資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
19.3.3.菱形的性質和判定（第1課時）
學習目標 ：
1.理解菱形的概念，了解菱形與矩形、平行四邊形的關系；
2.探索菱形的性質，注意菱形性質的運用.
學習重難點 ：
重點是掌握菱形的性質，難點是菱形性質定理的準確、熟練應用．
學 法 指 導 ：
自學課本第86-87頁內容，了解矩形的性質，按導學案內容獨立完成或小組合作完成相應作業.
課前自主預習問題：
1. 的平行四邊形是菱形；
2.菱形與平行四邊形相同，兩組 分別平行且相等，兩組 分別相等，對角線 ；菱形與平行四邊形不同的是有一組鄰邊 ，進而我們推導出它的四條邊都 ；而且菱形的對角線 .
3.菱形的一邊為3cm ，則該它的周長是 .菱形的一個內角為400，則它的其他三個內角分別是 ；若菱形的兩條對角線分別是12cm和16cm，則它的四條邊的長都是 cm,面積是 cm2.一般地，若菱形的兩條對角線分別是a和b，則它的面積為 .
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.用你前面自制的平行四邊形模具演示平行四邊形的移動過程，并注意改變邊的長度，當移動到有一組鄰邊相等時停止，你能得到什么圖形？引出菱形定義．
的平行四邊形是菱形 ；菱形也是一種特殊的平行四邊形.
2.按照上面的定義，在右面的空白處畫一個菱形，
用字母表示出來，度量出它的四條邊的長、四個
角的度數和兩條對角線之間的夾角，還有對角線
與各邊的夾角，記錄如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
∠AOB = , ∠BOC = ；
∠BAC = , ∠DAC = ；∠BCA = , ∠DCA = ；
∠ABD = , ∠CBD = ；∠ADB = , ∠CDB = ；
3.根據以上數據，你能得出菱形的有關性質嗎？請你用文字表達出來：
4.因為菱形是一個軸對稱圖形，你能用等腰三角形的性質或軸對稱的性質證明“菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角”嗎？（畫出相應的圖形）
已知:四邊形ABCD是菱形,對角線AC , BD相交于點O
求證:AC⊥BD
5.精典例題
例5 已知菱形的兩條對角線長分別為a, b,求菱形的面積
自結測試：
菱形的面積為，一條對角線長是，那么菱形的另一條對角線長為（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，在菱形中，，，，分別是，的中點，，相交于點，連接，，有下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
3.如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
4.如圖，菱形中，，邊，E為邊的中點，P為邊上的一點，連接，當時，線段的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
5.如圖，菱形的對角線，相交于點，為中點，，則菱形的周長為 ．
6．邊長為的菱形，一條對角線長是，則菱形的面積是 ．
7.如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點，在菱形的對角線上．
(1)求證：；
(2)若為中點，，求的長．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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19.3.3.菱形的性質和判定（第1課時）
學習目標 ：
1.理解菱形的概念，了解菱形與矩形、平行四邊形的關系；
2.探索菱形的性質，注意菱形性質的運用.
學習重難點 ：
重點是掌握菱形的性質，難點是菱形性質定理的準確、熟練應用．
學 法 指 導 ：
自學課本第86-87頁內容，了解矩形的性質，按導學案內容獨立完成或小組合作完成相應作業.
課前自主預習問題：
1. 的平行四邊形是菱形；
【答案】有一組鄰邊相等
2.菱形與平行四邊形相同，兩組 分別平行且相等，兩組 分別相等，對角線 ；菱形與平行四邊形不同的是有一組鄰邊 ，進而我們推導出它的四條邊都 ；而且菱形的對角線 .
【答案】對邊，對角，互相平分，相等，相等，互相垂直
3.菱形的一邊為3cm ，則該它的周長是 .菱形的一個內角為400，則它的其他三個內角分別是 ；若菱形的兩條對角線分別是12cm和16cm，則它的四條邊的長都是 cm,面積是 cm2.一般地，若菱形的兩條對角線分別是a和b，則它的面積為 .
【答案】12cm,1400,400,1400,400,3，5,96,ab
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.用你前面自制的平行四邊形模具演示平行四邊形的移動過程，并注意改變邊的長度，當移動到有一組鄰邊相等時停止，你能得到什么圖形？引出菱形定義．
的平行四邊形是菱形 ；菱形也是一種特殊的平行四邊形.
【答案】有一組鄰邊相等
2.按照上面的定義，在右面的空白處畫一個菱形，
用字母表示出來，度量出它的四條邊的長、四個
角的度數和兩條對角線之間的夾角，還有對角線
與各邊的夾角，記錄如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
∠AOB = , ∠BOC = ；
∠BAC = , ∠DAC = ；∠BCA = , ∠DCA = ；
∠ABD = , ∠CBD = ；∠ADB = , ∠CDB = ；
【答案】5，5，5，5；600，1200，600，1200，
900，900，600，600，600，600，300，300，300，300
3.根據以上數據，你能得出菱形的有關性質嗎？請你用文字表達出來：
①菱形的四條邊都相等
②菱形的對角線互相垂直
4.因為菱形是一個軸對稱圖形，你能用等腰三角形的性質或軸對稱的性質證明“菱形的對角線互相垂直，并且每條對角線平分一組對角”嗎？（畫出相應的圖形）
已知:四邊形ABCD是菱形,對角線AC , BD相交于點O
求證:AC⊥BD
證明:
∵ABCD是萎形
∴AO=CO (平行四邊形對角線互相平分)
∵AB=BC
∴AC⊥BD (等腰三角形三線合一 )
∵ABCD是萎形
∴∠DAC=∠DCA
∵ΔAD0ΔCB0(Hl)
∴∠DAC=∠ACB
∴∠DCA=∠ACB
所以，每條對角線平分一組對角。
5.精典例題
例5 已知菱形的兩條對角線長分別為a, b,求菱形的面積
解：設菱形ABCD的兩條對角線AC, BD相交于點0(圖19-38).AC=a,BD=b.
因為四邊形ABCD是菱形,所以
AC⊥BD. (菱形的對角線互相垂直)
所以，S菱形ABCD = SΔABD +SΔCBD
=BD·AO +BD·OC
=BD·(AO+0C)
=BD .AC =ab.
自結測試：
菱形的面積為，一條對角線長是，那么菱形的另一條對角線長為（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的面積公式；
設菱形的另一條對角線長為，根據菱形的面積公式列方程求解即可．
【詳解】解：設菱形的另一條對角線長為，
由題意得：，
解得：，
即菱形的另一條對角線長為，
故選：D．
2.如圖，在菱形中，，，，分別是，的中點，，相交于點，連接，，有下列結論：①；②；③；④，其中正確的結論有（ ）
A．1個 B．2個 C．3個 D．4個
【答案】C
【分析】根據菱形的性質和，可知是等邊三角形，是等邊三角形，根據等邊三角形的性質可得，，即可判斷①；根據可證，根據全等三角形的性質可得，再根據含角的直角三角形的性質可判斷②；根據為直角三角形，可知，進一步可知，即可判斷③；根據勾股定理可得，再根據三角形面積的求法即可判斷④．從而得出答案．
【詳解】解：在菱形中，，
，
，
是等邊三角形，是等邊三角形，
，，
，分別是，的中點，
，
，
，，
，
故①正確；
在和中，
，
，
，
，
，
，
，
故②正確；
為直角三角形，
，
，
與不全等，
故③錯誤；
∵菱形，，
∴
，，，
根據勾股定理，得，
，
故④正確，
故正確的有①②④，共3個，
故選：C．
【點睛】本題考查了菱形的性質，全等三角形的判定和性質，等邊三角形的判定和性質，直角三角形的性質，三角形的面積等，熟練掌握菱形的性質是解題的關鍵．
3.如圖，在菱形中，，的垂直平分線交對角線于點F，E為垂足，連接，則的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】先連接，根據線段垂直平分線的性質得，再根據菱形的性質得到，再證明，進而得出，，可知，然后根據等腰三角形的性質得，進而得出答案．
【詳解】連接．
∵是的垂直平分線，
∴．
∵四邊形是菱形，
∴．，，，
∴，
∵，
∴，
∴，，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
【點睛】此題考查了菱形的性質、全等三角形的判定和性質、垂直平分線的性質、等腰三角形的判定和性質等知識，證明是解題的關鍵．
4.如圖，菱形中，，邊，E為邊的中點，P為邊上的一點，連接，當時，線段的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】D
【分析】本題考查了菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理等知識．熟練掌握菱形的性質，等邊三角形的判定與性質，勾股定理是解題的關鍵．
如圖，連接，證明是等邊三角形，則，，根據，計算求解即可．
【詳解】解：如圖，連接，
∵菱形，
∴，
∵，
∴是等邊三角形，
∵E為邊的中點，
∴，
∴，
∴，
故選：D．
5.如圖，菱形的對角線，相交于點，為中點，，則菱形的周長為 ．
【答案】
【分析】此題考查了菱形的性質和中位線定理，解題的關鍵是熟練掌握菱形的性質和中位線定理的應用．
【詳解】∵四邊形是菱形，
∴，，
∵為中點，
∴，
∴，
∴菱形的周長為，
故答案為：．
6．邊長為的菱形，一條對角線長是，則菱形的面積是 ．
【答案】/24平方厘米
【分析】此題主要考查了菱形的性質．根據菱形對角線垂直且互相平分，即可得出菱形的另一條對角線的長，再利用菱形的面積公式求出即可．
【詳解】解：如圖所示：
設菱形中，對角線，
∵四邊形是菱形，對角線，
∴，
，
，
∴菱形的面積為∶．
故答案為：．
7.如圖，矩形的頂點，分別在菱形的邊，上，頂點，在菱形的對角線上．
(1)求證：；
(2)若為中點，，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】對于（1），根據矩形的性質得，，進而得出，再根據菱形的性質可得，最后根據全等三角形的對應邊相等得出答案；
對于（2），先根據菱形的性質得，，再說明四邊形是平行四邊形，可得，然后根據矩形的對角線相等得出答案.
【詳解】（1）四邊形是矩形，
，，
．
，，
．
四邊形是菱形，
，
，
，
；
（2）連接，
四邊形是菱形，
，．
為中點，
．
，
，，
四邊形是平行四邊形，
．
四邊形是矩形，
，，
．
【點睛】本題主要考查了矩形和菱形的性質，平行四邊形的判定，全等三角形的性質和判定等，靈活選擇性質定理是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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