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第19章《四邊形》復習學案
【學習目標】
1.了解多邊形、四邊形、特殊四邊形之間的關系.
2.理解各種特殊四邊形之間的關系.
3.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定.
4.三角形中位線定理等幾個重要的結論.
【學習重難點】
重點：各種特殊四邊形的性質與判定.
難點：各種特殊四邊形性質與判定的綜合運用.
【學法指導】
通過復習回顧，探究本章的主要內容，理解掌握各種特殊四邊形的性質與判定.
【自主學習】
1.各種特殊四邊形之間的關系是怎樣的？
2.各種特殊四邊形的性質有哪些？
平行四邊形：
矩形：
菱形：
正方形：
3.各種特殊四邊形的常用判定方法有哪些？
平行四邊形：
矩形：
菱形：
正方形：
4.本章還有哪幾個重要結論？
【課內探究】
活動一 易錯題解析
在中，有兩個內角的度數比為，則中較大內角的度數是（ ）
A． B． C． D．
活動二 例題講解1
圖1表示一雙開門關閉時的狀態圖，圖2表示打開雙門過程中，某一時刻的示意圖，其中AB為門檻寬度．

(1)當時，雙門間隙與門檻寬度的比值為 ___________．
(2)若雙門間隙的距離為2寸，點和點距離都為1尺（1尺10寸），則門檻寬度是 ___________寸．
活動三 例題講解2
如圖1所示，在正三角形中，是邊（不含端點）上任意一點，是延長線上一點，是的平分線上一點，連接，若．
(1)求證：；
(2)若將試題中的“正三角形”改為“正方形”（如圖2），是的平分線上一點，則當時，結論是否還成立？（直接給出結論，不需要證明）
活動四 能力檢測
1.在中，有兩個內角的度數比為，則中較大內角的度數是（ ）
A． B． C． D．
2.如圖，的周長為，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，如此下去，則的周長為（　　）
A． B． C． D．
3.如圖，在中，點，分別是，的中點，點M，在對角線上，，則下列說法正確的是（　　）

A．若，則四邊形是矩形
B．若，則四邊形是矩形
C．若，則四邊形是矩形
D．若，則四邊形是矩形
4.已知菱形的邊長為，它的一條對角線長為，則該菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
5.如圖，正方形的邊長為10，且，，則的長為（ ）
A．2 B． C． D．
6.如圖，在平行四邊形中，，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點，；②過點，作直線，交于點．如果的周長為8，那么平行四邊形的周長是 ．
7.如圖，O是等邊三角形內任意一點，過點O作分別交于點G，H，I，已知等邊三角形的周長18，則 ．
8.如圖，在中，，是的中線，E是的中點，連接，，若，垂足為E，則的長為 ．
9.如圖，菱形中，交于點，于點，連接，若，則 ．
活動5 能力拓展
1.如圖，點E、F是對角線上的兩點，且，連接、、、．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，，求的面積．
2.如圖①、圖②均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形的邊長都是1，點A、B、E、F均在格點上．在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，使所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法．
(1)在圖①中，以線段為底畫一個等腰三角形，且頂角為銳角；
(2)在圖②中，以線段為對角線畫一個軸對稱四邊形，使其面積為4．
3.如圖，在正方形中，點，分別在，上，，垂足為．
(1)求證：；
(2)若正方形的邊長是8，，點是的中點，求的長．
【學習反思】
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第19章《四邊形》復習學案
【學習目標】
1.了解多邊形、四邊形、特殊四邊形之間的關系.
2.理解各種特殊四邊形之間的關系.
3.掌握平行四邊形、矩形、菱形、正方形的性質與判定.
4.三角形中位線定理等幾個重要的結論.
【學習重難點】
重點：各種特殊四邊形的性質與判定.
難點：各種特殊四邊形性質與判定的綜合運用.
【學法指導】
通過復習回顧，探究本章的主要內容，理解掌握各種特殊四邊形的性質與判定.
【自主學習】
1.各種特殊四邊形之間的關系是怎樣的？
2.各種特殊四邊形的性質有哪些？
平行四邊形：
平行四邊形的對邊相等
平行四邊形的對角相等
（3）平行四邊形對角線互相平分
矩形：
矩形的四個角都是直角
（2）矩形的對角線相等
菱形：
菱形的四條邊都相等
（2）菱形的對角線互相垂直
正方形：
（1）正方形的四條邊都相等，四個角都是直角
（2）正方形的對角線相等且互相垂直平分
3.各種特殊四邊形的常用判定方法有哪些？
平行四邊形：
一組對邊平行且相等的四邊形是平行四邊形
兩組對邊分別相等的四邊形是平行四邊形
（3）對角線互相平分的四邊形是平行四邊形
矩形：
對角線相等的平行四邊形是矩形。
（2）三個角是直角的四邊形是矩形。
菱形：
四邊都相等的四邊形是菱形
（2）對角線互相垂直的平行四邊形是菱形
正方形：
（1）對角線相等的菱形是正方形。
（2）有一個角為直角的菱形是正方形。
（3）對角線互相垂直的矩形是正方形。
（4）一組鄰邊相等的矩形是正方形。
（5）一組鄰邊相等且有一個角是直角的平行四邊形是正方形。
（6）對角線互相垂直且相等的平行四邊形是正方形。
（7）對角線相等且互相垂直平分的四邊形是正方形。
（8）一組鄰邊相等,有三個角是直角的四邊形是正方形。
（9）既是菱形又是矩形的四邊形是正方形。
4.本章還有哪幾個重要結論？
（1）三角形兩邊中點連線平行于第三邊，并且等于第三邊的一半。
（2）三角形的三條中線相交于一點，這點和各邊中點的距離等于相應各邊上中線的三分之一。
（3）直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半。
【課內探究】
活動一 易錯題解析
在中，有兩個內角的度數比為，則中較大內角的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質．根據平行四邊形的性質，對角相等，結合四邊形的內角和為360度，計算即可．
【詳解】解：設中的較小的內角的度數為，則較大的內角為，
∵平行四邊形的對角相等，
∴，
解得：，
∴，
即：中較大內角的度數是；
故選A．
活動二 例題講解1
圖1表示一雙開門關閉時的狀態圖，圖2表示打開雙門過程中，某一時刻的示意圖，其中AB為門檻寬度．

(1)當時，雙門間隙與門檻寬度的比值為 ___________．
(2)若雙門間隙的距離為2寸，點和點距離都為1尺（1尺10寸），則門檻寬度是 ___________寸．
【答案】(1)
(2)101
【分析】（1）過作交于點，得到是等邊三角形，四邊形是平行四邊形，從而推出，即可得到答案；
（2）作于，于，得到，得到，設寸，則寸，由勾股定理列出關于的方程，即可解決問題．
【詳解】（1）解：過作交于點，

∵，
∴，
∵，
∴，
∴是等邊三角形，
∴，
∵，
∴，
∴四邊形是平行四邊形，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴雙門間隙與門檻寬度的比值為．
故答案為：；
（2）作于，于，

∵點和點距離都為1尺，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
設寸，則寸，
∵寸，
∴（寸），
∵，，
∴（寸），
∵，
∴，
∴，
∴（寸），
∴門檻寬度是101寸．
故答案為：101．
【點睛】本題主要考查平行四邊形的判定與性質、等邊三角形的判定與性質、勾股定理、全等三角形的判定與性質等知識，正確作出輔助線是解題關鍵．
活動三 例題講解2
如圖1所示，在正三角形中，是邊（不含端點）上任意一點，是延長線上一點，是的平分線上一點，連接，若．
(1)求證：；
(2)若將試題中的“正三角形”改為“正方形”（如圖2），是的平分線上一點，則當時，結論是否還成立？（直接給出結論，不需要證明）
【答案】(1)見解析
(2)成立
【分析】對于（1），先在上截取，連結，根據等邊三角形的性質得，再說明為等邊三角形，可得，即可證明
≌，進而得出答案；
對于（2），仿照（1），在上取一點E，使，連接，先求出，再證明，進而得出，可得≌，最后根據“全等三角形的對應邊相等”得出答案.
【詳解】（1）證明：在上截取，連結．
是等邊三角形，
，．
，，
．
又平分，
，
．
又，，
，
即．
為等邊三角形，
∴，
，
即，
∴≌，
．
（2）成立．
在上取一點E，使，連接．
∵四邊形是正方形，
∴，，
∴，
即，
∴，
∴．
∵，，，
∴．
∵平分，，
∴，
∴，
∴，
∴≌，
∴.
【點睛】本題主要考查了等邊三角形的性質和判定，正方形的性質，全等三角形的性質和判定，角平分線的定義等，構造全等三角形是解題的關鍵．
活動四 能力檢測
1.在中，有兩個內角的度數比為，則中較大內角的度數是（ ）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了平行四邊形的性質．根據平行四邊形的性質，對角相等，結合四邊形的內角和為360度，計算即可．
【詳解】解：設中的較小的內角的度數為，則較大的內角為，
∵平行四邊形的對角相等，
∴，
解得：，
∴，
即：中較大內角的度數是；
故選A．
2.如圖，的周長為，以它的各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，再以各邊的中點為頂點作，如此下去，則的周長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題考查了三角形的中位線定理，三角形的周長的計算，正確的找出規律是解題的關鍵．根據三角形的中位線定理得到的周長的周長，各的周長，于是得到結論．
【詳解】解：以的各邊的中點為頂點作，
的周長的周長的周長，
以各邊的中點為頂點作，
的周長各的周長的周長，
，
的周長
故選：A．
3.如圖，在中，點，分別是，的中點，點M，在對角線上，，則下列說法正確的是（　　）

A．若，則四邊形是矩形
B．若，則四邊形是矩形
C．若，則四邊形是矩形
D．若，則四邊形是矩形
【答案】D
【分析】取中點O，連接、，先證明四邊形是平行四邊形，再根據矩形的判定定理依次判定即可得到答案．
本題考查了平行四邊形、矩形的判定定理，掌握矩形的判定定理是解題的關鍵．
【詳解】如圖，取中點O，連接、，

∵中，點E，F分別是，的中點，
，，，，，，
，，
∴E，O，F三點共線，
又，，
，即，
四邊形是平行四邊形（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形），
A選項，不能推出四邊形有內角，故不能證明四邊形是矩形；
B、C、D選項，只有D選項能由、，得到，根據對角線相等的平行四邊形是矩形可得四邊形是矩形．
故選：D
4.已知菱形的邊長為，它的一條對角線長為，則該菱形的面積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查菱形的性質，勾股定理；根據已知可求得菱形的邊長，根據勾股定理可求得其另一條對角線的長，再根據菱形的面積等于對角線乘積的一半求得其面積．
【詳解】解：如圖所示，
，，
，
，
從而得到菱形的面積．
故選：B．
5.如圖，正方形的邊長為10，且，，則的長為（ ）
A．2 B． C． D．
【答案】C
【分析】本題考查了正方形的性質、全等三角形的判定與性質、勾股定理等知識點，延長交于點，證是解題關鍵．
【詳解】解：延長交于點，如圖所示：
∵，，,
∴，
∴，，
∵，
∴，
∵，
∴，
∴，
∵，
∴，
∴，
∴，
∴．
故選：C．
6.如圖，在平行四邊形中，，按下列步驟作圖：①分別以點，為圓心，大于的長為半徑畫弧，兩弧交點分別為點，；②過點，作直線，交于點．如果的周長為8，那么平行四邊形的周長是 ．
【答案】16
【分析】本題考查了線段垂直平分線的性質及平行四邊形的性質，熟練掌握線段垂直平分線的性質及平行四邊形的性質是解答本題的關鍵；
由中垂線的作法可知，然后由的周長為8，可知，繼而可求出平行四邊形的周長．
【詳解】解：由作法得：垂直平分，
，
的周長為8，
即，
，
即，
四邊形是平行四邊形，
，，
平行四邊形的周長．
故答案為：16．
7.如圖，O是等邊三角形內任意一點，過點O作分別交于點G，H，I，已知等邊三角形的周長18，則 ．
【答案】6
【分析】本題考查了平行的性質、等邊三角形的判定和性質、平行四邊形的判定與性質．在解題的時候要注意找準對應平行線所形成的角．由平行推理得是等邊三角形，由等邊三角形三邊相等的性質和平行四邊形的性質求出的值．
【詳解】解：∵
∴
則四邊形和四邊形都是平行四邊形，
∵是等邊三角形
∴三角形是等邊三角形，
則，
∴，
∴，
∵的周長為，
∴．
故答案為：6．
8.如圖，在中，，是的中線，E是的中點，連接，，若，垂足為E，則的長為 ．
【答案】
【分析】本題考查了直角三角形斜邊上的中線定理，勾股定理， 根據中線定理解題即可．
【詳解】解：∵，
∴，
∵點D是的中點，，
∴，
∵E是的中點
∴
∴
∴，
故答案為：．
9.如圖，菱形中，交于點，于點，連接，若，則 ．
【答案】/20度
【分析】本題考查菱形的性質、直角三角形的性質、等腰三角形的性質，關鍵是熟練掌握直角三角形斜邊中線性質．先根據菱形的性質得到，，進而求得，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半得到，然后根據等邊對等角求解即可．
【詳解】解：∵四邊形是菱形，，
∴，，
∵，
∴，，
∴，
故答案為：．
活動5 能力拓展
1.如圖，點E、F是對角線上的兩點，且，連接、、、．
(1)求證：四邊形是平行四邊形；
(2)若，，，，求的面積．
【答案】(1)證明見解析
(2)
【分析】本題主要考查了平行四邊形的性質與判定，全等三角形的性質與判定，勾股定理等等：
（1）由平行線的性質得到，進而得到，再證明，得到，即可證明四邊形是平行四邊形；
（2）先利用勾股定理求出，進而得到，求出即可得到答案．
【詳解】（1）證明：∵四邊形是平行四邊形，
∴，
∴，
∵，
∴，即，
∴，
∴，
∴四邊形是平行四邊形；
（2）解：，，，
∴，
∵，
∴（同高三角形），
∵，
∴．
2.如圖①、圖②均是6×6的正方形網格，每個小正方形的頂點叫做格點，每個小正方形的邊長都是1，點A、B、E、F均在格點上．在圖①、圖②中，只用無刻度的直尺，在給定的網格中按要求畫圖，使所畫圖形的頂點均在格點上，不要求寫畫法．
(1)在圖①中，以線段為底畫一個等腰三角形，且頂角為銳角；
(2)在圖②中，以線段為對角線畫一個軸對稱四邊形，使其面積為4．
【答案】(1)見解析
(2)見解析
【分析】本題考查作圖-應用與設計作圖，等腰三角形的性質，軸對稱的性質等知識，解題的關鍵是理解題意，靈活運用所學知識解決問題．
（1）根據要求作出圖形即可；
（2）作對角線長度為2和4的菱形即可．
【詳解】（1）解：如圖①，即為所求作．
且．
（2）解：如圖，四邊形即為所求
四邊形為軸對稱圖形，且為對角線，面積
3.如圖，在正方形中，點，分別在，上，，垂足為．
(1)求證：；
(2)若正方形的邊長是8，，點是的中點，求的長．
【答案】(1)見解答；
(2)
【分析】本題考查正方形的性質，全等三角形的判斷和性質，勾股定理．
（1）根據正方形的性質可得，，結合可得即可得證；
（2）由題意知即可求出，則，根據勾股定理即可求出，由是中點可得即可解答．
【詳解】（1）證明：四邊形是正方形，
，，
，
，
，
，
，
；
（2）解：，
，
，
，
，
，
是中點，，
．
【學習反思】
這節課，你有哪些收獲？你還有什么疑惑？
我的收獲有：
我的疑惑有：
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