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專題10 立體幾何
1．異面直線夾角范圍：
2．常見幾何體的表面積
圓柱 圓錐 圓臺 球
側(cè)面展開圖
側(cè)面積
底面積
表面積
3．常見幾何體的體積
柱體 (S為底面積，h為高) 錐體 (S為底面積，h為高) 臺體 (S為上底面積，S’為下底面積，h為高) 球體 (R為球半徑)
三棱錐的體積常常用等體積法轉(zhuǎn)化
4．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面 a α，b α，a∥b a∥α 判定需要寫3個條件
性質(zhì)定理 一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
5．平面和平面平行的判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)兩相交直線平行，則這兩個平面平行 a∥β，b∥β， a∩b＝P， a α，b α， α∥β 需要證2次線面平行
性質(zhì)定理 兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面（證明線面平行） α∥β，a α a∥β
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 α∥β α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
6．直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l⊥α 需要寫5個條件
性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 a∥b
7．平面和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定 定理 一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 α⊥β 需要寫6個條件
性質(zhì) 定理 如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 l⊥α
題型1 空間點線面之間的位置關(guān)系
例1．設(shè)為空間兩條不同的直線,為空間兩個不同的平面,給出下列命題：
①若,則；
②若,則；
③若且,則；
④若且,則．
其中所有正確命題的序號是（　　）
A．①② B．②③ C．③④ D．①④
【答案】D
【分析】通過空間中線線、線面、面面間的位置關(guān)系的判定定理與性質(zhì)定理判斷即可.
【詳解】由為空間兩條不同的直線,為空間兩個不同的平面,知：
在①中,若,則由面面垂直的判定定理得,故①正確；
在②中,若,則m與n相交、平行或異面,故②錯誤；
在③中,若且,則與相交或平行,故③錯誤；
在④中,若且,則由線面垂直的性質(zhì)得,故④正確．
∴其中所有正確命題的序號是①④．
故選：D．
例2．已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個命題正確的是（ ）
①若，，則； ②若，，則；
③若，，則； ④若，，則．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
【答案】D
【分析】舉例說明判斷①②；利用線線、線面垂直的判定、性質(zhì)推理判斷③④作答.
【詳解】長方體中，平面為平面，直線BC為直線b，如圖，
當(dāng)直線AD為直線a時，滿足，，而，①不正確；
當(dāng)直線為直線a時，滿足，，而，②不正確；
在平面內(nèi)取兩條相交直線m，n，如圖，因，則，
而，則，又，m，n是相交直線，∴，③正確；
因，過直線b作平面，如圖，
則有，又，，于是得，從而得，④正確，
∴給定命題正確的是③④.
故選：D.
題型2 空間幾何體的表體積問題
例1．如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設(shè)圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
【答案】D
【分析】根據(jù)圓柱和圓錐的體積公式可得.
【詳解】圓柱體積為，圓錐體積為，
所以，該組合體的體積為.
故選：D
例2．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)圓錐側(cè)面展開圖的形狀先求出圓錐的母線，然后求出半徑，再由圓錐的體積公式進行求解.
【詳解】設(shè)母線長為，依題意得，，解得，于是圓錐的高為，
根據(jù)圓錐的體積公式，其體積為：.
故選：B

例3．如圖，圓柱的底面周長為，高為，圓錐的底面半徑是，則該幾何體的體積為 .
【答案】
【分析】利用圓柱的體積減去圓錐的體積來求得正確答案.
【詳解】設(shè)圓柱的底面半徑為，則，
故圓柱的體積為：，
圓錐的底面半徑是，高為，
故圓錐的體積為：，
故組合體的體積.
故答案為：
題型3 線面角問題
例1．在直三棱柱中，，.
(1)求異面直線與所成角的大?。?br/>(2)若與平面所成角為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)；(2).
【分析】(1)由，知為異面直線與所成的角；
(2)由平面知為與平面所成角，根據(jù)幾何關(guān)系即可求出三棱柱的棱長.
【詳解】（1）∵，∴為異面直線與所成的角(或其補角).
由，，得.
因此異面直線與所成角的大小為.
（2）∵平面，∴為與平面所成角，即.
由，，得，于是.
因此三棱錐的體積.
例2．已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面.
(1)求證：平面；
(2)已知，當(dāng)直線與平面所成的角為時，求四棱錐的體積.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）由題意可證得，，再由線面平行的判定定理即可證明.
（2）平面，所以為四棱錐的高，由題意求出菱形的面積，再由棱錐的體積公式計算即可得出答案.
【詳解】（1）四邊形是菱形，，
又平面，平面，
，又，平面，
平面；
（2）解：平面，
是直線與平面所成的角，
于是，，，又，
所以菱形的面積為，
故四棱錐的體積.
例3．在正三棱柱中，已知它的底面邊長為2.
(1)若該正三棱柱的高為4，分別求其表面積與體積.
(2)若直線與平面所成角的大小為，求三棱錐的體積.
【答案】(1)表面積為，體積為；(2)
【分析】（1）求出三棱柱的側(cè)面積和底面積，求出表面積，利用體積公式求出體積；
（2）先根據(jù)線面角求出棱柱的高，進而利用等體積法求出三棱錐的體積.
【詳解】（1）正三棱柱的兩個底面積之和為，
正三棱柱的側(cè)面積為，
故正三棱柱的表面積為；
正三棱柱的體積為；
（2）因為⊥平面，所以即為直線與平面所成角，
故，
所以，故，
.
題型4 二面角問題
例1．如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大??；
(2)求二面角的大小.
【答案】(1)；(2)
【分析】（1）作出異面直線與所成的角，并求得角的大小.
（2）判斷二面角的平面角，并求得角的大小.
【詳解】（1）在正方體中，連接，
由于，所以是異面直線與所成的角，
由于三角形是等邊三角形，所以，
所以異面直線與所成的角的大小為.
（2）在正方體中，，
所以是二面角的平面角，
根據(jù)正方體的性質(zhì)可知，所以二面角的大小為.
例2．如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．
(1)求證：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值的大?。?br/>【答案】(1)證明過程見解析；(2)
【分析】（1）求出，得到底面ABCD是正方形，對角線互相垂直，進而證明出線面垂直；（2）找到兩平面的夾角的平面角，再進行求解.
【詳解】（1）因為平面，BD平面，所以PA⊥BD，因為，底面是矩形，所以由勾股定理得：，所以底面ABCD是正方形，所以AC⊥BD，又PA=A，所以BD⊥平面PAC.
（2）因為PA⊥底面ABCD，CD平面ABCD，所以PA⊥CD，又CD⊥AD，PA，所以CD⊥平面PAD，因為PD平面PAD，所以CD⊥PD，又因為CD⊥AD，所以∠PDA是平面和平面的夾角，由于PA=AD，∠PAD=90°，所以∠PDA=45°，所以，所以平面PCD與平面ABCD的夾角余弦值為.
1．在空間中，下列命題為真命題的是（ ）
A．垂直于同一條直線的兩條直線平行 B．垂直于同一條直線的兩個平面平行
C．平行于同一條直線的兩條直線垂直 D．平行于同一個平面的兩條直線平行
【答案】B
【分析】運用空間中點線面的位置關(guān)系逐一判斷即可.
【詳解】垂直于同一條直線的兩條直線可能平行、異面、相交，選項A說法錯誤;
垂直于同一直線的兩個平面平行，選項B說法正確;
平行于同一直線的兩條直線互相平行，選項C說法錯誤;
平行于同一平面的兩條直線可能平行，相交或異面，選項D說法錯誤;
故選：B.
2．已知兩條不同的直線，及三個不同的平面，，，則下列推理正確的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，
【答案】B
【分析】根據(jù)線面位置關(guān)系分別判斷各選項.
【詳解】A選項：由面面垂直的性質(zhì)定理可知，缺少條件“”的情況下，與的位置關(guān)系不確定，平行，相交或在內(nèi)都有可能，故A選項錯誤；
B選項：根據(jù)線面垂直的性質(zhì)定理：垂直于同一平面的兩直線平行，故B選項正確；
C選項：若，，則與可能平行或相交，故C選項錯誤；
D選項：，，則或者，故D錯誤；
故選：B．
3．關(guān)于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面，，下面命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，且，，則
【答案】B
【分析】ACD可舉出反例，B選項，可利用線面平行的性質(zhì)和線面垂直的性質(zhì)推出.
【詳解】A選項，若，，則a，b平行，相交或異面，比如圖1和圖2，A錯誤；
B選項，因為，如圖3，不妨設(shè)，且，則，
因為，，所以，由，則，B正確；
C選項，如圖4，滿足，，但，C錯誤；
D選項，，，且，，若，則不能得到，D錯誤.
故選：B
4．已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（ ）
A． B．4 C． D．
【答案】A
【分析】根據(jù)三棱棱柱體積的計算公式直接計算，判斷選項.
【詳解】,
故選:A
5．已知圓錐PO的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
【答案】B
【分析】根據(jù)軸截面面積和底面半徑得到圓錐的高，進而得到圓錐的體積.
【詳解】軸截面為等腰三角形，底邊長為，設(shè)圓錐的高為，
則，解得，
故圓錐的體積為.
故選：B
6．如圖,在三棱柱中,平面.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的大小.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】(1)先說明為正方形,即,再證明平面,即,根據(jù)線面垂直的判定定理即可證明;
(2)根據(jù)(1)中結(jié)論平面,則直線與平面所成角即為,在正方形求出該角即可.
【詳解】（1）證明: 平面,平面,,
,平行四邊形為正方形,,
平面,平面,
,,平面,平面,
平面,平面,,
平面,平面,平面得證;
（2）記與交點為,由(1)知平面,所以平面,
故直線與平面所成角為,
由(1)知平行四邊形為正方形,,
故直線與平面所成角為.
7．在正四棱錐中，，直線PA與平面ABCD所成的角為，求正四棱錐的體積V．
【答案】
【分析】作平面ABCD，連接AO，則O為正方形ABCD的中心，為直線PA與平面ABCD所成的角，有幾何關(guān)系求出PO、正方形ABCD邊長，由體積公式即可求V
【詳解】作平面ABCD，連接AO，則O為正方形ABCD的中心，為直線PA與平面ABCD所成的角，則，
則，，，
∴
8．如圖，、是圓錐SO的兩條母線，是底面圓的圓心，底面圓半徑為10，是的中點，，與底面所成角為，求此圓錐的側(cè)面積．
【答案】．
【分析】先求出，再求出，從而得到，最后根據(jù)側(cè)面積公式計算即可.
【詳解】如圖，作于，連接．
根據(jù)題意，得為與底面所成角，．
在中，易知是正三角形，
且有，，，．
因此在等腰Rt中，，
所以，．
則．
9．如圖，是正方形，直線底面，，是的中點.
（1）證明：直線平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.
【答案】（1）證明見解析；（2）；
【分析】（1）連接，由三角形中位線可證得，根據(jù)線面平行判定定理可證得結(jié)論；
（2）根據(jù)線面角定義可知所求角為，且，由長度關(guān)系可求得結(jié)果.
【詳解】（1）連接，交于，連接
四邊形為正方形 為中點，又為中點
平面，平面 平面
（2）平面 直線與平面所成角即為

設(shè)，則
10．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，且，側(cè)面是等腰三角形，且，側(cè)面底面.

(1)求證：平面；
(2)求側(cè)面與底面所成二面角的正弦值.
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）根據(jù)已知以及勾股定理、面面垂直的性質(zhì)定理，利用線面垂直的判定定理進行證明.
（2）根據(jù)已知，證明為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，再利用三角形的性質(zhì)計算求解.
【詳解】（1）證明：在中，
，
又側(cè)面底面，
側(cè)面底面平面，
平面，又平面，
，又，平面，
平面.
（2）
解：取的中點為，連接，
，所以
又側(cè)面底面，側(cè)面底面，面，
平面
又平面，，
過點作，垂足為，連接，又，平面，
平面，又平面，平面，
，
為側(cè)面與底面所成二面角的平面角，
在直角中，，
，，
即側(cè)面與底面所成二面角的正弦值為.
11．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．
【答案】(1)證明見解析；(2)
【分析】（1）通過證明平面，即可證明面面垂直；
（2）表達出二面角的平面角，即可求出二面角的平面角的正弦值.
【詳解】（1）由題意，
因為四邊形為菱形，所以.
連接AC.

因為，所以為等邊三角形，從而.
在中，是的中點，所以.
因為平面，平面，所以.
∵，面，平面，面，∴平面.
又平面，∴平面PCE⊥平面PAD
（2）由題意及（1）得，在平面中，過點作，垂足為，連接.

因為平面,平面，所以.
又, 平面,平面，所以平面.
又平面，所以，
從而是二面角的平面角．
在Rt中，,，
所以.在Rt中，，，所以.
在Rt中,,
所以二面角的平面角的正弦值為.專題10 立體幾何
1．異面直線夾角范圍：
2．常見幾何體的表面積
圓柱 圓錐 圓臺 球
側(cè)面展開圖
側(cè)面積
底面積
表面積
3．常見幾何體的體積
柱體 (S為底面積，h為高) 錐體 (S為底面積，h為高) 臺體 (S為上底面積，S’為下底面積，h為高) 球體 (R為球半徑)
三棱錐的體積常常用等體積法轉(zhuǎn)化
4．線面平行的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定定理 平面外一條直線與此平面內(nèi)的一條直線平行，則該直線平行于此平面 a α，b α，a∥b a∥α 判定需要寫3個條件
性質(zhì)定理 一條直線和一個平面平行，則過這條直線的任一平面與此平面的交線與該直線平行 a∥α，a β， α∩β＝b a∥b
5．平面和平面平行的判定定理與性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定定理 一個平面內(nèi)的兩條相交直線與另一個平面內(nèi)兩相交直線平行，則這兩個平面平行 a∥β，b∥β， a∩b＝P， a α，b α， α∥β 需要證2次線面平行
性質(zhì)定理 兩個平面平行，則其中一個平面內(nèi)的直線平行于另一個平面（證明線面平行） α∥β，a α a∥β
如果兩個平行平面同時和第三個平面相交，那么它們的交線平行 α∥β α∩γ＝a，β∩γ＝b a∥b
6．直線和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定定理 一條直線與一個平面內(nèi)的兩條相交直線都垂直，則該直線與此平面垂直 l⊥α 需要寫5個條件
性質(zhì)定理 兩直線垂直于同一個平面，那么這兩條直線平行 a∥b
7．平面和平面垂直的判定定理和性質(zhì)定理
文字語言 圖形表示 符號表示 備注
判定 定理 一個平面經(jīng)過另一個平面的一條垂線，則這兩個平面互相垂直 α⊥β 需要寫6個條件
性質(zhì) 定理 如果兩個平面互相垂直，則在一個平面內(nèi)垂直于它們交線的直線垂直于另一個平面 l⊥α
題型1 空間點線面之間的位置關(guān)系
例1．設(shè)為空間兩條不同的直線,為空間兩個不同的平面,給出下列命題：
①若,則；
②若,則；
③若且,則；
④若且,則．
其中所有正確命題的序號是（　?。?br/>A．①② B．②③ C．③④ D．①④
例2．已知、表示兩條不同的直線，表示平面，則下面四個命題正確的是（ ）
①若，，則； ②若，，則；
③若，，則； ④若，，則．
A．①② B．②③ C．①③ D．③④
題型2 空間幾何體的表體積問題
例1．如圖所示的糧倉可以看成圓柱體與圓錐體的組合體，設(shè)圓錐部分的高為0.5米，圓柱部分的高為2米，底面圓的半徑為1米，則該組合體體積為（ ）
A．立方米 B．立方米
C．立方米 D．立方米
例2．已知圓錐的底面半徑為，其側(cè)面展開圖為一個半圓，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
例3．如圖，圓柱的底面周長為，高為，圓錐的底面半徑是，則該幾何體的體積為 .
題型3 線面角問題
例1．在直三棱柱中，，.
(1)求異面直線與所成角的大小；
(2)若與平面所成角為，求三棱錐的體積.
例2．已知四棱錐的底面是邊長為2的菱形，底面.
(1)求證：平面；
(2)已知，當(dāng)直線與平面所成的角為時，求四棱錐的體積.
例3．在正三棱柱中，已知它的底面邊長為2.
(1)若該正三棱柱的高為4，分別求其表面積與體積.
(2)若直線與平面所成角的大小為，求三棱錐的體積.
題型4 二面角問題
例1．如圖，在正方體中，
(1)求異面直線與所成的角的大小；
(2)求二面角的大小.
例2．如圖，棱錐的底面是矩形，平面，．
(1)求證：平面；
(2)求平面和平面夾角的余弦值的大?。?br/>1．在空間中，下列命題為真命題的是（ ）
A．垂直于同一條直線的兩條直線平行 B．垂直于同一條直線的兩個平面平行
C．平行于同一條直線的兩條直線垂直 D．平行于同一個平面的兩條直線平行
2．已知兩條不同的直線，及三個不同的平面，，，則下列推理正確的是（ ）
A．，， B．，
C．， D．，
3．關(guān)于三條不同直線a，b，l以及兩個不同平面，，下面命題正確的是（ ）
A．若，，則 B．若，，則
C．若，，則 D．若，，且，，則
4．已知正三棱柱所有棱長均為2，則該正三棱柱的體積為（ ）
A． B．4 C． D．
5．已知圓錐PO的底面半徑為，軸截面的面積為，則該圓錐的體積為（ ）
A． B． C． D．
6．如圖,在三棱柱中,平面.
(1)求證:平面;
(2)求直線與平面所成角的大小.
7．在正四棱錐中，，直線PA與平面ABCD所成的角為，求正四棱錐的體積V．
8．如圖，、是圓錐SO的兩條母線，是底面圓的圓心，底面圓半徑為10，是的中點，，與底面所成角為，求此圓錐的側(cè)面積．
9．如圖，是正方形，直線底面，，是的中點.
（1）證明：直線平面；
（2）求直線與平面所成角的正切值.
10．如圖，在四棱錐中，底面為矩形，且，側(cè)面是等腰三角形，且，側(cè)面底面.

(1)求證：平面；
(2)求側(cè)面與底面所成二面角的正弦值.
11．如圖，在四棱錐中，平面，四邊形為菱形，，，為的中點．

(1)求證：平面平面；
(2)求二面角的平面角的正弦值．

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