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7.4 二項分布與超幾何分布
考法一 二項分布
【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學校聯考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲 乙各射擊一次，甲 乙每次至少射中8環.根據統計資料可知，甲擊中8環 9環 10環的概率分別為，乙擊中8環 9環 10環的概率分別為，且甲 乙兩人射擊相互獨立.
(1)在一場比賽中，求乙擊中的環數少于甲擊中的環數的概率；
(2)若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)0.2
(2)分布列見解析，數學期望為0.6
【解析】（1）設乙擊中的環數少于甲擊中的環數為事件，
則事件包括：甲擊中9環乙擊中8環，甲擊中10環乙擊中8環，甲擊中10環乙擊中9環，
則.
（2）由題可知的所有可能取值為，
由（1）可知，在一場比賽中，甲擊中的環數多于乙擊中的環數的概率為0.2，
則，
所以，
，
故的分布列為
0 1 2 3
0.512 0.384 0.096 0.008
所以.
【一隅三反】
1．（2024·內蒙古赤峰）已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進入第二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現有，，三位畢業生應聘該單位，假設，，三位畢業生筆試合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.
(1)求，兩位畢業生中有且只有一位通過招聘的概率；
(2)記隨機變量為，，三位畢業生中通過招聘的人數，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）記“，兩位畢業生中有且只有一位通過招聘”為事件.
通過招聘的概率為，通過招聘的概率為，
∴.
即，兩位畢業生有且只有一位通過招聘的概率為.
（2）隨機變量可能的取值為0，1，2，3.
通過招聘的概率為，
由（1）得，兩位畢業生通過招聘的概率均為.
∴，，三位畢業生通過招聘的人數.
則，
，
，
，
隨機變量的分布列為：
0 1 2 3
數學期望.
2．（2024上·內蒙古鄂爾多斯 ）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(1)求的值以及這批產品的優質率；
(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
【答案】(1)，優質率為25%
(2)分布列見解析，1
【解析】（1）因為，所以，
產品質量指標超過130的頻率為，
所以這批產品的優質率為；
（2）因為抽到產品為優質產品的頻率為0.25，
以頻率作為概率，所以每件產品為優質產品的概率為，
所以4件產品中優質產品的件數，
則，，
所以，，
，，
，
所以的分布列為
0 1 2 3 4
P
.
考法二 超幾何分布
1．（2023上·內蒙古呼倫貝爾）已知盒子內有大小相同的10個球，其中紅球有個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為.
(1)求的值；
(2)現從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數為，求的分布列和數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）已知盒子內有大小相同的10個球，其中紅球有個，
因為從盒子中任取2個球都是紅球的概率為，所以，所以，
所以，解得或（舍去）；
（2）由題意可能的取值為0，1，2，3，
則，，，，
故的分布列為：
0 1 2 3
所以的數學期望為.
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2022年已經培養了6000多名具有創新潛質的優秀中學生，為選拔培養對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優秀學生參加數學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，表示選取的人中來自該中學的人數，求的分布列和數學期望.
【答案】分布列見解析，
【解析】由題意可知的可能取值有0、1、2、3，
，，
，
所以，隨機變量的分布列如下表所示：
0 1 2 3
所以．
2．（2023上·江蘇南通·高三海門中學校考階段練習）某班為了慶祝我國傳統節日中秋節，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節目.
(1)求一學生既分得月餅又要表演節目的概率；
(2)求每位學生分得月餅數的概率分布和數學期望.
【答案】(1)
(2)分布列見解析，數學期望為
【解析】（1）記“一學生既分得月餅又要表演節目”為事件A，
可知有兩種可能：“2個紅球1個黃球”和“1個黑球，1個紅球，1個黃球”，
所以.
（2）由題意可知的可能取值為：0，1，2，3，則有：
，
，
可得的分布列為
0 1 2 3
所以.
3．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數為，求的分布列與數學期望．
【答案】(1)，
(2)分布列見解析；期望為
【解析】（1）由直方圖可知，
解得．
因為，
，
所以學員該項技能的評價指標的中位數在內．
設學員該項技能的評價指標的中位數為，則，
解得．
（2）由題意可知抽取的12名學員中該項技能的評價指標在內的有4名，在內的有8名．
由題意可知的所有可能取值為．
，，
，，
，
則的分布列為
0 1 2 3 4
考法三 二項分布與超幾何分布的辨析
【例3-1】（2023湖南）下列隨機事件中的隨機變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為
B．從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為
【答案】B
【解析】由超幾何分布的定義可判斷，只有B中的隨機變量服從超幾何分布.
故選：B.
【例3-2】（2023上海）下列例子中隨機變量服從二項分布的個數為（ ）
①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數；
②某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數；
③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數；
④有一批產品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現次品的件數
A．0 B．1 C．2 D．3
【答案】B
【解析】①滿足獨立重復試驗的條件，是二項分布；
②的取值是1，2，3…，，（），顯然不符合二項分布的定義，因此不服從二項分布；
③雖然是有放回地摸球，但隨機變量的定義是直到摸出白球為止，也就是說前面摸出的一定是紅球，最后一次是白球，不符合二項分布的定義；
④次試驗是不獨立的，因此不服從二項分布．
所以只有1個服從二項分布.
故選：B．
【例3-3】（2024·天津 ）已知條件①采用無放回抽取：②采用有放回抽取，請在上述兩個條件中任選一個，補充在下面問題中橫線上并作答，選兩個條件作答的以條件①評分.
問題：在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若___________，從這7個球中隨機抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數為X，求隨機變量X的分布列和期望.
【答案】分布列答案見解析，數學期望：
【解析】若選①，由題意，隨機變量的可能值為0，1，2，3
，
，
，
；
所以的分布列為
0 1 2 3
期望；
若選②，由題意，隨機變量的可能值為0，1，2，3，且，
，
，
，
，
的分布列為：
0 1 2 3
期望.
【一隅三反】
1．（2024北京）(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有（ ）
A．在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X
B．從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數
C．一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的數為隨機變量X
D．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數記為X
【答案】ABD
【解析】依據超幾何分布模型定義可知，試驗必須是不放回地抽取次，A、B、D中隨機變量X服從超幾何分布.而C中顯然不能看作一個不放回抽樣問題，故隨機變量X不服從超幾何分布.
故選：ABD
2．（2023安徽）(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是（ ）
A．運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”
B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”
C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標
【答案】ABC
【解析】AC符合互斥事件的概念，是互斥事件，不是獨立重復試驗；
B是相互獨立事件，但是“甲射中10環”與“乙射中9環” 的概率不一定相同，因此不是獨立重復試驗；
D中在相同的條件下，甲射擊10次，是獨立重復試驗
故選：ABC
3（2023上·陜西西安 ）某中學進行校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機抽取4道來回答．競賽規則規定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．
(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．
【答案】(1)，
(2)答案見解析
【解析】（1）設甲答對題目的數目為，則，
可得，
又因為，
所以，.
（2）設乙答對的題目數為，可知的可能取值為0，1，2，3，4，
則，則有：
，
，
，
所以的分布列為：
10 25 40
4（2023云南）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；
（2）在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列．
【答案】（1）12件；（2）答案見解析；（3）答案見解析.
【解析】（1）質量超過505克的產品的頻率為5×0.05＋5×0.01＝0.3
所以質量超過505克的產品數量為40×0.3＝12(件)．
（2）重量超過505克的產品數量為12件，則重量未超過505克的產品數量為28件
∴P(X＝0)＝＝，
P(X＝1)＝＝，
P(X＝2)＝＝，
∴X的分布列為
X 0 1 2
P
（3）根據樣本估計總體的思想，取一件產品，該產品的質量超過505克的概率為＝.
從流水線上任取2件產品互不影響，該問題可看成2次獨立重復試驗，質量超過505克的件數Y的可能取值為0,1,2，且Y～B，
P(Y＝k)＝，
所以P(Y＝0)＝＝，
P(Y＝1)＝，
P(Y＝2)＝.
∴Y的分布列為
Y 0 1 2
P
考法四 二項分布與超幾何分布隨機變量概率最值
【例4-1】（2024上·北京豐臺 ）2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶．某科研小組經過研究發現，患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異．在某地的兩類人群中各隨機抽取20人的該項醫學指標作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，用頻率估計概率．
(1)當臨界值時，求漏診率和誤診率；
(2)從指標在區間樣本中隨機抽取2人，記隨機變量為未患病者的人數，求的分布列和數學期望；
(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記為該地診斷結果不符合真實情況的概率．當時，直接寫出使得取最小值時的的值．
【答案】(1)，
(2)分布列見解析；期望為
(3)
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知，．
（2）樣本中患病者在指標為區間的人數是，未患病者在指標為區間的人數是，總人數為5人．
可能的取值為0，1，2．
，，．
隨機變量的分布列為
0 1 2
隨機變量的期望為．
（3）由題，，
時，令
所以，關于的一次函數系數為，故單調遞增，則即時取最小值
【例4-2】（2024上·河南漯河 ）為了引導居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.
階梯級別 第一階梯 第二階梯 第三階梯
月用電范圍（度）
某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統計表如下：
居民用電戶編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用電量（度） 53 86 90 124 214 215 220 225 420 430
(1)若規定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算某居民用電戶用電450度時應交電費多少元？
(2)現要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數的分布列與期望；
(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現從全市中依次抽取10戶，記取到第一階梯電量的戶數為，當時對應的概率為，求取得最大值時的值.
【答案】(1)259元
(2)分布列見解析，期望為
(3)4
【解析】（1）（元）.
（2）設取到第二階梯電量的戶數為，可知第二階梯電量的用戶有4戶，
則可取0，1，2，3，4
，
，，
故的分布列為
0 1 2 3
.
（3）據題意，從全市中抽取的10戶中用電量為第一階梯的有戶，則服從二項分布，
可知，
（注：兩個不等式寫出一個即可.）
解得，，.
當時用電量為第一階梯的可能性最大.
【一隅三反】
1．（2024·全國·模擬預測）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．
(1)當時，若發送0，則要得到正確信號，試比較單次傳輸和三次傳輸方案的概率大小；
(2)若采用三次傳輸方案發送1，記收到的信號中出現2次信號1的概率為，出現3次信號1的概率為，求的最大值．
【答案】(1)單次傳輸小于三次傳輸
(2)
【解析】（1）單次傳輸發送0譯碼為0的概率．
三次傳輸發送0譯碼為0的概率．
因為，所以要得到正確信號，三次傳輸方案的概率大．
（2）由題意得，．
記函數，
則．
當時，，函數單調遞增，當時，，函數單調遞減，
所以當時，，
所以的最大值是．
2．（2024上·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播粒種子，每粒種子發芽的概率均為，且每粒種子是否發芽相互獨立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.
(1)從 個坑中選兩個坑進行觀察，兩坑不能相鄰，有多少種方案？
(2)對于單獨一個坑，需要補播種的概率是多少？
(3)當 取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？
【答案】(1)
(2)
(3)或；
【解析】（1）先把個坑排好共個空，再把剩下的2個坑往空里放，共有種方案；
（2）一個坑需要補播種有兩種可能：兩粒種子不發芽和三粒種子不發芽
兩粒種子發芽的概率
三粒種子發芽的概率
所以一個坑需要補播種的概率
（3）3個坑要補播種的概率為，要想有3個坑要補播種概率最大，即滿足不等式組
解得：，又，所以或時，3個坑要補播種的概率最大，此時.
3．（2024上·北京昌平）某汽車生產企業對一款新上市的新能源汽車進行了市場調研，統計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數據分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)求的值；
(2)該汽車生產企業在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務項目．若為這3人提供的售后服務項目總價值為元，求的分布列和數學期望；
(3)用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設這10人中評分不低于110分的人數為，問為何值時，的值最大？（結論不要求證明
【答案】(1)；
(2)分布列見解析，期望6900；
(3).
【解析】（1）由頻率分布直方圖可知；
（2）根據頻率分布直方圖可知評分低于110分的占比，評分不低于110分的占比，
任選3人中其評分情況有四種：3人均低于110分；2人低于110分，1人不低于110分；1人低于110分，2人不低于110分；3人均不低于110分，
所以可取四種情況，
，，
，，
故的分布列為：
9000 8000 7000 6000
0.027 0.189 0.441 0.343
則；
（3）由題意可知，
可知當時取得最大值.
證明如下：設最大，即，
所以，
化簡得，因為，故.
考法五 二項分布與超幾何分布與其他知識的綜合
【例5】（2024上·山東日照·高二統考期末）普法宣傳教育是依法治國、建設法治社會的重要內容，也是構建社會主義和諧社會的應有之意．為加強對學生的普法教育，某校將舉辦一次普法知識競賽，共進行5輪比賽，每輪比賽結果互不影響．比賽規則如下：題庫中有法律文書題和案例分析題兩類問題，每道題滿分10分．每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內完成法律文書題和案例分析題各2道，若有不少于3道題得分超過8分，將獲得“優勝獎”，5輪比賽中，至少獲得4次“優勝獎”的同學將進入決賽．甲同學經歷多次限時模擬訓練，指導老師從訓練題庫中隨機抽取法律文書題和案例分析題各5道，其中有4道法律文書題和3道案例分析題得分超過8分．
(1)從這10道題目中，隨機抽取法律文書題和案例分析題各2道，求該同學在一輪比賽中獲“優勝獎”的概率；
(2)將上述兩類題目得分超過8分的頻率作為概率．為提高甲同學的參賽成績，指導老師對該同學進行賽前強化訓練，使得法律文書題和案例分析題得分超過8分的概率共增加了，以獲得“優勝獎”的次數期望為參考，試預測該同學能否進入決賽．
【答案】(1)
(2)該同學沒有希望進入決賽
【解析】（1）由題可知，所有可能的情況有：
①超過8分的是1道法律文書題，2道案例分析題，，
②超過8分的是2道法律文書題，1道案例分析題，，
③超過8分的是2道法律文書題，2道案例分析題，，
故所求的概率；
（2）設強化訓練后，法律文書題超過8分的概率為，案例分析題超過8分的概率為，
則，
由已知可得，強化訓練后該同學某一輪可獲得“優勝獎”的概率為：
，
，且，，即，，
則，，
故可得：，，
，
，
令，則在上單調遞減，
．
該同學在5輪比賽中獲得“優勝獎”的次數，
，
故該同學沒有希望進入決賽．
【一隅三反】
1．（2023下·江西贛州·高二校聯考階段練習）（多選）在等差數列中，．現從數列的前10項中隨機抽取3個不同的數，記取出的數為正數的個數為．則下列結論正確的是（ ）
A．服從二項分布 B．服從超幾何分布
C． D．
【答案】BD
【解析】依題意，等差數列公差，則通項為
，
由得，即等差數列前10項中有6個正數，
的可能取值為的事件表示取出的3個數中有個正數，（）個非正數，
因此，不服從二項分布，服從超幾何分布，不正確，B正確；
錯誤；
由題正確．
故選：．
2．（2024·江蘇 ）某學校有甲，乙兩個餐廳，經統計發現，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學第天選擇餐廳甲就餐的概率為．
(1)記某班3位同學第二天選擇餐廳甲的人數為，求隨機變量的分布列及期望；
(2)學校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級抽調21人到甲乙兩個餐廳參加志愿服務，請求出的通項公式，根據以上數據合理分配甲，乙兩個餐廳志愿者人數，并說明理由．
【答案】(1)分布列見解析，；
(【解析】（1）某同學第二天選擇餐廳甲就餐的概率
某同學第二天選擇餐廳乙就餐的概率
所以3位同學第二天選擇餐廳甲就餐的人數為
記某班3位同學第二天選擇餐廳甲的人數為，所有可能的取值為，
則
的分布列為：
X 0 1 2 3
P
.
（2）依題意，，即，
則有，當時，可得，
數列是首項為公比為的等比數列，則，
時，，
所以，各年級抽調的21人中，分配到餐廳甲的志愿者人數為，分配到餐廳乙的志愿者人數為.
3．（2024·山西呂梁 ）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進行3輪比賽，每輪比賽結果互不影響．比賽規則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規定的時間和范圍內，制作中式面點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認可，將獲得一張通關卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關卡的選手將進入決賽．為能進入決賽，小李賽前在師傅的指導下多次進行訓練，師傅從小李訓練中所做的菜品中隨機抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點和2道中式熱菜得到認可．
(1)若從小李訓練中所抽取的8道菜品中，隨機抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關情況，試預測小李在一輪比賽中通關的概率；
(2)若以小李訓練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認可的頻率作為該類菜品被評委認可的概率，經師傅對小李進行強化訓練后，每道中式面點被評委認可的概率不變，每道中式熱菜被評委認可的概率增加了，以獲得通關卡次數的期望作為判斷依據，試預測小李能否進入決賽？
【答案】(1)
(2)小李能進入決賽
【解析】（1）設“在一輪比賽中，小李獲得通關卡”，則事件A發生的所有情況有：
①得到認可的中式面點入選1道，中式熱菜入選2道的概率為
②得到認可的中式面點入選2道，中式熱菜入選1道的概率為
③得到認可的中式面點和中式熱菜各入選2道的概率為
所以；
（2）由題知，強化訓練后，每道中式面點被評委認可的概率為，每道中式熱菜被評委認可的概率為，則強化訓練后，在一輪比賽中，小李獲得通關卡的概率為
，
因為每輪比賽結果互不影響，所以進行3輪比賽可看作3重伯努利試驗．
用X表示小李在3輪比賽中獲得通關卡的次數，則 ，
∴，
∴小李能進入決賽.
4．（2024·黑龍江哈爾濱 ）這個冬季，哈爾濱文旅持續火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花紛飛，成為無數南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴寒冰雪與熱情服務碰撞出火花，吸引海內外游客紛至沓來．據統計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接待游客304.79萬人次，實現旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達到歷史峰值．現對某一時間段冰雪大世界的部分游客做問卷調查，其中的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人．每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀念品．假設每位來冰雪大世界景區游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨立的，用頻率估計概率．
(1)從冰雪大世界的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數為X，求X的分布列及數學期望；
(2)記n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為個的概率為，求的前n項和；
(3)從冰雪大世界的游客中隨機抽取100人，這些游客得到紀念品的總個數恰為n個的概率為，當取最大值時，求n的值．
【答案】(1)分布列見解析，期望為；
(2)；
(3)125.
【解析】（1）據題意，每位游客只游覽冰雪大世界的概率為，得到1份文旅紀念品；
既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人的概率為，獲得2份文旅紀念品，
則的可能取值為3，4，5，6，
其中，，，，
所以的分布列為
3 4 5 6
.
（2）因為n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為個，則只有1人既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，于是，
則，
于是，
兩式相減，得，
所以.
（3）設只游覽冰雪大世界的人數為x，則既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人的人數為，
因此游客得到紀念品的總個數，此時，
假定取最大值，必有，于是，
即，整理得，解得，而，則，
所以當取最大值時，.
單選題
1．（2024下·山東東營）隨機變量服從二項分布：，則它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
【答案】C
【解析】因為隨機變量服從二項分布：，則它的期望，故選：C.
2．（2023上·廣東深圳·高二校考期末）若100件產品中包含10件次品，有放回地隨機抽取6件，下列說法正確的是（ ）
A．其中的次品數服從超幾何分布
B．其中的正品數服從二項分布
C．其中的次品數的期望是1
D．其中的正品數的期望是5
【答案】B
【解析】若100件產品中包含10件次品，有放回地隨機抽取6件，則每一次抽取的結果相互獨立，故此題中的“正品數”和“次品數”都分別服從二項分布.
對于選項A，因次品數服從二項分布，故選項A錯誤；
對于選項B，正品數服從二項分布，故選項B正確；
對于選項C，因次品數服從二項分布，即，則次品數的期望是，故選項C錯誤；
對于選項D，因正品數服從二項分布，即，則正品數的期望是，故選項D錯誤.
故選：B.
3．（2024上·廣西桂林·高二統考期末）已知在件產品中有件次品，現從這件產品中任取件，用表示取得次品的件數，則（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】由題意可知，件產品中有件次品，件正品，
從這件產品中任取件，用表示取得次品的件數，
表示要從件次品中抽取件，從件正品中抽取件，
故.
故選：B.
4．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學校考期末）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現從中抽取5件，則抽得二等品件數X的數學期望為（ ）．
A．2 B．4 C． D．
【答案】C
【解析】隨機變量可取，
，，，，
，
故選：C
5．（2024上·廣東深圳 ）一袋中裝有大小 質地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【解析】根據題意，至少含有一個黑球的概率是.
故選：B.
6．（2021上·高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②X表示取出的最小號碼；
③X表示取出的白球個數；
④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.
這四種變量中服從超幾何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
【答案】B
【解析】超幾何分布定義：設有總數為N件的甲乙兩類物品，其中甲類有M件，從所有物品中任取n件，則中所含甲類物品件數X是一個離散型隨機變量，它取值m時的概率為，我們稱離散型隨機變量X的這種形式的概率分布為超幾何分布.
①②中的變量不符合超幾何分布的定義，無法用超幾何分布的數學模型計算概率，故①②錯誤；
③中的變量符合超幾何分布的定義選項，將白球視作甲類物品，黑球視作乙類物品，則可以用超幾何分布的數學模型計算概率，故③正確；
④中的變量可以對應取出的白球個數，符合超幾何分布的定義選項，可以用超幾何分布的數學模型計算概率，故④正確.
故選：B．
7．（2023下·上海浦東新·高二上海市建平中學校考期末）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
【答案】C
【解析】對于A，的可能取值為0，1，2，3，4，5，故A錯誤；
對于B，，故B錯誤；
對于D，由題意，隨機變量，故D不正確；
對于C，隨機變量，，
若取得最大值時，則:
，
則，解得，則．
故的概率最大，所以C正確；故選：C.
8．（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小 質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
【答案】D
【解析】①從中隨機地無放回摸出3個球，記白球的個數為的可能取值是，
則，
故隨機變量的概率分布列為
0 1 2 3
則數學期望為，
方差為.
②從中隨機地有放回摸出3個球，則每次摸到白球的概率為，
則，故，，
故.
故選：D.
多選題
9．（2024上·江西上饒·高二統考期末）若隨機變量，下列說法中正確的有（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
【答案】AC
【解析】因為隨機變量，則，，
，
由期望的性質可得，
由方差的性質可得，AC對，BD錯.
故選：AC.
10．（2023上·高二課時練習）在一個袋中裝有質地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現從中任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．隨機變量X服從二項分布
C．隨機變量X服從超幾何分布
D．
【答案】ACD
【解析】隨機變量X的所有可能取值為0，1，2，3，4，，
因此隨機變量X服從超幾何分布，B錯誤，C正確；
，，，
，，A正確；
，D正確.
故選：ACD
11．（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
【答案】BC
【解析】由題意得
.
因為函數在上單調遞增，且，所以，故A錯誤；
因為，故BC正確；
所以，
則，故D錯誤.
故選：BC
11．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現從中任取4個球，設這4個球中黑球的個數為，則（ ）
A．服從二項分布 B．的值最小為1
C． D．
【答案】BCD
【解析】依題意知隨機變量服從參數為6，4，3的超幾何分布，故A錯誤；
的所有可能取值為1，2，3，所以的值最小為1，故B正確；
，故C正確；
，故D正確.
故選：BCD
127．（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）在數字通信中，信號是由數字“”和“”組成的序列．現連續發射信號次，每次發射信號“”的概率均為．記發射信號“1”的次數為，記為奇數的概率為，為偶數的概率為，則下列說法中正確的有（ ）
A．當，時，
B．時，有
C．當，時，當且僅當時概率最大
D．時，隨著的增大而增大
【答案】BCD
【解析】由題意得發射信號“”的次數為和概率符合二項分布，
對于A：當，可取，
所以，
取，此時，故A項錯誤；
對于B：當時，即每次發射信號“”和發射信號“”的概率相等，所以為奇數的概率和為偶數的概率相等，即，故B正確；
對于C：當，，此時，，
當取得概率最大時，即，即，解得，故C項正確；
對于D：由題知當，發射信號“”的次數為和概率符合二項分布，
由二項式的均值公式，當概率一定時，越大則的值越大，所以能夠出現奇數的概率也增大，故D正確.
故選：BCD.
填空題
13．（2024上·江西南昌·高二江西師大附中校考期末）在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數為X．若，則 ．
【答案】
【解析】由題意知．
因為，所以，解得，
所以．
故答案為： .
14．（2023·陜西西安·西安市長安區第二中學校聯考模擬預測）若隨機變量，且，則 .
【答案】10
【解析】因為，
所以，
解得或，因為，
所以，所以，
所以.
故答案為：10
15．（2024上·遼寧·高二校聯考期末）某班要從3名男同學和5名女同學中隨機選出4人去參加某項比賽，設抽取的4人中女同學的人數為，則 .
【答案】/0.5
【解析】因 .
故答案為：.
16．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
【答案】7
【解析】小球下落需要次碰撞，每次向左落下的概率為，向右下落的概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
小球掉入號格子，需要向左次，向右次，概率為，
依此類推，小球掉入號格子，需要向左次，向右次，
概率為，
設小球落入號格子的概率最大，顯然，，
則解得，又為整數，所以，
所以小球落入號格子的概率最大．
故答案為：．
解答題
17．（2024下·北京海淀·高三101中學校考開學考試）“雙減”政策執行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動．某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取100人，統計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區間，用頻率分布直方圖表示如下：
假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立．
(1)估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區間的概率；
(2)從全校學生中隨機選取3人，記表示這3人一周參加課后活動的時間在區間的人數，求的分布列和數學期望；
(3)設全校學生一周參加課后活動的時間的中位數估計值為 平均數的估計值為（計算平均數時，同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替），請直接寫出的大小關系．
【答案】(1)0.65
(2)分布列見解析，期望為
(3)
【解析】（1）根據頻率分布直方圖，
可得學生一周參加課后活動的時間位于區間的頻率為，
因此估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區間的概率為；
（2）從全校學生中隨機選取1人，
其一周參加課后活動的時間在區間的概率為0.4，因此，
可取，
，
．
則的分布列為：
0 1 2 3
0.216 0.432 0.288 0.064
；
（3）因為，
，
故中位數在區間上，
則，；
，
故.
18．（2024·全國·模擬預測）為增強體質，錘煉意志，讓學生享受運動樂趣，享受校園生活，某學校舉辦全員運動會．該校高三某班的同學報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽這三類比賽（每人必須報名參加比賽且只能報一類），其中報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽的人數占本班人數的比例依次為（其中）．現從該班學生中任選3人，以頻率估計概率．
(1)若被選取的3人參加比賽的類別互不相同的概率為，求a的值；
(2)記X為選取的3人中報名參加田徑比賽和報名參加球類比賽的總人數，求X的分布列和數學期望．
【答案】(1)或
(2)分布列見解析；期望為
【解析】（1）因為報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽的人數占本班人數的比例依次為，
所以被選取的3人參加比賽的類別互不相同的概率為， 解得或．
（2）由題，報名參加田徑比賽與報名參加球類比賽的概率之和為，
而X為選取的3人中報名參加田徑比賽和報名參加球類比賽的總人數，
則，
故，，，，
所以X的分布列為
X 0 1 2 3
P
故．
19．（2023·全國·模擬預測）為慶祝中國共產黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學生中隨機抽取了名學生的競賽成績作為樣本，數據整理后，統計結果如表所示．
成績區間
頻數
假設用樣本頻率估計總體概率，且每個學生的競賽成績相互獨立．
(1)為了激勵學生學習黨史的熱情，決定對競賽成績優異的學生進行表彰，如果獲得表彰的學生占樣本總人數的，試估計獲獎分數線；
(2)該市決定從全市成績不低于分的學生中隨機抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數為，求的分布列和數學期望．
【答案】(1)
(2)分布列見解析，
【解析】（1）解：由表格知，成績在的頻率為，成績在的頻率為，
成績在的頻率為，
設獲獎分數線為，則，
所以，，解得．
（2）解：從全市成績不低于分的學生中隨機抽取一人參加省級黨史知識競賽，
成績在的概率為，
由題意知，，則的可能取值有、、、、，
則，，
，，
，
所以的分布列為
故．
20．（2024上·江西贛州·高二統考期末）現有一種趣味答題比賽，其比賽規則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰達人”勛章一枚；④結束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應的禮品．據主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．
(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；
(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰達人”勛章的概率最大？
【答案】(1)分布列見解析，數學期望為
(2)獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大.
【解析】（1）由題知：可取2，4，6，8，
則，，
，，
故的分布列為：
2 4 6 8
則的期望.
（2）解法一：由（1）知參賽選手在一輪比賽中獲得“挑戰達人”勛章的概率為，
則某參賽選手在5輪挑戰比賽中，記獲得“挑戰達人”勛章的枚數為，則，
故（），
假設當時，概率最大，則，
解得，而.
故某參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大．
解法二：由（1）知參賽選手在一輪獲得“挑戰達人”勛章的概率為，
則某參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得“挑戰達人”勛章的枚數為，則，
故（），
所以Y的分布列為：
0 1 2 3 4 5
從分布列中可以看出，概率最大為，
所以參賽選手在5輪挑戰比賽中，獲得3枚或4枚“挑戰達人”勛章的概率最大．
21（2024上·廣東廣州 ）某地區為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗A B C，經引種試驗后發現，引種樹苗A的自然成活率為，引種樹苗B C的自然成活率均為.
(1)任取樹苗A B C各一棵，估計自然成活的棵數為，求的分布列及；
(2)將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活.
①求一棵種樹苗最終成活的概率；
②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？
【答案】(1)分布列見解析；期望為
(2)①；②700
【解析】（1）由題意知，X的所有可能值為0，1，2，3，
則；
；
；
.
由此得X的分布列如下表：
X 0 1 2 3
P
所以.
（2）根據,由（1）知當時，取得最大值.
①一棵種樹苗最終成活的概率為.
②記為棵種樹苗的成活株數，為株種樹苗的利潤，則，
所以，所以，
故，要使，則有.
所以該農戶應至少種植700棵種樹苗，就可獲利不低于20萬元.
22．（2023上·山西 ）近日，某企業舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．
(1)分別求小張，小王猜中謎語道數的分布列；
(2)若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，求的取值范圍．
【答案】(1)分布列見解析
(2)
【解析】（1）設小張猜中謎語的道數為，可知隨機變量服從超幾何分布，的取值分別為2，3，4．
有，，，
故小張猜中謎語道數的分布列為
2 3 4
設小王猜中謎語的道數為，可知隨機變量服從二項分布的取值分別為0，1，2，3，4，
有，
，
，
，
．
故小王猜中謎語道數的分布列為
0 1 2 3 4
（2）由（1）可知，
若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，則，可得．7.4 二項分布與超幾何分布
考法一 二項分布
【例1】（2024上·安徽合肥·高三合肥一六八中學校聯考期末）甲、乙兩人進行射擊比賽，每次比賽中，甲 乙各射擊一次，甲 乙每次至少射中8環.根據統計資料可知，甲擊中8環 9環 10環的概率分別為，乙擊中8環 9環 10環的概率分別為，且甲 乙兩人射擊相互獨立.
(1)在一場比賽中，求乙擊中的環數少于甲擊中的環數的概率；
(2)若獨立進行三場比賽，其中X場比賽中甲擊中的環數多于乙擊中的環數，求的分布列與數學期望.
【一隅三反】
1．（2024·內蒙古赤峰）已知某單位招聘程序分兩步：第一步是筆試，筆試合格才能進入第二步面試；面試合格才算通過該單位的招聘.現有，，三位畢業生應聘該單位，假設，，三位畢業生筆試合格的概率分別是，，；面試合格的概率分別是，，.
(1)求，兩位畢業生中有且只有一位通過招聘的概率；
(2)記隨機變量為，，三位畢業生中通過招聘的人數，求的分布列與數學期望.
2．（2024上·內蒙古鄂爾多斯 ）為了檢查工廠生產的某產品的質量指標，隨機抽取了部分產品進行檢測，所得數據統計如下圖所示.（注：產品質量指標達到130及以上為優質品）；
(1)求的值以及這批產品的優質率；
(2)以本次抽檢的頻率作為概率，從工廠生產的所有產品中隨機抽出件，記這件中優質產品的件數為，求的分布列與數學期望.
考法二 超幾何分布
【例2】（2023上·內蒙古呼倫貝爾）已知盒子內有大小相同的10個球，其中紅球有個，已知從盒子中任取2個球都是紅球的概率為.
(1)求的值；
(2)現從盒子中任取3個球，記取出的球中紅球的個數為，求的分布列和數學期望.
【一隅三反】
1．（2023·全國·高三專題練習）“英才計劃”最早開始于2013年，由中國科協、教育部共同組織實施，到2022年已經培養了6000多名具有創新潛質的優秀中學生，為選拔培養對象，某高校在暑假期間從武漢市的中學里挑選優秀學生參加數學、物理、化學、信息技術學科夏令營活動．若化學組的12名學員中恰有5人來自同一中學，從這12名學員中選取3人，表示選取的人中來自該中學的人數，求的分布列和數學期望.
2．（2023上·江蘇南通·高三海門中學校考階段練習）某班為了慶祝我國傳統節日中秋節，設計了一個小游戲：在一個不透明箱中裝有4個黑球，3個紅球，1個黃球，這些球除顏色外完全相同.每位學生從中一次隨機摸出3個球，觀察顏色后放回.若摸出的球中有個紅球，則分得個月餅；若摸出的球中有黃球，則需要表演一個節目.
(1)求一學生既分得月餅又要表演節目的概率；
(2)求每位學生分得月餅數的概率分布和數學期望.
3．（2023·陜西商洛·陜西省丹鳳中學校考模擬預測）某乒乓球隊訓練教官為了檢驗學員某項技能的水平，隨機抽取100名學員進行測試，并根據該項技能的評價指標，按分成8組，得到如圖所示的頻率分布直方圖．

(1)求a的值，并估計該項技能的評價指標的中位數（精確到0.1）；
(2)若采用分層抽樣的方法從評價指標在和內的學員中隨機抽取12名，再從這12名學員中隨機抽取5名學員，記抽取到學員的該項技能的評價指標在內的學員人數為，求的分布列與數學期望．
考法三 二項分布與超幾何分布的辨析
【例3-1】（2023湖南）下列隨機事件中的隨機變量服從超幾何分布的是（ ）
A．將一枚硬幣連拋3次，記正面向上的次數為
B．從7男3女共10名學生干部中隨機選出5名學生干部，記選出女生的人數為
C．某射手的射擊命中率為0.8，現對目標射擊1次，記命中的次數為
D．盒中有4個白球和3個黑球，每次從中摸出1個球且不放回，記第一次摸出黑球時摸取的次數為
【例3-2】（2023上海）下列例子中隨機變量服從二項分布的個數為（ ）
①某同學投籃的命中率為0.6，他10次投籃中命中的次數；
②某射手擊中目標的概率為0.9，從開始射擊到擊中目標所需的射擊次數；
③從裝有5個紅球，5個白球的袋中，有放回地摸球，直到摸出白球為止，摸到白球時的摸球次數；
④有一批產品共有件，其中件為次品，采用不放回抽取方法，表示次抽取中出現次品的件數
A．0 B．1 C．2 D．3
【例3-3】（2024·天津 ）已知條件①采用無放回抽取：②采用有放回抽取，請在上述兩個條件中任選一個，補充在下面問題中橫線上并作答，選兩個條件作答的以條件①評分.
問題：在一個口袋中裝有3個紅球和4個白球，這些球除顏色外完全相同，若___________，從這7個球中隨機抽取3個球，記取出的3個球中紅球的個數為X，求隨機變量X的分布列和期望.
【一隅三反】
1．（2024北京）(多選)下列隨機變量中，服從超幾何分布的有（ ）
A．在10件產品中有3件次品，一件一件地不放回地任意取出4件，記取到的次品數為X
B．從3臺甲型彩電和2臺乙型彩電中任取2臺，記X表示所取的2臺彩電中甲型彩電的臺數
C．一名學生騎自行車上學，途中有6個交通崗，記此學生遇到紅燈的數為隨機變量X
D．從10名男生，5名女生中選3人參加植樹活動，其中男生人數記為X
2．（2023安徽）(多選)下列事件不是n重伯努利試驗的是（ ）
A．運動員甲射擊一次，“射中9環”與“射中8環”
B．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲射中10環”與“乙射中9環”
C．甲、乙兩運動員各射擊一次，“甲、乙都射中目標”與“甲、乙都沒射中目標”
D．在相同的條件下，甲射擊10次，5次擊中目標
3（2023上·陜西西安 ）某中學進行校慶知識競賽，參賽的同學需要從10道題中隨機抽取4道來回答．競賽規則規定：每題回答正確得10分，回答不正確得分．
(1)已知甲同學每題回答正確的概率均為0.5，且各題回答正確與否之間沒有影響，記甲的總得分為，求的期望和方差；
(2)已知乙同學能正確回答10道題中的6道，記乙的總得分為，求的分布列．
4（2023云南）某食品廠為了檢查一條自動包裝流水線的生產情況，隨機抽取該流水線上的40件產品作為樣本稱出它們的質量(單位：克)，質量的分組區間為(490，495]，(495，500]，…，(510，515]．由此得到樣本的頻率分布直方圖如圖．
（1）根據頻率分布直方圖，求質量超過505克的產品數量；
（2）在上述抽取的40件產品中任取2件，設X為質量超過505克的產品數量，求X的分布列；
（3）從該流水線上任取2件產品，設Y為質量超過505克的產品數量，求Y的分布列．
考法四 二項分布與超幾何分布隨機變量概率最值
【例4-1】（2024上·北京豐臺 ）2023年冬，甲型流感病毒來勢洶洶．某科研小組經過研究發現，患病者與未患病者的某項醫學指標有明顯差異．在某地的兩類人群中各隨機抽取20人的該項醫學指標作為樣本，得到如下的患病者和未患病者該指標的頻率分布直方圖：
利用該指標制定一個檢測標準，需要確定臨界值，將該指標小于的人判定為陽性，大于或等于的人判定為陰性．此檢測標準的漏診率是將患病者判定為陰性的概率，記為；誤診率是將未患病者判定為陽性的概率，記為．假設數據在組內均勻分布，用頻率估計概率．
(1)當臨界值時，求漏診率和誤診率；
(2)從指標在區間樣本中隨機抽取2人，記隨機變量為未患病者的人數，求的分布列和數學期望；
(3)在該地患病者占全部人口的5%的情況下，記為該地診斷結果不符合真實情況的概率．當時，直接寫出使得取最小值時的的值．
【例4-2】（2024上·河南漯河 ）為了引導居民合理用電，國家決定實行合理的階梯電價，居民用電原則上以住宅為單位（一套住宅為一戶）.
階梯級別 第一階梯 第二階梯 第三階梯
月用電范圍（度）
某市隨機抽取10戶同一個月的用電情況，得到統計表如下：
居民用電戶編號 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10
用電量（度） 53 86 90 124 214 215 220 225 420 430
(1)若規定第一階梯電價每度0.5元，第二階梯超出第一階梯的部分每度0.6元，第三階梯超出第二階梯的部分每度0.8元，試計算某居民用電戶用電450度時應交電費多少元？
(2)現要從這10戶家庭中任意選取3戶，求取到第二階梯電量的戶數的分布列與期望；
(3)以表中抽到的10戶作為樣本估計全市居民用電，現從全市中依次抽取10戶，記取到第一階梯電量的戶數為，當時對應的概率為，求取得最大值時的值.
【一隅三反】
1．（2024·全國·模擬預測）在信道內傳輸0，1信號，信號的傳輸相互獨立．發送0時，收到1的概率為，收到0的概率為；發送1時，收到0的概率為，收到1的概率為．考慮兩種傳輸方案：單次傳輸和三次傳輸．單次傳輸是指每個信號只發送1次，三次傳輸是指每個信號重復發送3次．收到的信號需要譯碼，譯碼規則如下：單次傳輸時，收到的信號即為譯碼；三次傳輸時，收到的信號中出現次數多的即為譯碼（例如，若依次收到1，0，1，則譯碼為1）．
(1)當時，若發送0，則要得到正確信號，試比較單次傳輸和三次傳輸方案的概率大小；
(2)若采用三次傳輸方案發送1，記收到的信號中出現2次信號1的概率為，出現3次信號1的概率為，求的最大值．
2．（2024上·陜西西安·高二西安市鐵一中學校考期末）某種植戶對一塊地的個坑進行播種，每個坑播粒種子，每粒種子發芽的概率均為，且每粒種子是否發芽相互獨立，對每一個坑而言，如果至少有兩粒種子發芽，則不需要進行補播種，否則要補播種.
(1)從 個坑中選兩個坑進行觀察，兩坑不能相鄰，有多少種方案？
(2)對于單獨一個坑，需要補播種的概率是多少？
(3)當 取何值時，有3個坑要補播種的概率最大？最大概率為多少？
3．（2024上·北京昌平）某汽車生產企業對一款新上市的新能源汽車進行了市場調研，統計該款車車主對所購汽車性能的評分，將數據分成5組：，并整理得到如下頻率分布直方圖：
(1)求的值；
(2)該汽車生產企業在購買這款車的車主中任選3人，對評分低于110分的車主送價值3000元的售后服務項目，對評分不低于110分的車主送價值2000元的售后服務項目．若為這3人提供的售后服務項目總價值為元，求的分布列和數學期望；
(3)用隨機抽樣的方法從購買這款車的車主中抽取10人，設這10人中評分不低于110分的人數為，問為何值時，的值最大？（結論不要求證明
考法五 二項分布與超幾何分布與其他知識的綜合
【例5】（2024上·山東日照·高二統考期末）普法宣傳教育是依法治國、建設法治社會的重要內容，也是構建社會主義和諧社會的應有之意．為加強對學生的普法教育，某校將舉辦一次普法知識競賽，共進行5輪比賽，每輪比賽結果互不影響．比賽規則如下：題庫中有法律文書題和案例分析題兩類問題，每道題滿分10分．每一輪比賽中，參賽者在30分鐘內完成法律文書題和案例分析題各2道，若有不少于3道題得分超過8分，將獲得“優勝獎”，5輪比賽中，至少獲得4次“優勝獎”的同學將進入決賽．甲同學經歷多次限時模擬訓練，指導老師從訓練題庫中隨機抽取法律文書題和案例分析題各5道，其中有4道法律文書題和3道案例分析題得分超過8分．
(1)從這10道題目中，隨機抽取法律文書題和案例分析題各2道，求該同學在一輪比賽中獲“優勝獎”的概率；
(2)將上述兩類題目得分超過8分的頻率作為概率．為提高甲同學的參賽成績，指導老師對該同學進行賽前強化訓練，使得法律文書題和案例分析題得分超過8分的概率共增加了，以獲得“優勝獎”的次數期望為參考，試預測該同學能否進入決賽．
【一隅三反】
1．（2023下·江西贛州·高二校聯考階段練習）（多選）在等差數列中，．現從數列的前10項中隨機抽取3個不同的數，記取出的數為正數的個數為．則下列結論正確的是（ ）
A．服從二項分布 B．服從超幾何分布
C． D．
2．（2024·江蘇 ）某學校有甲，乙兩個餐廳，經統計發現，前一天選擇餐廳甲就餐第二天仍選擇餐廳甲就餐的概率為，第二天選擇餐廳乙就餐的概率為；前一天選擇餐廳乙就餐第二天仍選擇餐廳乙就餐的概率為，第二天選擇餐廳甲就餐的概率為．若學生第一天選擇餐廳甲就餐的概率是，選擇餐廳乙就餐的概率是，記某同學第天選擇餐廳甲就餐的概率為．
(1)記某班3位同學第二天選擇餐廳甲的人數為，求隨機變量的分布列及期望；
(2)學校為緩解就餐壓力，決定每天從各年級抽調21人到甲乙兩個餐廳參加志愿服務，請求出的通項公式，根據以上數據合理分配甲，乙兩個餐廳志愿者人數，并說明理由．
3．（2024·山西呂梁 ）呂梁市舉辦中式廚師技能大賽，大賽分初賽和決賽，初賽共進行3輪比賽，每輪比賽結果互不影響．比賽規則如下：每一輪比賽，參賽選手要在規定的時間和范圍內，制作中式面點和中式熱菜各2道，若有不少于3道得到評委認可，將獲得一張通關卡，3輪比賽中，至少獲得2張通關卡的選手將進入決賽．為能進入決賽，小李賽前在師傅的指導下多次進行訓練，師傅從小李訓練中所做的菜品中隨機抽取了中式面點和中式熱菜各4道，其中有3道中式面點和2道中式熱菜得到認可．
(1)若從小李訓練中所抽取的8道菜品中，隨機抽取中式面點、中式熱菜各2道，由此來估計小李在一輪比賽中的通關情況，試預測小李在一輪比賽中通關的概率；
(2)若以小李訓練中所抽取的8道菜品中兩類菜品各自被師傅認可的頻率作為該類菜品被評委認可的概率，經師傅對小李進行強化訓練后，每道中式面點被評委認可的概率不變，每道中式熱菜被評委認可的概率增加了，以獲得通關卡次數的期望作為判斷依據，試預測小李能否進入決賽？
4．（2024·黑龍江哈爾濱 ）這個冬季，哈爾濱文旅持續火爆，喜迎大批游客，冬天里哈爾濱雪花紛飛，成為無數南方人向往的旅游勝地，這里的美景，美食，文化和人情都讓人流連忘返，嚴寒冰雪與熱情服務碰撞出火花，吸引海內外游客紛至沓來．據統計，2024年元旦假期，哈爾濱市累計接待游客304.79萬人次，實現旅游總收入59.14億元，游客接待量與旅游總收入達到歷史峰值．現對某一時間段冰雪大世界的部分游客做問卷調查，其中的游客計劃只游覽冰雪大世界，另外的游客計劃既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人．每位游客若只游覽冰雪大世界，則得到1份文旅紀念品；若既游覽冰雪大世界又參觀群力音樂公園大雪人，則獲得2份文旅紀念品．假設每位來冰雪大世界景區游覽的游客與是否參觀群力音樂公園大雪人是相互獨立的，用頻率估計概率．
(1)從冰雪大世界的游客中隨機抽取3人，記這3人獲得文旅紀念品的總個數為X，求X的分布列及數學期望；
(2)記n個游客得到文旅紀念品的總個數恰為個的概率為，求的前n項和；
(3)從冰雪大世界的游客中隨機抽取100人，這些游客得到紀念品的總個數恰為n個的概率為，當取最大值時，求n的值．
單選題
1．（2024下·山東東營）隨機變量服從二項分布：，則它的期望（ ）
A．0.5 B．2.5 C．5 D．10
2．（2023上·廣東深圳·高二校考期末）若100件產品中包含10件次品，有放回地隨機抽取6件，下列說法正確的是（ ）
A．其中的次品數服從超幾何分布
B．其中的正品數服從二項分布
C．其中的次品數的期望是1
D．其中的正品數的期望是5
3．（2024上·廣西桂林·高二統考期末）已知在件產品中有件次品，現從這件產品中任取件，用表示取得次品的件數，則（ ）
A． B． C． D．
4．（2023下·寧夏石嘴山·高二石嘴山市第三中學校考期末）在10件工藝品中，有3件二等品，7件一等品，現從中抽取5件，則抽得二等品件數X的數學期望為（ ）．
A．2 B．4 C． D．
5．（2024上·廣東深圳 ）一袋中裝有大小 質地均相同的5個白球，3個黃球和2個黑球，從中任取3個球，則至少含有一個黑球的概率是（ ）
A． B． C． D．
6．（2021上·高二課時練習）一個袋中有6個同樣大小的黑球，編號為1，2，3，4，5，6，還有4個同樣大小的白球，編號為7，8，9，10.現從中任取4個球，有如下幾種變量：
①X表示取出的最大號碼；
②X表示取出的最小號碼；
③X表示取出的白球個數；
④取出一個黑球記2分，取出一個白球記1分，X表示取出的4個球的總得分減去4的差.
這四種變量中服從超幾何分布的是（　　）
A．①② B．③④
C．①②④ D．①②③④
7．（2023下·上海浦東新·高二上海市建平中學校考期末）經檢測一批產品中每件產品的合格率為，現從這批產品中任取5件，設取得合格產品的件數為，則以下選項正確的是（ ）
A．的可能取值為1，2，3，4，5 B．
C．的概率最大 D．服從超幾何分布
8．（2024上·河南·高二校聯考期末）一個不透明的袋子有10個除顏色不同外，大小 質地完全相同的球，其中有6個黑球，4個白球.現進行如下兩個試驗，試驗一：逐個不放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為；試驗二：逐個有放回地隨機摸出3個球，記取到白球的個數為，期望和方差分別為.則下列判斷正確的是（ ）
A． B．
C． D．
多選題
9．（2024上·江西上饒·高二統考期末）若隨機變量，下列說法中正確的有（ ）
A． B．期望
C．期望 D．方差
10．（2023上·高二課時練習）在一個袋中裝有質地、大小均一樣的6個黑球，4個白球，現從中任取4個小球，設取出的4個小球中白球的個數為X，則下列結論正確的是（ ）
A．
B．隨機變量X服從二項分布
C．隨機變量X服從超幾何分布
D．
11．（2024上·遼寧撫順·高二校聯考期末）已知，且，則（ ）
A． B．
C． D．
11．（2024上·河南南陽·高二南陽市第五中學校校聯考期末）在一個袋中裝有除顏色外其余完全一樣的3個黑球，3個白球，現從中任取4個球，設這4個球中黑球的個數為，則（ ）
A．服從二項分布 B．的值最小為1
C． D．
127．（2023上·重慶·高三重慶八中校考階段練習）在數字通信中，信號是由數字“”和“”組成的序列．現連續發射信號次，每次發射信號“”的概率均為．記發射信號“1”的次數為，記為奇數的概率為，為偶數的概率為，則下列說法中正確的有（ ）
A．當，時，
B．時，有
C．當，時，當且僅當時概率最大
D．時，隨著的增大而增大
填空題
13．（2024上·江西南昌·高二江西師大附中校考期末）在一個布袋中裝有除顏色外完全相同的3個白球和m個黑球，從中隨機摸取1個球，有放回地摸取3次，記摸取白球的個數為X．若，則 ．
14．（2023·陜西西安·西安市長安區第二中學校聯考模擬預測）若隨機變量，且，則 .
15．（2024上·遼寧·高二校聯考期末）某班要從3名男同學和5名女同學中隨機選出4人去參加某項比賽，設抽取的4人中女同學的人數為，則 .
16．（2023上·山東德州·高二校考階段練習）如圖是一塊高爾頓板的示意圖.在一塊木板上釘著若干排相互平行但錯開的圓柱形小木釘，小木釘之間留有適當的空隙作為通道，前面擋有一塊玻璃.將小球從頂端放入，小球下落過程中，每次碰到小木釘后可能向左或向右落下，其中向左落下的概率為，向右下落的概率為，最后落入底部的格子中.格子從左到右分別編號為，，，，，則小球落入 號格子的概率最大.圖片僅供參考
解答題
17．（2024下·北京海淀·高三101中學校考開學考試）“雙減”政策執行以來，中學生有更多的時間參加志愿服務和體育鍛煉等課后活動．某校為了解學生課后活動的情況，從全校學生中隨機選取100人，統計了他們一周參加課后活動的時間（單位：小時），分別位于區間，用頻率分布直方圖表示如下：
假設用頻率估計概率，且每個學生參加課后活動的時間相互獨立．
(1)估計全校學生一周參加課后活動的時間位于區間的概率；
(2)從全校學生中隨機選取3人，記表示這3人一周參加課后活動的時間在區間的人數，求的分布列和數學期望；
(3)設全校學生一周參加課后活動的時間的中位數估計值為 平均數的估計值為（計算平均數時，同組中的每個數據都用該組區間的中點值代替），請直接寫出的大小關系．
18．（2024·全國·模擬預測）為增強體質，錘煉意志，讓學生享受運動樂趣，享受校園生活，某學校舉辦全員運動會．該校高三某班的同學報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽這三類比賽（每人必須報名參加比賽且只能報一類），其中報名參加游泳比賽、田徑比賽、球類比賽的人數占本班人數的比例依次為（其中）．現從該班學生中任選3人，以頻率估計概率．
(1)若被選取的3人參加比賽的類別互不相同的概率為，求a的值；
(2)記X為選取的3人中報名參加田徑比賽和報名參加球類比賽的總人數，求X的分布列和數學期望．
19．（2023·全國·模擬預測）為慶祝中國共產黨成立周年，某市開展了黨史知識競賽活動，競賽結束后，為了解本次競賽的成績情況，從所有參賽學生中隨機抽取了名學生的競賽成績作為樣本，數據整理后，統計結果如表所示．
成績區間
頻數
假設用樣本頻率估計總體概率，且每個學生的競賽成績相互獨立．
(1)為了激勵學生學習黨史的熱情，決定對競賽成績優異的學生進行表彰，如果獲得表彰的學生占樣本總人數的，試估計獲獎分數線；
(2)該市決定從全市成績不低于分的學生中隨機抽取人參加省級黨史知識競賽，成績在的人數為，求的分布列和數學期望．
20．（2024上·江西贛州·高二統考期末）現有一種趣味答題比賽，其比賽規則如下：①每位參賽者最多參加5輪比賽；②每一輪比賽中，參賽選手從10道題中隨機抽取4道回答，每答對一道題積2分，答錯或放棄均積0分；③每一輪比賽中，獲得積分至少6分的選手將獲得“挑戰達人”勛章一枚；④結束所有輪比賽后，參賽選手還可以憑總積分獲得相對應的禮品．據主辦方透露：這10道題中有7道題是大家都會做的，有3道題是大家都不會做的．
(1)求某參賽選手在一輪比賽中所獲得積分X的分布列和期望；
(2)若參賽選手每輪獲得勛章的概率穩定且每輪是否獲得勛章相互獨立．問：某參賽選手在5輪參賽中，獲得多少枚“挑戰達人”勛章的概率最大？
21（2024上·廣東廣州 ）某地區為貫徹習近平總書記關于“綠水青山就是金山銀山”的精神，鼓勵農戶利用荒坡種植果樹.某農戶考察三種不同的果樹苗A B C，經引種試驗后發現，引種樹苗A的自然成活率為，引種樹苗B C的自然成活率均為.
(1)任取樹苗A B C各一棵，估計自然成活的棵數為，求的分布列及；
(2)將（1）中的取得最大值時的值作為種樹苗自然成活的概率.該農戶決定引種棵種樹苗，引種后沒有自然成活的樹苗中有的樹苗可經過人工栽培技術處理，處理后成活的概率為，其余的樹苗不能成活.
①求一棵種樹苗最終成活的概率；
②若每棵樹苗引種最終成活后可獲利300元，不成活的每棵虧損50元，該農戶為了獲利不低于20萬元，問至少引種種樹苗多少棵？
22．（2023上·山西 ）近日，某企業舉行“猜燈謎，鬧元宵”趣味競賽活動，每個員工從8道謎語中一次性抽出4道作答．小張有6道謎語能猜中，2道不能猜中；小王每道謎語能猜中的概率均為，且猜中每道謎語與否互不影響．
(1)分別求小張，小王猜中謎語道數的分布列；
(2)若預測小張猜中謎語的道數多于小王猜中謎語的道數，求的取值范圍．

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