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第四講 抽象函數（講）
【典例1】（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域均為R，且．若的圖像關于直線對稱，，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】含有對稱軸或對稱中心的問題往往條件比較隱蔽，考生需要根據已知條件進行恰當的轉化，然后得到所需的一些數值或關系式從而解題.
【答案】D
【目標】本題考查抽象函數，函數的對稱性.
【分析】因為的圖像關于直線對稱，
所以，
因為，所以，即，
因為，所以，
代入得，即，
所以，
.
因為，所以，即，所以.
因為，所以，又因為，
聯立得，，
所以的圖像關于點中心對稱，因為函數的定義域為R，
所以
因為，所以.
所以.
故選：D
【典例2】（2022·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為R，且，則（ ）
A． B． C．0 D．1
【解讀】法一：利用賦值法求出函數的周期，即可解出，是該題的通性通法；
法二：作為選擇題，利用熟悉的函數使抽象問題具體化，簡化推理過程，直接使用具體函數的性質解題，簡單明了，是該題的最優解.
【答案】A
【目標】本題考查函數奇偶性的應用，由抽象函數的周期性求函數值
【分析】[方法一]：賦值加性質
因為，令可得，，所以，令可得，，即，所以函數為偶函數，令得，，即有，從而可知，，故，即，所以函數的一個周期為．因為，，，，，所以
一個周期內的．由于22除以6余4，
所以．故選：A．
[方法二]：【最優解】構造特殊函數
由，聯想到余弦函數和差化積公式
，可設，則由方法一中知，解得，取，
所以，則
，所以符合條件，因此的周期，，且，所以，
由于22除以6余4，
所以．故選：A．
【典例3】（2021·全國·高考真題）設是定義域為R的奇函數，且.若，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】本題主要考查了函數的奇偶性和函數的遞推關系式，靈活利用所給的條件進行轉化是解決本題的關鍵.利用函數的奇偶性和函數的遞推關系即可求得的值.
【答案】C
【目標】本題考查抽象函數的奇偶性.
【分析】由題意可得：，
而，
故.
故選：C.
【點睛】關鍵點點睛：【典例4】（2021·全國·統考高考真題）設函數的定義域為R，為奇函數，為偶函數，當時，．若，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】通過是奇函數和是偶函數條件，可以確定出函數解析式，進而利用定義或周期性結論，即可得到答案．
【答案】D
【目標】本題考查由奇偶性求函數解析式，函數奇偶性的應用，抽象函數的奇偶性，函數周期性的應用.
【分析】[方法一]：
因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路一：從定義入手．
所以．
[方法二]：
因為是奇函數，所以①；
因為是偶函數，所以②．
令，由①得：，由②得：，
因為，所以，
令，由①得：，所以．
思路二：從周期性入手
由兩個對稱性可知，函數的周期．
所以．
故選：D．
【典例5】（2021·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，為偶函數，為奇函數，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】推導出函數是以為周期的周期函數，由已知條件得出，結合已知條件可得出結論.
【答案】B
【目標】本題考查函數奇偶性的應用，函數的周期性的定義與求解.
【分析】因為函數為偶函數，則，可得，
因為函數為奇函數，則，所以，，
所以，，即，
故函數是以為周期的周期函數，
因為函數為奇函數，則，
故，其它三個選項未知.
故選：B.
【典例6】（2022·全國·統考高考真題）已知函數及其導函數的定義域均為，記，若，均為偶函數，則（ ）
A． B． C． D．
【解讀】方法一：根據題意賦值變換得到函數的性質，即可判斷各選項的真假，轉化難度較高，是該題的通性通法；
方法二：根據題意得出的性質構造特殊函數，再驗證選項，簡單明了，是該題的最優解．
【答案】BC
【目標】本題考查抽象函數的奇偶性，函數對稱性的應用，函數與導函數圖象之間的關系.
【分析】[方法一]：對稱性和周期性的關系研究
對于，因為為偶函數，所以即①，所以，所以關于對稱，則，故C正確；
對于，因為為偶函數，，，所以關于對稱，由①求導，和，得，所以，所以關于對稱，因為其定義域為R，所以，結合關于對稱，從而周期，所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
[方法二]：【最優解】特殊值，構造函數法.
由方法一知周期為2，關于對稱，故可設，則，顯然A，D錯誤，選BC.
故選：BC.
[方法三]：
因為，均為偶函數，
所以即，，
所以，，則，故C正確；
函數，的圖象分別關于直線對稱，
又，且函數可導，
所以，
所以，所以，
所以，，故B正確，D錯誤；
若函數滿足題設條件，則函數（C為常數）也滿足題設條件，所以無法確定的函數值，故A錯誤.
故選：BC.
【典例7】（2023·全國·統考高考真題）已知函數的定義域為，，則（ ）．
A． B．
C．是偶函數 D．為的極小值點
【解讀】方法一：利用賦值法，結合函數奇偶性的判斷方法可判斷選項ABC，舉反例即可排除選項D.
方法二：選項ABC的判斷與方法一同，對于D，可構造特殊函數進行判斷即可.
【答案】ABC
【目標】本題考查函數奇偶性的定義與判斷，函數極值點的辨析.
【分析】方法一：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，不妨令，顯然符合題設條件，此時無極值，故錯誤.
方法二：
因為，
對于A，令，，故正確.
對于B，令，，則，故B正確.
對于C，令，，則，
令，
又函數的定義域為，所以為偶函數，故正確，
對于D，當時，對兩邊同時除以，得到，
故可以設，則，
當肘，，則，
令，得；令，得；
故在上單調遞減，在上單調遞增，
因為為偶函數，所以在上單調遞增，在上單調遞減，
顯然，此時是的極大值，故D錯誤.
故選：.
應用一 抽象函數的定義域
【例1】（2023上·四川遂寧·高三統考期中）函數的圖象恒過點，函數的定義域為，，則函數的值域為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：求出定點坐標：
當時，即，則，
所以恒過定點，
第二步：求得的解析式，進而可得的解析式：
則，定義域為，由，得，
則的定義域為，
則，
第三步：再結合抽象函數的定義域求得的定義域，結合函數的單調性求解函數的值域.：
又在上單調遞增，則在上單調遞增，
則，
，
所以函數的值域為.
故選：C
應用二 抽象函數的值域
【例2】（2023·山西·校聯考模擬預測）已知函數都是定義在上的函數，是奇函數，是偶函數，且，則（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【引導與詳解】
第一步：根據函數的奇偶性對稱性結合求出函數的周期：
因為是偶函數，所以，由知，，所以，則f（x）為偶函數.
由是奇函數可知，，所以，則，則，
所以，所以，則，所以，則4為f（x）的一個周期.
第二步：根據一個周期內的函數值計算求和：
由得，，則，所以，
由得，，即，所以，
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.
故選：A.
應用三 求抽象函數的解析式
【例3】（2023·河南新鄉·統考一模）已知定義在上的函數滿足，，，則不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
【引導與詳解】
第一步：利用賦值法求和函數的表達式：
令，得.
令，得，解得，
第二步：利用單調性解不等式：
則不等式轉化為，
因為是增函數，且，
所以不等式的解集為.
故選：A
應用四 抽象函數的奇偶性
【例4】（2023上·吉林長春·高三長春市第二實驗中學校考階段練習）已知函數是上的偶函數，且的圖象關于點對稱，當時，，則的值為（ ）
A．-2 B．-1 C．0 D．1
【引導與詳解】
第一步：由函數是上的偶函數與的圖象關于點對稱可得出函數的周期：
因為函數是上的偶函數，
所以，
因為的圖象關于點對稱，
所以，即，
所以，
所以，
所以函數是上周期為4的函數，
第二步：根據時的表達式求解出一個周期的函數值.
當時，，
所以，，
又，，
第三步：求的值：
所以，
所以.
故選：D.
應用五 判斷證明抽象函數的周期性
【例5】（2023·全國·模擬預測）已知函數的定義域為，，且為奇函數，為偶函數，則（ ）
A．23 B． C． D．3
【引導與詳解】
第一步：根據條件求出函數的周期：
因為為奇函數，為偶函數，
所以，，
令，則，所以，，
所以，，
則，
所以的周期，
第二步：根據函數的周期性求值：
因為，
所以，，，，
所以．
故選：C．
應用六 由抽象函數的周期性求函數值
【例6】（2023·全國·模擬預測）已知.若是以2為最小正周期的周期函數，則（ ）
A．2 B．1 C． D．
【引導與詳解】
第一步：計算根據函數的周期性：
因為是以2為最小正周期的周期函數，所以
，
第二步：比較等式兩端求：
所以
解得.
故選：B
方法一：賦值法
第一步：理解問題，選擇變量：首先，理解問題的要求和目標，以及問題中的函數和變量的含義.選擇一個或多個變量進行賦值.這些變量通常對應于問題中的某些特定元素或條件.
第二步：賦值：根據問題的要求和選擇的變量，基于題目給出的條件或邏輯進行合理的賦值.
第三步：應用函數：將你賦值的變量代入到抽象函數中，利用函數的性質和定義進行計算或推理.
第四步：得出結論，驗證答案：根據函數的計算或推理結果，得出問題的答案或解決方案.對答案進行驗證，確保它們符合問題的要求和邏輯.
方法二： 數形結合法
第一步：理解題意：首先，仔細閱讀題目，理解其要求和所給條件.明確題目所涉及的數學知識點，以及抽象函數的具體形式和性質.
第二步：畫出草圖：根據題目的描述和給定的函數形式，嘗試畫出函數的草圖.這一步可以幫助你直觀地理解函數的性質，如對稱性、單調性、周期性等.
第三步：分析性質：在草圖的基礎上，分析函數的性質.例如，可以觀察函數的奇偶性、單調性、周期性等.這些性質對于后續解決問題至關重要.
第四步：聯系具體與抽象：將函數的抽象表達式與圖形結合起來，利用圖形的直觀性來理解函數的性質，同時利用函數的性質來驗證圖形.
第五步：解決問題：根據題目的具體要求，結合函數的性質和圖形，選擇適當的數學工具和方法來解決問題.例如，如果問題是求函數的值域或定義域，可以根據函數的單調性或最值點來確定；如果問題是比較函數值的大小，可以根據函數的對稱性或周期性來分析.
第六步：驗證答案：最后，要驗證所得答案的正確性.可以通過將答案代入原函數進行驗證，或者利用圖形的直觀性來檢查答案是否符合預期.
方法三： 構造法
第一步：理解問題：首先，理解問題的本質.仔細閱讀題目，明確問題的要求，以及所涉及的數學概念和知識點.
第二步：確定目標：明確想要證明或求解的具體目標.這可以是求解某個具體的數學表達式，或者證明某個特定的數學關系.
第三步：構造函數：根據問題的特性和所涉及的數學知識，構造一個適當的函數或表達式.這個函數或表達式應該能夠反映問題的內在規律，并且能夠使問題簡化或更容易處理.
第四步：利用函數的性質：利用所構造的函數的性質和已知的數學知識，推導和證明目標.這可能涉及到函數的導數、積分、極限等性質，以及一些基本的數學定理和公式.
第五步：得出結論：根據上述推導和證明，得出結論.如果目標是求解某個數學表達式，那么你可能需要求解構造的函數的極值、積分等；如果目標是證明某個數學關系，那么可能需要證明構造的函數滿足這個關系.
第六步：驗證答案：驗證答案或證明是否正確.可以通過重新檢查你的推導過程，或者使用其他方法來驗證.
微點：特殊值（函數）法在特殊值函數中的運用
【表現形式】題干中未給定函數解析式，然后研究此函數的相關問題．
如：已知是定義在上的單調增函數，且滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【方法】特殊值（函數）法
根據抽象函數的類型，常取以下基本初等函數：
抽象函數模型 適用模型的基本初等函數
正比例函數
或 冪函數
或 指數函數
或 對數函數
正弦或余弦函數
正切函數
【步驟】抽象函數往往來源于我們熟悉的一些基本初等函數，所以在處理抽象函數問題時，
（1）我們需要觀察得出題干中所給的抽象函數的結構特點，
（2）根據它的結構特點匹配我們熟悉的基本初等函數，
（3）用具體的基本初等函數來研究問題，這樣就可以把抽象問題具體化，達到快速求解的目的．
【例1】已知是定義在上的單調增函數，且滿足，，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
答案 B
解析　取函數，此時滿足題干，
則，
所以解得．
【例2】若，有，則函數在區間[－2017，2017]上的最值之和為（ ）
A．4 B．6 C．9 D．12
答案 B
解析　 取函數，此時滿足題干，因為為奇函數，
所以．
【跟蹤練習】
1．如果函數對任意滿足,且,則
A．505 B．1010 C．2020 D．4040
2．若符合：對定義域內的任意的，都有，且當時，，則稱為“好函數”，則下列函數是“好函數”的是
A． B． C． D．
3．設函數的定義域是，且對任意正實數，y，都有恒成立，已知，則 .
4．已知定義在R上的函數滿足對任意的，都有，若在區間[－2017，2017]上的最大值和最小值分別為M，m，則 .
5．已知函數的定義域為，且滿足，且，如果對任意的、，都有，那么不等式的解集為（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
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參考答案：
1．C
【分析】推導出，由此能求出則的值．
【詳解】解：函數對任意，滿足，且，
，
．
故選．
【點睛】本題考查函數值的求法，是基礎題，解題時要認真審題，注意函數性質的合理運用．
2．B
【分析】利用好函數的定義，判斷選項的正誤即可．
【詳解】解：對定義域內的任意的，，都有，說明函數是指數函數，排除選項C，D；
又因為：時，，所以排除選項A；
故選B．
【點睛】本題考查好函數的定義的應用，指數函數的簡單性質的應用，是基本知識的考查．
3．－1
【分析】賦值得到，然后代入求解即可.
【詳解】令，得，
所以，解得，
，解得，
故答案為：.
4．
【分析】通過賦值，可得到函數是關于對稱，利用對稱性即可求解.
【詳解】令，可得到，
令，可得到，所以，
所以該函數是關于對稱，
假設當在處取得最大值，那么會在處取得最小值，
根據函數是關于對稱，
所以．
故答案為：.
5．B
【分析】計算出，并由可得出函數在上為減函數，再由，可得出，再由函數在上的單調性可得出，解出該不等式即可.
【詳解】由于對任意的實數、，且.
令，可得，且，解得.
令，則，，.
.
設，則，由，得.
所以，函數在上為減函數，由，可得.
所以，即，解得.
因此，不等式的解集為.
故選B.
【點睛】本題考查抽象函數的單調性解不等式，解題的關鍵就是將不等式左右兩邊轉化為函數的兩個函數值，并利用函數的單調性進行求解，考查分析問題和解決問題的能力，屬于中等題.
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

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