資源簡介

中小學(xué)教育資源及組卷應(yīng)用平臺
6.3.1平面向量基本定理
班級 姓名
學(xué)習(xí)目標(biāo)
1．了解平面向量基本定理及其意義．
2．了解向量基底的含義．在平面內(nèi)，當(dāng)一組基底確定后，會用這組基底來表示其他向量．
學(xué)習(xí)過程
自學(xué)指導(dǎo) 自學(xué)檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內(nèi)容 1．平面向量基本定理條件e1，e2是同一平面內(nèi)的兩個 結(jié)論對于這一平面內(nèi)的任一向量a，有且只有一對實數(shù)λ1，λ2，使a＝ 2．基底若e1，e2不共線，把{e1，e2}叫做表示這一平面內(nèi)所有向量的一個基底．3．基底的性質(zhì)(1)不共線性： 平面內(nèi)兩個 的向量才可以作為一組基底. 由于零向量與任何向量共線，所以零向量不可以作為基底．(2)不唯一性： 對基底的選取不唯一，平面內(nèi)任一向量a都可被這個平面的一組基底{e1，e2}線性表示．【即時訓(xùn)練】設(shè)e1，e2是平面內(nèi)的一組基底，則下面四組向量不能作為基底的是(　　)A．e1＋e2和e1－e2 B．3e1－2e2和4e2－6e1C．e1＋2e2和e2＋2e1 D．e2和e2＋e1
對平面向量基本定理的理解 例1、(1)如果e1，e2是平面α內(nèi)兩個不共線的向量，那么下列說法中不正確的是(　　)①a＝λe1＋μe2(λ，μ∈R)可以表示平面α內(nèi)的所有向量；②對于平面α內(nèi)任一向量a，使a＝λe1＋μe2的實數(shù)對(λ，μ)有無窮多個；③若向量λ1e1＋μ1e2與λ2e1＋μ2e2共線，則＝；④若存在實數(shù)λ，μ，使得λe1＋μe2＝0，則λ＝μ＝0.A．①②　　　　　　　　 B．②③C．③④ D．①④(2)如圖所示，平面內(nèi)的兩條相交直線OP1和OP2將該平面分割成四個部分Ⅰ，Ⅱ，Ⅲ，Ⅳ(不包括邊界)．若＝a＋b，且點P落在第Ⅲ部分，則實數(shù)a，b滿足(　　)A．a(chǎn)>0，b>0 B．a(chǎn)>0，b<0C．a(chǎn)<0，b>0 D．a(chǎn)<0，b<0
用基底表示向量 例2、如圖，已知在梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，E，F(xiàn)分別是DC，AB的中點，設(shè)＝a，＝b，試用{a，b}為基底表示，，. INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\數(shù)學(xué) 人A 必修第二冊（新教材）最新（加雙選）\\6-74.TIF" \* MERGEFORMATINET 變式1、如圖，AD,BE,CF是△ABC的三條中線，＝a，＝b，用a，b表示，，，.
向量分解法的運用 例3、(1)如圖，在平行四邊形ABCD中，AC，BD相交于點O，E為線段AO的中點，若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，則λ＋μ＝______．(2)在△ABC中，AD為BC邊上的中線，E為AD的中點，則＝(　　)A．－ B．－ C．＋ D．＋變式2、如圖，在△ABC中，＝，P是BN上一點．若＝m＋，則實數(shù)m的值為________．
思考題 如圖，在平行四邊形ABCD中，E和F分別是邊CD和BC的中點，若＝λ＋μ，其中λ，μ∈R，則λ＋μ＝________．
課后作業(yè)
一、基礎(chǔ)訓(xùn)練題
1．若{e1，e2}是平面內(nèi)的一個基底，則下列四組向量能作為平面向量的基底的是(　　)
A．e1－e2，e2－e1　 B．e1－e2，e1＋e2
C．2e2－e1，－2e2＋e1 D．2e1＋e2,4e1＋2e2
2．設(shè)向量e1與e2不共線，若3xe1＋(10－y)e2＝(4y－7)e1＋2xe2，則實數(shù)x，y的值分別為(　　)
A．0,0　　 　B．1,1　　 　　 C．3,0　　 　　D．3,4
3．如圖，矩形ABCD中，＝5e1，＝3e2，則等于(　　)
A．(5e1＋3e2) B．(5e1－3e2)
C．(3e2－5e1) D．(5e2－3e1)
4．設(shè)點D為△ABC中BC邊上的中點，O為AD邊上靠近點A的三等分點，則(　　)
A．＝－＋ B．＝－
C．＝－ D．＝－＋
5．如圖，在△ABC中，＝，EF∥BC，EF交AC于F，
設(shè)＝a，＝b，則等于(　　)
A．－a＋b B．a(chǎn)－b
C．a(chǎn)－b D．a(chǎn)＋b
6．如圖，已知E，F(xiàn)分別是矩形ABCD的邊BC，CD的中點，EF與AC交于點G，若＝a，＝b，用a，b表示＝(　　)
A．a(chǎn)＋b B．a(chǎn)＋b
C．a(chǎn)－b D．a(chǎn)＋b
7．設(shè)e1，e2是平面內(nèi)一組基向量，且a＝e1＋2e2，b＝－e1＋e2，則向量e1＋e2可以表示為以a，b為基向量的線性組合，即e1＋e2＝________．
8．若向量a＝4e1＋2e2與b＝ke1＋e2共線，其中e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，則k的值為________．
9．如圖，平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點，BF＝BC，以a，b為基底表示向量與．
10．如圖，平面內(nèi)有三個向量，，，其中與的夾角為120°，與的夾角為30°，且||＝||＝1，||＝2.若＝λ＋μ(λ，μ∈R)，求λ＋μ的值.
INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMAT INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\word\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET INCLUDEPICTURE "D:\\2019\\同步\\數(shù)學(xué)\\人A必修第二冊（新教材）\\數(shù)學(xué) 人A 必修第二冊（新教材）最新（加雙選）\\6-84.TIF" \* MERGEFORMATINET
二、綜合訓(xùn)練題
11．如圖，在四邊形ABCD中，＝，E為BC的中點，
且＝x＋y，則3x－2y＝(　　)
A． B． C．1 D．2
12．若點M是△ABC所在平面內(nèi)一點，且滿足：＝＋，則△ABM與△ABC的面積之比為________．
三、能力提升題
13．(多選題)在直角三角形ABC中，P是斜邊BC上一點，且滿足＝2，點M，N在過點P的直線上，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，則下列結(jié)論正確的是(　　)
A．＋為常數(shù) B．m＋2n的最小值為3
C．m＋n的最小值為 D．m，n的值可以為m＝，n＝2
14．如圖所示，在 ABCD中，＝a，＝b，BM＝BC，AN＝AB．
(1)試用向量a，b來表示，；
(2)AM交DN于O點，求AO∶OM的值．
6.3.1平面向量基本定理（一）
參考答案
1、【答案】B
【解析】不共線的向量能作為基底，因為e1－e2＝－(e2－e1)，所以向量e1－e2，e2－e1共線，排除A；因為2e2－e1＝－(－2e2＋e1)，所以2e2－e1，－2e2＋e1共線，排除C；因為2e1＋e2＝(4e1＋2e2)，所以2e1＋e2,4e1＋2e2共線，排除D．故選B．
2、【答案】D
【解析】因為e1與e2不共線，所以解方程組得x＝3，y＝4．
3、【答案】A
【解析】＝＝(－)＝(＋)＝(5e1＋3e2)．
4、【答案】D
【解析】依題意，得＝－＝－＝×(＋)－＝－＋.故選D.
5、【答案】A
【解析】∵＝，∴＝－．又∵EF∥BC，∴＝＝(－)，
∴＝＋＝－＋(－)＝－＝－a＋b．
6、【答案】D
【解析】＝＝－a－b. ＝a＋b，∴＝＋＝a＋b.
7、【答案】a－b
【解析】由a＝e1＋2e2①，b＝－e1＋e2②，由①＋②得e2＝a＋b，
代入①可求得e1＝a－b，所以e1＋e2＝a－b．
8、【答案】2
【解析】∵向量a與b共線，∴存在實數(shù)λ，使得b＝λa，即ke1＋e2＝λ(4e1＋2e2)＝4λe1＋2λe2．
∵e1，e2是同一平面內(nèi)兩個不共線的向量，∴∴k＝2．
9、[解]　在平行四邊形ABCD中，＝a，＝b，H，M分別是AD，DC的中點，BF＝BC，
∴＝＋＝＋＝＋＝b＋a，＝－＝＋－＝a＋b－b＝a－b．
10、解　如圖，以O(shè)A，OB所在射線為鄰邊，
OC為對角線作平行四邊形OMCN，使得M在直線OA上，N在直線OB上，
則存在λ，μ，使＝λ，＝μ，
即＝＋＝λ＋μ. 在Rt△OCM中，
∵||＝2，∠COM＝30°，∴∠OCM＝90°，
∴||＝4，∴＝4，又||＝||＝2，∴＝2，
∴＝4＋2，即λ＝4，μ＝2，∴λ＋μ＝6.
11、【答案】C
【解析】由題意，得＝＋＝＋＝＋(－＋＋)
＝＋＝＋.
∵＝x＋y，∴x＋y＝＋.∵與不共線，
∴由平面向量基本定理，得∴3x－2y＝3×－2×＝1.
12、【答案】1∶4　
【解析】如圖，由＝＋可知M，B，C三點共線，
令＝λ，則＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋λ
λ＝，所以＝，即△ABM與△ABC面積之比為1∶4．
13、【答案】ABD
【解析】如圖所示，由＝2，可得－＝2(－)，
∴＝＋，若＝m，＝n(m＞0，n＞0)，
則＝，＝，∴＝＋，
∵M，P，N三點共線，∴＋＝1，∴＋＝3，
當(dāng)m＝時，n＝2，A，D選項正確；
m＋2n＝(m＋2n)＝＋＋≥2＋＝3，當(dāng)且僅當(dāng)m＝n時等號成立，B選項正確；
m＋n＝(m＋n)＝＋＋1≥2＋1＝＋1，
當(dāng)且僅當(dāng)n＝m時等號成立，C選項錯誤．故選ABD．
14、[解]　(1)因為AN＝AB，所以＝＝a，所以＝－＝a－b．
因為BM＝BC，所以＝＝＝b，所以＝＋＝a＋b．
(2)因為A，O，M三點共線，所以∥，
設(shè)＝λ，則＝－＝λ－＝λ－b＝λa＋b．
因為D，O，N三點共線，所以∥，存在實數(shù)μ使＝μ，則λa＋b＝μ．
由于向量a，b不共線，則解得所以＝，＝，
所以AO∶OM＝3∶11.
21世紀教育網(wǎng) www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 2 頁）
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