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第7章 一元一次不等式與不等式組 學案
【學習目標】
1.掌握不等式的有關概念及其基本性質.
2.熟練應用不等式的基本性質解一元一次不等式與不等式組.
3.會運用一元一次不等式與不等式組解決簡單的實際應用問題.
【學法指導】
1.自主學習，建立本章知識結構體系.
2.合作探究，提高應用知識解決問題的能力.
【自主學習】
1.請整理出本章知識結構圖.
2.在本章的學習過程中，用到了哪些重要的數學思想方法，請舉例說明.
【合作學習，課內探究】
對點練習1
如圖所示，表示三人體重，，的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
對點練習2
不等式的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
對點練習3
解不等式（組），并把解集畫在數軸上．
(1)
(2)
易錯題辨析
1.下列四個數軸上的點表示的數都是，其中一定滿足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
2.設n為正整數，且，則n的值為 ．
典例講解
某中學為豐富學生的校園生活，準備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買3個足球和2個籃球共需310元，購買2個足球和5個籃球共需500元．
(1)求購買一個足球、一個籃球各需多少元．
(2)根據學校實際情況，需從體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個，要求購買足球和籃球的總費用不超過5700元，這所中學最多可以購買多少個籃球．
解題方法總結：
綜合小測試
1.下列不等式中，表示a為非負數的是（ ）
A． B． C． D．
2．據悉，我國設計制造的天舟二號貨運飛船，在2021年5月29日順利升空，將6噸多物資運送到天和核心艙，若用a表示貨運飛船的載貨質量，則對a的取值理解最準確的是（　?。▎挝唬簢崳?br/>A． B． C． D．
3.若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
4．若，則下列不等式一定成立的是（　?。?br/>A． B． C． D．
5.不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
6.某市身高不超過的兒童可以免費乘坐公共汽車，若可以免費乘坐公共汽車的兒童的身高為，則（ ）
A． B． C． D．
7.若不等式組有解，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
8．不等式組的解集是（　?。?br/>A． B． C． D．
9.根據數量關系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式： ．
10.如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）．
11.若關于x的方程是一元一次方程，則 ．
12.不等式組的整數解之和是 ．
13.用適當的符號表示下列關系：
(1)x的與x的2倍的和是非正數；
(2)一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；
(3)三件上衣與四條長褲的總價錢不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的體重不比小剛輕．
14.解方程組、解不等式組．
(1)解方程組：
(2)解不等式組：，并把它的解集在數軸上表示出來．

能力拓展
1.由于無理數是無限不循環小數，所以對于其小數部分我們不可能全部寫出來，但是我們可以用這個無理數減去其整數部分來表示．比如的整數部分是1，所以其小數部分就可以表示為．根據上述材料，解答下列問題
(1)a是的整數部分，b是的小數部分，則的值是 ；
(2)已知，其中x是整數，求的值．
2.根據以下素材，探索完成任務．
探究獎項設置和獎品采購的方案
素材1 如圖，某學校舉辦“迎亞運慶國慶”知識競賽，分別設置一等獎、二等獎和三等獎的獎品．已知一盒水筆比一本筆記本的單價多10元，6盒水筆和3本筆記本的總價為150元．
素材2 若設置的獲獎總人數不變，為提高同學們的參賽積極性，學校計劃對獲獎級別及人數進行調整，如下表：
學習反思
通過這節課的學習，你有哪些收獲？你還有什么疑惑？
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第7章 一元一次不等式與不等式組 學案
【學習目標】
1.掌握不等式的有關概念及其基本性質.
2.熟練應用不等式的基本性質解一元一次不等式與不等式組.
3.會運用一元一次不等式與不等式組解決簡單的實際應用問題.
【學法指導】
1.自主學習，建立本章知識結構體系.
2.合作探究，提高應用知識解決問題的能力.
【自主學習】
1.請整理出本章知識結構圖.
2.在本章的學習過程中，用到了哪些重要的數學思想方法，請舉例說明.
【答案】（1）轉化思想：例如在探究一元一次不等式性質時，由回憶等式性質引出并結合進行。
數形結合方法：例如在探究一元一次不等式（組）解法時，通過數軸表示其解（解集）
(3)分類討論思想：例如在探究一元一次不等式組的解集規律時，利用表格進行分類探究。
【合作學習，課內探究】
對點練習1
如圖所示，表示三人體重，，的大小關系正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據不等式的傳遞性：，，可推得，可得答案．
【詳解】A、由圖示，得，故錯誤；
B、由圖示，得，故錯誤；
C、由圖示，得，，由不等式的傳遞性，得，故錯誤；
D、由圖示，得，，由不等式的傳遞性，得，故正確；
故選：D．
【點睛】本題考查了不等式的性質，利用了不等式的傳遞性：，，可推得．
對點練習2
不等式的解集在數軸上表示正確的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】本題考查了解一元一次不等式，在數軸上表示解集．熟練掌握解一元一次不等式，在數軸上表示解集是解題的關鍵．先解一元一次不等式，然后在數軸上表示解集，進行判斷即可．
【詳解】解：，
解得，
該不等式的解集在數軸上表示如圖所示：

故選：B．
對點練習3
解不等式（組），并把解集畫在數軸上．
(1)
(2)
【答案】(1)，數軸見解析
(2)，數軸見解析
【分析】本題考查了一元一次不等式和一元一次不等式組的解法以及在數軸上表示解集，掌握一元一次不等式的解法是解答本題的關鍵．
（1）按照去分母、去括號、移項、合并同類項、系數化為1的步驟解答即可；
（2）先分別求出各不等式的解集，然后再確定不等式組的解集并在數軸上表示出來即可．
【詳解】（1）解：
去分母，得
解得
答：原不等式的解為．
解集畫在數軸上：
（2）
解不等式①，得，
解不等式②，得，
∴原不等式組的解集為．
將解集表示在數軸上：
易錯題辨析
1.下列四個數軸上的點表示的數都是，其中一定滿足的是（ ）

A．（1）（3） B．（2）（3） C．（1）（4） D．（2）（4）
【答案】C
【分析】由得或進而即可求解；
【詳解】解：∵，
∴或，
∴或，
∴（1）（4）符合題意．
故選：C．
2.設n為正整數，且，則n的值為 ．
【答案】7
【分析】本題考查了無理數的估算，不等式的性質．熟練掌握無理數的估算是解題的關鍵．
由，可得，即，然后作答即可．
【詳解】解：∵，
∴，即，
∵，
∴，
故答案為：7．
典例講解
某中學為豐富學生的校園生活，準備從體育用品商店一次性購買若干個足球和籃球（每個足球的價格相同，每個籃球的價格相同），若購買3個足球和2個籃球共需310元，購買2個足球和5個籃球共需500元．
(1)求購買一個足球、一個籃球各需多少元．
(2)根據學校實際情況，需從體育用品商店一次性購買足球和籃球共96個，要求購買足球和籃球的總費用不超過5700元，這所中學最多可以購買多少個籃球．
【答案】(1)購買一個足球需50元，購買一個籃球需80元．
(2)這所中學最多可購買30個籃球．
【分析】本題考查了二元一次方程組和一元一次不等式的應用；關鍵是：根據題意找出表示實際問題含義的對等關系式．
（1）根據題意，列出二元一次方程組，利用二元一次方程組的加減消元法，解出結果．
（2）根據題意，列出一元一次不等式，運用一元一次不等式的一般解題步驟，解出答案．
【詳解】（1）解：設每個足球的價格為x元，每個籃球的價格為y元，根據題意列方程組得，，
解得，
答：購買一個足球需50元，購買一個籃球需80元．
（2）設購買了n個籃球，則購買了個足球，
列不等式得：，
解得：，
n為正整數，
這所中學最多可購買30個籃球
解題方法總結：
【答案】①認真審題,分析已知量、未知量和不等關系,并用文字式簡略表示出來;
②根據題目需要設出適當的未知數,并且將相關量都用含有未知數的代數式表示出來。
③將用文字表示的表達式用代數式和不等符號替換,根據不等關系列出不等式;
④求出不等式的解集,檢驗求得的解集是否符合題意,寫出答案。
綜合小測試
1.下列不等式中，表示a為非負數的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據非負數的定義和一元一次不等式的定義即可求解．
【詳解】解：∵a為非負數，
∴，
故選：D．
【點睛】本題考查非負數的定義及一元一次不等式的定義，熟練掌握非負數的性質是解題的關鍵．
2．據悉，我國設計制造的天舟二號貨運飛船，在2021年5月29日順利升空，將6噸多物資運送到天和核心艙，若用a表示貨運飛船的載貨質量，則對a的取值理解最準確的是（　?。▎挝唬簢崳?br/>A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據“6噸多”得到的取值范圍即可．
【詳解】解：根據“6噸多”物資運送到天和核心艙得到．
故選：D．
【點睛】本題主要考查了不等式的定義：用“”或“”號表示大小關系的式子，叫做不等式，用“”號表示不等關系的式子也是不等式．
3.若，則下列不等式成立的是（ ）
A． B． C． D．
【答案】C
【分析】本題主要考查了不等式的性質，熟知不等式的性質是解題的關鍵：不等式兩邊同時加上或減去一個數或者式子，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以或除以一個正數，不等號不改變方向，不等式兩邊同時乘以或除以一個負數，不等號改變方向．
【詳解】解：∵，
∴，
∴四個選項中，只有C選項中的不等式成立，
故選C．
4．若，則下列不等式一定成立的是（　　）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據，應用不等式的基本性質，逐項判斷即可．
【詳解】解：A．，
，但是與的關系不確定，，，都有可能，故本選項不符合題意；
，故本選項符合題意；
，故本選項不符合題意；
，故本選項不符合題意；
故選：B．
5.不等式的解集為（　　）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查不等式的基本性質，掌握在不等式的兩邊同時乘以或除以一個負數，不等號的方向改變是解題的關鍵．
【詳解】解：∵，
∴不等式的解集為：，
故選：D．
6.某市身高不超過的兒童可以免費乘坐公共汽車，若可以免費乘坐公共汽車的兒童的身高為，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】根據不等關系，直接列出不等式即可，本題主要考查列不等式，準確找到不等關系是關鍵．
【詳解】解：由題意得：，
故選：D
7.若不等式組有解，則k的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【答案】D
【分析】本題考查了一元一次不等式組的解法，解題的關鍵是掌握解集的確定方法：同大取大，同小取小，大小小大中間找，大大小小找不到．
【詳解】解：不等式組有解，
，
故選：D．
8．不等式組的解集是（　?。?br/>A． B． C． D．
【答案】C
【分析】題考查了解一元一次不等式組．解題的關鍵是先求出每個不等式的解集，然后遵循以下原則：同大取較大，同小取較小，小大大小中間找，大大小小解不了．
【詳解】解：解不等式得，
解不等式得，
∴不等式組的解集為：，
故選C．
9.根據數量關系“x的2倍與y的差大于3”，列不等式： ．
【答案】
【分析】本題考查了列不等式題，關鍵是理解“大于”用數學符號表示應為“>”．表示出x的2倍與 y的差，表示為，后用“> "與3連接即可．
【詳解】解∶ “x的2倍與y的差大于3”可表示為．
故答案為∶ ．
10.如果，，那么a b（填“”“ ”“ ”）．
【答案】
【分析】本題考查了不等式的性質．根據不等式的性質，進行計算即可解答．
【詳解】解：∵，
∴，
∴，
故答案為：．
11.若關于x的方程是一元一次方程，則 ．
【答案】0
【分析】本題主要考查了一元一次方程的定義，只含有一個未知數（元），并且未知數的指數是1（次）的方程叫做一元一次方程．它的一般形式是（a，b是常數且）．
【詳解】解：根據題意得：，
解得：，或0，
∴．
故答案為：0．
12.不等式組的整數解之和是 ．
【答案】3
【分析】本題考查不等式組的解法及整數解的確定．先求出不等式組中每個不等式的解集，然后求出其公共解集，最后求其整數解即可求出整數解之和．
【詳解】解：不等式組可化為，
解得，
其整數解為，，0，1，2，3，
所以整數解之和是．
故答案為：3．
13.用適當的符號表示下列關系：
(1)x的與x的2倍的和是非正數；
(2)一枚炮彈的殺傷半徑不小于300米；
(3)三件上衣與四條長褲的總價錢不高于268元；
(4)明天下雨的可能性不小于；
(5)小明的體重不比小剛輕．
【答案】(1)
(2)設炮彈的殺傷半徑為r，則應有
(3)設每件上衣為a元，每條長褲是b元，應有
(4)用P表示明天下雨的可能性，則有
(5)設小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應有
【分析】（1）非正數用“”表示；
（2）、（4）不小于就是大于等于，用“≥”來表示；
（3）不高于就是等于或低于，用“≤”表示；
（5）不比小剛輕，就是與小剛一樣重或者比小剛重．用“≥”表示．
【詳解】（1）；
（2）設炮彈的殺傷半徑為r，則應有；
（3）設每件上衣為a元，每條長褲是b元，應有；
（4）用P表示明天下雨的可能性，則有；
（5）設小明的體重為a千克，小剛的體重為b千克，則應有．
【點睛】本題考查了不等式的定義．一般地，用不等號表示不相等關系的式子叫做不等式．解答此類題關鍵是要識別常見不等號：＞，＜，≤，≥，≠．
14.解方程組、解不等式組．
(1)解方程組：
(2)解不等式組：，并把它的解集在數軸上表示出來．

【答案】(1)
(2)解集為，數軸表示見解析．
【分析】本題考查了代入消元法解二元一次方程組及解不等式組，表示不等式的解集，熟練求解二元一次方程組及不等式組是解題的關鍵．
（1）根據代入消元法求解即可；
（2）先求解不等式組，再表示出解集即可．
【詳解】（1）解：解法一：把②變形得．③
把③代入①得，解得．
把代入③得．
該方程組的解為
解法二：把①變形得．③
把③代入②得，解得．
把代入③得．
該方程組的解為
（2）解：解不等式①得，
解不等式②得．
在數軸上表示出不等式①②的解集如圖所示，

該不等式組的解集為．
能力拓展
1.由于無理數是無限不循環小數，所以對于其小數部分我們不可能全部寫出來，但是我們可以用這個無理數減去其整數部分來表示．比如的整數部分是1，所以其小數部分就可以表示為．根據上述材料，解答下列問題
(1)a是的整數部分，b是的小數部分，則的值是 ；
(2)已知，其中x是整數，求的值．
【答案】(1)3
(2)
【分析】本題考查了無理數的整數部分，不等式的性質，代數式求值．熟練掌握無理數的估算，正確表示無理數的整數部分、小數部分是解題的關鍵．
（1）由題意知，，則，，然后代值求解即可；
（2）由，可得，進而可求，，然后代值求解即可．
【詳解】（1）解：∵，
∴，
∴，，
∴，
故答案為：3；
（2）∵，
∴，
∴，
∵，x是整數，
∴，，
∴，
∴的值為．
2.根據以下素材，探索完成任務．
探究獎項設置和獎品采購的方案
素材1 如圖，某學校舉辦“迎亞運慶國慶”知識競賽，分別設置一等獎、二等獎和三等獎的獎品．已知一盒水筆比一本筆記本的單價多10元，6盒水筆和3本筆記本的總價為150元．
素材2 若設置的獲獎總人數不變，為提高同學們的參賽積極性，學校計劃對獲獎級別及人數進行調整，如下表：
【答案】任務1：一盒水筆20元，一本筆記本10元；任務2：或；任務3：兩種情形均選擇去A超市購買比較合算，理由見解析
【分析】本題主要考查二元一次方程組及不等式的應用，解題的關鍵是理解題意；
（1）設每盒水筆的價格是x元，每本筆記本的價格是y元，然后根據題意可列方程，進而求解即可；
（2）由題意易得，然后進行分類討論即可求解；
（3）由（2）及題意可分類求出所需費用，然后問題可求解
【詳解】解：（1）設每盒水筆的價格是x元，每本筆記本的價格是y元，
根據題意得，
解得，
答：一盒水筆20元，一本筆記本10元．
（2）根據題意，得，
解得．
∵m是整數，
∴或7，
∴共有兩種可能，分別是或；
（3）①當，時，需采購水筆82盒，筆記本32本．
A超市：買水筆82盒，需支付1640元，送20本筆記本，再買12本筆記本，需支付120元，共支付1760元；
B超市：（元）
∵，
∴選擇去A超市購買比較合算．
②當，時，需采購水筆84盒，筆記本34本．
A超市：買水筆84盒，需支付1680元，送21本筆記本，再買13本筆記本，需支付130元，共支付1810元；
B超市：（元）
∵，
∴選擇去A超市購買比較合算，
∴兩種情形均選擇去A超市購買比較合算．
學習反思
通過這節課的學習，你有哪些收獲？你還有什么疑惑？
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