資源簡介

中小學教育資源及組卷應用平臺
6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
班級 姓名
學習目標
1．了解向量數乘的概念并理解數乘運算的幾何意義．
2．理解并掌握向量數乘的運算律，會進行向量的數乘運算．
3．理解并掌握兩向量共線的性質和判斷方法，并能熟練地處理有關向量共線問題．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 1．數乘運算的坐標表示(1)符號表示：已知a＝(x，y)，則λa＝ ．(2)文字描述：實數與向量的積的坐標等于用這個實數乘原來向量的相應坐標．【即時訓練1】(1)已知A(2,4)，B(－1，－5)，C(3，－2)，則＋＝(　　)A．(2，－3)　　B．(－2，－3) C．(－2,3) D．(2,3)(2)已知向量a＝(－3,2)，b＝(－1,0)，c＝(2,1)則a＋2b－3c的坐標是________．
閱讀教材，完成右邊的內容 2．平面向量共線的坐標表示(1)設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，其中b≠0，a，b共線的充要條件是存在實數λ，使 ．(2)如果用坐標表示，向量a，b(b≠0)共線的充要條件是 ．3．正確理解向量平行的條件(1)a∥b(b≠0) a＝λb. 這是幾何運算，體現了向量a與b的長度及方向之間的關系．(2)a∥b x1y2－x2y1＝0，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)．這是代數運算，由于不需引進參數λ，從而簡化代數運算．(3)a∥b ＝，其中a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)且y1≠0，y2≠0. 即兩向量的對應坐標成比例．通過這種形式較易記憶向量共線的坐標表示，而且不易出現搭配錯誤．【即時訓練2】(1)下列各組向量中，共線的是(　　)A．a＝(－2,3)，b＝(4,6) B．a＝(2,3)，b＝(3,2)C．a＝(1，－2)，b＝(7,14) D．a＝(－3,2)，b＝(6，－4)(2)已知A，B，C三點共線，且A(－3，6)，B(－5，2)，若C點的縱坐標為6，則C點的橫坐標為(　　)A．－3　　　　　　　　B．9 C．－9 D．3
已知平面向量共線求參數 例1、已知a＝(1,2)，b＝(－3,2)，當k為何值時，ka＋b與a－3b平行？平行時它們是同向還是反向？變式1、(1)已知非零向量a＝(m2－1，m＋1)與向量b＝(1，－2)平行，則實數m的值為(　　)A．－1或 B．1或－ C．－1 D．(2)已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相異三點A，B，C共線，則實數k＝________.
共線向量與線段分點坐標的計算 例2、設P是線段上一點，點,的坐標分別是(，)，(，).(1)當P是線段的中點時，求點P的坐標.(2)當P是線段的一個三等分點時，求點P的坐標.變式2、當＝λ(λ≠－1)時，點P的坐標是什么？
課后作業
一、基礎訓練題
1．在下列向量組中，可以把向量a＝(3,2)表示出來的是(　　)
A．e1＝(0,0)，e2＝(1,2) B．e1＝(－1,2)，e2＝(5，－2)
C．e1＝(3,5)，e2＝(6,10) D．e1＝(2，－3)，e2＝(－2,3)
2．若向量a＝(－1，x)與b＝(－x,2)共線且方向相同，則x的值為(　　)
A．　　　 　B．－　　　 　C．2　　 　　 D．－2
3．向量＝(k,12)，＝(4,5)，＝(10，k)，若A，B，C三點共線，則k的值為(　　)
A．－2 B．11 C．－2或11 D．2或11
4．與a＝(12,5)平行的單位向量為(　　)
A． B．
C．或 D．
5．已知向量a＝(1－sinθ，1)，b＝，且a∥b，則銳角θ等于(　　)
A．30° B．45° C．60° D．75°
6．已知點A(1，－2)，若線段AB的中點坐標為(3,1)，且與向量a＝(1，λ)共線，則λ＝________．
7．已知＝(k,2)，＝(1,2k)，＝(1－k，－1)，且相異三點A，B，C共線，則實數k＝________．
8．已知向量a＝(－2,3)，b∥a，向量b的起點為A(1,2)，終點B在坐標軸上，則點B的坐標為________．
9．已知A(2,4)，B(－4,6)，若＝，＝，則的坐標為________.
10．已知點A(x,0)，B(2x,1)，C(2，x)，D(6,2x)．
(1)求實數x的值，使向量與共線；
(2)當向量與共線時，點A，B，C，D是否在一條直線上？
11．已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)．設＝a，＝b，＝c，且＝3c，
＝－2b．
(1)求3a＋b－3c；
(2)求滿足a＝mb＋nc的實數m，n；
(3)求M，N的坐標及的坐標．
二、綜合訓練題
12．(多選題)已知A(2,1)，B(0,2)，C(－2,1)，O(0,0)，則下列結論正確的是(　　)
A．直線OC與直線BA平行 B．＋＝
C．＋＝ D．＝－2
13．設向量a＝(a1，b1)，b＝(a2，b2)，定義一種運算“＊”，向量a?b＝(a1，b1)＊(a2，b2)＝(a2b1，a1b2)．已知m＝，n＝，點P(x，y)在y＝sin x的圖象上運動，點Q在
y＝f(x)的圖象上運動且滿足＝m＊＋n(其中O為坐標原點)，則y＝f(x)的最小值為(　　)
A．－1　　　 　B．－2　 　　　C．2　 　　　D．
14．已知向量＝(3，－4)，＝(6，－3)，＝(5－m，－3－m)，若點A，B，C能構成三角形，則實數m應滿足的條件為________．
三、能力提升題
15．如圖所示，在四邊形ABCD中，已知A(2,6)，B(6,4)，C(5，0)，D(1,0)，則直線AC與BD交點P的坐標為________．
6.3.4　平面向量數乘運算的坐標表示
參考答案
1、【答案】B　
【解析】只有選項B中兩個向量不共線可以表示向量a．
2、【答案】A　
【解析】由a∥b得－x2＋2＝0,得x＝±．當x＝時,a與b方向相同,當x＝－時,a與b方向相反．
3、【答案】C　
【解析】＝－＝(4－k，－7)，＝－＝(6，k－5)，由題知∥，
故(4－k)(k－5)－(－7)×6＝0，解得k＝11或k＝－2．
4、【答案】C
【解析】設與a平行的單位向量為e＝(x，y)，則∴或
5、【答案】B　
【解析】由a∥b，可得(1－sin θ)(1＋sin θ)－＝0，即cos θ＝±，而θ是銳角，故θ＝45°．
6、【答案】　
【解析】由題意得，點B的坐標為(3×2－1,1×2＋2)＝(5,4)，則＝(4,6)．
又與a＝(1，λ)共線，則4λ－6＝0，解得λ＝．
7、【答案】－　
【解析】＝－＝(1－k,2k－2)，＝－＝(1－2k，－3)，由題意可知∥，
所以(－3)×(1－k)－(2k－2)(1－2k)＝0，解得k＝－或k＝1，
當k＝1時，A，B重合，故舍去．
8、【答案】或　
【解析】由b∥a，可設b＝λa＝(－2λ，3λ)．設B(x，y)，則＝(x－1，y－2)＝b．
由
又B點在坐標軸上，則1－2λ＝0或3λ＋2＝0，
當λ＝時，x＝0時，y＝；當λ＝－時，x＝，y＝0．所以B或．
9、【答案】
【解析】設C(x1，y1)，D(x2，y2)，則(x1－2，y1－4)＝(－6,2)＝(－9,3)，∴x1＝－7，y1＝7，即C(－7,7).
(x2＋4，y2－6)＝(6，－2)＝，∴x2＝4，y2＝，即D，則＝.
10、[解]　(1)＝(x,1)，＝(4，x)．∵∥，∴x2＝4，x＝±2．
(2)由已知得＝(2－2x，x－1)，當x＝2時，＝(－2,1)，＝(2,1)，
∴和不平行，此時A，B，C，D不在一條直線上．
當x＝－2時，＝(6，－3)，＝(－2,1)，∴∥，此時A，B，C三點共線．
又∥，∴A，B，C，D四點在一條直線上．
綜上，當x＝2時，A，B，C，D不在一條直線上；
當x＝－2時，A，B，C，D四點在一條直線上．
11、[解]　a＝＝(5，－5)，b＝＝(－6，－3)，c＝＝(1,8)．
(1)3a＋b－3c＝3(5，－5)＋(－6，－3)－3(1,8)＝(15－6－3，－15－3－24)＝(6，－42)．
(2)∵a＝mb＋nc，∴(5，－5)＝m(－6，－3)＋n(1,8)．
∴∴
(3)設M(x1，y1)，由＝3c，得(x1＋3，y1＋4)＝3(1,8)，
∴∴x1＝0，y1＝20．∴M(0,20)．
設N(x2，y2)，由＝－2b，得(x2＋3，y2＋4)＝－2(－6，－3)．
∴解得∴N(9,2)．∴＝(9，－18)．
12、【答案】ACD　
【解析】因為＝(－2,1)，＝(2，－1)，所以＝－，又直線OC，BA不重合，
所以直線OC∥BA，所以A正確；因為＋＝≠，所以B錯誤；
因為＋＝(0,2)＝，所以C正確；
因為＝(－4,0)，－2＝(0,2)－2(2,1)＝(－4,0)，所以D正確．
13、【答案】B　
【解析】由題意知，點P的坐標為(x，sin x)，
則＝m?＋n＝＋＝．
又因為點Q在y＝f(x)的圖象上運動，所以點Q的坐標滿足y＝f(x)的解析式，
即y＝2sin，所以函數y＝f(x)的最小值為－2．
14、【答案】m≠　
【解析】＝－＝(6，－3)－(3，－4)＝(3,1)，＝－＝(5－m，－3－m)－(3，－4)
＝(2－m,1－m)，由于點A，B，C能構成三角形，則與不共線，
則3(1－m)－(2－m)≠0，解得m≠．
15、【答案】　
【解析】設P(x，y)，則＝(x－1，y)，＝(5,4)，＝(－3,6)，＝(4,0)．
由B，P，D三點共線可得＝λ＝(5λ，4λ)．
又因為＝－＝(5λ－4,4λ)，由與共線得，(5λ－4)×6＋12λ＝0．解得λ＝，
所以＝＝，所以P的坐標為．
21世紀教育網 www.21cnjy.com 精品試卷·第 2 頁 （共 6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
班級 姓名
學習目標
1.了解平面向量的正交分解，掌握向量的坐標表示．
2.理解向量坐標的概念，掌握兩個向量和、差的坐標運算法則．
學習過程
自學指導 自學檢測及課堂展示
閱讀教材，完成右邊的內容 知識點一　平面向量的正交分解把一個向量分解為兩個互相 的向量，叫做把向量作 .知識點二　平面向量的坐標表示1.在平面直角坐標系中，設與x軸、y軸方向相同的兩個 分別為i，j，取{i，j}作為基底.對于平面內的任意一個向量a，由平面向量基本定理可知，有且只有一對實數x，y，使得a＝xi＋yj.平面內的任一向量a都可由x，y唯一確定，我們把有序數對(x，y)叫做向量a的坐標，記作 .2.在直角坐標平面中，i＝ ，j＝ ，0＝ .知識點三　平面向量加、減運算的坐標表示設a＝(x1，y1)，b＝(x2，y2)，數學公式文字語言表述向量加法a＋b＝(x1＋x2，y1＋y2)兩個向量和的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的和向量減法a－b＝(x1－x2，y1－y2)兩個向量差的坐標分別等于這兩個向量相應坐標的差已知點A(x1，y1)，B(x2，y2)，那么向量eq \o(AB,\s\up6(→))＝(x2－x1，y2－y1)，即任意一個向量的坐標等于表示此向量的有向線段的終點的坐標減去起點的坐標.
一、平面向量的坐標表示 例1、如圖，在平面直角坐標系xOy中，OA＝4，AB＝3，∠AOx＝45°，∠OAB＝105°，eq \o(OA,\s\up6(→))＝a，eq \o(AB,\s\up6(→))＝b.四邊形OABC為平行四邊形.(1)求向量a，b的坐標；(2)求向量eq \o(BA,\s\up6(→))的坐標；(3)求點B的坐標.變式1、如圖，已知邊長為1的正方形ABCD，AB與x軸正半軸成30°角．求點B和點D的坐標和eq \o(AB,\s\up6(→))與eq \o(AD,\s\up6(→))的坐標．
二、平面向量加、減運算的坐標表示 例2、(1)已知向量a，b的坐標分別是(－1,2)，(3，－5)，求a＋b，a－b,3a,2a＋3b的坐標；(2)已知A(－2,4)，B(3，－1)，C(－3，－4)，且eq \o(CM,\s\up7(―→))＝3eq \o(CA,\s\up7(―→))，eq \o(CN,\s\up7(―→))＝2eq \o(CB,\s\up7(―→))，求M，N及eq \o(MN,\s\up7(―→))的坐標．變式2、(1)已知點A(1，0)，B(3，2)，向量eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，則向量eq \o(BC,\s\up6(→))＝(　　)A．(0，－1) B．(1，－1)C．(1，0) D．(－1，0)(2)已知四邊形ABCD為平行四邊形，eq \o(AB,\s\up6(→))＝(2，3)，eq \o(AD,\s\up6(→))＝(－1，2)，則eq \o(AC,\s\up6(→))＋eq \o(BD,\s\up6(→))＝(　　)A．(－2，4) B．(4，6)C．(－6，－2) D．(－1，9)變式3、(多選題)一個平行四邊形的三個頂點坐標分別是(5，7)，(－3，5)，(3，4)，則第四個頂點的坐標可能是(　　)A．(－1，8) B．(－5，2)C．(11，6) D．(5，2)
課后作業
一、基礎訓練題
1．如圖，{e1，e2}是一個基底，且e1＝(1，0)，e2＝(0，1)，
則向量a的坐標為(　　)
A．(1，3)　　　　　　　 B．(3，1)
C．(－1，－3) D．(－3，－1)
2．已知向量eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(0,2)，則eq \o(BC,\s\up7(→))＝(　　)
A．(－2，－2) B．(2,2) C．(1,1) D．(－1，－1)
3．已知eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2,4)，則下列說法正確的是(　　)
A．A點的坐標是(－2,4) B．B點的坐標是(－2,4)
C．當B是原點時，A點的坐標是(－2,4) D．當A是原點時，B點的坐標是(－2,4)
4．若{i，j}為正交基底，設a＝(x2＋x＋1)i－(x2－x＋1)j(其中x∈R)，則向量a對應的坐標位于(　　)
A．第一、二象限　　B．第二、三象限 C．第三象限 D．第四象限
5．如果將eq \o(OA,\s\up6(→))＝繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到eq \o(OB,\s\up6(→))，則eq \o(OB,\s\up6(→))的坐標是(　　)
A． B． C．(－1，eq \r(3)) D．
6．如圖，在 ABCD中，AC為一條對角線，若eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)，eq \o(AC,\s\up7(→))＝(1,3)，則eq \o(BD,\s\up7(→))＝________.
7．已知點A(3，－4)與B(－1,2)，點P在直線AB上，且|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|，則點P的坐標為________．
8．在平面直角坐標系xOy中，向量a，b的方向如圖所示，且|a|＝2，|b|＝3，則a的坐標為________，b的坐標為________．
9．已知長方形ABCD的長為4，寬為3，建立如圖所示的平面直角坐標系，i是x軸上的單位向量，j是y軸上的單位向量，試求eq \o(AC,\s\up7(→))和eq \o(BD,\s\up7(→))的坐標．
10．已知平面上三個點坐標為A(3,7)，B(4,6)，C(1，－2)，求點D的坐標，使得這四個點為構成平行四邊形的四個頂點．
11．在平面直角坐標系xOy中，已知點A(1，1)，B(2，3)，C(3，2)，
(1)若eq \o(OP,\s\up6(→))＝eq \o(AB,\s\up6(→))＋eq \o(AC,\s\up6(→))，求點P的坐標；
(2)若eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，求eq \o(OP,\s\up6(→))的坐標．
二、綜合訓練題
12．對于向量m＝(x1，y1)，n＝(x2，y2)，定義m n＝(x1x2，y1y2)．已知a＝(2，－4)，且a＋b＝a b，那么向量b等于(　　)
A． B．
C． D．
13．已知A(－3,0)，B(0,2)，O為坐標原點，點C在∠AOB內，且∠AOC＝45°，設eq \o(OC,\s\up7(→))＝λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))(λ∈R)，則λ的值為(　　)
A．eq \f(1,5)　　　　B．eq \f(1,3)　　　　C．eq \f(2,5)　　　　D．eq \f(2,3)
14．若向量a＝(2x－1，x2＋3x－3)與eq \o(AB,\s\up7(→))相等，已知A(1,3)，B(2,4)，則a＝________，x＝________.
6.3.2　平面向量的正交分解及坐標表示
6.3.3　平面向量加、減運算的坐標表示
參考答案
1、【答案】A
2、【答案】A　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－2，－2)．
3、【答案】D　
【解析】當向量起點與原點重合時，向量坐標與向量終點坐標相同．
4、【答案】D　
【解析】x2＋x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x＋\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，x2－x＋1＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(x－\f(1,2)))eq \s\up12(2)＋eq \f(3,4)＞0，所以向量a對應的坐標位于第四象限．
5、【答案】D
【解析】如圖，設eq \o(OA,\s\up6(→))繞原點O按逆時針方向旋轉120°得到的eq \o(OB,\s\up6(→))的坐標為(x，y)，由題意得|eq \o(OA,\s\up6(→))|＝1，
則x＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|cos(120°＋30°)＝－eq \f(\r(3),2)，
y＝|eq \o(OA,\s\up6(→))|sin(120°＋30°)＝eq \f(1,2)，
故eq \o(OB,\s\up6(→))的坐標是eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(\r(3),2)，\f(1,2))).故選D.
6、【答案】(－3，－5)　
【解析】eq \o(BC,\s\up7(→))＝eq \o(AC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(1,3)－(2,4)＝(－1，－1)，
eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))＋eq \o(CD,\s\up7(→))＝eq \o(BC,\s\up7(→))－eq \o(AB,\s\up7(→))＝(－1，－1)－(2,4)＝(－3，－5)．
7、【答案】(1，－1)　
【解析】設P點坐標為(x，y)，|eq \o(AP,\s\up7(→))|＝|eq \o(PB,\s\up7(→))|.
當P在線段AB上時，eq \o(AP,\s\up7(→))＝eq \o(PB,\s\up7(→)).∴(x－3，y＋4)＝(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝－1－x，,y＋4＝2－y，)) 解得eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝1,y＝－1.)) ∴P點坐標為(1，－1)．
當P在線段AB延長線上時，eq \o(AP,\s\up7(→))＝－eq \o(PB,\s\up7(→)).
∴(x－3，y＋4)＝－(－1－x,2－y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x－3＝1＋x，,y＋4＝－2＋y，)) 此時無解．
綜上所述，點P的坐標為(1，－1)．
8、【答案】(eq \r(2)，eq \r(2))　eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(－\f(3,2)，\f(3\r(3),2)))
9、[解]　由長方形ABCD知，CB⊥x軸，CD⊥y軸，
因為AB＝4，AD＝3，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝4i＋3j，所以eq \o(AC,\s\up7(→))＝(4,3)．
又eq \o(BD,\s\up7(→))＝eq \o(BA,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))＝－eq \o(AB,\s\up7(→))＋eq \o(AD,\s\up7(→))，所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝－4i＋3j，
所以eq \o(BD,\s\up7(→))＝(－4,3)．
10、[解]　設點D的坐標為(x，y)，
(1)當平行四邊形為ABCD時，eq \o(AB,\s\up7(→))＝eq \o(DC,\s\up7(→))，
∴(4,6)－(3,7)＝(1，－2)－(x，y)，
∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(1－x＝1，,－2－y＝－1，)) ∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝0，,y＝－1，))
∴D(0，－1)．
(2)當平行四邊形為ABDC時，同(1)可得D(2，－3)．
(3)當平行四邊形為ADBC時，同(1)可得D(6,15)．
綜上可見點D可能為(0，－1)或(2，－3)或(6,15)．
11、[解]　(1)因為eq \o(AB,\s\up6(→))＝(1，2)，eq \o(AC,\s\up6(→))＝(2，1)，
所以eq \o(OP,\s\up6(→))＝(1，2)＋(2，1)＝(3，3)，
即點P的坐標為(3，3)．
(2)設點P的坐標為(x，y)，
因為eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝0，又eq \o(PA,\s\up6(→))＋eq \o(PB,\s\up6(→))＋eq \o(PC,\s\up6(→))＝(1－x，1－y)＋(2－x，3－y)＋(3－x，2－y)＝(6－3x，6－3y)，
所以eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(6－3x＝0，,6－3y＝0，))解得eq \b\lc\{(\a\vs4\al\co1(x＝2，,y＝2，))
所以點P的坐標為(2，2)，故eq \o(OP,\s\up6(→))＝(2，2)．
12、【答案】A　
【解析】設b＝(x，y)，由新定義及a＋b＝a b，可得(2＋x，y－4)＝(2x，－4y)，
所以2＋x＝2x，y－4＝－4y，解得x＝2，y＝eq \f(4,5)，所以向量b＝eq \b\lc\(\rc\)(\a\vs4\al\co1(2，\f(4,5))).
13、【答案】C　
【解析】如圖所示，因為∠AOC＝45°，
所以設C(x，－x)，
則eq \o(OC,\s\up7(→))＝(x，－x)．
又因為A(－3,0)，B(0,2)，
所以λeq \o(OA,\s\up7(→))＋(1－λ)eq \o(OB,\s\up7(→))＝(－3λ，2－2λ)，
所以eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(x＝－3λ，,－x＝2－2λ)) λ＝eq \f(2,5).
14、【答案】(1,1)　1　
【解析】∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝(2,4)－(1,3)＝(1,1)，∵eq \o(AB,\s\up7(→))＝a，∴eq \b\lc\{\rc\ (\a\vs4\al\co1(2x－1＝1，,x2＋3x－3＝1，)) 解得x＝1.
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