資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
19.3.1 矩形的性質和判定（第1課時）
學習目標 ：
1.理解矩形的概念，了解矩形與平行四邊形的關系；
2.學習用度量法探索矩形的性質，理解并掌握矩形性質的推論.
學習重難點 ：重點是掌握矩形的性質，難點是矩形性質定理的準確、熟練應用．
學 法 指 導 ：自學課本P83-84頁內容，自畫一個矩形，通過度量，了解矩形的性質，按導學案內容獨立完成或小組合作完成相應作業.
課前自主預習問題：
1.用硬紙條或細木棒自制一個可以活動的平行四邊形模具，雙手拿住某一對頂點輕輕拉動，觀察不管怎么拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？
【答案】是，因為兩組對邊仍然是互相平行且相等。
2. 的平行四邊形叫做矩形；矩形與平行四邊形相同，兩組 分別平行相等，兩組 分別相等，對角線 ；矩形與平行四邊形不同的是有一個內角是 ，進而我們可以求出它的其他三個內角也都是 ，即四個內角都 ，且都等于 0 ；而且矩形的對角線 .
【答案】有一全角上二角，對邊，對角，互相平分，直角，直角，相等，90，互相垂直
3.矩形的兩鄰邊之比為3∶4，對角線長為10cm，則該矩形的周長是 .
【答案】17
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.認識矩形的定義：
用你前面自制的平行四邊形模具演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角時停止，你能得到什么圖形？引出矩形定義．
的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)；矩形是一種特殊的平行四邊形.
【答案】有一個角是直角
2.按照上面的定義，在右面的空白處畫一個矩形，用字
母表示出來，度量出它的四條邊的長、四個角的度數
和兩條對角線的長度，記錄如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
AC = cm,BD = cm.
【答案】4，3，4，3；900，900，900，900，5，5
3.根據以上數據，你能得出矩形的有關性質嗎？請你用文字表達出來：
①矩形的四個角都是直角
②矩形的對角線相等
③直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半
4.你是怎么證明“矩形的四個角都是直角”的？（畫出相應的圖形）
已知:矩形ABCD.
求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
證明：由定義 ,矩形必有一個角是直角,設∠A = 90°.
∵AB//DC,AD//BC,
∴∠B=∠C =∠D =90°. (兩直線平行,同旁內角互補)
即矩形ABCD的四個角都是直角.
5.通過閱讀課本P83頁圖20-25及相關文字內容，你能寫出“推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明過程嗎？
已知：在直角三角形ABC中,∠BAC=90°, AD是斜邊BC的中線,求證: AD= 1/2BC。
證明：延長AD到E,使DE=AD , 連接CE。
∵AD是斜邊BC的中線，
∴BD=CD ,
又∵∠ADB=∠EDC (對頂角相等) ,
AD=DE
∴ADB≌EDC( SAS ) ,
∴AB=CE ,∠B=∠DCE，
∴AB//CE (內錯角相等,兩直線平行)
∴∠BAC+∠ACE=180° (兩直線平行,同旁內角互補)
∵∠BAC=90° ,
∴∠ACE=90° ,
∵AB=CE ,∠BAC=ECA=90°, AC=CA,
∴ΔABC≌ΔCEA( SAS )
∴BC=AE ,
∵AD=DE=1/2AE ,
∴AD=1/2BC。
6.請你再寫出“矩形的對角線相等”這一性質的證明過程：
已知:四邊形ABCD是矩形
求證:對角線AC=BD
證明:因為ABCD是矩形,則有AB=CD,AD=BC ,且∠ABC=∠BCD=90°
據勾股定理,AC=BD
∴矩形的對角線相等
7.精典例題
例1：如圖 19-31,已知:矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,∠AOB = 120°, AD = 4cm.求矩形對角線的長
解.因為四邊形 ABCD是矩形,所以
AC = BD.
∴OA = OB.
∵∠AOB = 120°,
∴∠OAB=∠OBA=30°
在RtΔABD中,有
BD=2AD=2x4=8(cm).
自結測試：
1.在數學活動課上，同學們在判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是幾個學習小組擬定的方案，其中正確的是（ ）
A．測量兩組對邊是否分別相等 B．測量其中三個內角是否都為直角
C．測量對角線是否相等 D．測量對角線是否互相平分
【答案】B
【分析】本題考查的是矩形的判定定理，牢記矩形的判定方法是解答本題的關鍵，難度較小．根據矩形的判定定理即可得到結論．
【詳解】解：A、測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形；不符合題意；
B、測量其中三個內角是否為直角，能判定矩形；符合題意；
C、測量對角線是否相等，不能判定形狀；不符合題意；
D、測量對角線是否相互平分，能判定平行四邊形；不符合題意；
故選：B．
2.如圖，矩形如圖放置在平面直角坐標系中，其中，若將其沿著對折后，為點A的對應點，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
【答案】B
【分析】本題考查翻折變換（折疊問題），矩形的性質，等腰三角形的判定．根據平行線的性質得到，由折疊的性質得到，求得，設，則，根據勾股定理即可得到結論．
【詳解】解：∵長方形中，，
∴，，
∴，，，
∴，
由折疊的性質得，，，
∴，
∴，
設，則，
∵在中，，
∴，
解得：，
∴，
在中，，
∴．
故選：B．
3.如圖，用一根繩子檢查一平行四邊形書架是否是矩形，只需要用繩子分別測量比較書架的兩條對角線、就可以判斷，其推理依據是（ ）
A．鄰邊相等的平行四邊形是矩形 B．平行四邊形的對角線互相平分
C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線相等的平行四邊形是矩形
【答案】D
【分析】本題考查矩形的判定，根據對角線相等的平行四邊形是矩形即可判定．
【詳解】解：這種做法的依據是對角線相等的平行四邊形為矩形，
故選D．
4.如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（　　）

A． B． C． D．
【答案】A
【分析】本題主要考查了矩形的性質，折疊的性質，勾股定理，
根據勾股定理，列出方程即可求解．
【詳解】解：∵，，
∴，
∴，
由折疊性質可得：，
∴，
設，則，，
在中，由勾股定理得：，即，
解得：，
故選：．
5.如圖，將長方形沿著折疊，點落在邊上的點處，已知，則的長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
【答案】C
【分析】本題考查了翻折變換（折疊問題），矩形的性質，勾股定理等知識點，根據矩形的性質得到，根據勾股定理得到，根據折疊的性質得到，根據勾股定理即可得到結論，解題關鍵是熟練掌握矩形的性質及勾股定理．
【詳解】∵四邊形是矩形，
∴，
∵，
∴，
∵將長方形沿著折疊，點D落在邊上的點F處，
∴，
∴，
∵，
∴，
解得，
故選：C．
6.直角三角形兩直角邊的長為6和8，則該直角三角形斜邊上的中線長為 ．
【答案】5
【分析】本題考查的是勾股定理的應用，直角三角形斜邊上的中線的性質．利用勾股定理先求解斜邊，再根據直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半解答．
【詳解】解： 直角三角形兩直角邊的長為6和8，，則斜邊為：
，
∴該直角三角形斜邊上的中線長為，
故答案為：5．
7.如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，求的長．
【答案】
【分析】本題考查了矩形的折疊問題，勾股定理等知識點；根據矩形的性質和折疊的性質，得到，再根據勾股定理，求出的長度，進而求出的長度，設，則，根據勾股定理建立方程即可得出答案．
【詳解】解：根據題意，，
，
在中，由勾股定理得，
，
設，則，
在中，，
，
，解得
．
．
8.如圖，已知四邊形是平行四邊形，對角線交于點是等邊三角形．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求的長．
【答案】(1)見解析
(2)
【分析】本題考查平行四邊形的性質，矩形的判定，等邊三角形的性質，勾股定理．
（1）根據等邊三角形的性質，平行四邊形的性質，得到，即可得證；
（2）根據勾股定理，進行求解即可．
掌握矩形的判定方法和性質，是解題的關鍵．
【詳解】（1）證明：四邊形是平行四邊形，
．
是等邊三角形，
，
，
四邊形是矩形．
（2）解：四邊形是矩形，
．
是等邊三角形，
，則，
．
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19.3.1 矩形的性質和判定（第1課時）
學習目標 ：
1.理解矩形的概念，了解矩形與平行四邊形的關系；
2.學習用度量法探索矩形的性質，理解并掌握矩形性質的推論.
學習重難點 ：重點是掌握矩形的性質，難點是矩形性質定理的準確、熟練應用．
學 法 指 導 ：自學課本P83-84頁內容，自畫一個矩形，通過度量，了解矩形的性質，按導學案內容獨立完成或小組合作完成相應作業.
課前自主預習問題：
1.用硬紙條或細木棒自制一個可以活動的平行四邊形模具，雙手拿住某一對頂點輕輕拉動，觀察不管怎么拉，它還是一個平行四邊形嗎？為什么？
2. 的平行四邊形叫做矩形；矩形與平行四邊形相同，兩組 分別平行相等，兩組 分別相等，對角線 ；矩形與平行四邊形不同的是有一個內角是 ，進而我們可以求出它的其他三個內角也都是 ，即四個內角都 ，且都等于 0 ；而且矩形的對角線 .
3.矩形的兩鄰邊之比為3∶4，對角線長為10cm，則該矩形的周長是 .
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.認識矩形的定義：
用你前面自制的平行四邊形模具演示平行四邊形的移動過程，當移動到一個角是直角時停止，你能得到什么圖形？引出矩形定義．
的平行四邊形叫做矩形(通常也叫長方形)；矩形是一種特殊的平行四邊形.
2.按照上面的定義，在右面的空白處畫一個矩形，用字
母表示出來，度量出它的四條邊的長、四個角的度數
和兩條對角線的長度，記錄如下：
AB = cm,BC = cm, CD = cm,DA = cm;
∠A = ,∠B = , ∠C = ,∠D = ;
AC = cm,BD = cm.
3.根據以上數據，你能得出矩形的有關性質嗎？請你用文字表達出來：
4.你是怎么證明“矩形的四個角都是直角”的？（畫出相應的圖形）
已知:矩形ABCD.
求證:∠A=∠B=∠C=∠D=90°.
5.通過閱讀課本P83頁圖20-25及相關文字內容，你能寫出“推論：直角三角形斜邊上的中線等于斜邊的一半”的證明過程嗎？
已知：在直角三角形ABC中,∠BAC=90°, AD是斜邊BC的中線,求證: AD= 1/2BC。
6.請你再寫出“矩形的對角線相等”這一性質的證明過程：
已知:四邊形ABCD是矩形
求證:對角線AC=BD
7.經典例題
例1：如圖 19-31,已知:矩形ABCD的兩條對角線相交于點O,∠AOB = 120°, AD = 4cm.求矩形對角線的長
自結測試：
1.在數學活動課上，同學們在判斷一個四邊形門框是否為矩形，下面是幾個學習小組擬定的方案，其中正確的是（ ）
A．測量兩組對邊是否分別相等 B．測量其中三個內角是否都為直角
C．測量對角線是否相等 D．測量對角線是否互相平分
2.如圖，矩形如圖放置在平面直角坐標系中，其中，若將其沿著對折后，為點A的對應點，則的長為（ ）
A．3 B．4 C．5 D．4.5
3.如圖，用一根繩子檢查一平行四邊形書架是否是矩形，只需要用繩子分別測量比較書架的兩條對角線、就可以判斷，其推理依據是（ ）
A．鄰邊相等的平行四邊形是矩形 B．平行四邊形的對角線互相平分
C．對角線相等的四邊形是矩形 D．對角線相等的平行四邊形是矩形
4.如圖，在矩形紙片中，，，點在上，將沿折疊，使點落在對角線上的點處，則的長為（　　）

A． B． C． D．
5.如圖，將長方形沿著折疊，點落在邊上的點處，已知，則的長為（ ）
A．6 B．8 C．10 D．12
6.直角三角形兩直角邊的長為6和8，則該直角三角形斜邊上的中線長為 ．
7.如圖，折疊矩形的一邊，使點落在邊的點處，已知，，求的長．
8.如圖，已知四邊形是平行四邊形，對角線交于點是等邊三角形．
(1)求證：四邊形是矩形；
(2)若，求的長．
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