資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
19.3.2 矩形的性質和判定（第2課時）
學習目標 ：
1.復習并鞏固矩形的概念和性質，注意矩形性質的運用；
2.探索矩形的判定方法.
學習重難點 ：重點是掌握矩形的判定，難點是矩形判定定理的準確應用．
學 法 指 導 ：自學課本第84-85頁內容，根據矩形的性質，討論總結矩形的多種判定方法.
課前自主預習問題：
1.根據矩形的定義，應該說： 的平行四邊形是矩形，這是矩形的判定方法之一.
2.根據矩形的有關性質，從角的角度說： 的四邊形是矩形，這是矩形的判定方法之二.注意，僅從邊的角度考慮，有什么條件判斷某四邊形是矩形嗎？
3.根據矩形的有關性質，從對角線的角度，你能猜想到：對角線 的平行四邊形是矩形，對角線 的四邊形是矩形，這是判定方法三.
4.直角三角形斜邊上的中線等于 ，在RtΔABC中，∠ACB=900，BC = 4cm,
AC = 3cm,D為AB邊上的中點，則CD = .
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.思考：如果四邊形的兩組對邊分別相等，這個四邊形一定是平行四邊形嗎？為什么？能判定這個四邊形一定是矩形嗎？為什么？
2.工人師傅在做門窗框架、桌面等矩形物體時，不僅要測量兩組對邊的長度是否分別相等，還要測量它們的兩條對角線是否相等，你能說出其中的道理嗎？
定理：對角線相等的平行四邊形是矩形。
由此,我們得到矩形的判定方法:
3.定理的證明(課本例2)
已知：如圖，在□ ABCD中，AC=BD.
求證：□ ABCD是矩形.
證明 ∵四邊形ABCD是□ ，
∴AD = BC,( )
在ΔADC和ΔBCD中，
∵
∴ΔADC≌ΔBCD（ ）
∴∠ADC = ∠BCD.
又∵ ∠ADC + ∠BCD = 1800 ，
∴ ∠ADC = ∠BCD = 900 .
∴□ ABCD是矩形.（ ）
4.典型例題：
例3 已知: 如圖19-34,在ΔABC中,AB =AC,點D是AC的中點,直線AE // BC,過點D作直線EF // AB,分別交AE, BC于點E, F.求證:四邊形AECF是矩形.
例4 已知: 如圖19- 35,在四邊形ABCD中,∠A =
∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
自結測試：
1.下列條件中,不能判定四邊形為矩形的是( )
A.對角線相等且互相平分的四邊形
B .有一組鄰角相等的平行四邊形
C .對角線相等且垂直的四邊形
D.有一組對角互補的平行四邊形
2.在數學活動課上,同學們在判斷一個四邊形]框是否為矩形，下面是幾個學習小組擬定的方案,其中正確的是( )
A .測量兩組對邊是否分別相等 B .測量其中三個內角是否都為直角
C .測量對角線是否相等 D .測量對角線是否互相平分
3.如圖，點在矩形的邊上，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處．若，，則長為（　　）
A． B． C． D．
4.如圖，點在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點恰好落在邊的點處，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
5.如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E ，使DE= AD，連接EB. EC ， DB，添加條件 _, 能使四邊形DBCE成為矩形,并說明理由
6.如圖，在平行四邊形ABCD中, DE⊥AB于點E. BF 1 AB交CD于點F ,求證:四邊形DEBF是矩形.
7.下面是小橙設計的“已知兩相交直線作矩形”的尺規作圖過程：
已知；如圖，直線與直線相交于點O． 求作：矩形，使矩形的四個頂點在這兩條直線上． 作法： ①在直線上任取一點A（不與點O重合） ②以點O為圓心，為半徑作弧依次與直線、于點B、C、D； ③連接，，，． 即四邊形就是所求作的矩形．
(1)使用直尺和圓規，按照作法補全圖（保留作圖痕跡）
(2)完成下面的證明：
證明：
∵，，
∴四邊形是 ．（ ）
∵，
∴，即，
∴四邊形是矩形．（ ）（填推理的依據）
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)中小學教育資源及組卷應用平臺
19.3.2 矩形的性質和判定（第2課時）
學習目標 ：
1.復習并鞏固矩形的概念和性質，注意矩形性質的運用；
2.探索矩形的判定方法.
學習重難點 ：重點是掌握矩形的判定，難點是矩形判定定理的準確應用．
學 法 指 導 ：自學課本第84-85頁內容，根據矩形的性質，討論總結矩形的多種判定方法.
課前自主預習問題：
1.根據矩形的定義，應該說： 的平行四邊形是矩形，這是矩形的判定方法之一.
【答案】三個角是直角的四邊形是矩形。
2.根據矩形的有關性質，從角的角度說： 的四邊形是矩形，這是矩形的判定方法之二.注意，僅從邊的角度考慮，有什么條件判斷某四邊形是矩形嗎？
【答案】三個角是直角的四邊形是矩形；兩條鄰邊互相垂直的四邊形是矩形。
3.根據矩形的有關性質，從對角線的角度，你能猜想到：對角線 的平行四邊形是矩形，對角線 的四邊形是矩形，這是判定方法三.
【答案】對角線相等的平行四邊形是矩形。
4.直角三角形斜邊上的中線等于 ，在RtΔABC中，∠ACB=900，BC = 4cm,
AC = 3cm,D為AB邊上的中點，則CD = .
【答案】斜邊的一半，2.5
課堂合作學習，探究新知——學生交流展示：
1.思考：如果四邊形的兩組對邊分別相等，這個四邊形一定是平行四邊形嗎？為什么？能判定這個四邊形一定是矩形嗎？為什么？
【答案】一定是平行四邊形，根據平行四邊形的性質1可知。
2.工人師傅在做門窗框架、桌面等矩形物體時，不僅要測量兩組對邊的長度是否分別相等，還要測量它們的兩條對角線是否相等，你能說出其中的道理嗎？
定理：對角線相等的平行四邊形是矩形。
【答案】根據三解形全等和平行線性質可證。
由此,我們得到矩形的判定方法:
【答案】對角線相等的平行四邊形是矩形。
3.定理的證明(課本例2)
已知：如圖，在□ ABCD中，AC=BD.
求證：□ ABCD是矩形.
證明 ∵四邊形ABCD是□ ，
∴AD = BC,( )
在ΔADC和ΔBCD中，
∵
∴ΔADC≌ΔBCD（ ）
∴∠ADC = ∠BCD.
又∵ ∠ADC + ∠BCD = 1800 ，
∴ ∠ADC = ∠BCD = 900 .
∴□ ABCD是矩形.（ ）
【答案】平行四邊形對邊相等，平行四邊形對邊相等，平行四邊形對角線相等，SSS，有一個角是直角的平行四邊形叫做矩形（矩形定義）
4.精典例題：
例3 已知: 如圖19-34,在ΔABC中,AB =AC,點D是AC的中點,直線AE // BC,過點D作直線EF // AB,分別交AE, BC于點E, F.求證:四邊形AECF是矩形.
證明:∵ AE// BC,
∴∠1=∠2.
在△ADE和△CDF中，
∵ ∠1=∠2,∠ADE=∠CDF,AD=CD,
∴△ADE≌△CDF.
∴AE = CF.
所以四邊形AECF是平行四邊形.
又因為四邊形ABFE是平行四邊形，
∴EF = AB.
∵ AC=AB，
∴EF = AC.
∴四邊形AECF是矩形
例4 已知: 如圖19- 35,在四邊形ABCD中,∠A =
∠B=∠C=90°.
求證:四邊形ABCD是矩形.
證明：∵∠A =∠B=∠C=90°
∴∠B +∠C= 180°，∠A +∠B= 180°.
∴AB// CD, AD // BC.
∴四邊形ABCD是平行四邊形.
所以四邊形ABCD是矩形
自結測試：
1.下列條件中,不能判定四邊形為矩形的是( )
A.對角線相等且互相平分的四邊形
B .有一組鄰角相等的平行四邊形
C .對角線相等且垂直的四邊形
D.有一組對角互補的平行四邊形
[答案] C
[分析]本題考查了矩形的判定，平行四邊形的性質，根據矩形的判定定理分別進行分析判斷即可.
[詳解]解: A. 對角線相等且互相平分的四邊形為矩形，故此選項不符合題意;
B、有一組鄰角相等的平行四邊形，可證明有一個角為直角， 能判定四邊形為矩形,故此選項不符合題意;
C.對角線相等且垂直的四邊形不能判定四邊形為矩形，故此選項符合題意;
D.有一-組對角互補的平行四邊形，可證明有一 個角為直角，能判定四邊形為矩形，故此選項不符合題意;
故選: C.
2.在數學活動課上,同學們在判斷一個四邊形]框是否為矩形，下面是幾個學習小組擬定的方案,其中正確的是( )
A .測量兩組對邊是否分別相等 B .測量其中三個內角是否都為直角
C .測量對角線是否相等 D .測量對角線是否互相平分
[答案] B
[分析]本題考查的是矩形的判定定理，牢記矩形的判定方法是解答本題的關鍵，難度較小.根據矩形的判定定理即可得到結論.
[詳解]解: A.測量兩組對邊是否相等，能判定平行四邊形;不符合題意;
B、測量其中三個內角是否為直角，能判定矩形:符合題意;
C.測量對角線是否相等,不能判定形狀;不符合題意;
D.測量對角線是否相互平分，能判定平行四邊形:不符合題意;
故選: B.
3.如圖，點在矩形的邊上，將矩形沿折疊，使點落在邊上的點處．若，，則長為（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了翻折變換，矩形的性質，勾股定理的綜合運用，先根據矩形的性質得，再根據折疊的性質得，在中，利用勾股定理計算出，則，設，則，然后在中根據勾股定理得到，解方程即可得到的長，解題時，常常設要求的線段長為，然后根據折疊和軸對稱的性質用含的代數式表示其他線段的長度，選擇適當的直角三角形，運用勾股定理列出方程求出答案．
【詳解】解：∵四邊形為矩形，
，
∵矩形沿直線折疊，頂點恰好落在邊上的處，
，
在中，，
，
設，則，
在中，，
，
解得，
，
故選：B．
4.如圖，點在矩形的邊上，將矩形沿翻折，點恰好落在邊的點處，如果，那么的值等于（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了矩形與折疊、勾股定理、等腰三角形的性質，先根據矩形的性質得出，，再根據折疊的性質得出，，，然后根據等邊對等角得出，根據余角的定義、等量代換及等角對等邊得出，設，根據勾股定理得出，根據線段的和差及勾股定理得出，最后再化簡即可得出答案．
【詳解】四邊形為矩形
，
將矩形沿翻折，
，，
設
在中，
故選B．
5.如圖所示，四邊形ABCD為平行四邊形，延長AD到點E ，使DE= AD，連接EB. EC ， DB，添加條件 _, 能使四邊形DBCE成為矩形,并說明理由
[答案] AB= BE或∠ADB=90°或CE⊥DE,理由見解析
[分析]本題考查了平行四邊形的判定和性質、矩形的判定，首先判定四邊形BCDE為平行四邊形是解題的關鍵.先證明四邊形BCDE為平行四邊形，再根據矩形的判定進行解答.
[詳解]解: ∵四邊形ABCD為平行四邊形，
∴ADII BC, AD= BC,
又∵AD= DE,
∴DE// BC,且DE= BC,
∴四邊形BCED為平行四邊形，
添加AB- BE，DE- AD,
∴BD⊥AE,
∴口DBCE為矩形;
添加∠ADB- 90°，
∴∠EDB=900，
∴口DBCE為矩形
∴添加CE⊥DE,
∴∠CED=900，
∴口DBCE為矩形. .
故答案為: AB= BE或∠ADB= 90°或CE⊥DE
6.如圖，在平行四邊形ABCD中, DE⊥AB于點E. BF 1 AB交CD于點F ,求證:四邊形DEBF是矩形.
[答案]見解析
[分析]根據平行四邊形的性質得到DF I BE，根據平行四邊形的判定得到四邊形DEBF是平行四邊形，根據矩形的判定定理即可得到結論.
[詳解]證明:在平行四邊形ABCD中,
∵CD// AB,
∴DFII BE,
∴DE⊥AB BF⊥AB,
∴∠DEB-90°，DE// BF,
∴四邊形DEBF是平行四邊形，
∵∠DEB=90°，
∴四邊形DEBF是矩形.
[點睛]本題考查了矩形的判定，平行四邊形的判定和性質，熟練掌握矩形的判定定理是解題的關鍵.
7.下面是小橙設計的“已知兩相交直線作矩形”的尺規作圖過程：
已知；如圖，直線與直線相交于點O． 求作：矩形，使矩形的四個頂點在這兩條直線上． 作法： ①在直線上任取一點A（不與點O重合） ②以點O為圓心，為半徑作弧依次與直線、于點B、C、D； ③連接，，，． 即四邊形就是所求作的矩形．
(1)使用直尺和圓規，按照作法補全圖（保留作圖痕跡）
(2)完成下面的證明：
證明：
∵，，
∴四邊形是 ．（ ）
∵，
∴，即，
∴四邊形是矩形．（ ）（填推理的依據）
【答案】(1)見詳解
(2)平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形
【分析】本題考查了尺規作圖，矩形的判定，平行四邊形的判定，
（1）根據題干中的要求作圖即可；
（2）首先判定平行四邊形，再根據對角線相等判定矩形即可．
【詳解】（1）解：如圖所示：
矩形即為所求；
（2）證明：∵，，
∴四邊形是平行四邊形．（對角線互相平分的四邊形是平行四邊形）
∵，
∴，
即，
∴四邊形是矩形．（對角線相等的平行四邊形是矩形）
故答案為：平行四邊形，對角線互相平分的四邊形是平行四邊形，對角線相等的平行四邊形是矩形．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
21世紀教育網(www.21cnjy.com)

展開更多......

收起↑