(　　)
A. B. C. D.
4．已知f(x)＝，利用課本中推導(dǎo)等差數(shù)列前n項(xiàng)和的公式的方法，可求得f ＋f ＋…＋f ＝________.
習(xí)題課　數(shù)列求和(一)
例1　解　(1)因?yàn)辄c(diǎn)(Sn，an＋1)在直線y＝3x＋1上，
所以an＋1＝3Sn＋1，當(dāng)n≥2時(shí)，
an＝3Sn－1＋1.
于是an＋1－an＝3(Sn－Sn－1)，
即an＋1－an＝3an，即an＋1＝4an.
又當(dāng)n＝1時(shí)，
a2＝3S1＋1，即a2＝3a1＋1＝3t＋1，
所以當(dāng)t＝1時(shí)，a2＝4a1，此時(shí)，數(shù)列{an}是等比數(shù)列．
(2)由(1)，可得an＝4n－1，an＋1＝4n，
所以bn＝log4an＋1＝n，cn＝4n－1＋n，
那么Tn＝c1＋c2＋…＋cn
＝(40＋1)＋(41＋2)＋…＋(4n－1＋n)
＝(40＋41＋…＋4n－1)＋(1＋2＋…＋n)
＝＋.
跟蹤訓(xùn)練1　解　(1)設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，正項(xiàng)等比數(shù)列{bn}的公比為q(q>0)，依題意，
解得d＝q＝2，
所以數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝2n，
數(shù)列{bn}的通項(xiàng)公式為bn＝2n.
(2)由(1)知，a2k－1＝4k－2，數(shù)列{a2k－1}是等差數(shù)列，首項(xiàng)為2，公差為4，
b2k＝22k＝4k，數(shù)列{b2k}是等比數(shù)列，首項(xiàng)為4，公比為4，
而cn＝(k∈N*)，
則數(shù)列{cn}的前21項(xiàng)的和
T21＝(a1＋a3＋…＋a21)＋(b2＋b4＋…＋b20)
＝11×2＋11××4＋
＝，
所以數(shù)列{cn}的前21項(xiàng)的和為.
例2　解　∵f(x)＋f(1－x)＝1，
∴f ＋f ＝1.
∵an＝f(0)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(1)，①
∴an＝f(1)＋f ＋f ＋…＋f ＋f(0)，②
①＋②得2an＝n＋1，
∴an＝，故數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式為an＝.
跟蹤訓(xùn)練2　C　[S＝a1＋a2＋…＋a97＋a98
＝＋＋…＋＋，
S＝a98＋a97＋…＋a2＋a1
＝＋＋…＋＋，
兩式相加得，
2S＝
＋
＝＋＋…＋＋＝98×2，
∴S＝98.]
例3　解　方法一　若n是偶數(shù)，則Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋[－(n－1)＋n]＝.
若n是奇數(shù)，則Sn＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋(－5＋6)＋…＋(－n)＝－n＝－.
綜上所述，Sn＝n∈N*.
方法二　可采用分組求和(略)．
跟蹤訓(xùn)練3　A　[a1＋a2＋a3＋…＋a2n＋1
＝－12＋22－32＋42－52＋…＋(2n)2－(2n＋1)2
＝－1＋(22－32)＋(42－52)＋…＋[(2n)2－(2n＋1)2]
＝－1－(2＋3)－(4＋5)－…－(2n＋2n＋1)
＝－[1＋2＋3＋4＋5＋…＋(2n＋1)]
＝－
＝－(n＋1)(2n＋1)．]
例4　解　(1)設(shè)等比數(shù)列{an＋1}的公比為q，其前n項(xiàng)和為Tn，
因?yàn)镾2＝2，S4＝16，所以T2＝4，T4＝20，
易知q≠1，所以T2＝＝4，①
T4＝＝20，②
由得1＋q2＝5，解得q＝±2.
當(dāng)q＝2時(shí)，a1＝，
所以an＋1＝×2n－1＝；
當(dāng)q＝－2時(shí)，a1＝－5，
所以an＋1＝(－4)×(－2)n－1
＝－(－2)n＋1.
所以an＝－1或
an＝－(－2)n＋1－1.
(2)因?yàn)閍n>0，所以an＝－1，
所以bn＝log2(3an＋3)＝n＋1，
所以＝＝－，
所以數(shù)列的前n項(xiàng)和為
＋＋…
＋
＝－＝.
跟蹤訓(xùn)練4　(1)解　由an＋1＝2an＋1，可得an＋1＋1＝2(an＋1)，
所以{bn}是以首項(xiàng)為a1＋1＝2，
公比為2的等比數(shù)列，
所以bn＝an＋1＝2n.
(2)證明　易得Tn＝
＝2(2n－1)，
于是＝＝－
＝，
所以＋＋…＋＝
＝，
因?yàn)?0，
所以＋＋…＋<.
隨堂演練
1．B　2.D　3.C　4.2 022習(xí)題課　數(shù)列求和(二)
[學(xué)習(xí)目標(biāo)]　
1.熟練掌握等差和等比數(shù)列前n項(xiàng)和的結(jié)構(gòu)特點(diǎn)以及各個(gè)符號(hào)的意義.
2.掌握錯(cuò)位相減法的一般過(guò)程和思路以及數(shù)列求和中的創(chuàng)新問(wèn)題．
一、錯(cuò)位相減法
例1　求和：Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn(x≠0)．
反思感悟　(1)一般地，如果數(shù)列{an}是等差數(shù)列，{bn}是等比數(shù)列，求數(shù)列{an·bn}的前n項(xiàng)和時(shí)，可采用錯(cuò)位相減法．
(2)用錯(cuò)位相減法求和時(shí)，應(yīng)注意：
①要善于識(shí)別題目類型，特別是等比數(shù)列公比為負(fù)數(shù)的情形．
②在寫出“Sn”與“qSn”的表達(dá)式時(shí)應(yīng)特別注意將兩式“錯(cuò)項(xiàng)對(duì)齊”，以便于下一步準(zhǔn)確地寫出“Sn－qSn”的表達(dá)式．
跟蹤訓(xùn)練1　(1)已知數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且Sn＝2an－2(n∈N*)．
①求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
②若bn＝，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
(2)在①Sn＝2n－3n－1，②an＋1＝2an＋3，a1＝－2這兩個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面的問(wèn)題中，并作答．設(shè)數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且________．
(ⅰ)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(ⅱ)若bn＝n·(an＋3)，求數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
二、數(shù)列求和中的創(chuàng)新問(wèn)題
例2　在①S3＝6，S5＝15；②公差為1，且a2，a4，a8成等比數(shù)列；③a1＝1，a2＋a3＋a5＋a6＝16，三個(gè)條件中任選一個(gè)，補(bǔ)充在下面問(wèn)題中，并給出解答．
問(wèn)題：已知等差數(shù)列{an}的前n項(xiàng)和為Sn，且滿足________．
(1)求數(shù)列{an}的通項(xiàng)公式；
(2)令cn＝[lg an ]，其中[x]表示不超過(guò)x的最大整數(shù)，求c1＋c2＋…＋c2 023.
注：如果選擇多個(gè)條件分別解答，按第一個(gè)解答計(jì)分．
反思感悟　數(shù)列求和中的創(chuàng)新問(wèn)題往往和函數(shù)、不等式、平面幾何等實(shí)際問(wèn)題相結(jié)合，重點(diǎn)考查數(shù)列求和的應(yīng)用意識(shí)．
跟蹤訓(xùn)練2　“提丟斯數(shù)列”，是由18世紀(jì)德國(guó)數(shù)學(xué)家提丟斯給出，具體如下：0,3,6,12,24,48,96,192，…，容易發(fā)現(xiàn)，從第3項(xiàng)開(kāi)始，每一項(xiàng)是前一項(xiàng)的2倍；將每一項(xiàng)加上4得到一個(gè)數(shù)列：4,7,10,16,28,52,100,196，…；再將每一項(xiàng)除以10后得到：“提丟斯數(shù)列”：0.4,0.7,1.0,1.6,2.8,5.2,10.0，…，則下列說(shuō)法中，正確的是(　　)
A．“提丟斯數(shù)列”是等比數(shù)列
B．“提丟斯數(shù)列”的第99項(xiàng)為
C．“提丟斯數(shù)列”前31項(xiàng)和為＋
D．“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)20的有9項(xiàng)
1．知識(shí)清單：
(1)錯(cuò)位相減法求和．
(2)創(chuàng)新求和問(wèn)題．
2．方法歸納：公式法、錯(cuò)位相減法、列舉法．
3．常見(jiàn)誤區(qū)：
(1)錯(cuò)位相減法中要注意項(xiàng)的符號(hào)以及化簡(jiǎn)合并．
(2)創(chuàng)新求和問(wèn)題有時(shí)可用列舉法．
1．化簡(jiǎn)Sn＝n＋(n－1)×2＋(n－2)×22＋…＋2×2n－2＋2n－1的結(jié)果是(　　)
A．2n＋1＋n－2
B．2n＋1－n＋2
C．2n－n－2
D．2n＋1－n－2
2．已知數(shù)列{an}中，a1＝，an＋1＝an＋(n∈N*)，則數(shù)列{an}的前10項(xiàng)的和為(　　)
A. B. C. D.
3．已知數(shù)列{an}滿足an＝
定義使a1·a2·a3·…·ak(k∈N*)為整數(shù)的k叫做“幸福數(shù)”，則區(qū)間[1,2 023]內(nèi)所有“幸福數(shù)”的和為_(kāi)_______．
4.楊輝三角是二項(xiàng)式系數(shù)在三角形中的一種幾何排列，在中國(guó)南宋數(shù)學(xué)家楊輝1261年所著的《詳解九章算法》一書中就有出現(xiàn)．在歐洲，帕斯卡(1623～1662)在1654年發(fā)現(xiàn)這一規(guī)律，比楊輝要遲了393年．如圖所示，在“楊輝三角”中，從1開(kāi)始箭頭所指的數(shù)組成一個(gè)鋸齒形數(shù)列：1,2,3,3,6,4,10,5，…，則在該數(shù)列中，第37項(xiàng)是________．
習(xí)題課　數(shù)列求和(二)
例1　解　當(dāng)x＝1時(shí)，Sn＝1＋2＋3＋…＋n＝；
當(dāng)x≠1時(shí)，Sn＝x＋2x2＋3x3＋…＋nxn，
xSn＝x2＋2x3＋3x4＋…＋(n－1)xn＋nxn＋1，
∴(1－x)Sn
＝x＋x2＋x3＋…＋xn－nxn＋1
＝－nxn＋1，
∴Sn＝－.
綜上可得，
Sn＝
跟蹤訓(xùn)練1　(1)解?、僖?yàn)镾n＝2an－2，當(dāng)n＝1時(shí)，S1＝2a1－2，解得a1＝2，
當(dāng)n≥2時(shí)，Sn－1＝2an－1－2，
所以an＝Sn－Sn－1
＝(2an－2)－(2an－1－2)
＝2an－2an－1，
即an＝2an－1(n≥2)．
所以數(shù)列{an}是首項(xiàng)為2，
公比為2的等比數(shù)列，
故an＝2×2n－1＝2n.
②由①知an＝2n，
則bn＝＝＝，
所以Tn＝＋＋＋…＋，①
Tn＝＋＋…＋＋，②
①－②得Tn＝
1＋－
＝1＋－
＝1＋－－
＝－.
所以數(shù)列{bn}的前n項(xiàng)和Tn＝3－.
(2)解　(ⅰ)若選①：∵Sn＝2n－3n－1，
∴當(dāng)n≥2時(shí)，an＝Sn－Sn－1＝2n－3n－1－[2n－1－3(n－1)－1]＝2n－1－3，
又當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝S1＝－2滿足上式，
故an＝2n－1－3.
若選②：由an＋1＝2an＋3，a1＝－2，
易得an＋1＋3＝2(an＋3)，
于是數(shù)列{an＋3}是以a1＋3＝1為首項(xiàng)，2為公比的等比數(shù)列，
∴an＋3＝2n－1，∴an＝2n－1－3.
(ⅱ)由(ⅰ)得bn＝n·2n－1，
從而Tn＝1×20＋2×21＋3×22＋…＋n·2n－1，
2Tn＝1×21＋2×22＋3×23＋…＋n·2n，
作差得－Tn＝20＋21＋22＋…＋2n－1－n·2n
＝－n·2n＝(1－n)2n－1，
于是Tn＝(n－1)2n＋1.
例2　解　(1)選①，
設(shè)等差數(shù)列{an}的公差為d，
因?yàn)镾3＝6，S5＝15，
所以
解得a1＝d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
選②，
因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，公差為1，
且a2，a4，a8成等比數(shù)列，
所以a2a8＝a，
即(a1＋1)(a1＋7)＝(a1＋3)2，
解得a1＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
選③，
因?yàn)榈炔顢?shù)列{an}中，a1＝1，
a2＋a3＋a5＋a6＝16，
所以4a1＋12d＝16，
即4＋12d＝16，
解得d＝1，
所以an＝a1＋(n－1)d＝n.
(2)由(1)知cn＝[lg an]＝[lg n]，
因?yàn)閏1＝[lg 1]＝0，c10＝[lg 10]＝1，
c100＝[lg 100]＝2，c1 000＝[lg 1 000]＝3，
所以當(dāng)1≤n≤9時(shí)，cn＝0，
當(dāng)10≤n≤99時(shí)，cn＝1，
當(dāng)100≤n≤999時(shí)，cn＝2，
當(dāng)1 000≤n≤2 023時(shí)，cn＝3，
所以c1＋c2＋…＋c2 023＝0＋90×1＋900×2＋(2 023－999)×3＝4 962.
跟蹤訓(xùn)練2　C　[記“提丟斯數(shù)列”為數(shù)列{an}，則當(dāng)n≥3時(shí)，10an－4＝6·2n－3，解得an＝；
當(dāng)n＝2時(shí)，a2＝0.7，符合該式；
當(dāng)n＝1時(shí)，a1＝0.55≠0.4；
∴an＝
“提丟斯數(shù)列”不是等比數(shù)列，
故A錯(cuò)誤；
“提丟斯數(shù)列”的第99項(xiàng)為a99＝，故B錯(cuò)誤；
“提丟斯數(shù)列”前31項(xiàng)和為S31＝0.4＋30×＋×
＝12.4＋×＝＋，故C正確；
由an≤20，得a1＝0.55，成立；
n≥2時(shí)，an＝≤20，
即2n≤，解得n≤8，
a8＝＝19.6，a9＝＝38.8，
∴“提丟斯數(shù)列”中，不超過(guò)20的有8項(xiàng)，故D錯(cuò)誤．]
隨堂演練
1．D　2.C　3.2 036　4.190

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