資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
19.3.4 菱形的性質(zhì)和判定（第2課時）
學(xué)習(xí)目標(biāo) ：
1.復(fù)習(xí)并鞏固菱形的概念和性質(zhì)，注意菱形性質(zhì)的運用；
2.探索菱形的判定方法.
學(xué)習(xí)重難點 ：
重點是掌握菱形的判定，難點是菱形判定定理的準(zhǔn)確應(yīng)用．
學(xué) 法 指 導(dǎo) ：
自學(xué)課本第87-88頁內(nèi)容，根據(jù)菱形的性質(zhì)，討論總結(jié)菱形的多種判定方法.
課前自主預(yù)習(xí)問題：
1.根據(jù)菱形的定義，應(yīng)該說： 的平行四邊形是菱形，這是菱形的判定方法之一.
2.根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)，從邊的角度說： 的四邊形是菱形，這是菱形的判定方法之二.注意，僅從角的角度考慮，有什么條件判斷某四邊形是菱形嗎？
3.根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)，從對角線的角度，你能猜想到：對角線 的平行四邊形是菱形，對角線 的四邊形是菱形. 這是判定方法三.
課堂合作學(xué)習(xí)，探究新知——學(xué)生交流展示：
1.我們知道：如果四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形一定是平行四邊形.能判定這個四邊形一定是菱形嗎？為什么？
2. 操作探究：
（1）如右圖，以點A為端點任意畫兩條線段
AB = AD，再分別以點B、D為圓心，AB長為半徑畫
弧，兩弧相交于點C，連接BC、DC,四邊形ABCD是
菱形嗎？為什么？
結(jié)論：定理1 .
（2）如右圖，畫兩條互相垂直的直線l1和l2，兩直線相交于點O，在l1上取兩點A、C,使OA = OC, 在l2上取兩點B、D,使OB = OD,順次連接AB、BC、
CD、DA,四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？
結(jié)論：定理2 .
此結(jié)論的另一種說法是：
.
3.精典例題.
例6如圖19-41,在 ABCD中，AC = 8, BD =6,
AB =5,求AD的長
自結(jié)測試：
1.如圖，已知，，將沿邊翻折，得到的與原拼成的四邊形是菱形、其依據(jù)正確的是（ ）
A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相平分的四邊形是菱形
2．下列說法中正確的是（ ）
A．有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是矩形
3.如圖，在給定的平行四邊形上，作一個菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分別以、為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交于點，連接，則四邊形為菱形；乙：以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，作的垂直平分線交于，則四邊形為菱形；根據(jù)兩人的做法可判斷（ ）
甲正確，乙錯誤 B．乙正確，甲錯誤
C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤
4.在的兩邊上分別截取線段、，使；分別以點、為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；連接、、、．若，四邊形的面積為，則的長為 ．
拓展性訓(xùn)練
5.已知，是△ABC的角平分線，交AB于點E，交于點F．求證：四邊形是菱形．
6.如圖，在中，點，分別在，上，連接，，，若，．求證：四邊形是菱形．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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19.3.4 菱形的性質(zhì)和判定（第2課時）
學(xué)習(xí)目標(biāo) ：
1.復(fù)習(xí)并鞏固菱形的概念和性質(zhì)，注意菱形性質(zhì)的運用；
2.探索菱形的判定方法.
學(xué)習(xí)重難點 ：
重點是掌握菱形的判定，難點是菱形判定定理的準(zhǔn)確應(yīng)用．
學(xué) 法 指 導(dǎo) ：
自學(xué)課本第87-88頁內(nèi)容，根據(jù)菱形的性質(zhì)，討論總結(jié)菱形的多種判定方法.
課前自主預(yù)習(xí)問題：
1.根據(jù)菱形的定義，應(yīng)該說： 的平行四邊形是菱形，這是菱形的判定方法之一.
【答案】有一組鄰邊相等
2.根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)，從邊的角度說： 的四邊形是菱形，這是菱形的判定方法之二.注意，僅從角的角度考慮，有什么條件判斷某四邊形是菱形嗎？
【答案】四邊都相等；兩組對角分別相等，且一條對角線平分一組對角的四邊形是菱形。
3.根據(jù)菱形的有關(guān)性質(zhì)，從對角線的角度，你能猜想到：對角線 的平行四邊形是菱形，對角線 的四邊形是菱形. 這是判定方法三.
【答案】互相垂直；互相垂直，且一條對角線平分一組對角
課堂合作學(xué)習(xí)，探究新知——學(xué)生交流展示：
1.我們知道：如果四邊形的兩組對邊分別相等，那么這個四邊形一定是平行四邊形.能判定這個四邊形一定是菱形嗎？為什么？
答： 不能判定。因為根據(jù)菱形的定義，兩組鄰邊相等的四邊形是菱形。
2. 操作探究：
（1）如右圖，以點A為端點任意畫兩條線段
AB = AD，再分別以點B、D為圓心，AB長為半徑畫
弧，兩弧相交于點C，連接BC、DC,四邊形ABCD是
菱形嗎？為什么？
【答案】是菱形。因為根據(jù)操作可知，
AD=AB=BC=CD
根據(jù)菱形定義可得ABCD是菱形。
結(jié)論：定理1 .
【答案】四邊都相等的四邊形是菱形。
（2）如右圖，畫兩條互相垂直的直線l1和l2，兩直線相交于點O，在l1上取兩點A、C,使OA = OC, 在l2上取兩點B、D,使OB = OD,順次連接AB、BC、
CD、DA,四邊形ABCD是菱形嗎？為什么？
【答案】是菱形。
根據(jù)操作可知，AO=DO,OC=OB,
可知，ΔADOΔCBO(SAS)
所以，AD=BC,∠DAC=ACB
所以，AD//BD,AD=BC
所以，四邊形ABCD是平行四邊形
因為，DB⊥AC
所以四邊形ABCD是菱形
結(jié)論：定理2 .
【答案】對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
此結(jié)論的另一種說法是：
.
【答案】對角線互相垂直且平分的四邊形是菱形
3.精典例題.
例6如圖19-41,在 ABCD中，AC = 8, BD =6,
AB =5,求AD的長
解.因為四邊形 ABCD是平行四邊形,所以
OA =AC=4,OB=BD=3.
又∵ AB =5,滿足AB2= 0A2 + OB2,
∴ ΔAOB為直角三角形,即OA⊥OB.
∴ ABCD是菱形，AD = AB = 5.
自結(jié)測試：
1.如圖，已知，，將沿邊翻折，得到的與原拼成的四邊形是菱形、其依據(jù)正確的是（ ）
A．四邊相等的四邊形是菱形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．一組鄰邊相等的四邊形是菱形 D．對角線互相平分的四邊形是菱形
【答案】A
【分析】本題主要考查了菱形的判定，折疊的性質(zhì)，根據(jù)折疊的性質(zhì)和已知條件可證明，再由四邊形線段的四邊形是菱形可得答案．
【詳解】解：由折疊的性質(zhì)可得，
又∵，
∴，
∴四邊形是菱形，
故選A．
2．下列說法中正確的是（ ）
A．有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形 B．對角線互相垂直的四邊形是菱形
C．有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形 D．對角線互相垂直平分的四邊形是矩形
【答案】C
【分析】本題考查了矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定；運用矩形的判定，菱形的判定，平行四邊形的性質(zhì)和判定可求解．
【詳解】解：A、有一組對邊平行的四邊形是平行四邊形不一定是平行四邊形（如梯形），故該選項錯誤；
B、對角線互相垂直的四邊形不一定是菱形，故該選項錯誤；
C、有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形，故該選項正確；
D、對角線互相垂直平分的四邊形是菱形，故該選項錯誤；
故選：C．
3.如圖，在給定的平行四邊形上，作一個菱形，甲、乙二人的做法如下：甲：分別以、為圓心，長為半徑畫弧，交于點，交于點，連接，則四邊形為菱形；乙：以為圓心，長為半徑畫弧，交于點，連接，作的垂直平分線交于，則四邊形為菱形；根據(jù)兩人的做法可判斷（ ）
甲正確，乙錯誤 B．乙正確，甲錯誤
C．甲、乙均正確 D．甲、乙均錯誤
【答案】C
【分析】由甲作圖可得，，證明四邊形是平行四邊形，根據(jù)，證明四邊形是菱形，可判斷甲的正誤；由乙作圖可得，，，在的垂直平分線上，，則，四邊形為菱形，進而可判斷乙的正誤．
【詳解】解：由甲作圖可得，，
∵，，
∴四邊形是平行四邊形，
∵，
∴四邊形是菱形，甲正確，故符合要求；
由乙作圖可得，，，在的垂直平分線上，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴，
∴四邊形為菱形，乙正確，故符合要求；
故選：C．
【點睛】本題考查了作垂線，菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等角對等邊．熟練掌握菱形的判定，平行四邊形的判定與性質(zhì)，等角對等邊是解題的關(guān)鍵．
4.在的兩邊上分別截取線段、，使；分別以點、為圓心，長為半徑作弧，兩弧交于點；連接、、、．若，四邊形的面積為，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查菱形的判定和性質(zhì)，根據(jù)作圖得到四邊形為菱形，根據(jù)菱形的面積等于對角線乘積的一半，進行求解即可．
【詳解】解：由作圖可知：，
∴四邊形為菱形，
∴四邊形的面積為，
∴；
故答案為：．
拓展性訓(xùn)練
5.已知，是△ABC的角平分線，交AB于點E，交于點F．求證：四邊形是菱形．
【答案】見解析
【分析】本題考查的是平行四邊形的判定，菱形的判定，平行線的性質(zhì)，等腰三角形的判定，熟練的利用菱形的判定方法進行證明是解本題的關(guān)鍵．
先證明四邊形為平行四邊形，再證明可得從而可得結(jié)論．
【詳解】證明：∵，，
∴四邊形為平行四邊形，
∵是的一條角平分線，
∴
∴
∴四邊形為菱形．
6.如圖，在中，點，分別在，上，連接，，，若，．求證：四邊形是菱形．
【答案】見解析
【分析】本題考查平行四邊形的性質(zhì)、菱形的判定和全等三角形的判定與性質(zhì)．先由平行四邊形的性質(zhì)和題意證明，得到，根據(jù)“有一組鄰邊相等的平行四邊形是菱形”即可證明．
【詳解】證明：四邊形是平行四邊形，
．
，，
，．
．
．
又，，
．
．
是菱形．
21世紀(jì)教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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