資源簡介

第一講 求函數(shù)值域（講）
【典例1】（2023年高考數(shù)學(xué)（新課標(biāo)Ⅱ卷）第6題）已知函數(shù)在區(qū)間單調(diào)遞增、則a的最小值為（ ）
A． B．e C． D．
【解讀】試題通過導(dǎo)數(shù)將單調(diào)性、不等式等知識有機(jī)整合到所創(chuàng)設(shè)的問題情境中，設(shè)問簡潔，考查全面．試題重視基礎(chǔ)，考查考生化歸與轉(zhuǎn)化的能力和主動(dòng)探究的能力，為高校選拔人才提供了有效依據(jù)，能夠很好地引導(dǎo)中學(xué)數(shù)學(xué)教學(xué)，有助于實(shí)現(xiàn)高考“立德樹人、服務(wù)選才、引導(dǎo)教學(xué)”的核心功能．
【答案】C
【目標(biāo)】試題以單調(diào)性為背景，考查導(dǎo)數(shù)的應(yīng)用和不等式的綜合運(yùn)用，考查考生靈活運(yùn)用知識分析函數(shù)性質(zhì)的能力以及化歸與轉(zhuǎn)化的能力．
【分析】解題思路 由，得．因?yàn)楹瘮?shù)在區(qū)間單調(diào)遞增，所以當(dāng)時(shí)，，即．
設(shè)函數(shù)，則．當(dāng)時(shí)，，于是在區(qū)間單調(diào)遞減．又，，從而的值域?yàn)椋?br/>又當(dāng)時(shí)，，所以a的最小值為，故選C．
應(yīng)用一 復(fù)雜函數(shù)值域
【例1】（2023·遼寧丹東·統(tǒng)考二模）設(shè)函數(shù)由關(guān)系式確定，函數(shù)，則（ ）
A．為增函數(shù) B．為奇函數(shù)
C．值域?yàn)? D．函數(shù)沒有正零點(diǎn)
【答案】D
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：求出函數(shù)解析式：在函數(shù)中，，可知
第二步：畫出函數(shù)圖象：畫以下曲線，，，．
這些曲線合并組成圖象，是兩段以為漸近線的雙曲線和一段圓弧構(gòu)成．
第三步：分析函數(shù)的性質(zhì)并得出函數(shù)性質(zhì)：因?yàn)樽鲌D象在軸右側(cè)部分包括點(diǎn)關(guān)于x軸對稱，得到曲線，再作關(guān)于坐標(biāo)原點(diǎn)對稱，去掉點(diǎn)得到曲線，與合并組成圖象．由圖象可知，不是奇函數(shù)，不是增函數(shù)，值域?yàn)镽．當(dāng)時(shí)，圖象與圖象沒有公共點(diǎn)，從而函數(shù)沒有正零點(diǎn)．故選：D.
應(yīng)用二 根據(jù)值域求參數(shù)值或范圍
【例2】（2023·江西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)，，若對任意的，存在，使，則的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：求出函數(shù)的值域：函數(shù)，當(dāng)時(shí)，，
則，則，
第二步：分、、兩種情況討論，求出函數(shù)在上的值域：函數(shù)在的值域記為，對任意的，存在，使，則，
①當(dāng)時(shí)，，則，則；
②當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，則，
所以，，解得；
③當(dāng)時(shí)，因?yàn)椋瑒t，即.
第三步：求出的取值范圍：所以，，解得.綜上所述，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B.
應(yīng)用三 抽象函數(shù)值域
【例3】（2023·山西·校聯(lián)考模擬預(yù)測）已知函數(shù)都是定義在上的函數(shù)，是奇函數(shù)，是偶函數(shù)，且，則（ ）
A．-4052 B．-4050 C．-1012 D．-1010
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：討論函數(shù)的奇偶性：因?yàn)槭桥己瘮?shù)，所以,由知，，所以，則f（x）為偶函數(shù).
第二步：討論函數(shù)周期性：由是奇函數(shù)可知，，所以，則，則，所以，
所以，則，所以，則4為f（x）的一個(gè)周期.
第三步：求出時(shí)的值，即可求出的值：
由得，，則，所以，
由得，，即，所以,
由，得，又1，所以；
在中，令，得，所以.
.故選：A.
應(yīng)用四 復(fù)合函數(shù)值域
【例4】（2023·陜西咸陽·武功縣普集高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）已知，則下列結(jié)論錯(cuò)誤的是（ ）
A．是周期函數(shù)
B．在區(qū)間上是增函數(shù)
C．的值域?yàn)?br/>D．關(guān)于對稱
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：求出函數(shù)周期：由題知，，
，
是函數(shù)的一個(gè)周期，故A正確；
第二步：討論復(fù)合函數(shù)的單調(diào)性：在區(qū)間上是增函數(shù)，
其值域?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
根據(jù)復(fù)合函數(shù)同增異減法則知，在區(qū)間上是增函數(shù)，故B正確；
第三步：判斷的單調(diào)性，進(jìn)而求出的值域：
的值域?yàn)樵趨^(qū)間上是增函數(shù)，
的值域?yàn)椋蔆正確；
第四步：討論函數(shù)的對稱性：，
所以不關(guān)于對稱，故錯(cuò)誤，故選：D.
應(yīng)用五 導(dǎo)函數(shù)法求函數(shù)值域
【例4】（2024·四川成都·石室中學(xué)校考模擬預(yù)測）若函數(shù)存在兩個(gè)極值點(diǎn)和，則取值范圍為（ ）
A． B． C． D．
【引導(dǎo)與詳解】
第一步：對函數(shù)求導(dǎo)，分析函數(shù)性質(zhì)，并得出表達(dá)式：，
因?yàn)榇嬖趦蓚€(gè)極值點(diǎn)和，故和為的兩個(gè)不同的根，
故且，，，
故（舍）或且，
所以，
同理，
故
，
第二步：表達(dá)函數(shù)并求導(dǎo)得出單調(diào)性：設(shè)，故，
故在上為減函數(shù)，故，
第三步：得出結(jié)論：故的取值范圍為：，故選：C.
方法一： 單調(diào)性法求值域
第一步：觀察函數(shù)的表達(dá)式，確定其定義域.對于一些復(fù)雜的函數(shù)，可能需要先進(jìn)行簡化或分解，以便更好地確定定義域.
第二步：在定義域內(nèi)，我們可以利用導(dǎo)數(shù)或函數(shù)圖像等方法來判斷函數(shù)的單調(diào)性.如果是二次函數(shù)，可以根據(jù)二次項(xiàng)系數(shù)和判別式的符號來判斷；如果是三角函數(shù)，可以根據(jù)正弦、余弦函數(shù)的圖像來判斷.
第三步：根據(jù)函數(shù)的單調(diào)性，我們可以找到極值點(diǎn).對于單調(diào)遞增的函數(shù)，極值點(diǎn)通常出現(xiàn)在自變量由增變減的位置；對于單調(diào)遞減的函數(shù)，極值點(diǎn)通常出現(xiàn)在自變量由減變增的位置.
第四步：計(jì)算極值點(diǎn)處的函數(shù)值和在定義域兩端的函數(shù)值.這可以通過代入自變量到函數(shù)表達(dá)式中來實(shí)現(xiàn).
第五步：比較這些函數(shù)值，取其中的最大值和最小值，即可得到函數(shù)的值域.如果函數(shù)在定義域內(nèi)不單調(diào)，可能會(huì)有多個(gè)極值點(diǎn)，這時(shí)我們需要考慮所有極值點(diǎn)處的函數(shù)值和在定義域兩端的函數(shù)值，以確定最大值和最小值.
需要注意的是，在使用單調(diào)性法求值域時(shí)，我們需要對函數(shù)的表達(dá)式、定義域、單調(diào)性和極值點(diǎn)有清晰的認(rèn)識和正確的判斷.同時(shí)，對于一些特殊的函數(shù)或復(fù)雜的問題，可能需要結(jié)合其他方法或技巧來解決.
方法二： 判別式法求值域
第一步：我們需要將二次函數(shù)轉(zhuǎn)化為標(biāo)準(zhǔn)形式，即，然后計(jì)算判別式Δ.
第二步：根據(jù)Δ的值，我們可以判斷函數(shù)的值域.
如果Δ>0，說明函數(shù)有兩個(gè)不同的實(shí)數(shù)根，這時(shí)函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)有定義，值域?yàn)榭占?
如果Δ=0，說明函數(shù)有一個(gè)重根，函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)仍有定義，值域?yàn)榭占?
如果Δ<0，說明函數(shù)在實(shí)數(shù)范圍內(nèi)無定義，值域?yàn)槿w實(shí)數(shù).
方法三： 分離常數(shù)法求值域
第一步：將函數(shù)式化為兩個(gè)部分，一個(gè)是分子，一個(gè)是分母，其中分子是一個(gè)常數(shù)，分母是一個(gè)多項(xiàng)式或一個(gè)簡單的函數(shù)式，并根據(jù)函數(shù)的性質(zhì)，確定分子和分母的取值范圍.
第二步：將分子和分母進(jìn)行分離，即將分子作為一個(gè)單獨(dú)的函數(shù)式，將分母作為一個(gè)多項(xiàng)式或一個(gè)簡單的函數(shù)式.對于分子和分母的取值范圍，確定它們的值域.將分子和分母的值域合并，得到函數(shù)的值域.
方法四： 求指數(shù)函數(shù)復(fù)合型函數(shù)的值域
第一步：識別復(fù)合函數(shù)的組成，判斷該函數(shù)是由哪些基本初等函數(shù)復(fù)合而成的.
第二步：研究指數(shù)函數(shù)的性質(zhì)，進(jìn)而確定該函數(shù)的取值范圍.
第四步：根據(jù)每個(gè)簡單函數(shù)的性質(zhì)，確定它們的值域.
第五步：根據(jù)函數(shù)的定義域和值域的關(guān)系，綜合求解整個(gè)復(fù)合型函數(shù)的值域.
方法五： 導(dǎo)函數(shù)法求值域
第一步：確定函數(shù)的定義域，求導(dǎo)函數(shù).
第二步：解方程，求出導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn).
第三步：根據(jù)導(dǎo)函數(shù)的零點(diǎn)，將定義域劃分為若干個(gè)小區(qū)間，確定每個(gè)小區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號.
第四步：根據(jù)每個(gè)小區(qū)間內(nèi)導(dǎo)函數(shù)的符號，判斷原函數(shù)的單調(diào)性.
第五步：根據(jù)原函數(shù)的單調(diào)性，求出原函數(shù)的極值點(diǎn).
第六步：根據(jù)極值點(diǎn)，確定原函數(shù)的值域.
微點(diǎn)：對勾函數(shù)求值域
【表現(xiàn)形式】①求函數(shù)值域；②求最值.
【步驟】
（1）通過代數(shù)變形（一般為換元），將待求函數(shù)變形為含對勾函數(shù)的形式．
（2）根據(jù)對勾函數(shù)的相關(guān)性質(zhì)，得到這個(gè)新函數(shù)的值域（最值），從而解決問題，通常包含以下幾種情形．
①二次比一次型：形如，此時(shí)把分母看作一個(gè)整體進(jìn)行換元，即可化成對勾函數(shù)的形式，進(jìn)而求解出值域．
②一次比二次型：形如，此時(shí)將分子、分母同除以分子，分母就變成了①中的形式，換元后繼續(xù)操作即可．
③二次比二次型：形如，此時(shí)先把分子中的二次項(xiàng)分離常數(shù)分離下去，就變成了②中的形式，再將分子、分母同除以分子，換元后繼續(xù)操作即可．
需要注意的是，換元后注意新元取值范圍的變化.并且，分子、分母同時(shí)除以某個(gè)式子時(shí)，注意這個(gè)式子是否可能為0．
【例1】求函數(shù)的值域．
答案
解析 先令，將函數(shù)變形為，然后根據(jù)對勾函數(shù)基本性質(zhì)，得到函數(shù)的值域，即函數(shù)的值域．下面進(jìn)入完整解題步驟：設(shè)，則，因?yàn)椋裕驗(yàn)椋裕畼?gòu)建函數(shù)，函數(shù)在上單調(diào)遞減，在上單調(diào)遞增（對勾函數(shù)的性質(zhì)），所以當(dāng)時(shí)，函數(shù)取得最小值，所以函數(shù)的值域?yàn)椋院瘮?shù)的值域?yàn)椋?br/>【例2】求函數(shù)的值域．
答案
解析 符合一次比二次的形式，時(shí)單獨(dú)討論，時(shí)分式上下同除以分子后轉(zhuǎn)化為二次比一次型處理．當(dāng)時(shí)，．當(dāng)時(shí)，分式上下同除以得．由對勾函數(shù)的值域可知，當(dāng)時(shí)，，所以．綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>【跟蹤練習(xí)】
（2023·河南·校聯(lián)考模擬預(yù)測）
1．設(shè)為函數(shù)（）圖象上一點(diǎn)，點(diǎn)，為坐標(biāo)原點(diǎn)，，的值為（ ）
A．-4 B． C．4 D．1
（2023·湖北武漢·統(tǒng)考一模）
2．已知函數(shù)若的值域?yàn)?則實(shí)數(shù)的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
（2023·重慶·統(tǒng)考模擬預(yù)測）
3．已知函數(shù)，則下列說法正確的是（ ）
A．的定義域?yàn)?br/>B．在上的值域?yàn)?br/>C．若在上單調(diào)遞減，則
D．若，則在定義域上單調(diào)遞增
（2023·江蘇鎮(zhèn)江·揚(yáng)中市第二高級中學(xué)校考模擬預(yù)測）
4．給出下列說法，錯(cuò)誤的有（ ）
A．若函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，則
B．已知的值域?yàn)椋瑒t的取值范圍是
C．已知函數(shù)的定義域?yàn)椋瑒t函數(shù)的定義域?yàn)?br/>D．已知函數(shù)，則函數(shù)的值域?yàn)?br/>5．求函數(shù)的值域．
（2023·全國·模擬預(yù)測）
6．若方程在上有實(shí)根，則a的取值范圍是（ ）
A． B． C． D．
試卷第1頁，共3頁
試卷第1頁，共3頁
參考答案：
1．A
【分析】由數(shù)量積的定義表示求出，再利用條件，結(jié)合點(diǎn)在函數(shù)（）圖象上，可求出點(diǎn)，從而解決問題.
【詳解】設(shè)點(diǎn)，則，，
，
又， 則
可得，又，則，
解得，所以.
故選：A

2．B
【分析】分別畫出分段函數(shù)對應(yīng)的兩個(gè)函數(shù)圖象，再對實(shí)數(shù)的取值進(jìn)行分類討論即可.
【詳解】根據(jù)題意可得，在同一坐標(biāo)系下分別畫出函數(shù)和的圖象如下圖所示：
由圖可知，當(dāng)或時(shí)，兩圖象相交，
若的值域是，以實(shí)數(shù)為分界點(diǎn)，可進(jìn)行如下分類討論：
當(dāng)時(shí)，顯然兩圖象之間不連續(xù)，即值域不為；
同理當(dāng),值域也不是；
當(dāng)時(shí)，兩圖象相接或者有重合的部分，此時(shí)值域是；
綜上可知，實(shí)數(shù)的取值范圍是.
故選：B
3．AC
【分析】求得的定義域判斷選項(xiàng)A；求得在上的值域判斷選項(xiàng)B；求得a的取值范圍判斷選項(xiàng)C；求得時(shí)的單調(diào)性判斷選項(xiàng)D.
【詳解】選項(xiàng)A：由得，則的定義域?yàn)?判斷正確；
選項(xiàng)B：，
由，可得，則，
當(dāng)時(shí)，，則在上的值域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，，
即在上的值域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，，，
即在上的值域?yàn)?
綜上，當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)椋?br/>當(dāng)時(shí)，在上的值域?yàn)?判斷錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：，
若在上單調(diào)遞減，則，解之得.判斷正確；
選項(xiàng)D：，
則時(shí)，在和上單調(diào)遞增.判斷錯(cuò)誤.
故選：AC
4．ABD
【分析】由奇函數(shù)的定義判斷A，函數(shù)的值域滿足判斷B，根據(jù)抽象函數(shù)的定義域判斷C，由對數(shù)函數(shù)的運(yùn)算性質(zhì)結(jié)合換元法判斷D.
【詳解】選項(xiàng)A：函數(shù)在定義域上為奇函數(shù)，
則，即，即，
即，整理得，即，
所以，解得，
當(dāng)時(shí)，，該函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，符合題意，
當(dāng)時(shí)，，由可得，此時(shí)函數(shù)定義域?yàn)椋瑵M足，符合題意，
綜上所述，選項(xiàng)A說法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)B：因?yàn)榈闹涤驗(yàn)椋?br/>所以函數(shù)的值域滿足，
所以，解得，所以B說法錯(cuò)誤；
選項(xiàng)C：由得，所以的定義域?yàn)椋x項(xiàng)C說法正確；
選項(xiàng)D：因?yàn)楹瘮?shù)，
所以，，
當(dāng)時(shí)，，
令，，則，
即函數(shù)的值域?yàn)椋x項(xiàng)D說法錯(cuò)誤；
故選：ABD
5．
【分析】先分離常數(shù)，再分類討論與，結(jié)合換元法與對勾函數(shù)的性質(zhì)即可得解.
【詳解】，
當(dāng)時(shí)，，
當(dāng)時(shí)，，
令，則，，
所以，
由對勾函數(shù)的值域可知，當(dāng)時(shí)，，
所以，
所以．
綜上所述，函數(shù)的值域?yàn)椋?br/>6．C
【分析】根據(jù)題意，化簡得到，設(shè)，得到，求得，得到為增函數(shù)，轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，設(shè)，利用導(dǎo)數(shù)求得函數(shù)的單調(diào)性，結(jié)合，進(jìn)而求得的范圍.
【詳解】由，可得，即，
因?yàn)椋傻茫裕渲校?br/>設(shè)，則，
又因?yàn)椋栽谏蠟樵龊瘮?shù)，
所以，即，
所以問題轉(zhuǎn)化為方程在上有實(shí)根，
設(shè)（），則，所以在上是減函數(shù)，
所以，解得．
故選：C．
【點(diǎn)睛】關(guān)鍵點(diǎn)睛：解本題的關(guān)鍵是通過函數(shù)的單調(diào)性，把在上有實(shí)根轉(zhuǎn)化為在上有實(shí)根，對于既含有指數(shù)式又含有對數(shù)式的等式或不等式，直接求導(dǎo)會(huì)出現(xiàn)越求導(dǎo)式子越復(fù)雜的情況，此時(shí)可通過同構(gòu)函數(shù)，再利用函數(shù)的單調(diào)性，把問題轉(zhuǎn)化為較為簡單的函數(shù)的導(dǎo)數(shù)問題．
答案第1頁，共2頁
答案第1頁，共2頁

展開更多......

收起↑