資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
班級 姓名
學習目標
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示．
2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差的坐標運算法則．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點一　平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相 的向量，叫做把向量作 .知識點二　平面向量的坐標表示1.在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個 分別為i，j，取{i，j}作為基底.對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作 .2.在直角坐標平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .知識點三　平面向量加、減運算的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，數學公式文字語言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
一、平面向量的坐標表示 例1、如圖，在平面直角坐標系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，＝a，＝b.四邊形OABC為平行四邊形.(1)求向量a，b的坐標；(2)求向量的坐標；(3)求點B的坐標.變式1、如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和與的坐標．
二、平面向量加、減運算的坐標表示 例2、(1)已知向量a，b的坐標分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且＝3，＝2，求M，N及的坐標．變式2、(1)已知點A(1，0)，B(3，2)，向量＝(2，1)，則向量＝(　　)A．(0，－1) B．(1，－1)C．(1，0) D．(－1，0)(2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，＝(2，3)，＝(－1，2)，則＋＝(　　)A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)變式3、(多選題)一個平行四邊形的三個頂點坐標分別是(5，7)，(－3，5)，(3，4)，則第四個頂點的坐標可能是(　　)A．(－1，8) B．(－5，2)C．(11，6) D．(5，2)
課后作業
一、基礎訓練題
1．如圖，{e1，e2}是一個基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
則向量a的坐標為(　　)
A．(1，3)　　　　　　　 B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知向量＝(2,4)，＝(0,2)，則＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
3．已知＝(－2,4)，則下列說法正確的是(　　)
A．A點的坐標是(－2,4) B．B點的坐標是(－2,4)
C．當B是原點時，A點的坐標是(－2,4) D．當A是原點時，B點的坐標是(－2,4)
4．若{i，j}為正交基底，設a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則向量a對應的坐標位于(　　)
A．第一、二象限　　B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果將＝繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到，則的坐標是(　　)
A． B． C．(－1，) D．
6．如圖，在 ABCD中，AC為一條對角線，若＝(2,4)，＝(1,3)，則＝________.
7．已知點A(3，－4)與B(－1,2)，點P在直線AB上，且||＝||，則點P的坐標為________．
8．在平面直角坐標系xOy中，向量a，b的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，則a的坐標為________，b的坐標為________．
9．已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標系，i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，試求和的坐標．
10．已知平面上三個點坐標為A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求點D的坐標，使得這四個點為構成平行四邊形的四個頂點．
11．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若＝＋，求點P的坐標；
(2)若＋＋＝0，求的坐標．
二、綜合訓練題
12．對于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內，且∠AOC＝45°，設＝λ＋(1－λ)(λ∈R)，則λ的值為(　　)
A．　　　　B．　　　　C．　　　　D．
14．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)與相等，已知A(1,3)，B(2,4)，則a＝________，x＝________.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
參考答案
1、【答案】A
2、【答案】A　
【解析】＝－＝(－2，－2)．
3、【答案】D　
【解析】當向量起點與原點重合時，向量坐標與向量終點坐標相同．
4、【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝＋＞0，x2－x＋1＝＋＞0，所以向量a對應的坐標位于第四象限．
5、【答案】D
【解析】如圖，設繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到的的坐標為(x，y)，由題意得||＝1，
則x＝||cos(120°＋30°)＝－，
y＝||sin(120°＋30°)＝，
故的坐標是.故選D.
6、【答案】(－3，－5)　
【解析】＝－＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
＝＋＝－＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
7、【答案】(1，－1)　
【解析】設P點坐標為(x，y)，||＝||.
當P在線段AB上時，＝.∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，
∴ 解得 ∴P點坐標為(1，－1)．
當P在線段AB延長線上時，＝－.
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，
∴ 此時無解．
綜上所述，點P的坐標為(1，－1)．
8、【答案】(，)　
9、[解]　由長方形ABCD知，CB⊥x軸，CD⊥y軸，
因為AB＝4，AD＝3，所以＝4i＋3j，所以＝(4,3)．
又＝＋＝－＋，所以＝－4i＋3j，
所以＝(－4,3)．
10、[解]　設點D的坐標為(x，y)，
(1)當平行四邊形為ABCD時，＝，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴ ∴
∴D(0，－1)．
(2)當平行四邊形為ABDC時，同(1)可得D(2，－3)．
(3)當平行四邊形為ADBC時，同(1)可得D(6,15)．
綜上可見點D可能為(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
11、[解]　(1)因為＝(1，2)，＝(2，1)，
所以＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即點P的坐標為(3，3)．
(2)設點P的坐標為(x，y)，
因為＋＋＝0，又＋＋＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以解得
所以點P的坐標為(2，2)，故＝(2，2)．
12、【答案】A　
【解析】設b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝，所以向量b＝.
13、【答案】C　
【解析】如圖所示，因為∠AOC＝45°，
所以設C(x，－x)，
則＝(x，－x)．
又因為A(－3,0)，B(0,2)，
所以λ＋(1－λ)＝(－3λ，2－2λ)，
所以 λ＝.
14、【答案】(1,1)　1　
【解析】∵＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵＝a，∴ 解得x＝1.
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6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
班級 姓名
學習目標
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示．
2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差的坐標運算法則．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點一　平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相 的向量，叫做把向量作 .知識點二　平面向量的坐標表示1.在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個 分別為i，j，取{i，j}作為基底.對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作 .2.在直角坐標平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .知識點三　平面向量加、減運算的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，數學公式文字語言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
一、平面向量的坐標表示 例1、如圖，在平面直角坐標系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b.四邊形OABC為平行四邊形.(1)求向量a，b的坐標；(2)求向量eq \o(BA,\s\up6(→))的坐標；(3)求點B的坐標.變式1、如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和eq \o(AB,\s\up6(→))與eq \o(AD,\s\up6(→))的坐標．
二、平面向量加、減運算的坐標表示 例2、(1)已知向量a，b的坐標分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \o(CM,\s\up7(―→))＝3eq \o(CA,\s\up7(―→))，eq \o(CN,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，求M，N及eq \o(MN,\s\up7(―→))的坐標．變式2、(1)已知點A(1，0)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，則向量eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　　)A．(0，－1) B．(1，－1)C．(1，0) D．(－1，0)(2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2)，則eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(　　)A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)變式3、(多選題)一個平行四邊形的三個頂點坐標分別是(5，7)，(－3，5)，(3，4)，則第四個頂點的坐標可能是(　　)A．(－1，8) B．(－5，2)C．(11，6) D．(5，2)
課后作業
一、基礎訓練題
1．如圖，{e1，e2}是一個基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
則向量a的坐標為(　　)
A．(1，3)　　　　　　　 B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(0,2)，則eq \o(BC,\s\up7(→))＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
3．已知eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,4)，則下列說法正確的是(　　)
A．A點的坐標是(－2,4) B．B點的坐標是(－2,4)
C．當B是原點時，A點的坐標是(－2,4) D．當A是原點時，B點的坐標是(－2,4)
4．若{i，j}為正交基底，設a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則向量a對應的坐標位于(　　)
A．第一、二象限　　B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果將eq \o(OA,\s\up6(→))＝繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到eq \o(OB,\s\up6(→))，則eq \o(OB,\s\up6(→))的坐標是(　　)
A． B． C．(－1，eq \r(3)) D．
6．如圖，在 ABCD中，AC為一條對角線，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，則eq \o(BD,\s\up7(→))＝________.
7．已知點A(3，－4)與B(－1,2)，點P在直線AB上，且|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|，則點P的坐標為________．
8．在平面直角坐標系xOy中，向量a，b的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，則a的坐標為________，b的坐標為________．
9．已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標系，i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，試求eq \o(AC,\s\up7(→))和eq \o(BD,\s\up7(→))的坐標．
10．已知平面上三個點坐標為A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求點D的坐標，使得這四個點為構成平行四邊形的四個頂點．
11．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，求點P的坐標；
(2)若eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，求eq \o(OP,\s\up6(→))的坐標．
二、綜合訓練題
12．對于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內，且∠AOC＝45°，設eq \o(OC,\s\up7(→))＝λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))(λ∈R)，則λ的值為(　　)
A．eq \f(1,5)　　　　B．eq \f(1,3)　　　　C．eq \f(2,5)　　　　D．eq \f(2,3)
14．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)與eq \o(AB,\s\up7(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，則a＝________，x＝________.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
參考答案
1、【答案】A
2、【答案】A　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2，－2)．
3、【答案】D　
【解析】當向量起點與原點重合時，向量坐標與向量終點坐標相同．
4、【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，所以向量a對應的坐標位于第四象限．
5、【答案】D
【解析】如圖，設eq \o(OA,\s\up6(→))繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到的eq \o(OB,\s\up6(→))的坐標為(x，y)，由題意得|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝1，
則x＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|cos(120°＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)，
y＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|sin(120°＋30°)＝eq \f(1,2)，
故eq \o(OB,\s\up6(→))的坐標是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故選D.
6、【答案】(－3，－5)　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
7、【答案】(1，－1)　
【解析】設P點坐標為(x，y)，|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|.
當P在線段AB上時，eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→)).∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1.)) ∴P點坐標為(1，－1)．
當P在線段AB延長線上時，eq \o(AP,\s\up7(→))＝－eq \o(PB,\s\up7(→)).
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，)) 此時無解．
綜上所述，點P的坐標為(1，－1)．
8、【答案】(eq \r(2)，eq \r(2))　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
9、[解]　由長方形ABCD知，CB⊥x軸，CD⊥y軸，
因為AB＝4，AD＝3，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝4i＋3j，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)．
又eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))，所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝－4i＋3j，
所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝(－4,3)．
10、[解]　設點D的坐標為(x，y)，
(1)當平行四邊形為ABCD時，eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＝1，,－2－y＝－1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))
∴D(0，－1)．
(2)當平行四邊形為ABDC時，同(1)可得D(2，－3)．
(3)當平行四邊形為ADBC時，同(1)可得D(6,15)．
綜上可見點D可能為(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
11、[解]　(1)因為eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，
所以eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即點P的坐標為(3，3)．
(2)設點P的坐標為(x，y)，
因為eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))
所以點P的坐標為(2，2)，故eq \o(OP,\s\up6(→))＝(2，2)．
12、【答案】A　
【解析】設b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝eq \f(4,5)，所以向量b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5))).
13、【答案】C　
【解析】如圖所示，因為∠AOC＝45°，
所以設C(x，－x)，
則eq \o(OC,\s\up7(→))＝(x，－x)．
又因為A(－3,0)，B(0,2)，
所以λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))＝(－3λ，2－2λ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ)) λ＝eq \f(2,5).
14、【答案】(1,1)　1　
【解析】∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，)) 解得x＝1.
NUMPAGES 2 頁）
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