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第五講 函數(shù)與方程（講）
【典例1】（2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國(guó)乙卷）第8題）若函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【解讀】函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題是課程標(biāo)準(zhǔn)中規(guī)定的重要內(nèi)容，而函數(shù)零點(diǎn)的存在性與分布問(wèn)題通常利用函數(shù)單調(diào)性來(lái)解決，這正是導(dǎo)數(shù)運(yùn)用的重要方面，對(duì)考生有較高要求．試題依托三次函數(shù)考查函數(shù)的零點(diǎn)，考生若能利用導(dǎo)函數(shù)的性質(zhì)得到原函數(shù)的單調(diào)性并畫(huà)出函數(shù)的大致圖像，就能容易找到解題思路．雖然試題對(duì)考生來(lái)講有一定難度，但只要考生注重知識(shí)的綜合性、應(yīng)用性，采用數(shù)形結(jié)合的數(shù)學(xué)思想便可完成解答．試題考查考生綜合應(yīng)用所學(xué)知識(shí)的能力，重點(diǎn)考查運(yùn)算求解、邏輯推理、直觀想象等能力以及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想．試題描述簡(jiǎn)潔，函數(shù)表達(dá)式常規(guī)，呈現(xiàn)的情景為考生所熟悉，考查主干知識(shí)，具有很好的區(qū)分度，充分體現(xiàn)了高考試題的選拔功能．
【答案】B
【目標(biāo)】試題考查三次函數(shù)的基本性質(zhì)和導(dǎo)數(shù)應(yīng)用，考查運(yùn)算求解和邏輯推理能力及數(shù)形結(jié)合、化歸與轉(zhuǎn)化等思想．
【分析】解題思路 思路1 設(shè)，則，．
若，則，從而單調(diào)遞增，不可能有3個(gè)零點(diǎn)．
假設(shè)．當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞減；當(dāng)時(shí)，，單調(diào)遞增．
又，，
故函數(shù)有3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是．由可得，
所以存在3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是，即知．
故正確選項(xiàng)是B．
思路2 顯然不是的零點(diǎn)，由可得．
故函數(shù)存在3個(gè)零點(diǎn)的充要條件是方程有3個(gè)解．
令函數(shù)，則．
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，．
又，故函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，且取值范圍是；
在區(qū)間單調(diào)遞增，在區(qū)間單調(diào)遞減，且取值范圍都是．
由此可知，當(dāng)且僅當(dāng)時(shí)，方程有3個(gè)解．
故正確選項(xiàng)是B．
思路3 排除法．
令，則只有兩個(gè)零點(diǎn)，故選項(xiàng)A，C不成立．
令，則，．
此時(shí)，為的極大值點(diǎn)，且；
為的極小值點(diǎn)，且，
故只有一個(gè)零點(diǎn)，選項(xiàng)D也不成立．所以正確選項(xiàng)是B．
【典例2】（2023年高考理科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）第10題 2023年高考文科數(shù)學(xué)（全國(guó)甲卷）第12題）函數(shù)的圖像由函數(shù)的圖像向左平移個(gè)單位長(zhǎng)度得到，則的圖像與直線的交點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．1 B．2 C．3 D．4
【解讀】創(chuàng)新是素質(zhì)教育的關(guān)鍵特征之一，體現(xiàn)的是培養(yǎng)具有創(chuàng)新思維和品質(zhì)的創(chuàng)新型人才的要求．創(chuàng)新性考查要求是通過(guò)命題創(chuàng)新，創(chuàng)設(shè)新穎的試題情境、新穎的題目條件、新穎的設(shè)問(wèn)方式，考查考生的創(chuàng)新品質(zhì)．高考通過(guò)創(chuàng)新性考查，引導(dǎo)基礎(chǔ)教育培養(yǎng)學(xué)生的創(chuàng)新思維能力，使他們勇于面對(duì)新問(wèn)題，通過(guò)對(duì)知識(shí)、思想方法的遷移，靈活組合運(yùn)用，有效地解決問(wèn)題．
【答案】C
【目標(biāo)】試題設(shè)問(wèn)新穎，具有一定的綜合性，將三角函數(shù)的圖像與直線的方程結(jié)合起來(lái)，考查考生的邏輯推理能力、數(shù)形結(jié)合的能力、運(yùn)算與轉(zhuǎn)化的能力，以及考生解決創(chuàng)新性問(wèn)題的能力．
【分析】由題意，，如圖，在平面直角坐標(biāo)系中畫(huà)出的圖像，以及直線．
直線過(guò)點(diǎn)和點(diǎn)，所以當(dāng)時(shí)，的圖像與直線沒(méi)有公共點(diǎn)．由圖像可知，的圖像與直線共有3個(gè)交點(diǎn)，故選C．
【典例3】（2023·天津·統(tǒng)考高考真題）若函數(shù)有且僅有兩個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍為 ．
【解讀】本題的解題關(guān)鍵是根據(jù)定義去掉絕對(duì)值，求出方程的根，再根據(jù)根存在的條件求出對(duì)應(yīng)的范圍，然后根據(jù)范圍討論根（或零點(diǎn)）的個(gè)數(shù)，從而解出．
【答案】
【目標(biāo)】本題考查根據(jù)函數(shù)零點(diǎn)的個(gè)數(shù)求參數(shù)范圍問(wèn)題，考查學(xué)生的分類討論能力.
【分析】（1）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，此時(shí)成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即且；
若方程有一根為，則，解得：且；
若時(shí)，，此時(shí)成立．
（2）當(dāng)時(shí)，，
即，
若時(shí)，，顯然不成立；
若時(shí)，或，
若方程有一根為，則，即；
若方程有一根為，則，解得：；
若時(shí)，，顯然不成立；
綜上，
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，只有一個(gè)零點(diǎn)；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為，；
當(dāng)時(shí)，零點(diǎn)為．
所以，當(dāng)函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)時(shí)，且．
故答案為：．
【典例4】（2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅰ卷）第15題）已知函數(shù)（）在區(qū)間有且僅有3個(gè)零點(diǎn)，則的取值范圍是______．
【解讀】試題以研究一個(gè)三角函數(shù)在某一區(qū)間的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為載體，考查考生靈活運(yùn)用知識(shí)，分析函數(shù)圖像與性質(zhì)的能力．試題題干簡(jiǎn)潔清晰，考查內(nèi)容是高中數(shù)學(xué)的主干知識(shí)，呈現(xiàn)方式是考生熟悉的三角函數(shù)的零點(diǎn)問(wèn)題．試題的求解無(wú)需煩瑣計(jì)算，解決問(wèn)題的關(guān)鍵在于有清晰的思路和明確的計(jì)算方式，體現(xiàn)出多理性思考，少煩瑣計(jì)算的特點(diǎn)．
【答案】
【目標(biāo)】試題考查三角函數(shù)圖像、三角函數(shù)的周期性，以及函數(shù)零點(diǎn)的概念，考查考生的邏輯思維能力和運(yùn)算求解能力．
【分析】思路1 的零點(diǎn)滿足，即（）．由于，所以的非負(fù)零點(diǎn)依次為0，，，，…．
由題設(shè)可得解得．
因此的取值范圍是．
思路2 設(shè)．的零點(diǎn)滿足，即（），的非負(fù)值依次為0，，，，…．
由于，故當(dāng)時(shí)，．
故由題設(shè)可得解得．
因此的取值范圍是．
應(yīng)用一 函數(shù)零點(diǎn)的定義
【例1】（2023·山東·山東省五蓮縣第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．是周期函數(shù)
B．在區(qū)間上單調(diào)遞增
C．的圖象關(guān)于對(duì)稱
D．方程在有2個(gè)相異實(shí)根
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：根據(jù)函數(shù)周期性定義可判斷A：函數(shù)，定義域?yàn)椋适侵芷诤瘮?shù)，A正確；
第二步：根據(jù)特殊值，即時(shí)，函數(shù)無(wú)意義判斷B：當(dāng)時(shí)，，則，
此時(shí)無(wú)意義，故B錯(cuò)誤；
第三步：結(jié)合正弦函數(shù)的對(duì)稱性判斷C：當(dāng)時(shí)，，
即的圖象關(guān)于對(duì)稱，
由于的定義域?yàn)橐碴P(guān)于對(duì)稱，
故的圖象關(guān)于對(duì)稱，C正確；
第四步：求出方程在上的根：令，即，
則，或，
即，或，
則當(dāng)時(shí)，，
即方程在有2個(gè)相異實(shí)根，D正確，
故選：B
應(yīng)用二 函數(shù)零點(diǎn)存在性定理
【例2】（2023·四川成都·校聯(lián)考一模）已知函數(shù)若有3個(gè)實(shí)數(shù)解，則實(shí)數(shù)的取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：證明當(dāng)時(shí)，利用導(dǎo)數(shù)求函數(shù)單調(diào)區(qū)間，此時(shí)有2個(gè)實(shí)數(shù)解：時(shí)，，，
解得，解得，
在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增，
，，，
第二步：利用函數(shù)單調(diào)性和最值列不等式求實(shí)數(shù)的取值范圍：所以方程在和上各有1個(gè)實(shí)數(shù)解，
時(shí)，，函數(shù)在上單調(diào)遞減，
依題意，在上有1個(gè)實(shí)數(shù)解，
則，解得.
實(shí)數(shù)的取值范圍為.
故選：B
應(yīng)用三 函數(shù)零點(diǎn)的分布
【例3】（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）已知函數(shù) ，若關(guān)于 的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，且則的最小值是（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：作出的大致圖象，結(jié)合圖象，得到：由函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示：
由圖可知，則，
第二步：化簡(jiǎn)得到，設(shè)：
因?yàn)椋?br/>所以，
第三步：利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值：設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，即的最小值是.
故選：C.
應(yīng)用四 用二分法求方程的近似解
【例4】（2023·遼寧大連·統(tǒng)考一模）牛頓迭代法是我們求方程近似解的重要方法．對(duì)于非線性可導(dǎo)函數(shù)在附近一點(diǎn)的函數(shù)值可用代替，該函數(shù)零點(diǎn)更逼近方程的解，以此法連續(xù)迭代，可快速求得合適精度的方程近似解．利用這個(gè)方法，解方程，選取初始值，在下面四個(gè)選項(xiàng)中最佳近似解為（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：求出迭代關(guān)系：令，則，
令，即，可得，
迭代關(guān)系為，
第二步：結(jié)合逐項(xiàng)計(jì)算，得出結(jié)果：取，則，，
故選：D.
應(yīng)用五 函數(shù)與方程的綜合應(yīng)用
【例5】（2023上·新疆克孜勒蘇·高三統(tǒng)考期中）荀子《勸學(xué)》中說(shuō)：“不積跬步，無(wú)以至千里；不積小流，無(wú)以成江海.”所以說(shuō)學(xué)習(xí)是日積月累的過(guò)程，每天進(jìn)步一點(diǎn)點(diǎn)，前進(jìn)不止一小點(diǎn).我們可以把看作是每天的“進(jìn)步”率都是1%，一年后是；而把看作是每天“退步”率都是1%，一年后是；這樣，一年后的1“進(jìn)步值”是“退步值”的倍.那么當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，大約經(jīng)過(guò)多少天 （參考數(shù)據(jù)： ，）（ ）
A．19 B．35 C．45 D．55
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：確定得到，計(jì)算得到答案：
設(shè)天后當(dāng)“進(jìn)步”的值是“退步”的值的2倍，則，即，
，
.
故選：B.
應(yīng)用六 利用導(dǎo)數(shù)研究函數(shù)的零點(diǎn)
【例6】（2023·全國(guó)·模擬預(yù)測(cè)）已知是方程的一個(gè)根，則（ ）
A． B． C．2 D．3
【引導(dǎo)與詳解】
解法一 ；
解法二 根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化為，令，利用導(dǎo)數(shù)求得在上為增函數(shù)，得到，即可求解.
【詳解】
解法一
第一步：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化方程：因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，所以，
即，整理得，
第二步：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到在上為增函數(shù)：
令，則恒成立，所以在上為增函數(shù)，
第三步：得到，求解比值：
由，可得，所以，
所以．
解法二
第一步：根據(jù)題意，轉(zhuǎn)化方程：因?yàn)槭欠匠痰囊粋€(gè)根，所以，
即，所以，所以，
第二步：構(gòu)造函數(shù)，利用導(dǎo)數(shù)得到在上為增函數(shù)：
令，可得，
所以函數(shù)在上為增函數(shù)，
第三步：得到，求解比值：由，可得，所以，所以．
故選：D．
方法一： 用函數(shù)性質(zhì)法解決函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
第一步：確定函數(shù)的定義域和性質(zhì)：首先需要確定函數(shù)的定義域和性質(zhì)，如函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等.這些性質(zhì)可以幫助我們更好地理解函數(shù)的形態(tài)和變化規(guī)律.
第二步：判斷零點(diǎn)存在性：根據(jù)題目要求，判斷函數(shù)是否存在零點(diǎn).如果函數(shù)在某一點(diǎn)的值為零，則該點(diǎn)即為函數(shù)的零點(diǎn).
第三步：確定零點(diǎn)個(gè)數(shù)：如果函數(shù)存在多個(gè)零點(diǎn)，需要判斷這些零點(diǎn)的個(gè)數(shù).可以通過(guò)函數(shù)的單調(diào)性、奇偶性、周期性等性質(zhì)來(lái)判斷.
第四步：求解零點(diǎn)：如果需要求解函數(shù)的零點(diǎn)，可以通過(guò)函數(shù)的性質(zhì)進(jìn)行求解.例如，如果函數(shù)是單調(diào)遞增的，則函數(shù)值從負(fù)無(wú)窮增大到正無(wú)窮的過(guò)程中，會(huì)經(jīng)過(guò)0點(diǎn)；如果函數(shù)是奇函數(shù)或偶函數(shù)，則可以利用奇偶性求解零點(diǎn)等.
第五步：驗(yàn)證解的合理性：在求解零點(diǎn)后，需要驗(yàn)證解的合法性.即解是否在函數(shù)的定義域內(nèi)，是否符合題目的要求等.
方法二： 導(dǎo)數(shù)法處理函數(shù)零點(diǎn)問(wèn)題
第一步，求出函數(shù)的導(dǎo)數(shù)f'(x).
第二步，找出導(dǎo)數(shù)等于零的點(diǎn)，即解方程f'(x)=0.這些點(diǎn)可能是函數(shù)的極值點(diǎn)或拐點(diǎn).
第三步，分析f'(x)在這些點(diǎn)的符號(hào)變化，判斷在這些點(diǎn)的左右兩側(cè)，函數(shù)的增減性是否發(fā)生變化.如果發(fā)生變化，那么在這些點(diǎn)附近函數(shù)可能會(huì)穿過(guò)x軸，即存在零點(diǎn).
第四步，通過(guò)適當(dāng)?shù)姆椒ㄇ蠼夥匠蘤(x)=0，得到函數(shù)的零點(diǎn).
需要注意的是，運(yùn)用導(dǎo)數(shù)法的時(shí)候，需要仔細(xì)分析函數(shù)的單調(diào)性和極值點(diǎn)，以及需要選擇適當(dāng)?shù)乃惴ㄇ蠼夥匠蘤(x)=0.
方法三： 分離參數(shù)法
第一步：理解問(wèn)題：理解問(wèn)題的具體要求，明確函數(shù)與方程的具體形式.
第二步：分離參數(shù)：將參數(shù)從函數(shù)或方程中分離出來(lái).這通常涉及到對(duì)方程進(jìn)行適當(dāng)?shù)淖冃危沟脜?shù)獨(dú)立地出現(xiàn)在等式的某一邊.
第三步：分析參數(shù)：在參數(shù)被分離出來(lái)后，分析參數(shù)的可能取值或取值范圍.可能涉及到對(duì)參數(shù)的進(jìn)一步約束或不等式的解.
第四步：求解方程：確定了參數(shù)的可能取值后，可將這些值代入原方程進(jìn)行求解.這可能涉及到解代數(shù)方程或不等式.
第五步：驗(yàn)證解：證得到的解是否滿足原方程或不等式.如果滿足，則這些解是有效的；如果不滿足，則可能需要回到第4步重新求解.
需要注意的是，這種方法在某些情況下可能不適用，或者可能無(wú)法得到唯一解.在這種情況下，可能需要使用其他方法來(lái)解決這個(gè)問(wèn)題.
方法四： 數(shù)形結(jié)合法
第一步：理解問(wèn)題：明確問(wèn)題的要求和目標(biāo).理解題目中的函數(shù)和方程，以及它們之間的關(guān)系和性質(zhì).
第二步：繪制圖形：根據(jù)函數(shù)和方程的特性，繪制出相應(yīng)的圖形.在繪制圖形的過(guò)程中，要注意函數(shù)的定義域和值域，以及方程的解.
第三步：分析圖形：通過(guò)觀察和分析圖形，可以得到一些關(guān)于函數(shù)和方程的有用信息.例如，函數(shù)的單調(diào)性、極值點(diǎn)、交點(diǎn)等.
第四步：建立數(shù)學(xué)模型：根據(jù)圖形和分析結(jié)果，建立相應(yīng)的數(shù)學(xué)模型.模型可以是方程、不等式或者函數(shù)的表達(dá)式.
第五步：求解數(shù)學(xué)模型：使用數(shù)學(xué)方法求解建立的數(shù)學(xué)模型.這可能涉及到代數(shù)運(yùn)算等數(shù)學(xué)知識(shí).
第六步：驗(yàn)證答案：驗(yàn)證得到的答案是否正確.可以通過(guò)將答案代入原方程或函數(shù)進(jìn)行驗(yàn)證，或者通過(guò)比較答案與圖形的符合程度來(lái)進(jìn)行驗(yàn)證.
微點(diǎn)：數(shù)形結(jié)合與零點(diǎn)有關(guān)的問(wèn)題
【表現(xiàn)形式】①是關(guān)于的函數(shù)的零點(diǎn)．
②是關(guān)于的方程的實(shí)數(shù)根．
③是函數(shù)圖象與函數(shù)圖象交點(diǎn)的橫坐標(biāo)．
對(duì)于①，我們可以用函數(shù)的單調(diào)性與零點(diǎn)存在定理處理，對(duì)于②，我們可以用方程相關(guān)知識(shí)與方法處理，對(duì)于問(wèn)題③，我們可以用數(shù)形結(jié)合，根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的圖象處理．這樣我們就可以將三個(gè)問(wèn)題中的一個(gè)轉(zhuǎn)化為另一個(gè)，選用最簡(jiǎn)便的方法處理．
【步驟】第一步：將“函數(shù)的零點(diǎn)個(gè)數(shù)”的相關(guān)問(wèn)題轉(zhuǎn)化為“函數(shù)圖象與函數(shù)圖象的交點(diǎn)個(gè)數(shù)”的相關(guān)問(wèn)題（有時(shí)需要對(duì)做一定的變形，以函數(shù)圖象與函數(shù)圖象容易畫(huà)出為標(biāo)準(zhǔn)）．
第二步：畫(huà)出函數(shù)與函數(shù)的圖象，如果含參，重點(diǎn)討論直曲相切、雙曲公切以及端點(diǎn)、間斷點(diǎn)情形，得到全部的臨界情形．
第三步：數(shù)形結(jié)合解答問(wèn)題．
【例1】已知函數(shù)若函數(shù)恰有為函數(shù)4個(gè)零點(diǎn)，則實(shí)數(shù)的取值范圍是______．
解析 觀察發(fā)現(xiàn)，先根據(jù)，將函數(shù)恰有4個(gè)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，接著根據(jù)兩個(gè)函數(shù)的大致圖象，討論直曲相切以及間斷點(diǎn)情形，從而數(shù)形結(jié)合求得實(shí)數(shù)的取值范圍．
①當(dāng)時(shí)，，兩個(gè)函數(shù)的圖象只有一個(gè)交點(diǎn)，不成立．于是，進(jìn)而函數(shù)圖象與軸的交點(diǎn)為，由于當(dāng)知，于是函數(shù)圖象恒過(guò)點(diǎn)．
②當(dāng)時(shí)，，如圖1所示，得到函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，符合題意．
③當(dāng)時(shí)，（易遺漏這種情況），如圖2所示，若函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有三個(gè)交點(diǎn)，則當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有一個(gè)交點(diǎn)，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)．由圖象可知，當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象恰有一個(gè)交點(diǎn)，而若當(dāng)時(shí)，函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)交點(diǎn)，根據(jù)直曲相切可知，需滿足，其中直線與，圖象相切．由得，，，因此．
綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是．
答案
【跟蹤練習(xí)】
（2023·陜西商洛·統(tǒng)考一模）
1．已知函數(shù) ，若關(guān)于 的方程有3個(gè)實(shí)數(shù)解，且則的最小值是（ ）
A．8 B．11 C．13 D．16
（2023·四川甘孜·統(tǒng)考一模）
2．設(shè)定義在上的函數(shù)是偶函數(shù)，且，是的導(dǎo)函數(shù)，當(dāng)時(shí)，；當(dāng)且時(shí)，，則函數(shù)在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為（ ）
A．2 B．4 C．5 D．8
（2023上·河北廊坊·高三河北省文安縣第一中學(xué)校聯(lián)考期中）
3．若函數(shù)在上的零點(diǎn)從小到大排列后構(gòu)成等差數(shù)列，則的取值可以為（ ）
A．0 B．1 C． D．
（2023·安徽池州·池州市第一中學(xué)校聯(lián)考模擬預(yù)測(cè)）
4．設(shè)函數(shù)，給出下列四個(gè)結(jié)論：①；②在上單調(diào)遞增；③的值域?yàn)椋虎茉谏系乃辛泓c(diǎn)之和為，則正確結(jié)論的序號(hào)為 .
（2023上·陜西西安·高二西安市鐵一中學(xué)校考階段練習(xí)）
5．已知且，函數(shù).
(1)若且，求函數(shù)的最值；
(2)若函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，求實(shí)數(shù)的取值范圍.
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
試卷第1頁(yè)，共3頁(yè)
參考答案：
1．C
【分析】作出的大致圖象，結(jié)合圖象，得到，化簡(jiǎn)得到，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性和最小值，即可求解.
【詳解】由函數(shù)，作出函數(shù)的大致圖象，如圖所示，
由圖可知，則，
因?yàn)椋?br/>所以，
設(shè)函數(shù)，則，
當(dāng)時(shí)，；當(dāng)時(shí)，，
所以，即的最小值是.
故選：C.
2．B
【分析】根據(jù)題意得到函數(shù)的單調(diào)性，將題目轉(zhuǎn)化與在上的交點(diǎn)個(gè)數(shù)問(wèn)題即可.
【詳解】當(dāng)且時(shí)，，則
時(shí)，為減函數(shù)；時(shí)，為增函數(shù)，
由，得，則函數(shù)的周期為，
又在上函數(shù)是偶函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
在同一坐標(biāo)系中作出與在上的圖象，
由圖可知，兩函數(shù)的圖象有4個(gè)交點(diǎn)，
所以在上的零點(diǎn)個(gè)數(shù)為4個(gè).
故選：B.
3．ABD
【分析】函數(shù)有零點(diǎn)，即函數(shù)與的圖象有交點(diǎn)，畫(huà)出函數(shù)與的圖象，結(jié)合圖象求解即可.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)有零點(diǎn)，所以．
畫(huà)出函數(shù)與的圖象，如圖所示．
當(dāng)或1時(shí)，經(jīng)驗(yàn)證，符合題意．
當(dāng)時(shí)，由題意可得．
因?yàn)椋裕?br/>故選：ABD.
4．①②④
【分析】由，得到，可判定①正確，設(shè)，作出其圖象，求得函數(shù)的值域?yàn)椋膳卸á坼e(cuò)誤；由在上單調(diào)遞增，結(jié)合周期性，可得判定②正確；由，得到，結(jié)合圖象，得到，可判定④正確.
【詳解】因?yàn)楹瘮?shù)，
，可得，即，
因?yàn)椋裕裕寓僬_，
設(shè)，
顯然是以為周期的周期函數(shù)，
作出函數(shù)在上的圖象，如圖所示，
由圖可知的值域?yàn)椋寓坼e(cuò)誤，
由的圖象可知，在上單調(diào)遞增，
又因?yàn)槭侵芷跒榈暮瘮?shù)，所以在上單調(diào)遞增，所以②正確，
因?yàn)椋裕裕?br/>由，可得
由圖象可知在內(nèi)有四個(gè)零點(diǎn)，
設(shè)四個(gè)零點(diǎn)從左到右依次為，則，
所以,所以④正確.
正確的序號(hào)為①②④．
故答案為:①②④．
5．(1)，
(2)
【分析】（1）先求出函數(shù)的單調(diào)區(qū)間，進(jìn)而得出函數(shù)的最值；
（2）將函數(shù)零點(diǎn)轉(zhuǎn)化為方程根的問(wèn)題，利用分離變量的方法，轉(zhuǎn)化為兩個(gè)函數(shù)圖象的交點(diǎn)問(wèn)題，進(jìn)而求解結(jié)果.
【詳解】（1）當(dāng)時(shí)，函數(shù)，
故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，
所以，
又因?yàn)椋?br/>所以；
（2）因?yàn)楹瘮?shù)有兩個(gè)零點(diǎn)
故有兩解，
所以方程有兩個(gè)不同的解，
即為函數(shù)的圖象與函數(shù)的圖象有兩個(gè)不同的交點(diǎn)，
令，故，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)減，
當(dāng)時(shí)，，故在單調(diào)增，
如圖所示

而，所以，所以，
令，
因?yàn)椋?br/>所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
又當(dāng)時(shí)，，，，
所以在上有一個(gè)零點(diǎn)，
所以函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn)，即當(dāng)時(shí)，函數(shù)有兩個(gè)零點(diǎn).
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)
答案第1頁(yè)，共2頁(yè)

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