資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
19.3.5 正方形的性質和判定
學習目標 ：
1.理解正方形的概念，了解正方形與菱形、矩形、平行四邊形的關系；
2.探索并掌握正方形的性質和判定，注意定理的運用.
學習重難點 ：
重點是掌握正方形的性質，難點是正方形判定方法的探究．
學 法 指 導 ：
自學課本第88-89頁內容，理解正方形的性質，思考正方形的多種判定方法.
課前自主預習問題：
1. 的平行四邊形叫做正方形；
【答案】有一個角是直角，且有一組鄰邊相等的
2.正方形是特殊的 ，又是特殊的 ，更是特殊的 ，因此它具有這些圖形的所有性質：
正方形與平行四邊形相同，兩組 分別平行且相等，兩組 分別相等，對角線 ；與平行四邊形不同的是有一組鄰邊 ，有一個內角是 ；
正方形與矩形相同，四個內角都 ，且都等于 0 ，對角線 ；與矩形不同的是有一組鄰邊相等，對角線互相 。
正方形與菱形相同，四條邊都 ，對角線互相垂直；與菱形不同的是有一個內角是 ，對角線 ；
總之，正方形的四條邊都 ；四個內角都 ，對角線互相 、
且 .
【答案】矩形，菱形，平行四邊形；
對邊，對角，互相平分；相等，被對角線平分；
相等，90，互相平分；垂直
相等，直角，互相垂直平分
相等，相等，平分、垂直，平分一組對角
3.正方形的一邊為3cm ，則它的周長是 .它的兩條對角線都是
cm，面積為 .
【答案】13，3，9
4.根據正方形的定義，應該說： 的平行四邊形是正方形，
的矩形是正方形， 的菱形是正方形；
根據正方形的性質，可以說：對角線 的矩形是正方形，對角線 的菱形是正方形，對角線 的平行四邊形是正方形，對角線 的四邊形是正方形.
【答案】有一個角是直角，且有一組鄰邊相等；有一組鄰邊相等；互相垂直，相等，互相垂直且相等，互相垂直平分且相等
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.認識矩形的定義：
用你前面自制的平行四邊形模具演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角且有一組鄰邊相等時停止，你能得到什么圖形？引出正方形的定義．
的平行四邊形叫做正方形；正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.
【答案】有一個角是直角，且有一組鄰邊相等
2.按照上面的定義，在右面的空白處畫一個正方形，用字母表示出來，度量出
它的四條邊的長、四個角的度數和兩條對角線的長度，兩條對角線之間的夾角，
還有對角線與各邊的夾角等，驗證并整理正方形的性質：
性質1 正方形的四條邊都相等，四個角都是直角
性質2 正方形的對角線相等且互相垂直平分
經典例題
例7如圖 19-43,點A', B', C, D'分別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA' = BB' = CC' = DD'.
求證:四邊形A'B'C'D'是正方形.
證明：因為四邊形 ABCD是正方形,所以
AB=BC=CD=DA.
又∵AA'=BB'=CC'=DD',
∴D'A=A'B=B'C=C'D.
∵∠A=∠B=∠C=∠D=90°,
∴△AA'D'≌△BB'A'≌△CC'B'≌△DD'C'.
∴A'B' = B'C' = C'D' = D'A'.
∴四邊形A 'B'C'D'是菱形.
又∵∠1 =∠3,∠1+∠2=90°,
∴∠2+∠3=90°.
∴∠D'A'B' = 90°.
所以四邊形A'B'C'D'是正方形.
自結測試：
1.如圖，正方形的邊長為8，E為邊上一點，連接，，取中點F，連接，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
【答案】C
【分析】本題主要考查正方形的性質，直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半，以及勾股定理，根據題意求出，根據勾股定理求出，根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半求出，故可得答案．
【詳解】解：∵四邊形是正方形，
∴，
∵，
∴
∴；
在中，，
∵點F是的中點，
∴是斜邊上的中線，
∴，
故選：C．
2．同學們探究四邊形紙板是否為正方形，以下測量方案正確的是（ ）
A．測量四條邊是否相等 B．測量四個內角是否相等且一組鄰邊是否相等
C．測量四個內角是否是直角 D．測量兩條對角線是否相等且是否互相垂直
【答案】B
【分析】本題考查了正方形的判定；
根據正方形的判定定理逐項分析即可．
【詳解】解：A.測量四條邊是否相等可以得出四邊形紙板是否為菱形，不符合題意；
B.測量四個內角是否相等且一組鄰邊是否相等可以得出四邊形紙板是否為正方形，符合題意；
C.測量四個內角是否是直角 可以得出四邊形紙板是否為矩形，不符合題意；
D.測量兩條對角線是否相等且是否互相垂直不能判斷四邊形紙板是否為正方形，還要測量兩條對角線是否互相平分，不符合題意；
故選：B．
3．如圖，正方形中，，將沿對折至，延長交于點，剛好是邊的中點，則的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
【答案】A
【分析】本題考查正方形的性質、折疊的性質、三角形全等的判定和性質、勾股定理等知識．根據正方形的性質和折疊的性質，很容易證明，進而得到，由是的中點，，得到，在中有勾股定理建立方程求解即可．
【詳解】解：連接，由已知，且，
，
，
，
，是的中點，
，
設，則，，
在中，由勾股定理得：
，
解得，即．
故選：A．
4.如圖，正方形的對角線交于點O，M是邊上一點，連接，過點O作交于點N，若四邊形的面積是4，則的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
【答案】C
【分析】本題考查正方形的判定和性質，全等三角形的判定和性質．過點O作，證明，進而得到四邊形的面積等于正方形的面積，進而求出的長，即可得解．
【詳解】解：過點O作于點E，于點F，
則：，
∵四邊形是正方形，
∴，
∴，四邊形為矩形，
∴四邊形為正方形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴正方形的面積等于四邊形的面積，
∴，
∴（負值已舍掉）；
∴；
故選：C．
5.如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點（可與端點重合），，分別是，的中點，則的最大值為 ．
【答案】
【分析】本題考查正方形的性質，三角形中位線的性質，勾股定理，確定何時有最大值是解題關鍵．
連接，則是的中位線，，當最大時，有最大值求出即可．
【詳解】解：連接，如圖：
，分別是，的中點，
是的中位線，，
當最大時，有最大值，
，分別是邊，上的動點，
當與重合時，最大為的長，
正方形邊長為2，
，
的最大值為，
故答案為：．
拓展性訓練
6.如圖，已知平行四邊形中，對角線，交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
(1)求證：
(2)若，判斷四邊形是怎樣的特殊平行四邊形？并證明你的猜想.
【答案】(1)見詳解
(2)四邊形是正方形，理由見詳解
【分析】此題主要考查菱形和正方形的判定，要靈活應用判定定理及等腰三角形的性質、外角的性質定理．
（1）根據平行四邊形的性質及等邊三角形的性質．證明，得垂直平分即可；
（2）根據有一個角是的菱形是正方形．證明由題意易得即可．
【詳解】（1）證明： 四邊形是平行四邊形，
．
又是等邊三角形，
（三線合一），即垂直平分，
．
（2）解：四邊形是正方形，理由如下：
四邊形是平行四邊形，
．
又是等邊三角形，
平分（三線合一），
，
又
，
（三角形的一個外角等于和它外角不相鄰的兩內角之和），
由（1）中，得平行四邊形是菱形，
，
四邊形是正方形．
7.如圖，正方形中，E是邊的中點，將沿折疊，得到，延長交邊于點P．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析；
(2)4．
【分析】（1）連接AP，由正方形的性質得，，由折疊得，，則，，即可根據直角三角形全等的判定定理“HL”證明，得；
（2），E是邊的中點，得，，由勾股定理得，求得．
【詳解】（1）證明：

連接AP，
∵四邊形是正方形，
∴，，
∵將沿折疊，得到，延長交邊于點P，
∴，，
∴，，
在和中，
，
∴，
∴．
（2）解：∵，E是邊的中點，
∴，，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴的長是4．
【點睛】此題重點考查正方形的性質、軸對稱的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識，正確地作出所需要的輔助線是解題的關鍵．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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19.3.5 正方形的性質和判定
學習目標 ：
1.理解正方形的概念，了解正方形與菱形、矩形、平行四邊形的關系；
2.探索并掌握正方形的性質和判定，注意定理的運用.
學習重難點 ：
重點是掌握正方形的性質，難點是正方形判定方法的探究．
學 法 指 導 ：
自學課本第88-89頁內容，理解正方形的性質，思考正方形的多種判定方法.
課前自主預習問題：
1. 的平行四邊形叫做正方形；
2.正方形是特殊的 ，又是特殊的 ，更是特殊的 ，因此它具有這些圖形的所有性質：
正方形與平行四邊形相同，兩組 分別平行且相等，兩組 分別相等，對角線 ；與平行四邊形不同的是有一組鄰邊 ，有一個內角是 ；
正方形與矩形相同，四個內角都 ，且都等于 0 ，對角線 ；與矩形不同的是有一組鄰邊相等，對角線互相 。
正方形與菱形相同，四條邊都 ，對角線互相垂直；與菱形不同的是有一個內角是 ，對角線 ；
總之，正方形的四條邊都 ；四個內角都 ，對角線互相 、
且 .
3.正方形的一邊為3cm ，則該它的周長是 .它的兩條對角線都是
cm，面積為 .
4.根據正方形的定義，應該說： 的平行四邊形是正方形，
的矩形是正方形， 的菱形是正方形；
根據正方形的性質，可以說：對角線 的矩形是正方形，對角線 的菱形是正方形，對角線 的平行四邊形是正方形，對角線 的四邊形是正方形.
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.認識矩形的定義：
用你前面自制的平行四邊形模具演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角且有一組鄰邊相等時停止，你能得到什么圖形？引出正方形的定義．
的平行四邊形叫做正方形；正方形是特殊的平行四邊形、矩形、菱形.
2.按照上面的定義，在右面的空白處畫一個正方形，用字母表示出來，度量出
它的四條邊的長、四個角的度數和兩條對角線的長度，兩條對角線之間的夾角，
還有對角線與各邊的夾角等，驗證并整理正方形的性質：
精典例題
例7如圖 19-43,點A', B', C, D'分別是正方形ABCD四條邊上的點,并且AA' = BB' = CC' = DD'.
求證:四邊形A'B'C'D'是正方形.
自結測試：
1.如圖，正方形的邊長為8，E為邊上一點，連接，，取中點F，連接，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．6
2．同學們探究四邊形紙板是否為正方形，以下測量方案正確的是（ ）
A．測量四條邊是否相等 B．測量四個內角是否相等且一組鄰邊是否相等
C．測量四個內角是否是直角 D．測量兩條對角線是否相等且是否互相垂直
3．如圖，正方形中，，將沿對折至，延長交于點，剛好是邊的中點，則的長是（ ）
A．2 B．3 C．4 D．5
4.如圖，正方形的對角線交于點O，M是邊上一點，連接，過點O作交于點N，若四邊形的面積是4，則的長為（ ）
A．2 B． C．4 D．
5.如圖，在邊長為2的正方形中，，分別是邊，上的動點（可與端點重合），，分別是，的中點，則的最大值為 ．
拓展性訓練
6.如圖，已知平行四邊形中，對角線，交于點，是延長線上的點，且是等邊三角形．
(1)求證：
(2)若，判斷四邊形是怎樣的特殊平行四邊形？并證明你的猜想.
7.如圖，正方形中，E是邊的中點，將沿折疊，得到，延長交邊于點P．

(1)求證：；
(2)若，求的長．
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